【解答 ａ Ｄ ａ ＝

ａ ＝ ａ

＝

１ １

＝

０１２１０１列）展開計(jì)算可多次使用。【例３】計(jì)算三階行列式【分析】觀察行列式特點(diǎn)【解答ａ＋ｂｂ＋ｃｃ＋

等于列和化簡(jiǎn)１ｂ＋ｃｃ＋Ｄ＝ｃ＋ａａ＋ｂｂ＋ｃｂ＋ｃｃ＋ａａ＋１ｂ＋

＝２（ａ＋ｂ＋ｃ＋

１ｃ＋ａａ＋ａｃｂ＝２（ａ＋ｂ＋

０ａｃｂ０ａｂｂ

＝２（ａ＋ｂ＋

ａｂｂ＝２（ａ＋ｂ＋ｃ）［（ａｃ）（ｂ （ａｂ）（ｂａ）］＝２（ａ３＋ｂ３＋ 【評(píng)注】對(duì)于含字母有規(guī)律的行列式不要直接用對(duì)角線計(jì)算到先化簡(jiǎn)后計(jì)算。１１１０１１０【例４】行列式 １０１１０１１【分析】行（列）和相同且主（副）對(duì)角線元素相同，因此統(tǒng)統(tǒng)加到第一行（列）處理。【解答】行列１１１０１１０１１０１１０１１

３３３３１１０＝１０１０１１

１１１ １１０＝ ＝１０１０１１ ＝３（

４×２（１）３＝【評(píng)注】行列*１* *１* ＝

＝（

ｎ（ｎ２ｋ１ｋ２…【例５】記行列為 Ａ．【分析】先求出行的表達(dá)式以按列處

ｘ２ ｘ１ ｘ２ ２ｘ２２ｘ１２ｘ２２ｘ３３ｘ３３ｘ２４ｘ５３ｘ５４ｘ４ｘ３５ｘ７４ｘ３Ｂ． Ｃ．列式ｆ（ｘ）以確定ｆ（ｘ）的次數(shù)。較好。

Ｄ．觀察此行列式特點(diǎn)列都有含【解答

行列式第一列乘以（１）加ｘ２ ｘ１ ｘ２ ｘ３２ｘ２２ｘ１２ｘ２２ｘ

其他各列ｘ ２ｘ ３２５３２５５３７３

３ｘ ｘ ３ｘ 為了某行或某列有更多的０，下面給第一行乘 １）加到第二行，ｆ（ｘ）＝５ｘ（

ｘ ３ｘ ３

０＝ｘ ｘ ２ ２３ｘ ３

ｘ ３ｘ 故ｆ（ｘ）有兩個(gè)根。選擇【評(píng)注】含有變量ｘ行列式是一個(gè)多項(xiàng)式便每行都有ｘ不一定是４次多式３０１１…１１２０…０【例６】計(jì)算ｎ行列１０３…０ 【分析】行列式為箭形【解答】行列

法化為三角形行列式０１ ０１

ｎ１ｎ１１ｎ１ｉ＝

＝

…

＝ｎ?。睿椋剑?/p>

【評(píng)注】有時(shí)為避免０１１ｎ０１１ｎ

數(shù)計(jì)算，＝２·３…

１００ｎ每行先提公因子１００ｎ０２３ｎ１１０…０１０２３ｎ１１０…０１０１…０１００…１ ｉ＝ ＝

０

ｎ１ｎ?。保椋剑? 【例７】

１００計(jì)算ｎ行列式１００

ａ２ ＝

ａｎ－ 【分析】分析行列式的特點(diǎn)然每行或列都有ｎ２個(gè)０，但按第一列展開后，４子式均為三角形行列式于計(jì)算１０【解１０【解答】Ｄｎ０……００＝１＋（１）ｎ＋１ａａ…１０００…ａｎ－００…１【評(píng)注】行列式的計(jì)算要記住一些常見類型及方法 【例８】計(jì)算ｎ階行列式Ｄｎ＝ 【分析】特點(diǎn)是行和與列和相等主對(duì)角線上元素相同主對(duì)角線以外的元素相同。【解答】每行（或列）均加到第一行（或列ａｂｂ…ｂ１１１…１ｂａｂ…ｂｂａｂ…ｂＤｎ＝ｂａ…ｂ＝［ａ＋（ｂｂａ…ｂｂｂｂ…ａｂｂｂ…ａ＝［ａ＋（ｎ１）

１０ａ １０ ａｂ

＝［ａ＋（ｎ１）ｂ］（ａｂ）ｎ－ ａ【評(píng)注】這是行列式最常見的類型之一 【例９】計(jì)算行列式

５形狀以按第展開計(jì)算?！窘獯? Ｄ４

＝ａ４＋

＝ａ４＋ ＝ａ＋ｘ（ａ＋ｘＤ）＝ａ＋ａｘ＋ １０…０ｘ１…０Ｄａ０ｘ０＝ａ＋１ｘ＋…＋【１０…０ｘ１…０Ｄａ０ｘ０＝ａ＋１ｘ＋…＋３３１

ｎ

ｘｎ－２＋ａｘｎ－ １ 【例１０】五階行列

１ １ １１ａ １１ａ【分析【解答

按行列式性

角線形，每行加到

用遞推法體題目一行后按第一

當(dāng)靈活應(yīng)用。展開。則行Ｄ５

１ １ １ １１ａ １１ａ

ａＤ４＋由此遞推公式Ｄ５＝ａＤ４＋１ ａ（ａＤ３＋１）＋１＝ａ２ ａ＋＝…＝１ａ＋ａ２ａ３＋ 【評(píng)注】也可直接按第一行展開遞推公式Ｄ５＝（１ａ）Ｄ４ａＤ此可６Ｄ５＝（１ａ）Ｄ４＋ａＤ３＝（１ａ）［（１ａ）Ｄ３＋ａＤ２］＋３２＝［（１ａ）２＋ａ］Ｄ＋ａ（１ａ）３２＝…＝１ａ＋ａ２ａ３＋ ２ａ ２ａ 【例１１】設(shè)＝

２ａ 是ｎ階矩陣明Ａ＝（ｎ） ａ２２ａ１ 【分析】這是一個(gè)三對(duì)角線形的ｎ矩陣算其行列式一般用遞推法。由于階數(shù)較高導(dǎo)過程有一定的技巧。 ｎ－ ｎ－【解答】令Ａ＝Ｄ，按第一行（或列）展開，可得遞推公式，Ｄ＝２ａＤ ａ２Ｄ 化為Ｄｎ ｎ－ ｎ－于是遞推 ｎ－ ｎ－ ｎ－ ｎ－ ｎ－ ＝ａ（ ）＝ａ２ ｎ－ ｎ－ ｎ－ ｎ－ ｎ－ ｎ－ｎ－ ｎ－從而Ｄ＝ ＋ａｎ＝ａ（ ＋ａｎ－１ ｎ－ｎ－ ｎ－１＝…＝ａｎ－１Ｄ＋（ｎ１）ａｎ＝ａｎ－１（２ａ）＋（ｎ１）ａｎ＝（ｎ＋１）１【評(píng)注】也可直接用數(shù)學(xué)歸納法證明化為上三角形計(jì)算題型含參數(shù)的行列式方【例１２】

＝λ【分析】３階行列式是一個(gè)關(guān)于λ的多項(xiàng)式ｆ（λｆ（λ＝的根【解答】觀察行列式的特點(diǎn)行都是加到第二行提公因

＝ ３ ３

＝（

３ １１λ ＝（

３ １１λ

＝（

４ ２ ２０λ

＝（ ２ ＝（ ３）（

２

＝（ ３）（ ６）（ λ為【評(píng)注】這里ｆ（λ是λ的三次多項(xiàng)式方程的根要對(duì)ｆ（λ進(jìn)行因式分解果在計(jì)算行列式時(shí)能先提出某行（或列）關(guān)于λ的公因子降低分解因式的難度。 【例１３】【分析】分【解答

λ＋ ２λ行列式特點(diǎn)第

＝ａ為常數(shù)，則λ列加到第一列第一列可提取公因子 λ＋ ２λ＋所以λ＝ １，【評(píng)注】將第一列

＝（ 到第三列也

０λ＋１ ２λ＋同樣可以先提

＝（ 公因子。

０λ＋ λ＋法不唯一【例１４】【分析】分【解答

１ 行列式特點(diǎn)第三

＝ａ為常數(shù)，則λ行乘（１）加到第二行第二行可提取公因子 １λ

ａ１ ＝（ ａ

＝（ ａλ

ａ１λ ＝（ ａ

ａ＋

＝（ ａ

ａ＋＝（ ａ１）

１ ａ＋

＝（ ａ１）２（ ａ＋８【評(píng)注】這是一個(gè)對(duì)稱矩陣的行列式行與對(duì)列的運(yùn)算結(jié)果相同。對(duì)含參數(shù)的行列式進(jìn)行因式分解時(shí)定要化簡(jiǎn)到底量避免復(fù)雜的計(jì)算及因式分解。題型求已知矩陣的行列１００１１００１……００，計(jì)算行列００…１００…０【例１５ 設(shè)Ａ為１０×１０階矩陣，Ａ＝ＡλＥ中１０階單位矩陣λ為常數(shù)【分析】由行列【解答】行列＝λ＝０ＡλＥ

Ａ

的構(gòu)造第一列展開計(jì)算 ＝λ１０ 【評(píng)注

這種類型的行列１ ３０…００…１ ３０…００…０００ａ…０＝ａ１ａ２…ａｎ＋００…【例１６ 設(shè)矩陣Ａ＝

，Ｅ為２階單位矩陣，Ｂ滿足ＢＡ＝Ｂ＋２Ｅ，則１２Ｂ【分析】將矩陣方程化簡(jiǎn)Ｂ（ＡＥ）＝邊取行列式即可【解答 ＢＡＥ＝４，ＡＥ＝２，所以Ｂ＝【評(píng)注 ２Ｅ＝２２不是９２１【例

