高中數(shù)學(xué)1-3簡單曲線的極坐標(biāo)方程第一頁，共45頁。1．曲線的極坐標(biāo)方程一般地，在極坐標(biāo)系中，如果平面曲線C上任意一點

的極坐標(biāo)中至少有一個滿足方程_____________，并且

坐標(biāo)適合方程_____________的點都在曲線C上，那么

方程f(ρ，θ)＝0叫做曲線C的極坐標(biāo)方程．自學(xué)導(dǎo)引f(ρ，θ)＝0f(ρ，θ)＝0第一頁第二頁，共45頁。2．常見曲線的極坐標(biāo)方程ρ＝r第二頁第三頁，共45頁。θ＝αθ＝π＋α第三頁第四頁，共45頁。名師點睛第四頁第五頁，共45頁。2．求曲線的極坐標(biāo)方程，就是在曲線上任找一點M(ρ，θ)，探求ρ，θ的關(guān)系，經(jīng)常需利用三角形知識和正弦定理來求解．3．在進行兩種坐標(biāo)間的互化時，我們要注意：(1)互化公式是有三個前提條件的，極點與直角坐標(biāo)系的原

點重合；極軸與直角坐標(biāo)系的橫軸的正半軸重合；兩種坐

標(biāo)系的單位長度相同． (2)由直角坐標(biāo)求極坐標(biāo)時，理論上不是唯一的，但這里約定

在0≤θ<2π，ρ>0范圍內(nèi)求值． (3)由直角坐標(biāo)方程化為極坐標(biāo)方程，最后要化簡． (4)由極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程時要注意變形的等價性，

通常要用ρ去乘方程的兩端．第五頁第六頁，共45頁。【思維導(dǎo)圖】第六頁第七頁，共45頁。題型一圓的極坐標(biāo)方程【例1】[思維啟迪]解答本題先設(shè)圓上任意一點M(ρ，θ)，建立等式轉(zhuǎn)化為ρ，θ的極坐標(biāo)方程，化簡即可．第七頁第八頁，共45頁。解由題意知，圓經(jīng)過極點O，OA為其一條直徑，設(shè)M(ρ，θ)為圓上除點O，A以外的任意一點，則|OA|＝2r，連接AM，則OM⊥MA，在Rt△OAM中，|OM|＝|OA|cos∠AOM，【反思感悟】求軌跡方程時，我們常在三角形中利用正弦定義找到變量ρ，θ的關(guān)系．在圓的問題中，經(jīng)常用到直角三角形中的邊角關(guān)系．第八頁第九頁，共45頁。

在圓心的極坐標(biāo)為A(4，0)，半徑為4的圓中，求過極點O的弦的中點的軌跡．【變式1】解設(shè)M(ρ，θ)是軌跡上任意一點．連接OM并延長交圓A于點P(ρ0，θ0)，則有θ0＝θ，ρ0＝2ρ.由圓心為(4，0)，半徑為4的圓的極坐標(biāo)方程為ρ＝8cosθ，得ρ0＝8cosθ0.所以2ρ＝8cosθ，即ρ＝4cosθ.故所求軌跡方程是ρ＝4cosθ.它表示以(2，0)為圓心，2為半徑的圓．第九頁第十頁，共45頁。題型二

射線或直線的極坐標(biāo)方程【例2】[思維啟迪]解答本題先設(shè)直線上任意一點M(ρ，θ)，建立等式轉(zhuǎn)化為關(guān)于ρ，θ的方程，再化簡即可．第十頁第十一頁，共45頁。第十一頁第十二頁，共45頁。【反思感悟】法一通過運用正弦定理解三角形建立了動點M所滿足的等式，從而集中條件建立了以ρ，θ為未知數(shù)的方程；法二先求出直線的直角坐標(biāo)方程，然后通過直角坐標(biāo)向極坐標(biāo)的轉(zhuǎn)化公式間接得解，過渡自然，視角新穎，不僅優(yōu)化了思維方式，而且簡化了解題過程．第十二頁第十三頁，共45頁。第十三頁第十四頁，共45頁。

將下列直角坐標(biāo)方程與極坐標(biāo)方程互化．(1)直線x＋y＝0；(2)圓x2＋y2＋2ax＝0(a≠0)；(3)ρcosθ＝2；(4)ρ＝2cosθ；(5)ρ2cos2θ＝2.[思維啟迪](1)(2)用公式x＝ρcosθ，y＝ρsinθ代入曲線(含直線)的直角坐標(biāo)方程，再化簡即可．(3)(4)(5)利用公式ρ2＝x2＋y2，ρcosθ＝x，ρsinθ＝y(tǒng)等代入曲線的極坐標(biāo)方程，再化簡方程．題型三

