溫馨提示：此套題為Word版，請按住Ctrl,滑動鼠標(biāo)滾軸，調(diào)節(jié)合適的觀看比例，答案解析附后。關(guān)閉Word文檔返回原板塊。核心考點(diǎn)·精準(zhǔn)研析考點(diǎn)一與函數(shù)、方程、不等式有關(guān)的綜合問題

1.已知一批產(chǎn)品的不合格率為p(0<p<1),從中任取20件檢驗(yàn),記20件產(chǎn)品中恰好有2件不合格品的概率為f(p),則f(p)取到最大值時(shí),p=()2.已知離散型隨機(jī)變量X的分布列為Xx1x2P2pE(X)=43,D(X)=29,則px1x2的最小值為3.某超市計(jì)劃按月訂購一種酸奶,每天進(jìn)貨量相同,進(jìn)貨成本每瓶4元,售價(jià)每瓶6元,未售出的酸奶降價(jià)處理,以每瓶2元的價(jià)格當(dāng)天全部處理完.根據(jù)往年銷售經(jīng)驗(yàn),每天需求量與當(dāng)天最高氣溫(單位:℃)有關(guān).如果最高氣溫不低于25,需求量為500瓶;如果最高氣溫位于區(qū)間20,25,需求量為300瓶;如果最高氣溫低于20,需求量為200瓶.為了確定六月份的訂購計(jì)劃,統(tǒng)計(jì)了前三年六月份各天的最高氣溫?cái)?shù)據(jù),最高氣溫天數(shù)10,15215,201620,253625,302530,35735,404以最高氣溫位于各區(qū)間的頻率代替最高氣溫位于該區(qū)間的概率.(1)求六月份這種酸奶一天的需求量X(單位:瓶)的分布列.(2)設(shè)六月份一天銷售這種酸奶的利潤為Y(單位:元),當(dāng)六月份這種酸奶一天的進(jìn)貨量n(單位:瓶)為多少時(shí),Y的數(shù)學(xué)期望達(dá)到最大值. 導(dǎo)學(xué)號【解析】1.選A.根據(jù)題意得f(p)=C202p2(1p)因此f′(p)=C202[2p(1p)1818p2(1p)17]=2C20令f′(p)=0,得p=0.1.當(dāng)p∈(0,0.1)時(shí),f′(p)>0;當(dāng)p∈(0.1,1)時(shí),f′(p)<0.所以f(p)的最大值點(diǎn)為p0=0.1.所以p=0.1.23+p=1,所以p=1又因?yàn)镋(X)=23x1+13x2=D(X)=23x1-4解得x1=1,x2=2或x1=53,x2所以px1x2的最小值為1027答案:103.(1)由題意得,X的可能取值為200,300,500.根據(jù)題意,結(jié)合頻數(shù)分布表,用頻率估計(jì)概率可知P(X=200)=2+1690=15,P(X=300)=3690P(X=500)=25+7+490=2所以六月份這種酸奶一天的需求量X的分布列為:X200300500P122(2)①當(dāng)200≤n≤300時(shí),若X=200,則Y=(64)X+(24)(nX)=4X2n=8002n,P(Y=8002n)=15若X=300時(shí),則Y=(64)n=2n,P(Y=2n)=25若X=500時(shí),則Y=(64)n=2n,P(Y=2n)=25所以Y的分布列為:Y8002n2n2nP122所以E(Y)=15×(8002n)+25×2n+2=65n+160,所以當(dāng)n=300時(shí),E(Y)max=520(元②當(dāng)300<n≤500時(shí),若X=200,則Y=(64)X+(24)(nX)=8002n,P(Y=8002n)=15若X=300時(shí),則Y=(64)X+(24)(nX)=12002n,P(Y=12002n)=25若X=500時(shí),則Y=(64)n=2n,P(Y=2n)=25所以Y的分布列為:Y8002n12002n2nP122所以E(Y)=15×(8002n)+25×(12002n)+25×2n=25n+640<2綜上,當(dāng)n為300瓶時(shí),Y的數(shù)學(xué)期望達(dá)到最大值.