設(shè)矩陣＝

２０，矩陣Ｂ滿足ＡＢＡ＝２ＢＡ＋Ｅ， Ｂ００【分析】首先將矩陣方程化簡(jiǎn)，其次遇到伴隨矩陣可考慮用公式ＡＡ＝Ａ＝ＡＥ?！窘獯稹吭诘仁剑粒拢粒蕉擞页司仃囍粒胶?jiǎn)得＝項(xiàng)（６Ｅ）＝端取行列式３Ａ６ＥＢ＝ＡＢ＝９【評(píng)注】化簡(jiǎn)到（３Ａ６Ｅ）Ｂ＝時(shí)，不要通過兩端求逆解Ｂ，對(duì)于矩陣乘積形式求行列式時(shí)公式ＡＢ＝ＡＢ要簡(jiǎn)便許多。３１【例

設(shè)矩陣＝

１０陣足

００【分析】因有伴隨矩陣可用公式ＡＡ＝ＡＡ＝ＡＥ化簡(jiǎn)，又Ｂ 求Ｂ。【解答＝端右乘矩陣知Ａ＝簡(jiǎn)得２ＡＢ＝２Ｂ，移項(xiàng)２（Ａ）＝，由于計(jì)算Ａ較麻煩以兩端再左乘到２（）＝兩端取行列式（２Ｅ＋ Ｂ＝３Ｅ，即（２Ｅ＋ Ｂ＝２７，得Ｂ＝９，從而 Ｂ２＝【評(píng)注】右乘矩陣Ａ化簡(jiǎn)式還不夠簡(jiǎn)潔需要再再左乘續(xù)化簡(jiǎn)題型求抽象矩陣的行列【例１９】設(shè)ｎ方陣１

Ａ＝ａ０而Ａ是隨矩陣

＝ Ａ． ａ

Ｃ．ａｎ－ Ｄ．【分析】由公式ＡＡ【解答】選

Ａ端取行列式得【評(píng)注】注

ｋＡ＝

Ａ?；蛴涀」?/p>

＝Ａｎ－【例２０】 設(shè)Ａ為３階矩陣，ＢＡ＝

Ａ＝若交換Ａ的第一行與第二行得矩陣Ｂ， 【分析】由公式

＝Ｂ

鍵

Ｂ么就要找間的關(guān)系【解答】由Ｂ＝Ｐ（１，２）Ａ，則Ｂ＝Ｐ（１，２）Ａ Ａ故ＢＡ

ＡＡ２

Ａ３＝【評(píng)注】利用初等矩陣建立矩陣間的等量關(guān)系【例２１】設(shè)為ｎ方陣，Ａ＝Ｂ＝２Ａ【分析】由于 ＝Ａｎ－１，Ｂ－ １，利用行列式的性質(zhì)計(jì)算３２２ｎ－【解答

２ＡＢ－

＝２ｎ

Ｂ－１３— 【評(píng)注】記住性

Ｂ－ ＝ Ｂ【例２２】 設(shè)Ａ，Ｂ均為３階矩陣，且Ａ＋Ｂ－１＝

Ａ＝

Ｂ＝

Ａ－１＋

＝２，【分析】由題目給出的已知條件找（）與（Ａ）之間的關(guān)系【解答】由于可逆矩陣（Ｂ）左乘乘，即Ａ（Ｂ）＝＝，故＝Ａ（）＝Ａ＝【評(píng)注】注意≠＋【例２３ 若４階矩陣Ａ相似于Ｂ，Ａ的特征值為１，１，１，１， Ｂ－ 列式?！?/p>

析】由相似矩陣的特征值相同及矩陣可以對(duì)角化＝Λ簡(jiǎn)答】由于似以特征值與同的特征值為又因４階矩陣有４個(gè)不同的特征值而可以相似對(duì)角化存在可逆矩陣２３Ｂ－１＝Ｐ－１ΛＰ，其中Λ＝ ５則

＝Ｐ－１ΛＰＰ－１

＝Ｐ－

Ｅ

＝

＝【評(píng)注】利用矩陣的對(duì)角化?？苫?jiǎn)表達(dá)【例２４】設(shè)α＝（１）Ｔ陣＝ααｎ正整數(shù)ＥＡｎ【分析】由于α為列向量而αＴα為實(shí)數(shù)αＴα＝ｎ＝α（αα）ｎαＴ＝（αα）ｎ入表達(dá)式中化簡(jiǎn)計(jì)算 【解答】＝ααＴ＝

αＴα＝而Ａｎ＝α（αα）ｎαＴ＝ｎ １ １則ＥＡｎ＝Ｅ２ｎ＝【評(píng)注】若α是ｎ列向

１２ｎ－ ２ｎ－ ２ｎ－ ０１２ｎ－ααｎ陣

＝１αＴα表示實(shí)數(shù)Ａｎ＝（αＴα）ｎ【例２５】已知實(shí)矩陣Ａ＝（ａｉｊ）足條件（１）ａｉｊ＝Ａｉｊ（ｉ，ｊ＝２，３），其中Ａｉｊａｉｊ代數(shù)余子式０計(jì)算行列式【分析】由伴隨矩陣的定義和已知條件Ａ＝Ｔ此題目有Ａ＝ＡＴ＝【解答】由伴隨矩陣的定Ａ＝ＡＡ

Ａ１３Ａ２３ＡＡ３３

＝ａａ

ａ１３ａ２３ａａ３３

＝而Ａ＝

＝Ａ＝Ａ２，所 Ａ（ １）＝０，故Ａ＝０或Ａ＝ ∵｜Ａ｜＝ ＋ａ２＋ａ２ 即＝

Ａ所以Ａ０，

Ａ＝【評(píng)注】推

Ａ＝

Ａ＝

Ａ不能確定此需要利用已知條件進(jìn)一步定Ａ里也可以

Ａ＝ａ

＋ａ

ａＡ＝ａ２ａ２ａ２０，從而確

Ａ＝１１

１２

１３ 題型求分塊矩陣的行列【例２６】設(shè)４階矩陣Ａ＝（αγ，γ，γ），Ｂ＝（β，γ，γ，γ），其中αβ，γ，γ，γ４均為４維列向量行列式Ａ＝Ｂ＝行列式＝【分析】運(yùn)用矩陣與行列式的性質(zhì)計(jì)算【解答】Ａ＝（αβγγγＡ＋

＝

（α＋β，γ２，γ３，γ４

＝

（α，γ２，γ３，γ４

＋（β，γ２，γ３，γ４）＝８（４＋１）＝【評(píng)注】分塊矩陣的加法是按子塊相加列式是按列（或行）提公因子【例２７】設(shè)αααββ２都是４維列向量４階行列式（αααβ）＝（α１，α２，β２，α３）＝ｎ，則４階行列式（α３，α２，α１，β１＋β２）等于 Ａ．ｍ＋ Ｂ．（ｍ＋ Ｃ．ｎ Ｄ．ｍ【分析】運(yùn)用矩陣與行列式的性質(zhì)計(jì)算【解答】因?yàn)椋é力力力拢宝拢剑é力力力拢é力力力?（αα，αβ）＋（ααβ，α）＝ｎｍ所以答案應(yīng)選Ｄ【評(píng)注】行列式中某列（或行）是兩個(gè)元素之和以分成兩個(gè)行列式之和【例２８】已知３階矩陣ααα３是３維線性無關(guān)的列向量Ａα１＝α１α，Ａα２＝α２αα３＝α３αＡ＝【分析】按分塊矩陣的計(jì)算已知條件用矩陣表示【解答】由已知Ａα１＝α１αα２＝α２αα３＝α３αＡ（α，α，α）＝（Ａα，Ａα，Ａα）＝（α１α，α２α，α３α）１０ ＝（α１，α２，α３）１１ ０１其中（α１，α２α３）三階可陣，上式兩端取行列式，有Ａ

１０１１０＝２０１１【評(píng)注】把向量運(yùn)算的表達(dá)式用矩陣的乘積表示行列式計(jì)算的有效方法ＯＡ【例２９ 設(shè)Ａ是ｍ階方陣，Ｂ是ｎ階方陣，且Ａ＝ａ，Ｂ＝ｂ，Ｃ＝ ，ＢＣＡ【分析】已知分塊矩陣的行列化為已知結(jié)論的形式即可

＝Ｏ

Ｂ分塊矩陣過兩行互【解答】將每一行與每一行做相鄰交換Ｏ Ｃ ＝（１）ｍ（１）ｍ…（１）Ｂ Ｏ

＝（１）ｍｎＡＢ＝（１）【評(píng)注】記住這個(gè)結(jié)果很有用題型有關(guān)代數(shù)余子式的計(jì)【例３０】行列式Ａ．

５ １０ １λ Ｂ．４２

中元素λ的代數(shù)余子式等于 Ｃ． Ｄ．【分析】按代數(shù)余子式的定義計(jì)算即【解答】元素λ的代數(shù)余子式１０Ａ＝（１）４＋所以選

７ ４

＝【評(píng)注】基本題目握代數(shù)余子式定 【例３１ 設(shè)Ｄ為

２

，則第四行各元素代數(shù)余子式之和的０，（ｉ≠ｊ【分析】用Ａｉｊａｉｊ代數(shù)余子式題目是求Ａ４１注０，（ｉ≠ｊ余子式與第ｉ行元素沒有關(guān)系定理知ａｉｊ１ａｉｊ２ａｉｎｊｎ【解答】由定理ａａａａ＝即２（）＝所以＝【評(píng)注】因?yàn)榈诙性叵嗤?/p>

（ａａａａ＝目的是將元素提出來現(xiàn)表達(dá)式Ａ４１選用其他行展開沒有所求的表達(dá)式【例３２】設(shè)Ｄ

２

第四行各元素余子式之和的值 【分析】本題行列式Ｄ同【例３１】Ｍｉｊ示元素ａｉｊ余子式，則題目是求Ｍ意Ａ＝（１）ｉｊＭ以Ｍ＝ 【解答】由于＝Ａ４１ ＝ １

（

１

＝

１

＝【評(píng)注】由于第ｉ行（或列）的代數(shù)余子式與第ｉ行（或列）的元素沒有關(guān)系，所以 若四階行列式

Ａ４１

Ｍ４１＋Ｍ４２＋Ｍ４３＋Ｍ４４ Ａ４１＋ Ａ４３＋Ａ４４

類似地可以推廣到ｎａｄ【例３３】設(shè)Ｄｃ

行列式

＝ｋ，Ａｉｊ示ａｉｊ代數(shù)余子式，ｋ為常數(shù)，則（ａａ １）Ａ１１＋（ｄ＋１）Ａ２１＋（ｃ＋１）Ａ３１＋（ａ＋１）Ａ４１＝ 【分析】題目是求第一列＝而所求表達(dá)

