第21講調(diào)和點(diǎn)列與極點(diǎn)極線知識(shí)與方法以極點(diǎn)極線為背景的題目經(jīng)常出現(xiàn)在高考和各級(jí)競(jìng)賽試題之中,如圓錐曲線的切線、切點(diǎn)弦、圓錐曲線內(nèi)接四邊形兩對(duì)邊延長(zhǎng)線的交點(diǎn)軌跡等,是圓錐曲線的?？紗栴},這些問題大多和極點(diǎn)極線與調(diào)和點(diǎn)列的性質(zhì)有關(guān).熟悉調(diào)和點(diǎn)列與極點(diǎn)極線基本性質(zhì),能抓住此類問題的本質(zhì)，明確問題的目標(biāo),能更高效地解決問題.下面介紹交比、調(diào)和點(diǎn)列、完全四邊形、Apollonius圓、極點(diǎn)和極線等射影幾何的重要概念及性質(zhì),溯本求源，揭示此類與極點(diǎn)極線有關(guān)的問題的來龍去脈.（一）調(diào)和分割的概念“調(diào)和分割”又稱“調(diào)和共軛”,來源于交比，分“調(diào)和線束”和“調(diào)和點(diǎn)列”兩種,它是交比研究中的一個(gè)重要特例,也是貫穿《高等幾何》課程的一個(gè)重要概念.定義1線束和點(diǎn)列的交比:如圖,過點(diǎn)的四條直線被任意直線所截的有向線段之比稱為線束或點(diǎn)列的交比.定理1交比與所截直線無關(guān).【證明】令線束分別交于,則,又因?yàn)楦鲗?duì)應(yīng)向量方向相同,故交比與所截直線無關(guān).【注】定理說明，點(diǎn)列的交比與其對(duì)應(yīng)線束的交比是相同的.保持線束不變,取另一直線交線束于,可視為對(duì)作射影變換,所得交比不變,由此說明交比是射影不變量,具有射影不變性.定義2調(diào)和線束與調(diào)和點(diǎn)列:若交比為,則稱為調(diào)和比.交比為的線束稱為調(diào)和線束,點(diǎn)列稱為調(diào)和點(diǎn)列.一般地,若且,則四點(diǎn)構(gòu)成“調(diào)和點(diǎn)列”;①叫做“基點(diǎn)”叫做“（內(nèi)、外）分點(diǎn)”.根據(jù)定義可得：如果點(diǎn)內(nèi)分線段，點(diǎn)外分線段,且,那么稱點(diǎn)調(diào)和分割線段.亦稱為調(diào)和點(diǎn)列.線段端點(diǎn)和內(nèi)外分點(diǎn),依次構(gòu)成調(diào)和點(diǎn)列.即：調(diào)和點(diǎn)列內(nèi)分比外分比.②也可以以為基點(diǎn),則四點(diǎn)仍構(gòu)成調(diào)和點(diǎn)列,故稱與調(diào)和共軛.③如圖,若構(gòu)成調(diào)和點(diǎn)列,為直線外任意一點(diǎn),則四直線為調(diào)和線束;若另一直線截此調(diào)和線束,則截得的四點(diǎn)仍構(gòu)成調(diào)和點(diǎn)列（由定理1可知）.定理2調(diào)和點(diǎn)列的性質(zhì)：若為調(diào)和點(diǎn)列,即,則:(1)調(diào)和性:證明: （2）共軛性:若構(gòu)成調(diào)和點(diǎn)列,則也構(gòu)成調(diào)和點(diǎn)列.即：若成立,則也成立;(3)等比性:①②記線段的中點(diǎn)為,則有.③記線段的中點(diǎn)為,則有(同2可證）證明:由等比性質(zhì)可知: 同理可得.定理3斜率分別為的三條直線交于軸外的點(diǎn),過作軸的垂線,則成等差數(shù)列的充要條件為成調(diào)和線束.分析：不妨設(shè)均為正數(shù),其它情況同理可證.【證明】如圖,設(shè)與軸分別交于四點(diǎn),則成調(diào)和點(diǎn)列成調(diào)和線束.定理4已知為橢圓的焦點(diǎn),為相應(yīng)的準(zhǔn)線,過任作一直線交橢圓于兩點(diǎn),交于點(diǎn),則成調(diào)和點(diǎn)列.（說明：此處圖像應(yīng)修正：點(diǎn)在橢圓上，虛線應(yīng)往上移一點(diǎn)）【證明】如圖,分別過作的垂線,垂足為,則由橢圓的第二定義及平行線的性質(zhì)可得:,故成調(diào)和點(diǎn)列.