與函數(shù)、方程、不等式有關(guān)的綜合問題的解法1.與函數(shù)有關(guān)的問題,結(jié)合概率,方差,均值的公式列出函數(shù)表達(dá)式,再利用函數(shù)的性質(zhì)(單調(diào)性、最值等)求解.2.與方程、不等式有關(guān)的問題,結(jié)合均值、方差公式列出方程或不等式,解方程或不等式即可.考點(diǎn)二與數(shù)列有關(guān)的綜合問題

【典例】(2019·全國卷Ⅰ)為治療某種疾病,研制了甲、乙兩種新藥,希望知道哪種新藥更有效,為此進(jìn)行動物試驗(yàn).試驗(yàn)方案如下:每一輪選取兩組白鼠對藥效進(jìn)行對比試驗(yàn).對于兩組白鼠,當(dāng)其中一種藥治愈的白鼠比另一種藥治愈的白鼠多4只時(shí),就停止試驗(yàn),并認(rèn)為治愈只數(shù)多的藥更有效.為了方便描述問題,約定:對于每輪試驗(yàn),若施以甲藥的白鼠治愈且施以乙藥的白鼠未治愈則甲藥得1分,乙藥得1分;若施以乙藥的白鼠治愈且施以甲藥的白鼠未治愈則乙藥得1分,甲藥得1分;若都治愈或都未治愈則兩種藥均得0分.甲、乙兩種藥的治愈率分別記為α和β,一輪試驗(yàn)中甲藥的得分記為X.導(dǎo)學(xué)號(1)求X的分布列.(2)若甲藥、乙藥在試驗(yàn)開始時(shí)都賦予4分,pi(i=0,1,…,8)表示“甲藥的累計(jì)得分為i時(shí),最終認(rèn)為甲藥比乙藥更有效”的概率,則p0=0,p8=1,pi=api1+bpi+cpi+1(i=1,2,…,7),其中a=P(X=1),b=P(X=0),c=P(X=1).假設(shè)α=0.5,β=0.8.①證明:{pi+1pi}(i=0,1,2,…,7)為等比數(shù)列;②求p4,并根據(jù)p4的值解釋這種試驗(yàn)方案的合理性.【解析】(1)X的所有可能取值為1,0,1.P(X=1)=(1α)β,P(X=0)=αβ+(1α)(1β),P(X=1)=α(1β),所以X的分布列為X101P(1α)βαβ+(1α)(1β)α(1β)(2)①由(1)得a=0.4,b=0.5,c=0.1.因此pii1ii+1,故0.1(pi+1pi)=0.4(pipi1),即pi+1pi=4(pipi1).又因?yàn)閜1p0=p1≠0,所以{pi+1pi}(i=0,1,2,…,7)為公比為4,首項(xiàng)為p1的等比數(shù)列.②由①可得p8=p8p7+p7p6+…+p1p0+p0=(p8p7)+(p7p6)+…+(p1p0)=48-1由于p8=1,故p1=348-1,所以p4=(p4p3)+(p3p2)+(p2p1)+(p1p0)=44p4表示最終認(rèn)為甲藥更有效的概率,由計(jì)算結(jié)果可以看出,在甲藥治愈率為0.5,乙藥治愈率為0.8時(shí),認(rèn)為甲藥更有效的概率為p4=1257≈解決離散型隨機(jī)變量與數(shù)列交匯的綜合問題的方法把離散型隨機(jī)變量的分布列、方差、均值用表達(dá)式表示出來,結(jié)合數(shù)列中等比數(shù)列、等差數(shù)列的定義、通項(xiàng)、求和等思想方法,分拆為一個(gè)個(gè)小問題,各個(gè)擊破,最后解答整個(gè)問題.某情報(bào)站有A,B,C,D四種互不相同的密碼,每周都是從上周未使用的三種密碼中等可能地隨機(jī)選用一種.設(shè)第一周使用A種密碼,則第7周也使用A種密碼的概率為________________.(用最簡分?jǐn)?shù)表示)