式的代數(shù)和

第二列元素相同（ａ＋１）Ａ１１＋（ｄ＋１）Ａ２１

（ｃ

１）

＋（ａ＋１）＝（ａＡ１１＋ｄＡ２１＋ｃＡ３１＋ａＡ４１）＋（

＋Ａ２１＋Ａ３１＋Ａ４１

＝Ｄ＋０＝【解答】由定理ａ１２Ａ１１＋ａ２２Ａ２１＋ａ３２Ａ３１＋ａ４２Ａ４１＝ｂ（Ａ１１＋Ａ２１＋Ａ３１＋Ａ４１）１ｂ １ ＝ ＝１ １ 即＝又Ｄ＝ａＡ１１ｄＡ２１ｃＡ３１ａＡ４１＝所以（ａ）Ａ１１＋（ｄ）Ａ２１（ｃ）Ａ３１（ａ）＝（ａＡ１１＋ｄＡ２１＋ｃＡ３１＋ａＡ４１）＋（Ａ１１＋Ａ２１＋Ａ３１＋Ａ４１）＝Ｄ＋０＝Ｄ＝【評(píng)注】將所求表達(dá)式展開復(fù)雜的形式化為簡(jiǎn)單的兩項(xiàng)容易看出所求的關(guān)鍵為Ｄ ２ 【例３４】設(shè)Ｄ ， １４ （１） ２Ａ２２＋３Ａ３２４Ａ４２（２）Ａ３１＋２Ａ３２＋４Ａ３４【分析】由于第ｉ列（行）元素的代數(shù)余子式與第ｉ列（行）元素?zé)o關(guān)以可以重新構(gòu)造行列式來計(jì)算表達(dá)式。【解答（１）示Ｄ中第２列元素的代數(shù)余子式，而代數(shù)余子式前的系數(shù)１、２、３、示第元素定理得Ａ１２＝（２）示Ｄ中第３行元素的代數(shù)余子式，而表達(dá)式Ａ３１的系數(shù)是某一行的系數(shù)此以構(gòu)造行列式Ｂ＝Ａ３１＋２Ａ３２＋４Ａ３４＝Ａ３１＋２Ａ３２＋０Ａ３３＋ ２３ ０３２１４ ２０

２２１４＝３ ２０

４＝４１２

４１２

４１第二章 題型矩陣的運(yùn)算題型矩陣的乘ｎ１ １ｎ【例１】設(shè)Ｐ＝ ，Λ＝ ，ＡＰ＝ＰΛ，求１ ０【分析】由矩陣乘法的結(jié)合律Ａｎ＝Λｎ【解答 Ｐ＝２０所以Ｐ可逆，ＡＰ＝ＰΛＡ＝ＰΛＰ－１故Ａｎ＝（ＰΛ）（ＰΛ）…（—１

＝ＰΛｎＰ－ ０ ２ ２ｎ１

ｎ－Ｐ－１＝ ，

＝ 算得

＝ＰΛ

＝ ２ １ ０２ｎ ２２ｎ＋１２ｎ＋１【評(píng)注】求Ａｎ，通常將角化表示為＝Λ而Ａｎ＝Λｎ【例２】已知α＝【例２】已知α＝１２，β＝１２０＝αβＴＡ４【分析】 對(duì)于列向量α，β，有αＴβ或βＴα是一個(gè)常數(shù)，αβＴ或βαＴ為一個(gè)矩陣，Ａ４＝αβＴαβＴαβＴαβＴ＝α（βＴα）３βＴ【解答】因?yàn)椋粒矗溅力拢驭力拢驭力拢驭力拢裕溅粒é拢驭粒│拢裕剑é拢驭粒│力拢驭娄粒剑保? ８４ 所以Ａ４＝αβＴ＝＝２１０１６８

８４ 【評(píng)注】?jī)蓚€(gè)同維數(shù)的列向量αββＴα與αＴβ都是常數(shù)，利用這個(gè)特點(diǎn)可簡(jiǎn)化計(jì)算?！纠场恳阎粒剑保玻?，β＝１ 【分析 對(duì)于行向量α，β，有αβＴ或βαＴ為一個(gè)常數(shù)，αＴβ或βＴα是一個(gè)矩陣Ａｎ＝αＴβαＴβ…αＴβ＝αＴ（βαＴ）ｎ－１【解答】因?yàn)椋粒睿溅粒驭娄粒驭隆粒驭拢溅粒裕é娄粒裕瞀拢剑é娄粒裕瞀力娄娄粒裕剑保保? ２３

２ ｎ－１ ｎ－１

１ ｎ－１２所以Ａ＝ αβ＝３ ２３＝ ３ １ 【評(píng)注】如果先求出Ａ＝αβ求Ａｎ，計(jì)算將十分困難。對(duì)于計(jì)算Ａｎ這類題目一定先化簡(jiǎn)計(jì)算?！纠础恳阎?/p>

Ａｎ 【分析】如果直接計(jì)算Ａ，Ａ…顯然計(jì)算量很大。此矩陣的特點(diǎn)是行成比例，即（Ａ）＝此可以將Ａ寫成兩個(gè)向量之積為【例２】的類 １ 【解答】Ａ＝ ８＝２２１

記α＝１ ３，β＝２１４，則Ａ＝ 而βαＴ＝Ａｎ＝αＴβαＴβ…αＴβ＝αＴ（βαＴ）ｎ－１β＝（８）ｎ－１【評(píng)注】若ｒ（Ａ）＝以寫成兩個(gè)向量的乘積。以三階矩陣為ａ１ ａ１ ａ１ｂ３ ａ１ Ａ＝ａ２ｂ１ａ２ｂ２ａ２ｂ３＝ａ２ｂ１ｂ２ｂ３ ａ ａ ａｂ ａ３ ３ ３３ ３【例５】設(shè)ｎ向量α＝，２【分析】將表達(dá)式化簡(jiǎn)計(jì)【解答】由于ααＴ＝２

１陣＝αα＝ααＡＢ所以ＡＢ＝（ＥαＴα）（Ｅ＋２αＴα）＝Ｅ＋ ２αＴ（ααＴ）α＝【評(píng)注】矩陣乘法不滿足交換律ＡＢ＝（ＥαＴα）（Ｅ＋２αＴα）≠Ｅ２＋αＴαＥ２（αＴα）【例６】設(shè)Ａ，Ｂ均為ｎ階方陣，且ＡＢ＝０，則 Ａ．Ａ＝０或Ｂ＝ Ｂ．Ａ＝Ｅ，Ｂ＝Ｃ．ＢＡ＝ Ｄ．Ａ＝Ｂ＝【分析】矩陣乘法不滿足消去律ＡＢ＝得不到Ａ＝或Ｂ＝Ａ，Ｂ都不對(duì)，又因?yàn)槌朔ú粷M足交換律以不對(duì)ＡＢ＝ＡＢ＝【解答】選擇【評(píng)注】＝中其中一個(gè)為可逆矩陣另一個(gè)矩陣必為零陣【例７】設(shè)Ａ，Ｂ均為ｎ階方陣滿足Ａ２＝２＝及（Ａ）２＝明ＡＢ＝【分析】從已知條件找出含有ＡＢ的表達(dá)式，（Ａ）２＝２２＝【解答】由于（Ａ）２＝（Ａ）（ＡＢ）＝２將已知條件Ａ２＝Ａ，Ｂ２＝Ｂ，（Ａ＋Ｂ）２＝Ａ＋Ｂ代入上式，有ＡＢ＋ＢＡ＝０即ＡＢ＝ ＢＡ，等式兩端左乘Ａ，得ＡＢ＝ＡＡＢ，ＡＢ＝ＡＢＡ＝（ＢＡ）＝（ＢＡ）Ａ＝（ＡＢ）Ａ＝（ＢＡ）＝ Ａ（ＡＢ）＝ 【評(píng)注】（Ａ）≠Ａ２題型矩陣的求【例８】設(shè)ｎ階方陣Ａ，Ｂ，Ｃ滿足ＡＢＣ＝Ｅ，則必有 Ａ．ＡＣＢ＝ Ｂ．ＣＢＡ＝ Ｃ．ＢＡＣ＝ Ｄ．ＢＣＡ＝【分析】選項(xiàng)是將已知等式左端的矩陣改變了順序，矩陣的乘法一般不滿足交換律在一些特殊情況下可交換＝＝【解答】因?yàn)椋揭裕粒拢茫剑粒拢茫剑保肮士赡?。Ａ（ＢＣ）＝（ＢＣ）＝ＢＣＡ＝選擇Ｄ【評(píng)注】ＡＢＣ＝還可推出ＣＡＢ＝＝＝【例９】設(shè)Ａ是ｎ階非零矩陣，Ｅ為ｎ階單位矩陣，若Ａ３＝０，則（ Ａ．ＥＡ不可逆，Ｅ＋Ａ不可 Ｂ．ＥＡ不可逆，Ｅ＋Ａ可Ｃ．ＥＡ可逆，Ｅ＋Ａ可 Ｄ．ＥＡ可逆，Ｅ＋Ａ不可【分析】Ｅ＝Ａ３＝（ＥＡ）（Ｅ），Ｅ＝３＝（ＥＡ）（ＥＡ【解答】選擇 ｎ－ ｎ－ 【評(píng)注】ｆ（ｘ）＝ａｘｎ＋…＋ ｘ＋ａｆ（Ａ）＝ａＡｎ＋ａＡｎ ｎ－ ｎ－ 【例