定義3阿波羅尼斯Apollonius圓：到兩定點(diǎn)距離之比為定值且）的點(diǎn)的軌跡為圓,稱為Apollonius圓（簡(jiǎn)稱阿氏圓），為古希臘數(shù)學(xué)家Apollonius最先提出并解決.【證明】如圖,由,則在直線上有兩點(diǎn)滿足,故分別為的內(nèi)外角平分線,則,即的軌跡為以為直徑的圓（圓心為線段的中點(diǎn)）.由可知,圖中為調(diào)和點(diǎn)列.定義4完全四邊形：我們把兩兩相交,且沒有三線共點(diǎn)的四條直線及它們的六個(gè)交點(diǎn)所構(gòu)成的圖形,叫做完全四邊形.如圖，凸四邊形各邊延長(zhǎng)交成的圖形稱為完全四邊形稱為其對(duì)角線.定理5完全四邊形對(duì)角線所在直線互相調(diào)和分割.即分別構(gòu)成調(diào)和點(diǎn)列.【證明】,即,所以為調(diào)和點(diǎn)列.其余的可由線束的交比不變性得到.（二）極點(diǎn)和極線的概念1.極點(diǎn)和極線的幾何定義如圖,為不在圓錐曲線上的點(diǎn),過點(diǎn)引兩條割線依次交圓錐曲線于四點(diǎn),連接交于,連接交于,我們稱點(diǎn)為直線關(guān)于圓錐曲線的極點(diǎn),稱直線為點(diǎn)關(guān)于圓錐曲線的極線.直線交圓錐曲線于兩點(diǎn),則為圓錐曲線的兩條切線.若在圓錐曲線上,則過點(diǎn)的切線即為極線.(1)自極三角形：極點(diǎn)一一極線；極點(diǎn)一一極線極點(diǎn)一一極線;即中,三個(gè)頂點(diǎn)和對(duì)邊分別為一對(duì)極點(diǎn)和極線,稱為“自極三角形”.(2)極點(diǎn)和極線的兩種特殊情況(1)當(dāng)四邊形變成三角形時(shí)：曲線上的點(diǎn)對(duì)應(yīng)的極線,就是切線;

(2)當(dāng)四邊有一組對(duì)邊平行時(shí),如：當(dāng)時(shí),和的交點(diǎn)落在無窮遠(yuǎn)處;點(diǎn)的極線和點(diǎn)的極線滿足:2.極點(diǎn)和極線的代數(shù)定義對(duì)于定點(diǎn)與非退化二次曲線過點(diǎn)作動(dòng)直線與曲線交于點(diǎn)與點(diǎn),那么點(diǎn)關(guān)于線段的調(diào)和點(diǎn)的軌跡是什么?可以證明:點(diǎn)在一條定直線上，如下圖.我們稱點(diǎn)為直線關(guān)于曲線的極點(diǎn);相應(yīng)地,稱直線為點(diǎn)關(guān)于曲線的極線.一般地,對(duì)于圓錐曲線設(shè)極點(diǎn),則對(duì)應(yīng)的極線為 【注】替換規(guī)則為:(1)橢圓的三類極點(diǎn)極線(1)若極點(diǎn)在橢圓外,過點(diǎn)作橢圓的兩條?線,切點(diǎn)為,則極線為切點(diǎn)弦所在直線 (2)若極點(diǎn)在橢圓上,過點(diǎn)作橢圓的切線,則極線為切線;(3)若極點(diǎn)在橢圓內(nèi),過點(diǎn)作橢圓的弦,分別過作橢圓切線,則切線交點(diǎn)軌跡為極線由此可得橢圓極線的幾何作法:(2)對(duì)于雙曲線,極點(diǎn)對(duì)應(yīng)的極線為(3)對(duì)于拋物線,極點(diǎn)對(duì)應(yīng)的極線為.3.極點(diǎn)和極線的性質(zhì)(1)引理:已知橢圓方程為,直線的方程為,點(diǎn)不與原點(diǎn)重合.過點(diǎn)作直線交橢圓于兩點(diǎn),點(diǎn)在直線上，則“點(diǎn)在直線上"的充要條件是調(diào)和分割,即.【證明先證必要性.設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為,則有.設(shè)直線的參數(shù)方程為為參數(shù)）與橢圓方程聯(lián)立,得，即,該方程有兩個(gè)不等實(shí)根,設(shè)為,則.即調(diào)和分割,也即.