如何認(rèn)識矩陣計算中的基本技巧

1數(shù)學(xué)中的最基本的技巧是打洞技巧,是最重要的技巧矩陣計算不僅在線性數(shù)學(xué)中，而且在所有數(shù)學(xué)、物理和其他學(xué)科中都發(fā)揮著重要作用。劉紹學(xué)先生曾說:“1962年在頤和園龍王廟會議期間,萬哲先學(xué)兄對我說:‘搞典型群研究我們掌握一些基本手法和招數(shù),你們搞環(huán)論的有哪些手法和招數(shù)?’”“(20世紀(jì))70年代在一次出數(shù)學(xué)競賽題的會議中與華羅庚先生在他的房間閑談.他對我說:‘國外把我說(罵)成是玩矩陣的魔鬼.……表面上你看我搞的是多復(fù)變函數(shù)、偏微分方程,實際上骨子里還是我的矩陣技巧.’”可見矩陣技巧是在華羅庚學(xué)派的“基本手法和招數(shù)”之一.許以超先生說“打洞”是“矩陣計算中的最基本的技巧”.數(shù)學(xué)中最基本的技巧,也是最重要、最有用的技巧.馮克勤先生有段很有趣的回憶:“20世紀(jì)70年代,當(dāng)我成為科大的一名教員時,曾肯成先生對當(dāng)年科大的情景說過幾句格言,我只記得其中的兩句.一句是‘科大是放羊,而不是喂豬’,另一句是‘龍生龍,鳳生鳳,華羅庚的學(xué)生會打洞’.”我們想在此談?wù)剬Υ蚨醇记傻囊恍┱J(rèn)識,以求大家的指導(dǎo).2打洞法debt什么是打洞技巧?我們介紹許以超先生的講法.以Ik表示域F上的k階單位矩陣.設(shè)A是域F上的m×n階矩陣(即A∈Fm×n),且A=(BCDE)(2.1)于是當(dāng)B是r階方陣,且detB≠0時有(Ιr0-DB-1Ιm-r)(BCDE)=(BC0E-DB-1C),(2.2)(BCDE)(Ιr-B-1C0Ιn-r)=(B0DE-DB-1C).(2.3)以上兩式分別將(2.1)式中的D,C變成了0,而0在電報語言中稱為“洞”,因此這種方法稱為“打洞”.類似地,當(dāng)E是k階方陣,且detE≠0時有(Ιm-k-CE-10Ιk)(BCDE)=(B-CE-1D0DE),(2.4)(BCDE)(Ιn-k0-E-1DΙk)=(B-CE-1DC0E),(2.5)如果A是2階方陣,這時(2.1)式變?yōu)锳=(bcae).(2.1′)如果b≠0,(2.2)式與(2.3)式分別變?yōu)?10-db-11)(bcae)=(bc0e-db-1c),(2.2′)(bcde)(1-b-1c01)=(d0de-db-1c),(2.3′)類似地,當(dāng)e≠0時,(2.4)式與(2.5)式分別變?yōu)?1-ce-101)(bcde)=(b-ce-10de),(2.4′)(bcde)(10-e-1d1)=(b-ce-1dc0e).(2.5′)(2.2′)式與(2.4′)式是將(2.1′)式中矩陣A進(jìn)行一次初等行變換,(2.3′)式與(2.5′)式是將(2.1′)式中矩陣A進(jìn)行一次初等列變換.因此打洞技巧是矩陣一行減另一行的若干倍,或一列減另一列的若干倍這兩類初等變換的推廣.由此可知,若在(2.1)中,C或D可逆,也可將B,E打成洞.注如果我們將域F改為含幺元的交換環(huán),將條件detB≠0,detE≠0分別換為B,E為可逆方陣,打洞法仍然有效.條件detB≠0,detE≠0并不等價于B,E為可逆方陣.3例如，洞績效能力的應(yīng)用本節(jié)我們用一些例子來說明打洞技巧的應(yīng)用.3.1detn,bb打洞技巧的應(yīng)用當(dāng)首推“將高階行列式的計算化為低階行列式的計算”.