設(shè)矩

Ａ＝０Ｅ＝０矩陣（００

–１【分析

１由于Ａ矩陣可以寫成對(duì)角分塊矩陣，所以（Ａ２Ｅ）＝ ０＝０【解答

Ａ１０Ａ

１

００１ ０１– ＝ （Ａ２Ｅ）＝１２０＝

，Ａ１＝

１１ ００

０

２ １

２２０ —

０１ ＝ １－１ ２ ０【評(píng)注】也可按公式法或初等變換法直接求逆矩陣【例１１】設(shè)ｎ矩陣足Ａ２＝（）【分析】設(shè)ｆ（ｘ）＝ｘ２３ｘｆ（Ａ）＝２２Ｅ，由于ｆ（ｘ）＝ｘ２３ｘ２＝（ｘ１）（ｘ２）所以ｆ（Ａ）＝Ａ２＋３Ａ２Ｅ＝（Ａ＋Ｅ）（Ａ＋２Ｅ） 故Ａ２＋３Ａ２Ｅ＝０即（Ａ＋Ｅ）（Ａ）＝即（Ａ）［１（Ａ）］＝【解答】（ＡＥ）＝１（Ａ４【評(píng)注】用多項(xiàng)式的帶余除法ｆ（ｘ）＝（ｘａ）ｑ（ｘ）ｒ?qū)で螅ǎ幔纾ǎ降谋磉_(dá)式而可得（ＡａＥ）ｇ（Ａ）＝（ＡａＥ）＝ｇ（Ａ）【例１２】設(shè)ｎ矩陣足Ａ２＝（ＡＥ）【分析】 由ｆ（ｘ）＝ｘ２＋ｘ４＝（ｘ１）（ｘ＋２） ｆ（Ａ）＝Ａ２＋Ａ４Ｅ＝（ＡＥ）（Ａ＋２Ｅ） ２【解答】（ＡＥ）＝１（Ａ２【評(píng)注】本題也可進(jìn)行因式分解Ａ２＋Ａ４Ｅ＝０（Ａ２ 即（ＡＥ）（Ａ＋２Ｅ）＝２Ｅ【例１３】設(shè)＝

四階單位矩陣Ｂ＝（）－１（Ａ） ６則（ＥＢ）【分析】通過Ｂ＝（Ｅ）（ＥＡ）化簡(jiǎn)出（Ｅ）的表達(dá)【解答】已知等式兩端左乘Ｅ（Ｅ）Ｂ＝Ａ，乘開并整理＝Ａ端同加＝Ａ＝Ａ（）項(xiàng) –１ （Ｅ＋Ａ）（Ｂ＋Ｅ）＝２Ｅ，所以（Ｅ＋ ＝（Ｅ＋Ａ）＝ ３【評(píng)注】不要先計(jì)算（Ｅ）而求樣運(yùn)算量【例１４】已知為ｎ方陣Ｅ是可逆矩陣明Ｅ逆【分析】證明Ｅ逆要說明ＥＢＡ０，從Ｅ發(fā)分離出Ｅ【解答】因?yàn)椋牛拢粒剑ǎ粒拢粒剑牛粒ǎ粒拢粒剑ǎ牛粒拢了裕牛拢粒剑牛粒拢粒剑牛粒拢埃剩牛拢量赡妗驹u(píng)注】代數(shù)中將間建立起來聯(lián)系用＝Ａ（ＢＡ）【例１５】證明為ｎ可逆矩陣（ＡＢ）＝【分析】考慮伴隨矩陣與逆矩陣之間的關(guān)系Ａ＝Ａ【解答】（ＡＢ）＝ＡＢ（ＡＢ）＝ＡＢ＝（Ｂ）（Ａ）＝【評(píng)注】如果是可逆矩陣等式（ＡＢ）＝Ａ不一定成立【例１６】證明ｎ可逆矩陣（）【分析】考慮伴隨矩陣與逆矩陣之間的關(guān)Ａ＝ＡＡ－１，Ａ＝Ａｎ－１，（Ａ）－１＝（Ａ－１）＝Ａ【解答】由于ｎ可逆矩陣

Ａ０，而 ＝Ａｎ－１０所以Ａ也ｎ階可逆矩陣。（）

Ａ（Ａ）－１＝Ａｎ－１Ａ

＝Ａｎ－２【評(píng)注 與伴隨矩陣相關(guān)的幾個(gè)等量關(guān)系：ＡＡ＝ＡＡ＝ＡＥ，（ ＝ＢＡ ＝Ａｎ－１，Ａ＝Ａ

—１，（Ａ

—１＝（

—１

中均為可逆矩陣Ａ【例１７】設(shè)ｎ方陣足＝

２（１）證明ＡＥ為可逆矩陣；（２）證明ＡＢ＝ＢＡ；（３）已知Ｂ＝ ，求 【分析】可按定義證明抽象矩陣Ａ逆果＝＝可證＝等量關(guān)系解出【解答】（１）由Ａ＝項(xiàng)Ａ＝（ＡＥ）端同減Ａ＝（ＡＥ）ＢＥ（ＡＥ）（ＢＥ）＝Ａ可逆矩（２）由（１）也有（ＢＥ）（ＡＥ）＝即ＢＡ＝又ＡＢ＝所以ＡＢ＝ＢＡ ０（３）由于（ＡＥ）（ＢＥ）＝ＡＥ＝（ ０

＝＝

１１－ ３３ ＝ １１３３

４１３３＝１８

所以Ａ＝ ＋Ｅ＝ １ １ ０

１ １１

６３【評(píng)注】抽象矩陣可逆常用定義或其行列式不等于０的方法證。對(duì)于一題多問的題目面的解答常要用前面的結(jié)果?！纠保浮吭O(shè)＝ξξξ是ｎ非零列向量，ξＴ是ξ的轉(zhuǎn)置，（１）Ａ２＝ＡξＴξ＝（２）當(dāng)ξＴξ＝，不可逆矩陣【分析】（１）ξξＴ是ｎ矩陣ξξ是數(shù)用矩陣乘法的結(jié)合律可簡(jiǎn)化計(jì)算。（２）由于要證明是可逆矩陣可考慮反證法?！窘獯稹浚ǎ保┫茸C必要性Ａ２＝ξＴξ＝即（ξＴξ）ξξ＝于ξ是ｎ非零列向量再證充分性ξＴξ＝＝由已知條件Ａ２＝（ＥξξＴ）（ξξＴ）＝２ξξＴξ（ξＴξ）ξＴ，因?yàn)椋驭危饺肷鲜降茫粒玻溅桅危裕剑粒玻剑ǎ玻┊?dāng)ξＴξ＝（１）＝端取行列式Ａ２＝ＡＡ＝Ａ＝若Ａ＝逆式Ａ２＝端同右乘得＝又因?yàn)椋溅桅危匀耄溅桅危脚cξξ是非零矩陣矛盾。故可逆【評(píng)注】設(shè)ξ是ｎ非零列向量ξξＴ是非零矩題型分塊矩陣的運(yùn)５２ ２１ 【例１９】設(shè)四階矩陣＝

００ ００ １Ａ－ １【分析】由分塊對(duì)角陣的求逆運(yùn)算，由Ａ－１＝ 直接計(jì)算 Ａ－１ ２５２ ０

１ ２１

– 【解答】設(shè)Ａ＝ ３００ ３

Ａ，則Ａ１＝ ５

１０１０１１ Ａ－

６ –

１ Ａ＝

–１＝３ Ａ２ １【評(píng)注】掌握分塊對(duì)角陣運(yùn)算的特殊性３０【例

設(shè)矩陣＝

４０

三階單位矩陣（Ａ

—１００【分析】由于Ａ與Ｅ都可看成分塊對(duì)角陣，所以Ａ２Ｅ也是分塊對(duì)角陣，直接計(jì)算。＝３ ，１＝３ ，１２【解答

４０＝ 中

＝設(shè)Ａ＝ ００１０ １００－ ０ － １ ２則Ａ２Ｅ＝１２０，（Ａ ＝１２ ＝ １１２ ００ ００ ０【評(píng)注】由于Ａ較簡(jiǎn)單題目也可用初等變換的方法求（Ａ２Ｅ）【例２１】設(shè)為矩陣分別為的伴隨矩陣Ａ＝Ｂ０分塊矩陣

的伴隨矩陣為（ ０ ３Ｂ ２ＢＡ． ０

Ｂ． ０ ３Ａ ２ＡＣ．

００

Ｄ． ０【分析】令＝

Ｃ＝

ＣＣ－１而Ｃ＝（１）ＡＢ＝

Ｂ－１Ａ－ ０ Ｂ－１ ＡＢＢ－１所Ｃ＝Ｃ０＝ＢＡＣ－１＝（１）２×２ＡＢ 所Ｃ＝Ｃ０＝ＢＡＡ－ ０ ＡＢＡ－ ＡＢ ＡＢ ２Ｂ【解答】Ｃ

Ｃ＝ ＝ 選擇Ｂ ０ ００Ａ－ Ｂ－１【評(píng)注】這里主要考核了

＝

及伴隨矩陣與其行列式矩Ｂ０ ０的關(guān)系Ｃ＝Ｃ有分塊矩陣行列Ｂ

０＝（１）ｍｎＡＢ等基本公式０１ 【例２２】已知Ａ

００１００

０１么行列式Ａ的所有元素的代數(shù)余子式之和【分析】行列

１００ Ａ的所有元素的代數(shù)余子式Ａ（

ｊ＝）都在伴隨矩陣中以先按分塊矩陣求出Ａ０Ａ１

【解答】設(shè)Ａ＝ ，其中Ａ１＝ ，Ａ２＝４， ０

１Ａ－１

２

－，Ａ＝

３

Ａ–１

０００１０００— ３×１ＡＢ

１ Ａ＝Ａ

＝（

－

＝ ０ ０２０ ００３４

１（１＋２＋３＋４） ｉ，ｊ＝ 【評(píng)注】計(jì)算每一個(gè)元素的代數(shù)余子式Ａｉｊ（ｉ，ｊ＝４）再做和也是一種方法，但沒有此方法簡(jiǎn)便?！纠玻场吭O(shè)矩陣Ａ為三階可逆矩陣，將Ａ按列分塊為Ａ＝（），證明矩陣＝（Ａ３）可【分析】運(yùn)用分塊矩陣的運(yùn)算和已知條件斷Ｂ【解答】因?yàn)榭赡婢仃囈裕粒剑粒常岸拢剑粒保剑玻ǎ粒保剑玻粒保粒玻粒?，Ａ２＋Ａ３，Ａ３＋Ａ１＝２Ａ１＋Ａ２＋Ａ３，Ａ１，Ａ２＝２Ａ３，Ａ１? ＝（１）２２Ａ，Ａ，Ａ＝２Ａ０ 從而Ｂ＝（Ａ１Ａ２Ａ３）可【評(píng)注】考查抽象分塊矩陣的運(yùn)算和可逆矩陣的判定題型解矩陣方【例２４ 設(shè)三階矩陣Ａ，Ｂ滿足Ａ－１ＢＡ＝６Ａ＋ＢＡ，且Ａ＝＝