將以上證明過程反向推導(dǎo)，即得充分性成立.設(shè)是圓錐曲線的一個(gè)極點(diǎn),它對(duì)應(yīng)的極線為,過任意引一條直線,交于點(diǎn),交于點(diǎn),若點(diǎn)是位于間的點(diǎn),結(jié)合引理可得如下極點(diǎn)和極線的三個(gè)調(diào)和性質(zhì):(1)調(diào)和性 (2)共軌性四點(diǎn)也構(gòu)成“調(diào)和點(diǎn)列”,即.(3)等比性(1)點(diǎn)是線段的內(nèi)、外分點(diǎn),.(2)若為橢圓或雙曲線，當(dāng)直線經(jīng)過曲線中心時(shí),.4.配極原則若點(diǎn)關(guān)于圓錐曲線的極線通過另一點(diǎn),則點(diǎn)的極線也通過,稱關(guān)于調(diào)和共軛.【證明】設(shè)點(diǎn),則相應(yīng)的極線為,點(diǎn),相應(yīng)的極線為:因?yàn)檫^點(diǎn)坐標(biāo)滿足方程,即則點(diǎn)坐標(biāo)滿足方程,這也說明,也就是過點(diǎn)配極原則說明:過點(diǎn)過點(diǎn),由此可得下面推論:推論1:共線點(diǎn)的極線必然共點(diǎn)（四點(diǎn)共線,它們的極線共交點(diǎn)）;共點(diǎn)線的極點(diǎn)必然共線（直線共交點(diǎn),它們的極點(diǎn)四點(diǎn)共線）.推論2：如下圖,過極點(diǎn)作兩條直線,與桞圓分別交于點(diǎn)和,則直線的交點(diǎn)必在極線上.5.橢圓的極點(diǎn)與極線的常用性質(zhì)對(duì)于橢圓,極點(diǎn)(不是原點(diǎn))對(duì)應(yīng)的極線為,有如下性質(zhì)：性質(zhì)1:“類焦點(diǎn)"與“類準(zhǔn)線”當(dāng)極點(diǎn)在軸上時(shí)，對(duì)應(yīng)的極線平行于軸，當(dāng)極點(diǎn)在軸上時(shí)對(duì)應(yīng)的極線平行于軸;特別地,當(dāng)極點(diǎn)為橢圓的焦點(diǎn)時(shí),極線為相應(yīng)的準(zhǔn)線.性質(zhì)2：平方模型如下圖,射線OP與橢圓交于點(diǎn)D,與點(diǎn)P的極線交于點(diǎn)C,則|OP|?|OC|=|OD|2;當(dāng)點(diǎn)P在x軸上時(shí),|性質(zhì)3：共軛方向設(shè)極點(diǎn)Px0,y0不在坐標(biāo)軸上,則直線OP的斜率為kOP=y【注】性質(zhì)3表明:橢圓內(nèi)一點(diǎn)P的極線方向與以極點(diǎn)P為中點(diǎn)的弦的方向相同，稱OP與極線方向共軛.當(dāng)極點(diǎn)Px0,y0在橢圓內(nèi)時(shí)，極線l平行于以P為中點(diǎn)的弦所在直線EF（用點(diǎn)差法易證）.設(shè)直線OP與橢圓相交于點(diǎn)D,過點(diǎn)D作橢圓的切線l1,則以P為中點(diǎn)的弦所在直線EF、過點(diǎn)D的切線性質(zhì)4:平行如下圖,設(shè)四邊形ABCD為橢圓的內(nèi)接梯形,AC//BD,AD∩BC=Q,則點(diǎn)P的極線過Q,且與直線AC、BD平行.特別地,若BC//AD//性質(zhì)5:垂直設(shè)圓錐曲線Γ的一個(gè)焦點(diǎn)為F,與F相應(yīng)的準(zhǔn)線為l,若過點(diǎn)F的直線與圓雉曲線Γ相交于M,N兩點(diǎn),則Γ在M,N兩點(diǎn)處的切線的交點(diǎn)Q在準(zhǔn)線【證明】以橢圓為例證明,雙曲線與拋物線類似處理.設(shè)Px0,y0,則Px0,y0對(duì)應(yīng)的極線為MN:x0xa2+y0性質(zhì)6：等角定理如下圖,A,B是橢圓Γ的一條對(duì)稱軸l上的兩點(diǎn)(不在Γ上）,若A,B關(guān)于Γ調(diào)和共軛,過A任作Γ的一條割線,交Γ于證明：因Γ關(guān)于直線l對(duì)稱,故在Γ上存在P,Q的對(duì)稱點(diǎn)P',Q'.