【解析】用Pk表示第k周用A種密碼的概率,則第k周未用A種密碼的概率為1Pk,所以Pk+1=131-Pk所以Pk+114=1由P1=1知,數(shù)列Pk-14是首項(xiàng)為34,公比為13所以Pk=14+34-13k-1,P答案:61考點(diǎn)三與統(tǒng)計(jì)交匯的綜合問題

命題精解讀1.考什么:與統(tǒng)計(jì)知識交匯命題,考查統(tǒng)計(jì)背景下離散型隨機(jī)變量的分布列、均值、方差的計(jì)算問題.2.怎么考:與統(tǒng)計(jì)中頻率分布直方圖、獨(dú)立性檢驗(yàn)、線性回歸方程、莖葉圖等知識結(jié)合,綜合考查統(tǒng)計(jì)中的數(shù)字特征和概率分布中的均值、方差.3.新趨勢:概率與統(tǒng)計(jì)結(jié)合,綜合考查離散型隨機(jī)變量的分布列、均值、方差等.學(xué)霸好方法與統(tǒng)計(jì)知識交匯問題的解決方法:(1)熟練掌握統(tǒng)計(jì)中抽樣方法、用樣本估計(jì)總體的思想,掌握頻率分布直方圖、莖葉圖、條形圖等統(tǒng)計(jì)圖形的意義,熟記平均數(shù)、方差、標(biāo)準(zhǔn)差的公式.(2)正確求解離散型隨機(jī)變量的分布列、均值、方差,熟悉二項(xiàng)分布、正態(tài)分布的模型.與統(tǒng)計(jì)中的頻率分布表、頻率分布直方圖等有關(guān)的綜合問題【典例】一個(gè)不透明的袋子中裝有4個(gè)形狀相同的小球,分別標(biāo)有不同的數(shù)字2,3,4,x,現(xiàn)從袋中隨機(jī)摸出2個(gè)球,并計(jì)算摸出的這2個(gè)球上的數(shù)字之和,記錄后將小球放回袋中攪勻,進(jìn)行重復(fù)試驗(yàn).記A事件為“數(shù)字之和為7”.試驗(yàn)數(shù)據(jù)如表: 導(dǎo)學(xué)號摸球總次數(shù)“和為7”出現(xiàn)的頻數(shù)“和為7”出現(xiàn)的頻率101209301460249026120371805824082330109450150參考數(shù)據(jù)≈13(1)如果試驗(yàn)繼續(xù)下去,根據(jù)上表數(shù)據(jù),出現(xiàn)“數(shù)字之和為7”的頻率將穩(wěn)定在它的概率附近.試估計(jì)“出現(xiàn)數(shù)字之和為7”的概率,并求x的值.(2)在(1)的條件下,設(shè)定一種游戲規(guī)則:每次摸2球,若數(shù)字和為7,則可獲得獎金7元,否則需交5元.某人摸球3次,設(shè)其獲獎金額為隨機(jī)變量η元,求η的數(shù)學(xué)期望和方差.【解析】(1)由數(shù)據(jù)表可知,當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)增加時(shí),頻率穩(wěn)定在0.33附近,所以可以估計(jì)“出現(xiàn)數(shù)字之和為7”的概率為13因?yàn)镻(A)=13=2則有3+4=2+x=7,解得x=5.(2)設(shè)ξ表示3次摸球中A事件發(fā)生的次數(shù),則ξ～A3,13,E(ξ)=3×13=1,D(ξ)=3×13×23=則η=7ξ5(3ξ)=12ξ15,E(η)=E(12ξ15)=12E(ξ)15=1215=3,D(η)=D(12ξ15)=144D(ξ)=144×23與統(tǒng)計(jì)中的回歸直線方程、獨(dú)立性檢驗(yàn)有關(guān)的綜合問題【典例】隨著的發(fā)展,“微信”逐漸成為人們交流的一種形式,某機(jī)構(gòu)對“使用微信交流”的態(tài)