１１，則 １７【分析】等式右端均有右乘兩端簡(jiǎn)后用矩陣的運(yùn)算求解【解答 由于Ａ０所以Ａ可逆，且Ａ－１＝

，在等式兩端右乘 － （Ａ－ Ｅ）Ｂ＝６Ｅ，移項(xiàng)，Ｂ＝６（Ａ－ Ｅ）－１＝６

＝ λ－ ０ 【評(píng)注】對(duì)角陣Λ＝ ，則Λ－

＝

，λ…λ

–１ ｎ λｎ【例２５】設(shè)ＡＢＣ＝則２ＢＣＡ【分析】由可逆矩陣的定義及矩陣乘法的結(jié)合律得＝＝【解答】由于ＡＢＣ＝以（ＢＣ）Ａ＝＝（ＡＢ）＝＝故＝＝【評(píng)注】若Ａｓ＝Ａｓ＝Ａｓ＝＝ｓＡｓ＝ ０ ２１３ ０ ０２１【例２６ 設(shè)四階矩陣Ｂ＝ ，Ｃ＝ ，且Ａ滿足關(guān)０１０２００１００式（Ｅ）ＴＣＴ＝上述關(guān)系化簡(jiǎn)并求【分析】利用矩陣轉(zhuǎn)置的性質(zhì)化簡(jiǎn)【解答】由矩陣轉(zhuǎn)置的性質(zhì)Ａ（ＥＣ－１Ｂ）ＴＣＴ＝Ａ［Ｃ（ＥＣ－１Ｂ）］Ｔ＝Ａ（ＣＢ）所以Ａ（ＣＢ）Ｔ＝而Ａ＝［（ＣＢ）］１２３４ １００ ０１２ ２１０ （ＣＢ）Ｔ＝ ＝ ，［（ＣＢ）Ｔ］－１＝ ００１ ３２１ ０００故Ａ＝［（ＣＢ）Ｔ］－１＝

４３２ ２

２【評(píng)注】求矩陣［（ＣＢ）］可用初等變換的方法也可按下三角形分塊矩陣去求逆。３０ 【例２７】設(shè)矩陣足關(guān)系式＝中＝１１０矩陣 ０１【分析】依據(jù)等量關(guān)系式先化簡(jiǎn)計(jì)算 【解答】由ＡＢ＝Ａ＋２Ｂ，移項(xiàng)整理（Ａ２Ｅ）Ｂ＝Ａ，而（Ａ２Ｅ）＝ １０可逆 １－ – 且（Ａ ＝ １ ＝ １－１Ａ＝

１３０ 所以＝（Ａ

１１１０＝ １后１計(jì)。１１ ２２３

２【評(píng)注】常規(guī)題目化 【例２８】設(shè)矩陣＝

陣足Ａ＝矩陣【分析】等式中有伴隨矩陣過化簡(jiǎn)找出間盡量簡(jiǎn)單的關(guān)系ＡＡ入化簡(jiǎn)【解答】由于Ａ＝Ａ入關(guān)系式Ａ＝端左乘得Ａ＝Ａ＝以（４Ｅ２Ａ）＝而＝（４Ｅ２Ａ）－１即＝（４Ｅ２Ａ）＝（２ＥＡ）

２４２４１１１０

０１１【評(píng)注 由于Ａ不易計(jì)算，想到用Ａ【例２９】設(shè)矩陣伴隨矩陣Ａ＝陣

ＡＡ－１代入化簡(jiǎn)。 ００ ０，且＝求 １３０【分析】已知不知此從等量關(guān)系中消去用ＡＡ＝＝ＡＥ進(jìn)一步化簡(jiǎn)Ａ＝Ａｎ得Ａ＝【解答】等式＝端右乘理可得＝后左乘Ａ，得到Ａ＝Ａ于Ａ＝Ａｎ以Ａ３＝Ａ＝Ａ＝從而可得（２Ｅ）Ｂ＝１０００１００００１００

１０ ０

６０ ０ —

１ ０

０６ ０Ｂ＝６（２ＥＡ

＝６

＝６１０

＝ １０ ０ ６０ ０ １ ３ ０３ ６【評(píng)注】本題目是已知Ａ而非此化簡(jiǎn)時(shí)盡量留下Ａ去除【例３０】已知Ａ，Ｂ為３階矩陣，矩陣Ｘ滿足ＡＸＡＢＸＢ＝ＢＸＡＡＸＢ＋Ｅ，其中Ｅ為３階單位矩陣，則Ｘ＝（ Ａ．（ Ｂ２）－ Ｂ．（ＡＢ）－１（Ａ＋Ｂ）－Ｃ．（Ａ）－１（ＡＢ） 能確【分析】由已知條件ＡＸＡ＝項(xiàng)整理簡(jiǎn)ＡＸ（Ａ ＢＸ（Ａ）＝即（ＡＢ）Ｘ（Ａ）＝故Ｘ＝（ＡＢ）－１（）【解答】選擇【評(píng)注】等式也可整理為（ＡＢ）ＸＡ（ＡＢ）ＸＢ＝進(jìn)而得到（ＡＢ）Ｘ（Ａ）＝題型矩陣的初等變ａ１１ａ１２ａ１３ ａ２３ ０１ 【例３１】設(shè)Ａ＝ ａ２３，Ｂ＝ ，Ｐ１＝１００

ａ＋ ａ＋ ａ＋ａ ００１０

３３ １３Ｐ２＝０１０，則必有 １０Ａ．ＡＰ１Ｐ２＝ Ｂ．ＡＰ２Ｐ１＝ Ｃ．Ｐ１Ｐ２Ａ＝ Ｄ．Ｐ２Ｐ１Ａ＝【分析】觀察矩陣Ａ，Ｂ，有Ｂ＝Ｅ（１，２）Ｅ（３１（１））Ａ＝【解答】選擇【評(píng)注】別為初等矩陣，Ｂ也可以表示為Ｂ＝Ｅ（３２（１））Ｅ（）Ａ，但選項(xiàng)中沒有初等矩陣Ｅ（３２（１））此解題時(shí)需換用Ｂ＝Ｅ（２）Ｅ（３１（１））Ａ表示?！纠常病吭O(shè)Ａ是３階方陣，將Ａ的第一列與第二列交換得Ｂ，再把Ｂ的第二列加到第三列得Ｃ，則滿足ＡＱ＝Ｃ的可逆矩陣Ｑ為（ ０１ ０１ ０１ ０１ Ａ．０Ｂ．０Ｃ．０Ｄ．０００１０【分析】由初等變換與初等矩陣之間的關(guān)系（左行右列），則Ｂ＝（），Ｃ＝（２３（１）），從而Ｃ＝ＢＥ（２３（１））＝ＡＥ（１，２）Ｅ（２３（１）），即Ｑ＝Ｅ（１，２）Ｅ（２３（１）０１０１０ ０１ 【解答】＝（）Ｅ（２３（１））＝１００１１＝１００擇 ００１００ ００【評(píng)注】熟悉三種初等矩陣的表示，Ｅ（２）Ｅ（２３（１））是將Ｅ（２３（１））第一行與第二行交換必要做矩陣的乘法?！纠常场吭O(shè)Ａ是３階方陣Ａ的第二行加到第一行得Ｂ，再將Ｂ的第一列的１１ １）倍加到第二列得Ｃ，記Ｐ＝０１０，則 ００Ａ．Ｃ＝Ｐ－１ Ｂ．Ｃ＝ＰＡＰ－ Ｃ．Ｃ＝ Ｄ．Ｃ＝【分析】由Ｂ＝Ｅ（１２（１））Ａ，Ｃ＝ＢＥ（１２（１）），得Ｃ＝ＢＥ（１２（１））＝Ｅ（１２（１））ＡＥ（１２（１） １１ － －其中Ｅ（１２（１））＝０１０＝Ｐ，而 ＝Ｅ（１２（１））＝Ｅ（ １）） ００所以＝【解答】選擇【評(píng)注 初等矩陣的逆仍為初等矩陣，且Ｅ－１（ｉ，ｊ）＝Ｅ（ｉ，ｊ），Ｅ－１（ｉ（ｋ））＝Ｅ（（１）），Ｅ－１（ｉｊ（ｋ））＝Ｅ（ｉｊ（ 【例３４】設(shè)Ａ為ｎ階可逆矩陣，交換Ａ的第一行與第二行得矩陣Ｂ，Ａ，Ｂ分別為Ａ，Ｂ的伴隨矩陣，則（ Ａ．交換Ａ的第一列與第二列，得ＢＢ．交換Ａ的第一行與第二行，得ＢＣ．交換Ａ的第一列與第二列，得ＢＤ．交換Ａ的第一行與第二行， 【分析】由于Ｂ＝（）Ａ，所以Ｂ＝Ｅ（），而（２）＝Ｅ（２）（２）＝Ｅ（２），故Ｂ＝Ｅ（２）＝Ｅ（１，【解答】選擇【評(píng)注】當(dāng)逆公式（ＡＢ）＝Ａ初等矩陣按Ａ＝Ａ可得如結(jié)Ｅ（ｉ，ｊ） Ｅ（ｉ，ｊ），Ｅ（ｉ（ｋ））＝ｋＥ（ｉ（１）），Ｅ（ｉｊ（ｋ））＝Ｅ（ ｋ）ｋ【例３５】設(shè)ｎ可逆方陣第ｉ與第ｊ對(duì)換后得到矩陣（１）證明Ｂ可逆；（２）求【分析】若Ｂ０，則可證明【解答】（１）由于Ｂ＝Ｅ（ｉ，ｊ）Ａ，而Ａ０所以Ｂ＝Ｅ（ｉ，ｊ）Ａ＝ Ａ０故Ｂ可逆（２）由于Ｂ＝Ｅ（ｉ，ｊ）Ａ，故Ｂ－１＝（ｉ，ｊ）＝（ｉ，ｊ），所以＝（ｉ，ｊ）＝（ｉ，ｊ）【評(píng)注】初等矩陣的行列