例1設(shè)A∈Fn×n,且A=(BCDE)?B∈Ρr×r,detB≠0.試證detA=detB·det(E-DB-1C).(3.1)證明因為detB≠0,故B可逆.于是(Ιr0-DB-1Ιn-r)(BCDE)=(BC0E-DB-1C).而det(Ιr0-DE-1Ιn-r)=1.所以(3.1)式成立.矩陣計算中另一個技巧是所謂“攝動法”,常與打洞技巧一起用.例2設(shè)A、B、C、D∈Fn×n,F的特征為0,且AC=CA.試證|ABCD|=|AD-CB|.(3.2)證明令A(yù)(λ)=λIn+A.則detA(λ)是λ的n次多項式,至多n個根.由AC=CA,有A(λ)C=CA(λ).若detA(λ)≠0,則A(λ)可逆,且有(Ιn0-CA(λ)-1Ιn)(A(λ)BCD)=(A(λ)B0D-CA(λ)-1B).于是det(A(λ)BCD)=detA(λ)det(D-CA(λ)-1B)=det(A(λ)D-CB).由于det(A(λ)BCD)?det(A(λ)D-CB)都是λ的有限次多項式,且若detA(λ)≠0,則det(A(λ)BCD)=det(A(λ)D-CB),(3.3)故(3.3)對任何λ成立.特別地,對λ=0也成立,于是結(jié)論成立.注如果F的特征不是0,用攝動法時要特別當(dāng)心.如果F是實數(shù)域或復(fù)數(shù)域時,在(3.3)中令λ→0,則可知(3.2)成立.攝動法實際是源于此.矩陣乘法的結(jié)合性導(dǎo)致對一個矩陣的行變換和列變換的交換性,于是行、列變換可同時進(jìn)行,在打洞技巧中要求(2.1)中的B,C,D,E至少有一個可逆,對特殊情況也不一定.例3設(shè)A,B∈Fn×n.試證|ABBA|=|A+B|?|A-B|(3.4)證明注意到(ΙnΙn0Ιn)(ABBA)(Ιn-Ιn0Ιn)=(A+BA+BBA)(Ιn-Ιn0Ιn)=(A+B0BA-B).于是(3.4)成立.3.2h可逆矩陣判斷矩陣是否可逆及求可逆矩陣是線性代數(shù)中的重要問題.打洞技巧也是很有用的.例4設(shè)A∈Fn×n,detA≠0,B∈Fr×r,detB≠0,且A=(BCDE),試證A-1=(Ιr-B-1C0Ιn-r)(B-100(E-DB-1C)-1)(Ιr0-DB-1Ιn-r).(3.5)證明因為detA≠0,detB≠0,故A,B可逆.又(BCDE)(Ιr-B-1C0Ιn-r)=(B0DE-DB-1C).故det(E-DB-1C)=detA/detB≠0.因此E-DB-1C可逆.再由(B0DE-DB-1C)(B-100(E-DB-1C)-1)=(Ιr0DB-1Ιn-1),(Ιr0DB-1Ιn-r)(Ιr0-DB-1Ιn-r)=Ιn.得(3.5)成立.例5設(shè)A,D分別為F上m階,n階可逆方陣.則矩陣Η=(ABCD)為可逆矩陣當(dāng)且僅當(dāng)A-BD-1C與D-CA-1B都是可逆矩陣.證明因為A,D可逆,于是有(Ιm0-CA-1Ιn)(ABCD)=(AB0D-CA-1B)?(ABCD)(Ιm0-D-1CΙn)=(A-BD-1CB0D).因此detH=detAdet(D-CA-1B)=detDdet(A-BD-1C).因而,H可逆,當(dāng)且僅當(dāng)D-CA-1B可逆,當(dāng)且僅當(dāng)A-BD-1C可逆.打洞技巧與數(shù)學(xué)歸納法結(jié)合在一起使用是很常見的情形.例6設(shè)A=(aij)n×n∈Rn×n滿足條件:aij≤0(i≠j);A(12?k12?k)＞0(1≤k≤n).