第67講直線與圓錐曲線的位置關系1、直線與圓錐曲線的位置關系判斷直線l與圓錐曲線C的位置關系時，通常將直線l的方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同時為0)代入圓錐曲線C的方程F(x，y)＝0，消去y(或x)得到一個關于變量x(或y)的一元方程．例：由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Ax＋By＋C＝0，,Fx，y＝0))消去y，得ax2＋bx＋c＝0.(1)當a≠0時，設一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的判別式為Δ，則：Δ>0?直線與圓錐曲線C；Δ＝0?直線與圓錐曲線C；Δ<0?直線與圓錐曲線C(2)當a＝0，b≠0時，即得到一個一元一次方程，則直線l與圓錐曲線C相交，且只有一個交點，此時，若C為雙曲線，則直線l與雙曲線的漸近線的位置關系是；若C為拋物線，則直線l與拋物線的對稱軸的位置關系是．2、弦長公式設斜率為k(k≠0)的直線l與圓錐曲線C相交于A，B兩點，A(x1，y1)，B(x2，y2)，則|AB|＝eq\r(1＋k2)|x1－x2|＝或|AB|＝＝3、中點弦所在直線的斜率圓錐曲線以P(x0，y0)(y0≠0)為中點的弦所在直線的斜率為k，其中k＝eq\f(y1－y2,x1－x2)(x1≠x2)，(x1，y1)，(x2，y2)為弦的端點坐標．圓錐曲線方程直線斜率橢圓：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)雙曲線：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)拋物線：y2＝2px(p＞0)1、（2023?甲卷（文））已知雙曲線的離心率為，的一條漸近線與圓交于，兩點，則A． B． C． D．2、（2022?乙卷（文））設為拋物線的焦點，點在上，點，若，則A．2 B． C．3 D．3、（2022?新高考Ⅱ）已知直線與橢圓在第一象限交于，兩點，與軸、軸分別相交于，兩點，且，，則的方程為．4、（2022?甲卷（文））記雙曲線的離心率為，寫出滿足條件“直線與無公共點”的的一個值．．5、（多選題）（2023?新高考Ⅱ）設為坐標原點，直線過拋物線的焦點，且與交于，兩點，為的準線，則A． B． C．以為直徑的圓與相切 D．為等腰三角形6、（多選題）（2022?新高考Ⅰ）已知為坐標原點，點在拋物線上，過點的直線交于，兩點，則A．的準線為 B．直線與相切 C． D．7、（多選題）（2022?新高考Ⅱ）已知為坐標原點，過拋物線焦點的直線與交于，兩點，其中在第一象限，點．若，則A．直線的斜率為 B． C． D．8、（2022?新高考Ⅱ）已知雙曲線的右焦點為，漸近線方程為．（1）求的方程；（2）過的直線與的兩條漸近線分別交于，兩點，點，，，在上，且，．過且斜率為的直線與過且斜率為的直線交于點．從下面①②③中選取兩個作為條件，證明另外一個成立．①在上；②；③．注：若選擇不同的組合分別解答，則按第一個解答計分．9、（2023?甲卷（文））已知直線與拋物線交于，兩點，．（1）求；（2）設為的焦點，，為上兩點，且，求面積的最小值．1、直線y＝kx－k＋1與橢圓eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,4)＝1的位置關系為()A.相交B.相切C.相離D.不確定2、過點(0，1)作直線，使它與拋物線y2＝4x僅有一個公共點，這樣的直線有()A.1條B.2條C.3條D.4條3、已知橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)，F(xiàn)(eq\r(2)，0)是橢圓C的右焦點，過點F且垂直于x軸的直線與橢圓相交所得的弦長為2，則橢圓C的方程為________________．4、經(jīng)過橢圓eq\f(x2,2)＋y2＝1的一個焦點作傾斜角為45°的直線l，交橢圓于A，B兩點．設O為坐標原點，則eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))的值為________．考向一直線與圓錐曲線的位置關系例1已知直線l：y＝kx＋2，橢圓C：eq\f(x2,4)＋y2＝1.試問當k取何值時，直線l與橢圓C：(1)有兩個不重合的公共點；(2)有且只有一個公共點；(3)沒有公共點．