Ｅ（ｉ，

＝

Ｅ（ｉ（ｋ）

＝

Ｅ（ｉｊ（ｋ））＝【例３６】設(shè)矩陣可逆矩陣

－１ＡＰ

１

，Ｐ＝（α，α，α）Ｑ＝（α＋α，α，α），則Ｑ－１ＡＱ＝

２１１２

【分析】首先建立聯(lián)系于第二列加到第一列后所得【解答】由于Ｑ＝ＰＥ（２１（１）），所以Ｑ－１＝Ｅ－１（２１（１））Ｐ－１＝Ｅ（ １））Ｐ－那么

—１ＡＱ＝Ｅ（ １））

—１ＡＰＥ（２１（１））＝

００１１０

１０１１

＝

選擇

０１ ２００【評(píng)注】建立Ｐ與Ｑ的關(guān)系Ｑ＝（２１（１））是解題的關(guān)鍵ａ１１ａ１２ａ１３ａ１４ ａ１４ａ１３ａ１２ａ１１ ０００ ａ２１ａ２２ａ２３ａ２４ ａ２４ａ２３ａ２２ａ２１ ０１０【例３７】設(shè)Ａ＝ ，Ｂ＝ ，Ｐ１＝ ａ ａ ００１ ３４

３１ １００ ００１

ａ４４

ａ４１ １００Ｐ＝ ，其中Ａ可逆，則Ｂ－１等于 １０００Ａ．Ａ－１Ｐ

Ｂ．ＰＡ－１

Ｃ．ＰＰＡ－ Ｄ．ＰＡ－１１ １ 【分析】觀察矩陣Ａ，Ｂ，矩陣Ｂ是Ａ經(jīng)過第一列與第四列對(duì)換，經(jīng)過第二列與第三列對(duì)換得到，而Ｐ１是１，４兩列對(duì)換的初等矩陣，Ｐ２是２，３兩列對(duì)換的初等矩陣，所以有＝從而＝因?yàn)椋校剑剑剑? １【解答】選擇１ ２【評(píng)注】可以表示為＝Ｐ而＝Ｐ題目沒有該１ ２ 【例３８】設(shè)Ａ＝ ２，Ｂ＝ １，問Ａ與Ｂ是否等價(jià)？若等價(jià)寫出關(guān)系

１ ２

０【分析】若價(jià)過初等變換可化為每個(gè)初等變換對(duì)應(yīng)相應(yīng)的初等矩陣可以建立關(guān)系式 ｒ１ｒ２ ｒ２２ｒ１ 【解答】Ａ＝

→

→ １ １ ２ １ ２ ２ ２ ｒ３＋ｒ１

５ｒ３

３

＝故否等價(jià)過４次初等變換化為４次初等變換對(duì)應(yīng)的初等矩陣依次記０１ ０ １０ １００

０１０００００Ｐ１＝１００，Ｐ２＝ ２１０，Ｐ３＝００００１０ ５則＝【評(píng)注】每個(gè)初等變換對(duì)應(yīng)一個(gè)初等矩陣用初等矩陣可表示等價(jià)矩陣之間的等量關(guān)系?！纠常埂吭O(shè)Ａ是ｍ×ｎ矩陣，Ｂ是ｎ×ｍ矩陣，則（）Ａ．當(dāng)ｍ＞ｎ時(shí)，必有行列式ＡＢ≠０Ｂ．當(dāng)ｍ＞ｎ時(shí)，必有行列式ＡＢ＝０Ｃ．當(dāng)ｍ＜ｎ時(shí)，必有行列式ＡＢ≠０【分析】ＡＢ是ｍ階方陣，ｒ（ＡＢ）≤ｎ（ｒ（Ａ），ｒ（Ｂ））若ｍｎｒ（ＡＢ）≤ｎｍ

ＡＢ＝若ｍｎ，ｒ（ＡＢ）≤ｍ，當(dāng)?shù)忍?hào)成立時(shí)判斷【解答】選擇

ＡＢ０，當(dāng)?shù)忍?hào)不成立

ＡＢ＝而不【評(píng)注】對(duì)于ｍ方陣ｒ（Ｃ）＝ｍＣａ１ ａ１ ａ１ｂｎ ａ２ｂ１ａ２ｂ２ ａ２ｂｎ【例４０】設(shè)＝

，其中ａｉ０ｂｉ０ｉ＝…，ｎ），則矩ａ ａ ａｂ秩ｒ（Ａ）

ｎ ｎ

ｎｎ【分析】根據(jù)矩陣Ａ的構(gòu)造，用初等變換或?qū)⒕仃嚪纸鉃閮蓚€(gè)向量的乘積都可求出。ａ１ ａ１ ａ１ｂｎ ｂｎ ａ２ｂ１ａ２ｂ２ ａ２ｂｎ ｒ ０ ０【解答】Ａ＝

，ｂｉ０（ｉ＝１，２，…，ａ ａ ａ

０ ０所以ｒ（Ａ）＝

ｎ ｎ

ｎｎ【評(píng)注】也可將矩陣解為兩個(gè)向量的乘積ａ１ ａ１ ａ１ｂｎ ａ１ ａ２ｂ１ａ２ｂ２ ａ２ｂｎ ａ２Ａ＝ ＝ ｂ１ｂ２ ｂｎ ａ１ ａ２

ａｎ而 ａｎ

ｂｎ的秩均為ｒ（Ａ）１，又因?yàn)榱闼裕颍ǎ粒?，從而ｒ（Ａ）＝任意秩為１的方陣都可以分解為兩個(gè)向量之積【例４１】設(shè)Ａ是４矩陣，且Ａ的秩ｒ（Ａ）＝而Ｂ＝＝【分析 由于ｒ（ＡＢ）≤ｎ（ｒ（Ａ），ｒ（Ｂ）），因此要確定ｒ（ ０ １０ ｒ

０ ２０，則ｒ（１０【解答 Ｂ＝ ２ →０２０，得ｒ（Ｂ）＝３，即Ｂ是可逆矩陣。由此 １０ ００（ＡＢ）＝ｒ（Ａ）＝【評(píng)注】若均為可逆矩陣ｒ（ＰＡＱ）＝ｒ（１２ 【例４２】已知Ｑ＝２４ｔ，Ｐ為３階非零矩陣，且滿足ＰＱ＝０，則 ３６Ａ．ｔ＝６時(shí)，Ｐ的秩必為 Ｂ．ｔ＝６時(shí)，Ｐ的秩必為Ｃ．ｔ６時(shí)，Ｐ的秩必為 Ｄ．ｔ６時(shí)，Ｐ的秩必為【分析】由于ｔ＝時(shí)ｒ（Ｑ）＝ｔ６時(shí)ｒ（Ｑ）＝由ＰＱ＝進(jìn)一步判斷Ｐ的秩３當(dāng)ｔ＝６時(shí)，ｒ（Ｑ）＝１，可得ｒ（Ｐ）２，又Ｐ是非零矩陣，所以ｒ（Ｐ）１，不能確定Ｐ的秩是１還是２；當(dāng)ｔ６時(shí)，ｒ（Ｑ）＝２，可得ｒ（Ｐ）１，又Ｐ是非零矩陣，所以ｒ（Ｐ）１，故Ｐ的秩是１。選擇Ｃ【評(píng)注】設(shè)Ａ是ｍｎ矩陣是ｎｓ矩陣ＡＢ＝ｒ（Ａ）ｒ（Ｂ）【例４３】設(shè)Ａ是ｍ×ｎ矩陣，Ｂ是ｎ×ｍ矩陣，Ｅ是ｍ階單位矩陣，若ＡＢ＝Ｅ，則（）Ａ．ｒ（Ａ）＝ｍ，ｒ（Ｂ）＝ Ｂ．ｒ（Ａ）＝ｍ，ｒ（Ｂ）＝Ｃ．ｒ（Ａ）＝ｎ，ｒ（Ｂ）＝ Ｄ．ｒ（Ａ）＝ｎ，ｒ（Ｂ）＝【分析】由ＡＢ＝則ｒ（Ｅ）＝ｒ（ＡＢ）＝ｍ，又因?yàn)椋恚剑颍ǎ粒拢颍粒埽睿恚睿恚ㄍ恚恚颍拢埽椋睿ǎ?，ｎ）≤ｍ所以ｒ（Ａ）＝ｍ理ｒ（Ｂ）＝【解答】選擇【評(píng)注 若ａ≤ｎａ１，ａ２，…，ａｎ），則ａｉ（ｉ＝１，２，…，【例４４】設(shè)ｘ三維單位向量三階單位矩陣ＥｘｘＴ的秩【分析】令＝ｘｘＴ實(shí)對(duì)稱矩陣。ｘ單位向量所以ｘＴｘ＝（ｘ，ｘ）＝‖ｘ２＝從而有Ａ２＝計(jì)算特征值秩就是非零特征值的個(gè)數(shù)【解答】令＝則Ａ２＝（ＥｘｘＴ）（ＥｘｘＴ）＝２ｘｘＴｘ（ｘＴｘ）ｘＴ＝ｘｘＴ＝Ａ２＝ 又ＡＴ＝ＥｘｘＴ＝Ａ，即Ａ為實(shí)對(duì)稱矩陣，故Ａ一定與對(duì)角陣Λ＝