度進(jìn)行調(diào)查,隨機(jī)抽取了50人,他們年齡的頻數(shù)分布及對“使用微信交流”贊成人數(shù)如表:年齡(單位:歲)頻數(shù)贊成人數(shù)15,255525,35101035,45151245,5510755,655265,7551(1)若以“年齡55歲為分界點(diǎn)”,由統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)完成2×2列聯(lián)表,并判斷是否有99.9%的把握認(rèn)為“使用微信交流”的態(tài)度與人的年齡有關(guān).年齡不低于55歲的人數(shù)年齡低于55歲的人數(shù)總計(jì)贊成不贊成總計(jì)(2)若從年齡不低于55歲的被調(diào)查人中隨機(jī)選取3人進(jìn)行追蹤調(diào)查,求3人中贊成“使用微信交流”的人數(shù)的分布列和均值.參考數(shù)據(jù): 導(dǎo)學(xué)號Pχx0χ2=n(ad-bc【解析】(1)2×2列聯(lián)表如下:年齡不低于55歲的人數(shù)年齡低于55歲的人數(shù)總計(jì)贊成33437不贊成7613總計(jì)104050χ2=50×(3×6所以有99.9%的把握認(rèn)為“使用微信交流”的態(tài)度與人的年齡有關(guān).(2)設(shè)3人中贊成“使用微信交流”的人數(shù)為X,則X的取值為0,1,2,3,由(1)中數(shù)據(jù)可得年齡不低于55歲的人數(shù)為10,其中贊成“使用微信交流”的人數(shù)為3,不贊成“使用微信交流”的人數(shù)為7,所以PX=0=C73C103=724PX=2=C71C32C103所以X的分布列為X0123P72171所以均值為E(X)=0×724+1×2140+2×740+3×1與統(tǒng)計(jì)中的平均數(shù)、方差等數(shù)字特征有關(guān)的綜合問題【典例】為了保障某種藥品的主要藥理成分在國家藥品監(jiān)督管理局規(guī)定的范圍內(nèi),某制藥廠在該藥品的生產(chǎn)過程中,檢驗(yàn)員在一天中按照規(guī)定每間隔2小時(shí)對該藥品進(jìn)行檢測,每天檢測4次:每次檢測由檢驗(yàn)員從該藥品生產(chǎn)線上隨機(jī)抽取20件藥品進(jìn)行檢測,測量其主要藥理成分含量(單位:mg).根據(jù)生產(chǎn)經(jīng)驗(yàn),可以認(rèn)為這條藥品生產(chǎn)線正常狀態(tài)下生產(chǎn)的藥品的主要藥理成分含量服從正態(tài)分布N(μ,σ2). 導(dǎo)學(xué)號(1)假設(shè)生產(chǎn)狀態(tài)正常,記X表示某次抽取的20件藥品中主要藥理成分含量在(μ3σ,μ+3σ)之外的藥品件數(shù),求P(X=1)(精確到0.0001)及X的數(shù)學(xué)期望.(2)在一天內(nèi)四次檢測中,如果有一次出現(xiàn)了主要藥理成分含量在(μ3σ,μ+3σ)之外的藥品,就認(rèn)為這條生產(chǎn)線在這一天的生產(chǎn)過程可能出現(xiàn)異常情況,需對本次的生產(chǎn)過程進(jìn)行檢查;如果在一天中,有連續(xù)兩次檢測出現(xiàn)了主要藥理成分含量在(μ3σ,μ+3σ)之外的藥品,則需停止生產(chǎn)并對原材料進(jìn)行檢測.①下面是檢驗(yàn)員在某次抽取的20件藥品的主要藥理成分含量:10.02,9.78,10.04,9.92,10.14,10.04,9.22,10.13,9.91,9.95,10.09,9.96,9.88,10.01,9.98,9.95,10.05,10.05,9.96,10.12.