變式1、若直線l：y＝kx＋2與曲線C：y2＝x恰好有一個公共點，求實數(shù)k的取值集合．變式2、若直線y＝kx＋2與雙曲線x2－y2＝6的右支交于不同的兩點，則實數(shù)k的取值范圍是__________．方法總結(jié)：直線與圓錐曲線位置關系的判定方法(1)代數(shù)法：即聯(lián)立直線與圓錐曲線方程可得到一個關于x，y的方程組，消去y(或x)得一元方程，此方程根的個數(shù)即為交點個數(shù)，方程組的解即為交點坐標．聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程消元后，要注意討論二次項系數(shù)是否為零的情況．(2)幾何法：即畫出直線與圓錐曲線的圖象，根據(jù)圖象判斷公共點個數(shù)．考向二圓錐曲線的弦長問題例2、如圖，在平面直角坐標系xOy中，橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的離心率為eq\f(1,2)，過橢圓右焦點F作兩條互相垂直的弦AB與CD.當直線AB的斜率為0時，AB＝4.(1)求橢圓的方程；(2)若AB＋CD＝eq\f(48,7)，求直線AB的方程．變式1、已知拋物線C：y2＝3x的焦點為F，斜率為eq\f(3,2)的直線l與拋物線C的交點為A，B，與x軸的交點為P.(1)若AF＋BF＝4，求直線l的方程；(2)若eq\o(AP,\s\up6(→))＝3eq\o(PB,\s\up6(→))，求AB的長．方法總結(jié);(1)涉及弦長的問題中，應熟練地利用根與系數(shù)的關系、設而不求法計算弦長．(2)涉及垂直關系時也往往利用根與系數(shù)的關系、設而不求法簡化運算．(3)涉及過焦點的弦的問題，可考慮用圓錐曲線的定義求解．考向三求圓錐曲線的中點弦例3、(1)已知P(1，1)為橢圓eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,2)＝1內(nèi)的一點，經(jīng)過點P引一條弦交橢圓于A，B兩點，且此弦被點P平分，則此弦所在直線的方程為________；(2)已知拋物線x2＝ay與直線y＝2x－2相交于M，N兩點，若MN中點的橫坐標為3，則此拋物線的方程為________．變式1、以A(2，1)為中點的雙曲線C：2x2－y2＝2的弦所在直線的方程為________.方法總結(jié)：(1)處理有關中點弦及對應直線斜率關系的問題時，常用“點差法”，步驟如下：①設點：設出弦的兩端點坐標；②代入：代入圓錐曲線方程；③作差：兩式相減，再用平方差公式把上式展開；④整理：轉(zhuǎn)化為斜率與中點坐標的關系式，然后求解．(2)“點差法”的常見題型有：求中點弦方程、求(過定點、平行弦)弦中點軌跡、垂直平分線問題．由于“點差法”具有不等價性，所以在使用時要考慮判別式Δ是否為正數(shù)考向四圓錐曲線中的綜合性問題例4、如圖，在平面直角坐標系xOy中，焦點在x軸上的橢圓C：eq\f(x2,8)＋eq\f(y2,b2)＝1經(jīng)過點(b，2e)，其中e為橢圓C的離心率．過點T(2，0)作斜率為k(k＞0)的直線l交橢圓C于A，B兩點(點A在x軸的下方).(1)求橢圓C的標準方程；(2)若eq\o(AT,\s\up6(→))＝2eq\o(TB,\s\up6(→))，求直線l的斜率k.變式1、如圖，已知橢圓C：eq\f(x2,8)＋eq\f(y2,4)T(1，0)作斜率為k(k＞0)的直線l交橢圓C于A，B兩點(點A在x軸的下方).若eq\o(AT,\s\up6(→))＝2eq\o(TB,\s\up6(→))，求直線l的斜率k.1、（2022年江蘇省高三模擬試卷）已知拋物線在點處的切線與雙曲線的一條漸近線平行，則C的離心率為（）A. B.2 C. D.2、（2022年湖南省長沙市第一中學高三模擬試卷）（多選題）已知拋物線：的焦點為，為上一點，下列說法正確的是（）A.的準線方程為B.直線與相切C.若，則的最小值為D.若，則的周長的最小值為113、（2022年江蘇省泰州市高三模擬試卷）（多選題）已知雙曲線，過其右焦點F的直線l與雙曲線交于A，B兩個不同的點，則下列判斷正確的為（）A.的最小值為B.以F為焦點的拋物線的標準方程為C.滿足的直線有3條D.若A，B同在雙曲線的右支上，則直線l的斜率答案：BD4、(2022·南京9月學情【零模】)在平面直角坐標系xOy中，橢圓C：EQ\F(x\S(2),a\S(2))＋\F(y\S(2),b\S(2))＝1(a＞b＞0)的左，右頂點分