相似λ３設(shè)λ為任一特征值于Ａ２＝有λ＝λ解出λ＝λ當(dāng)λ＝ｒ（λＥＡ）＝ｒ（ｘｘＴ）＝（Ａ）ｙ＝的特征向量λ＝特征值特征值為１，以ｒ（）＝【評(píng)注】可相似對(duì)角化矩陣的秩等于它非零特征值的個(gè)數(shù)，這也是求秩的一種方法。【例４５】設(shè)ｎ方陣是伴隨矩陣ｒ（Ａ）１，ｒ（Ａ）ｒ（Ａ）１，ｒ（Ａ）＝ｎ０，ｒ（Ａ）＜ｎ【分析】矩陣與其伴隨矩陣的秩列式征值等密切相關(guān)【解答（１）當(dāng)ｒ（Ａ）＝ｎ可逆矩陣，Ａ０而Ａ＝Ａｎ－１≠ｒ（Ａ）＝（２）當(dāng)ｒ（Ａ）＝ｎ１時(shí)Ａ＝么ＡＡ＝Ａ＝而有ｒ（Ａ）ｒ（）≤ｎ即得ｒ（）≤ｎ（ｎ１）＝ 又因?yàn)椋林辽儆幸粋€(gè)ｎ１階子式 ０，從而Ａ＝ １）ｉ０＋ｊ０ ０，即 那么ｒ（）１；故ｒ（）＝（３）當(dāng)ｒ（Ａ）ｎ１時(shí)所有ｎ１階代數(shù)余子式全為零，從而Ａ＝ｒ（Ａ【評(píng)注 記住此結(jié)論，以后可直接應(yīng)用。例設(shè)４階方陣Ａ的秩是２，則ｒ（Ａ 【例

ａ１１ 設(shè)矩陣＝１ａ是伴隨矩陣且ｒ（Ａ）＝ １１【分析】由Ａ的秩先確定秩而求ａ【解答】由于ｒ（Ａ）＝而可得ｒ（Ａ）＝１＝即Ａ＝ａ１１Ａ＝１ａ１１

＝（ａ＋

０ａ ａ

＝（ａ＋２）（ａ１）從而ａ＝ａ＝當(dāng)ａ＝ｒ（Ａ）＝合題意（此時(shí)ｒ（Ａ）＝），故ａ＝２。第三章 題型向量組的線性組合與線性表【例１】設(shè)ｎ矩陣行列式Ａ有一列元素全為０有兩列元素對(duì)應(yīng)成比有一列向量是其余列向量的線性組合一列向量是其余列向量的線性組合

＝０，則Ａ中 【分析 Ａ＝０ｒ（Ａ）＜ｎ，即Ａ的ｎ個(gè)列向量線性相關(guān)，因此必有一列向量是余列向量的線性組【解答】選擇【評(píng)注】Ａ＝可逆ｒ（Ａ）ｎｎ列（行）向量線性相關(guān)值Ａｘ＝非零解。【例２】設(shè)向量β可由向量組αααｍ線性表示不能由向量組（Ⅰα，ααｍ線性表示向量組（Ⅱαααｍβ（）Ａ．αｍ不能由（Ⅰ線性表示，也不能由（Ⅱ線性表示Ｂ．αｍ不能由（Ⅰ）線性表示，但可由（Ⅱ線性表示αｍ可由（Ⅰ線性表示可由（Ⅱ線性表示αｍ可由（Ⅰ）線性表示不可由（Ⅱ線性表【分析】由于β可由向量組α１，α２，…，αｍ線性表示，所以存在常數(shù)ｋ１，ｋ２，…，ｋｍ，使得β＝ｋ１α１＋ｋ２α２＋…＋ｋｍαｍ，又因?yàn)棣虏荒苡上蛄拷M（Ⅰ：α１，α２，…，αｍ－１線性表示，所０性表示題設(shè)矛盾），從而αｍ＝表示

ｋｋ

ｋｍ－

αｍ即αｍ可由（Ⅱ線ｍ－假設(shè)αｍ可由（Ⅰ線性表示αｍ＝∑ｌｉαｉ由線性表示的傳送性β可由向量組ｉ＝α２αｍ－１即β（Ⅰα１α２αｍ－１設(shè)矛盾故誤的。即αｍ不能由（Ⅰ）線性表【解答】選擇的是向量不能被向量組線性表示用反證法推斷。Ｔ【例３ 判斷β能否由向量組α１，α２，α３線性表示，其中α１＝ １，０，１Ｔ α＝ ２Ｔ，α＝Ｔ，β＝ 【分析】β＝ｘα１ｘα２ｘα３（ααα）ｘ＝β是否有【解答】令β＝ｘα１ｘα２ｘα線性方程 ｘ１＋３ｘ２＋ｘ３＝４ｘ２＋４ｘ３＝ｘ１２ｘ２＋ｘ３＝

，解方程 ５ ２ ４ １，得ｒ（Ａ）＝ｒ（Ａ）＝ ２

０方程組有唯一解β可由向量組α１α２α３唯一的線性表示一步對(duì)增廣矩陣做初等行變換 ２ １０ １→０１ １而β＝２αα ０

００ ０【評(píng)注】當(dāng)把增廣矩陣化為行最簡(jiǎn)形時(shí)可直接寫出向量表示的線性表達(dá)式【例４】已知α１＝１０２３，α２＝１１３５，α３＝ １ａ＋２１α＝１２４ａβ＝１１ｂ（１）ａｂ為何值時(shí)，β不能表示成α１α２α３α４的線性組合（２）ａ，ｂ為何值時(shí)，β有α１，α２，α３，α４的唯一線性表示式？并寫出該表示【分析】β＝ｘα１ｘα２ｘα３ｘα４的充要條件是對(duì)應(yīng)的線性方程組有解果有唯一解β被αααα４唯一線性表示式【解答】令β＝ｘα１ｘα２ｘα３ｘα線性方程ｘ１＋ｘ２＋ｘ３＋ｘ４＝ｘ２ｘ３＋２ｘ４＝

１ １ ０ １， ２ｘ１＋３ｘ２＋（ａ＋２）ｘ３＋４ｘ４＝ｂ＋３２３ａ＋ ｂ＋３ｘ１＋５ｘ２＋ｘ３＋（ａ＋８）ｘ４＝

３ ａ＋ ５１ ０ ０

１１１１１２１１１２ ｂ＋ ００ａ＋ ０ ２ａ＋ ２ ０ ａ＋１–（１）當(dāng)ａ＝ｂ０時(shí)，ｒ（Ａ）＝≠ｒ（Ａ）＝程組無解，即β不能表示成α１α３α４性組合–（２）當(dāng) １，ｂ為任意數(shù)時(shí)，ｒ（Ａ）＝ｒ（Ａ）＝４，方程組有唯一解，則β有α１，α２，α３α４的唯一線性表示式一步對(duì)增廣矩陣做初等行變換１００ ２ｂ１

ａ＋１０

０１００ａ＋ｂ＋ ａ＋ ｂ００ａ＋ ｂ ００１ ０ ａ＋１

ａ＋１０００ 表示式為β＝

ａ＋ｂ＋

ｂα＋＋ａ＋１

ａ＋

ａ＋１ 【評(píng)注】已知一個(gè)向量是否可以被另一組向量線性表示的問題?；瘹w為判斷對(duì)應(yīng)的線性方程組是否有解的問題。 【例５】設(shè)有３維列向量α＝１λ，α＝λ１α＝λ 【分析】β可由α１，α２，α３唯一線性表示等價(jià)于方程組（α１，α２，α３）ｘ＝β有唯一解；β可由α１，α２，α３線性表示但不唯一等價(jià)于方程組（α１，α２，α３）ｘ＝β有無窮多解；β不能由ααα３線性表示等價(jià)于方程組（ααα）ｘ＝β無解【解答】解方程組（ααα）ｘ＝（１）系數(shù)矩陣行列（α１，α２，α３）

１＋ １＋ １＋

１１０ ００＝λ２（λ＋當(dāng)λ０ ３時(shí)，方程組有唯一解，β可由α１，α２，α３線性表示，且表達(dá)式唯一１１１ １１１ （２）當(dāng)λ＝，１１１０→００００ｒ（Ａ）＝ｒ（Ａ）＝ １１１ ０００所以方程組有無窮多個(gè)解β可由α１α２α３線性表示表達(dá)式不唯一 ０

９ （３）當(dāng)λ ３時(shí)，增廣矩陣為 ３→ １２ ９

６–ｒ（Ａ）＝ｒ（Ａ）＝程組無解β不能由α１α２α３線性表示【評(píng)注】對(duì)于已知向量個(gè)向量能否被另一組向量線性表示都化歸為解線性方程組的問題?！纠丁吭O(shè)ｎ維列量組α，α，…，αｍ（ｍｎ）線性無關(guān)，則ｎ維列量組β，β，…，線性無關(guān)的充分必要條件為 Ａ．向量組α１，α２，…，αｍ可由向量組β１，β２，…，βｍ線性表示Ｂ．向量組β１，β２，…，βｍ可由向量組α１，α２，…，αｍ線性表示量組α１α２αｍ與向量組β１β２βｍ等價(jià)Ｄ．矩陣Ａ＝（α１α２，…αｍ）與矩陣Ｂ＝（β１，β２，…βｍ）等【分析】運(yùn)用兩個(gè)向量組線性表示及等價(jià)的概念意要找的是充分必要條先考查Ａ若β１，β２，…，βｍ線性無關(guān)，能否推出α１，α２，…，αｍ可由β１，β２，…，βｍ線性表示？沒有現(xiàn)成的結(jié)論，試舉例說明，α１＝，α２＝線性無關(guān)，β１＝０，０，１，０，β２＝０，０，０，１也線性無關(guān)，顯然α１，α２不能由β１，β２線性表示，故排除Ａ再考查理β１β２不能由α１α２線性表示排除Ｂ后考查于成立不能等價(jià)排除【解答】選擇Ｄ。若β１，β２，…，βｍ線性無關(guān)，則ｒ（Ｂ）＝ｍ，又已知α１，α２，…，αｍ線性無關(guān)，所以ｒ（Ａ）＝ｍ，由于兩個(gè)同形矩陣等價(jià)的充要條件是秩相等。所以Ａ與Ｂ等價(jià)。反過來價(jià)ｒ（Ａ）＝ｒ（Ｂ）＝ｍ以β１β２βｍ線性無關(guān)選Ｄ?！驹u(píng)注】?jī)删仃嚨牡葍r(jià)與兩組向量的等價(jià)有很大的不同，兩個(gè)同型矩陣的等價(jià)僅僅要求秩相等兩組同維向量的等價(jià)則要求能夠互相線性表示。【例７】設(shè)向量組ααα３線性相關(guān)量組ααα４線性無關(guān)（１）α１α２α３線性表示？證明你的結(jié)【分析】利用線性相關(guān)與線性表示的關(guān)系證【解答】（１）α１α２α３表由于α２，α３，α４線性無關(guān)，所以α２，α３線性無關(guān)（全體無關(guān)，則部分無關(guān)），又α１，α２，α３線性相關(guān)，故α１可由α２，α３線性表示（若α１，α２，…，αｍ無關(guān)，而α１，α２，…，αｍ，β線性（２）α４不能由α１α２α３線性表假設(shè)α４α１α２α３（）α１α２α３線性表示以α４能由α２線性表示與題設(shè)向量組α２α３α４線性無關(guān)矛盾。故假設(shè)錯(cuò)誤【評(píng)注】全體無關(guān)，則部分無關(guān)；所證明的結(jié)論用否定句子表達(dá)時(shí)，可以考慮反證法。題型向量組的線性相關(guān)【例８】設(shè)α１＝，α２＝，α３＝α４線 關(guān)【分析】任意ｎ個(gè)ｎ向量線性相關(guān)【解答】線性相關(guān)