經(jīng)計(jì)算得x=120∑i=120xi=9.96,s=其中xi為抽取的第i件藥品的主要藥理成分含量,i=1,2,…,20,用樣本平均數(shù)x作為μ的估計(jì)值μ′,用樣本標(biāo)準(zhǔn)差s作為σ的估計(jì)值σ′,利用估計(jì)值判斷是否需對本次的生產(chǎn)過程進(jìn)行檢查.②試確定一天中需停止生產(chǎn)并對原材料進(jìn)行檢測的概率(精確到0.001).附:若隨機(jī)變量Z服從正態(tài)分布Nμ,則P(μ3σ<Z≤3,319≈320≈62≈42≈6【解析】(1)抽取的一件藥品的主要藥理成分含量在(μ3σ,μ+3σ)之內(nèi)的概率為0.9973,從而主要藥理成分含量在(μ3σ,μ+3σ)之外的概率為0.0027,故X～B(20,0.0027).因此P(X=1)=C201(0.9973)19×0.0027X的數(shù)學(xué)期望為E(X)=20×0.0027=0.054.(2)①由x=9.96,s=0.19,得μ的估計(jì)值為μ′=9.96,σ的估計(jì)值為σ′=0.19,由樣本數(shù)據(jù)可以看出有一件藥品的主要藥理成分含量(9.22)在(μ′3σ′,μ′+3σ′)=(9.39,10.53)之外,因此需對本次的生產(chǎn)過程進(jìn)行檢查.②設(shè)“在一次檢測中,發(fā)現(xiàn)需要對本次的生產(chǎn)過程進(jìn)行檢查”為事件A,則P(A)=1[P(X=0)]20≈1(0.9973)20≈10.9474=0.0526,如果在一天中,需停止生產(chǎn)并對原材料進(jìn)行檢測,則在一天的四次檢測中,有連續(xù)兩次出現(xiàn)了主要藥理成分含量在(μ3σ,μ+3σ)之外的藥品,故概率為P=3[P(A)]2×[1P(A)]2≈3×(0.0526)2×(0.9474)2≈0.007,所以一天中需停止生產(chǎn)并對原材料進(jìn)行檢測的概率為0.007.1.某地農(nóng)民種植A種蔬菜,每畝每年生產(chǎn)成本為7000元,A種蔬菜每畝產(chǎn)量及價(jià)格受天氣、市場雙重影響,預(yù)計(jì)明年雨水正常的概率為23,雨水偏少的概率為13.若雨水正常,A種蔬菜每畝產(chǎn)量為2000千克,單價(jià)為6元/千克的概率為14,單價(jià)為3元/千克的概率為34;若雨水偏少,A種蔬菜每畝產(chǎn)量為16元/千克的概率為23,單價(jià)為3元/千克的概率為1(1)計(jì)算明年農(nóng)民種植A種蔬菜不虧本的概率.(2)在政府引導(dǎo)下,計(jì)劃明年采取“公司加農(nóng)戶,訂單農(nóng)業(yè)”的生產(chǎn)模式,某公司未來不增加農(nóng)民生產(chǎn)成本,給農(nóng)民投資建立大棚,建立大棚后,產(chǎn)量不受天氣影響,因此每畝產(chǎn)量為2500千克,農(nóng)民生產(chǎn)的A種蔬菜全部由公司收購,為保證農(nóng)民的每畝預(yù)期收入增加1000元,收購價(jià)格至少為多少?【解析】(1)只有當(dāng)價(jià)格為6元/千克時(shí),農(nóng)民種植A種蔬菜才不虧本,所以農(nóng)民種植A種蔬菜不虧本的概率是P=23×14+13×2(2)按原來模式種植,設(shè)農(nóng)民種植A種蔬菜每畝收入為ξ元,則ξ可能取值為:5000,2000,1000,2500.P(ξ=5000)=23×14=P(ξ=2000)=13×23=P(ξ=1000)=23×34=P(ξ=2500)=13×13=E(ξ)=5000×16+2000×291000×122500×1即a≥2.“黃梅時(shí)節(jié)家家雨”“梅雨如煙暝村樹”“