若P'與Q重合,則Q'與P也重合,此時(shí)P,Q關(guān)于l對(duì)稱,有∠PAB=∠QAB；若P'與Q不重合,則Q'與P也不重合,由于A,B關(guān)于Γ調(diào)和共軛,故【注】事實(shí)上,性質(zhì)6對(duì)于圓錐曲線都成立.我們還可以得到下列結(jié)論:(1)直線PB與橢圓的另一交點(diǎn)為Q',則Q'與Q關(guān)于(2)∠PAO(3)kAP典型例題類型1:判斷位置關(guān)系【例1】已知點(diǎn)M(a,b)在圓OA.相切 B.相交 C.相離 D.不確定類型2:求極線方程【例2】過橢圓x29+y24=1內(nèi)一點(diǎn)M(1,2),作直線AB與橢圓交于點(diǎn)A,B,作直線CD與橢圓交于點(diǎn)C,【例3】設(shè)橢圓C:x2a2+(1)求敉圓C的方程;(2)當(dāng)過點(diǎn)P(4,1)的動(dòng)直線l于橢圓C相交于兩不同點(diǎn)A,B時(shí),在線段AB上取點(diǎn)Q,滿足|類型3：證明直線過定點(diǎn)或三點(diǎn)共線【例4】如圖,過直線l:5x?7y?70=0上的點(diǎn)P作橢圓x225+y(1)當(dāng)點(diǎn)P在直線l上運(yùn)動(dòng)時(shí),證明：直線MN恒過定點(diǎn)Q;(2)當(dāng)MN//l時(shí),定點(diǎn)Q平分線段【例5】已知A,B分別為橢圓E:x2a2+y2=1(a>1)的左、右頂點(diǎn),G為E的上頂點(diǎn),(1)求E的方程;（2）證明：直線CD過定點(diǎn).類型4:證明兩直線垂直【例6】已知A(?2,0),B(2,0),點(diǎn)C是動(dòng)點(diǎn),且直線AC和直線BC(1)求動(dòng)點(diǎn)C的軌跡方程;(2)設(shè)直線l與（1）中軌跡相切于點(diǎn)P,與直線x=4相交于點(diǎn)Q,且F(1,0),求證:類型5:證明向量數(shù)量積（或線段長(zhǎng)度之積）為定值【例7】如圖,橢圓有兩頂點(diǎn)A(?1,0),B(1,0),過其焦點(diǎn)F(0,1)的直線l與橢圓交于C、D兩點(diǎn),并與x軸交于點(diǎn)P,直線(1)當(dāng)|CD|=322（2）當(dāng)點(diǎn)P異于A、B兩點(diǎn)時(shí),求證：類型6:與斜率有關(guān)的定值問題【例8】設(shè)Px0,y0為桞圓x24+y2=1內(nèi)一定點(diǎn)(1)證明:直線AB的斜率為定值;(2)過點(diǎn)P作AB的平行線,與橢圓交于E、F兩點(diǎn),證明：點(diǎn)P平分線段【例9】如圖,橢圓E:x2a2+y2b2=1（a>b>0的離心率為22,直線l:y=1(1)求橢圓E的方程;(2)求證：直線MN的斜率為定值.【例10】四邊形ABCD是橢圓x23+y22=1的內(nèi)接四邊形,AB經(jīng)過左焦點(diǎn)F1,(1)證明:k1k2類型7:等角問題【例11】設(shè)橢圓C:x22+y2=1的右焦點(diǎn)為F,過F的直線l與(1)當(dāng)l與x軸垂直時(shí),求直線AM的方程;(2)設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn),證明:∠OMA【例12】如圖,已知橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>（1）求橢圓C的方程;(2)設(shè)P(1,0),Q(4,0),過點(diǎn)Q且斜率不為零的直線與橢圓C相交于類型8:三斜率成等差數(shù)列引理:二次曲線Γ:Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0與直線PQ交于點(diǎn)P,Q,定點(diǎn)O在直線PQ上,PQ與O點(diǎn)關(guān)于曲線C的極線交于點(diǎn)R.曲線C【證明】延長(zhǎng)XO交BC于點(diǎn)E,由定理5可知：B,E,【例13】桞圓C:x2a2+y2b2=1,P的坐標(biāo)是該結(jié)論對(duì)于拋物線,雙曲線同樣適用.