，α４＝，則α１α２【評(píng)注】只要向量組中向量的個(gè)數(shù)大于向量的維數(shù)向量組都線性相關(guān)【例９】 向量組α１＝１，２，１，３，５，α２＝０，１，４，６，１，α３＝０，０，２，１，關(guān)。

７線【分析】存在一個(gè)三階子【解答】線性無關(guān)

１０２１１４

＝２０向量組的秩為３?！驹u(píng)注】對(duì)于ｎ個(gè)已知向量，求向量組的秩ｒｒｎ線性相關(guān)ｒ＝ｎ性無關(guān)【例１０】 若向量組α１，α２，α３，α４滿足α１＋α２＋α３＝０，則α１，α２，α３，α４線性關(guān)?！痉治觥坑搔粒宝粒拨粒常街粒宝粒拨粒肠粒矗健窘獯稹烤€性相關(guān)【評(píng)注】部分相關(guān)全體相關(guān)【例１１】若向量組ααα３兩兩線性無關(guān)ααα３是否線性無關(guān)？為什么【分析】反例：α１＝，α２＝，α３＝兩兩線性無關(guān)，但α，α，α３線相關(guān)【解答】不一定線性無關(guān)【評(píng)注】向量組ααα３線性無關(guān)以得出ααα３兩兩線性無關(guān)（即全體無【例１２】設(shè)α１＝０，０，０，α２＝０，１，２，則 Ａ．α１線性無 Ｂ．α２線性相Ｃ．α１，α２線性無 Ｄ．α１，α２線性相向量組是線性相關(guān)的?！窘獯稹俊驹u(píng)注】線性相關(guān)的向量組未必含有零向量【例１３】設(shè)向量組α１，α２，α３線性相關(guān)，α２，α３，α４線性無關(guān)，則 Ａ．向組α１，α２，α３，中，—可以由其余向量線性表示Ｂ．向組α１，α２，α３，中，—可以由其余向量線性表示Ｃ．向組α１，α２，α３，中，—可以由其余向量線性表示Ｄ．向組α１，α２，α３，中，—可以由其余向量線性表示【分析】由于ααα４線性無關(guān)以α，α３線性無關(guān)（全體無關(guān)，則部分無關(guān)），又ααα３線性相關(guān)α１可由αα３線性表示而可由ααα４線性表示。【解答】【評(píng)注】若α，α，…，αｍ無關(guān)，而α，α，…，αｍ，β線性相關(guān)，則β可α，α，…，線性表【例１４】設(shè)向量β可由向量組αααｍ線性表示不能由向量組αααｍ中任意ｍ向量線性表示明α１α２αｍ線性無關(guān)【分析】用反證法。假設(shè)α１，α２，…，αｍ線性相關(guān)，則必有一個(gè)向量可以由其余ｍ１個(gè)向量線性表示，從而β可由向量組α１，α２，…，αｍ中的ｍ１個(gè)向量線性表示，就與已知矛盾。【解答】反證法。假設(shè)α１，α２，…，αｍ線性相關(guān)，則必有一個(gè)向量可以由其余ｍ１個(gè)向量線性表示，不妨設(shè)α１可以由α２，…，αｍ線性表示，則有α１＝ｋ２α２＋…＋ｋｍαｍ。又因?yàn)棣驴捎上蛄拷Mα１，α２，…，αｍ線性表示，所以β＝ｌ１α１＋ｌ２α２＋…＋ｌｍαｍ，將α１代入，就有β＝ｌ１（ｋ２α２＋…＋ｋｍαｍ）＋ｌ２α２＋…＋ｌｍαｍ＝（ｌ１ｋ２＋ｌ２）α２＋…＋（ｌ１ｋｍ＋ｌｍ）αｍ，這與β不能由向量組αααｍ中任意ｍ向量線性表示矛盾。所以αααｍ線性無關(guān)【評(píng)注】一組向量線性無關(guān)其中任一個(gè)向量都不能由其余向量線性表示【例１５】設(shè)Ａ是ｎ階方陣，ｎ維向量組α１，α２，…，αｍ是齊次線性方程組ＡＸ＝０的線性無關(guān)的解ｎ非零向量β不是＝解明αααｍβ線性無關(guān)。【分析】向量的線性無關(guān)定義，由于ｎ維向量組α１，α２，…，αｍ是齊次線性方程組ＡＸ＝０的線性無關(guān)的解，所以Ａαｉ＝０，（ｉ＝１，２，…，ｍ），而β０，所以Ａ（αｉ＋β）０，（ｉ＝，ｍ）?！窘獯稹苛睿歃粒保歃粒玻欤恙粒恚歃拢溅拢按氲谝皇剑欤宝粒保欤拨粒玻欤恙粒恚接捎讦粒椋ǎ椋健?，ｍ）線性無關(guān)，所以＝（ｉ＝，ｍ），故α１，α２，…αｍ，β線性無關(guān)【評(píng)注】對(duì)于抽象的向量組證明線性無關(guān)時(shí)以考慮用定義【例αααｎ線性無關(guān)論α１αα２ααｎαｎαｎα１的線性相關(guān)性?！痉治觥坑镁€性無關(guān)的定義【解答】令ｋ（α１α）ｋ（α２α），ｋｎ（αｎαｎ）ｋｎ（αｎα）＝得（ｋ１ｋｎ）α１（ｋ１ｋ２）α２，（ｋｎｋｎ）αｎ＝ｋ１＋ｋｎ＝ｋ１＋ｋ２＝ ｋｎ－１＋ｋｎ＝

性方程組的系數(shù)行列式１００………０１０００…１００００…１１Ｄ１００………０１０００…１００００…１１當(dāng)ｎ偶數(shù)時(shí)＝次方程組有非零解為奇數(shù)時(shí)＝２０齊次方程組只有零解，故α１α２α２α３αｎαｎαｎα１是線性無關(guān)的【評(píng)注】相關(guān)性與向量的個(gè)數(shù)有關(guān)【例１７】若α１＝（１，３， ２），α２＝（２，１，３，ｔ），α３＝（ １，２，０）線性相關(guān)，則＝【分析】ααα３線性相關(guān)的充要條件是向量組的秩小于而任一個(gè)３階行式都為０。【解答】取一個(gè)含ｔ三階行列式

＝ｔ＝以ｔ＝【評(píng)注】也可令ｋα１ｋα２ｋα３＝入解線性方程組１ 【例則ａ

設(shè)三階矩陣Ａ＝２ ３

量α＝（ａ，）Ｔ，已知Ａα與α線性相關(guān)【分析】?jī)蓚€(gè)向量線性相關(guān)以有Ａα＝ ａ 【解答】由Ａα＝ｋα２ａ＝ｋ得ａ＝ｋ＝ ３ａ＋ ｋ【評(píng)注】也可用兩個(gè)向量線性相關(guān)它們的坐標(biāo)對(duì)應(yīng)成比例【例１９】ｎ維向量組α１，α２，…，αｓ（３線性無關(guān)的充要條件是（ Ａ．存在一組不全為零的數(shù)ｋ１，ｋ２，…，ｋｓ，使ｋ１α１＋ｋ２α２，…，＋ｋｓαｓ０Ｂ．α１，α２，…，αｓ中任意兩個(gè)向量均線性無α１α２αｓ中存在一個(gè)向量不能用其余向量線性表示α１α２αｓ中任意一個(gè)向量都不能用其余向量線性表示【分析】由于是線性無關(guān)的充要條件，所以要考慮充分性與必要性。其中Ａ，Ｂ，Ｃ均是α１α２αｓ的必要條件而非充分條件?！窘獯稹俊驹u(píng)注】線性無關(guān)的一個(gè)等價(jià)定義題型向量組的秩與矩陣的【例２０】已知向量組α１＝（１，２，３，４），α２＝（２，３，４，５），α３＝（３，４，５，６），α４＝（４，６，７），則該向量組的秩 【分析】向量組的秩即矩陣的秩１２３ １２３ ２３４ ｒ０１２【解答】Ａ＝ ，所以向量組的秩為３４５ ０００ ４５６ ０００【評(píng)注】如果只是向量組的求秩等行變換或初等列變換都可以。但若用其余向量表示某個(gè)向量時(shí)能用初等行（或列）變換。為２，則ｔ＝ 【分析】向量組的秩即矩陣的秩。即任一個(gè)三階子式都為零【解答】Ｄ【評(píng)注】如

１ 取向量的后三

＝６２ｔ＝０，ｔ＝個(gè)分量不到結(jié)果。也可以通過求矩陣的秩判斷【例２２】設(shè)ｎ維向量組α１，α２，…，αｓ的秩是ｒ０，則（）量組中任意ｒ向量線性無關(guān)Ｂ．ｒｎＣ．向