則有:A-1的所有元素非負(fù);存在X=(x1,…,xn)′,xi>0(1≤i≤n)使得AX中每個元素皆正.證明對n作歸納證明.n=1時,命題顯然成立.設(shè)n-1時命題已成立.對A作如下分塊A=(An-1αβann).于是有An-1可逆,且An-1-1中每個元素非負(fù).且(Ιn-10-βAn-1-11)(An-1αβann)=(An-1α0ann-βAn-1-1α).令d=ann-βAn-1-1α.則d=detA/detAn-1>0.又(Ιn-1-1dα01)(An-1α0d)=(An-100d).因而有A-1=(An-1-100d-1)(Ιn-1-1dα01)(Ιn-10-βAn-1-11).由于An-1-1中每個元素非負(fù),d>0,α,β中元素非正,于是上式右面三個矩陣中元素都非負(fù).因而A-1中元素非負(fù).記A-1=(bij).于是bij≥0.令X=∑j=1ncoljA-1=(x1,?,xn)′.則xi=∑j=1nbij.由A-1可逆,故xi>0,且AX=∑j=1nAcoljA-1=∑j=1ncoljAA-1=(1,1,?,1)′.故AX中每個元素為正數(shù).注本例中的矩陣A及其性質(zhì)在線性不等式理論和Kac-Moody代數(shù)理論中是很重要的.3.3n0-ca-1n用線性代數(shù)研究二次型是將二次型化為對稱矩陣.將高階對稱矩陣化為低價對稱矩陣既是基本方法也是基本任務(wù).例7設(shè)A,B,C,D∈Fn×n,A可逆對稱,B′=C,證明存在可逆方陣T,使Τ′(ABCD)Τ為準(zhǔn)對角方陣.證明因為A可逆對稱.于是A-1對稱.注意到(Ιn0-CA-1Ιn)(ABCD)(Ιn-(A-1)′C′0Ιn)=(AB0D-CA-1B)(Ιn-(A-1)′C′0Ιn)=(A00D-CA-1B).因此結(jié)論成立.注在此題中,若D也是對稱的,則整個矩陣(ABCD)是對稱的.例8設(shè)Q為n階實正定對稱矩陣,X為n維實列向量.證明0≤X′(Q+XX′)-1X<1.(3.6)證明設(shè)A=Q+XX′.因Q正定,XX′半正定,故A正定,因此A-1也正定.因而0≤X′(Q+XX′)-1X.再由A正定,知detA>0,而且有可逆矩陣P使得Q=P′P.因此(Ρ′X01)(Ρ0X′1)=(Ρ′Ρ+XX′XX′1)=(AXX′1).又(Ιn0-X′A-11)(AXX′1)=(AX0-X′A-1X+1).于是(-X′A-1X+1)detA=|AXX′1|=(detΡ)2＞0.因此(3.6)式成立.3.4未知矩陣的建立下面的例子說明用打洞法可將線性方程組中未知數(shù)個數(shù)減少,即消元.例9設(shè)A∈Fn×n,且A=(A1A2A3A4).其中A1∈Fk×k,A4∈F(n-k)×(n-k),且A4可逆.又X=(X1X2)?B=(B1B2),其中B1∈Fk×1,B2∈F(n-k)×1.X1,X2分別為k×1,(n-k)×1的未知矩陣.則線性方程組AX=B(3.7)中前k個未知數(shù),即X1滿足線性方程組(A1-A2A4-1A3)X1=B1-A2A4-1B2.(3.8)證明在(3.7)的兩邊左乘(Ιk-A2A4-10Ιn-k),則由(Ιk-A2A4-10Ιn-k)(A1A2A3A4)(X1X2)=(Ιk-A2A4-10Ιn-k)(B1B2),知(A1-A2A4-1A30A3A4)(X1X2)=(B1-A2A4-1B2B2).于是X1滿足(3.8)打洞技巧的要害