直角坐標(biāo)方程與極坐標(biāo)方程的互化【例3】第十四頁第十五頁，共45頁。(2)將x＝ρcosθ，y＝ρsinθ代入x2＋y2＋2ax＝0得ρ2cos2θ＋ρ2sin2θ＋2aρcosθ＝0，即ρ(ρ＋2acosθ)＝0，∴ρ＝－2acosθ，所以圓x2＋y2＋2ax＝0(a≠0)的極坐標(biāo)方程為ρ＝－2acosθ.第十五頁第十六頁，共45頁。(3)∵ρcosθ＝2，∴x＝2.(4)∵ρ＝2cosθ，∴ρ2＝2ρcosθ，∴x2＋y2－2x＝0，即(x－1)2＋y2＝1.(5)∵ρ2cos2θ＝2，∴ρ2(cos2θ－sin2θ)＝2，即ρ2cos2θ－ρ2sin2θ＝2，∴x2－y2＝2.【反思感悟】在實踐中，由于問題的需要和研究的方便，常需把這兩種坐標(biāo)進行換算，我們有必要掌握這兩種坐標(biāo)間的互化．在解這類題時，除正確使用互化公式外，還要注意與恒等變換等知識相結(jié)合．化為極坐標(biāo)方程時，如果不加特殊說明，就認(rèn)為ρ≥0.第十六頁第十七頁，共45頁。 (1)將x2－y2＝a2化為極坐標(biāo)方程；(2)將ρ＝2asinθ化為直角坐標(biāo)方程．【變式3】解

(1)直接代入互化公式，ρ2cos2

θ－ρ2sin2

θ＝a2，∴ρ2cos2θ＝a2，這就是所求的極坐標(biāo)方程．(2)兩邊同乘以ρ得ρ2＝2a×ρsinθ.∴x2＋y2＝2ay，這就是要求的直角坐標(biāo)方程．第十七頁第十八頁，共45頁。第十八頁第十九頁，共45頁。第十九頁第二十頁，共45頁。第二十頁第二十一頁，共45頁。第二十一頁第二十二頁，共45頁。第二十二頁第二十三頁，共45頁。第二十三頁第二十四頁，共45頁。第二十四頁第二十五頁，共45頁。第二十五頁第二十六頁，共45頁。第二十六頁第二十七頁，共45頁。 (2010·北京高考)極坐標(biāo)方程(ρ－1)(θ－π)＝0(ρ≥0)表示的圖形是

(

)．A．兩個圓

B．兩條直線C．一個圓和一個射線

D．一條直線和一條射線解析由(ρ－1)(θ－π)＝0(ρ≥0)得，ρ＝1或θ＝π，其中ρ＝1表示以極點為圓心，半徑為1的圓，θ＝π表示以極點為起點與Ox反向的射線．答案

C高考在線——極坐標(biāo)方程的應(yīng)用【例1】點擊1考查極坐標(biāo)方程的意義第二十七頁第二十八頁，共45頁。第二十八頁第二十九頁，共45頁。第二十九頁第三十頁，共45頁。第三十頁第三十一頁，共45頁。 (2010·廣東高考)在極坐標(biāo)系(ρ，θ)(0≤θ<2π)中，曲線ρ(cosθ＋sinθ)＝1與ρ(sinθ－cosθ)＝1的交點的極坐標(biāo)為________．點擊2極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程的互化【例3】第三十一頁第三十二頁，共45頁。【例4】點擊3極坐標(biāo)方程的應(yīng)用第三十二頁第三十三頁，共45頁。(1)寫出C的直角坐標(biāo)方程，并求M、N的極坐標(biāo)；(2)設(shè)MN的中點為P，求直線OP的極坐標(biāo)方程．第三十三頁第三十四頁，共45頁。第三十四頁第三十五頁，共45頁。第三十五頁第三十六頁，共45頁。

[P15思考]在例3中，如果以極點為直角坐標(biāo)原點，極軸為x軸正半軸建立平面直角坐標(biāo)系，那么直線l的直角坐標(biāo)方程是什么？比較直線l的極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程，你對不同坐標(biāo)系下的直線方程有什么認(rèn)識？第三十六頁第三十七頁，共45頁。在極坐標(biāo)系中，過極點的直線方程形式比較簡單，而不過極點的直線方程形式要比直角坐標(biāo)方程復(fù)雜．[課后習(xí)題解答]習(xí)題1.3

(第15頁)1．解

(1)表示圓心在極點，半徑為5的圓(圖略)．第三十七頁第三十八頁，共45頁。第三十八頁第三十九頁，共45頁。第三十九頁第四十頁，共45頁。第四十頁第四十一頁，共45頁。3．解

(1)ρcosθ＝4.(2)ρsinθ＝－2.(3)2ρcosθ－3ρsinθ－