光子晶體帶隙結(jié)構(gòu)的理論計算方法

1光子晶體的特性光矩陣是一種彎曲周期變化的人工微結(jié)構(gòu)材料。它的典型結(jié)構(gòu)是一個彎曲周期變化的三維物體，周期為光波的長度。這些材料的行為與電子在凝縮性材料中的行為相似。在這種情況下，可以有類似于半帶帶結(jié)構(gòu)的禁帶，即光帶的間隙。落在光帶中的聲波不能傳播到光矩陣。光矩陣特征具有很大的理論價值和潛在應(yīng)用前景。光帶的發(fā)現(xiàn)意味著頻率波動中的自發(fā)射源受到抑制，這改變了原子、分子和激勵系統(tǒng)的基本特征。與普通半夏相比，在光矩陣中混合后，引入了局域模式，這為激光技術(shù)和非線性光學(xué)等帶來了新的應(yīng)用，如零閾值檢測器、光矩陣成像等。光子晶體的理論計算已相對成熟,但如何利用較為簡單易行的方法去估算制造參數(shù)和選取介質(zhì)仍然是一個很重要的手段和方面.相對而言,一維光子晶體在結(jié)構(gòu)上最為簡單,易于制備,且有多種應(yīng)用.在計算上也最易于提出模型,進行模擬計算.本文旨在提出一種相對簡單但實用的理論計算方法,即用特征矩陣法計算一維光子晶體的帶隙結(jié)構(gòu),并討論了一維光子晶體在不同結(jié)構(gòu)參數(shù)和成分參數(shù)下的光學(xué)傳輸特性.21.納米晶帶的間隙結(jié)構(gòu)2.1維介質(zhì)模型考慮由兩種不同相對介電常量(εa,εb)、厚度(a,b)的薄介質(zhì)層交替排列構(gòu)成的一維周期性結(jié)構(gòu)材料.如圖1所示,空間周期為d=a+b,一束頻率為ω的光從左向右正入射到圖中所示的一維周期性結(jié)構(gòu)材料中.計算模型如圖2所示,將光波在介質(zhì)層中的行進看作是正向行進電磁波(下行波)和反向行進電磁波(上行波)的疊加.介質(zhì)交界面處的電磁場滿足邊界條件.每一介質(zhì)層與光波的相互作用可由其特征矩陣完全決定.介質(zhì)層兩邊的場矢量EⅠ,HⅠ,EⅡ,HⅡ的?？捎锰卣骶仃嚶?lián)系起來:[EⅠΗⅠ]=Μ[EⅡΗⅡ].(1)下面就單介質(zhì)層的情況來導(dǎo)出特征矩陣M的表達式.2.2特征矩陣的建立如圖2所示,E0,H0表示界面Ⅰ的na一側(cè)的場矢量,EⅠ,HⅠ表示界面Ⅰ的nb一側(cè)的場矢量,EⅡ,HⅡ表示界面Ⅱ的nc一側(cè)的場矢量.在界面Ⅰ上有入射光波Ei1\,反射光波Er1、透射光波Et1以及由介質(zhì)nb入射到界面Ⅰ上的光波E′r2.當(dāng)介質(zhì)中無自由電荷或傳導(dǎo)電流時,根據(jù)電磁場邊界條件,界面處的電偏振E和磁偏振H的切向分量連續(xù).假設(shè)入射光波的電偏振E垂直入射面,即先考慮TE模.以En,Hn表示界面n處電偏振E和磁偏振H的切向分量,因在同一界面兩側(cè),顯然有E0=EⅠ,H0=HⅠ(注:為便于說明,以斜入射模型列式討論,考慮正入射時只需令所有入射角、透射角、反射角均為零即可.)對界面Ⅰ:{EⅠ=Ei1+Er1=Et1+E′r2,ΗⅠ=Ηi1cosθi1-Ηr1cosθi1=Ηt1cosθi2-Η′r2cosθi2.(2)對界面Ⅱ,EⅡ,HⅡ可有類似公式.考察界面Ⅰ上的透射場Et1(x,y,z=0)與界面Ⅱ上的入射場Ei2(x,y,x=b):Et1=Et10e-i(kxx+kzz)|z=0,Ei2=Et10e-i(kxx+kzz)|z=b=Et1e-ikzb=Et1eiδb,(3)式中δb=-kzhb=-ωcnbbcosθb(θb=θt1=θi2)表示波矢為k的平面波在介質(zhì)層中,垂直橫跨過兩個界面時的相位差(即在z方向上的相位差,x方向上的相位差當(dāng)入射角θi較小的可忽略).同樣,E′r2=Er2eiδb.(4)根據(jù)Η=√εμE=√ε0μ0E√εr(式中已取μr≈1),由(1)—(4)式可得{EⅠ=cosδbEⅡ-iηbsinδbΗⅡ?ΗⅠ=-iηbsinδbEⅡ+cosδbΗⅡ?式中ηb=√ε0μ0√εbcos2θb.寫為矩陣運算有[EⅠΗⅠ]=[cosδb-iηbsinδb-iηbsinδbcosδb][EⅡΗⅡ].(5)上述推導(dǎo)是對于E偏振與入射面垂直的情況即TE模所作,類似地可對TM模作推導(dǎo),得類似于上式的結(jié)果,只是在TM模情況下(若考慮正入射,則TE模與TM模情況相同)ηi=√ε0μ0√εicos2θi,故得單介質(zhì)層的特征矩陣為(TE模)Μj=[cosδj-iηjsinδj-iηjsinδjcosδj],式中{δj=-?c√εjhjcosθj,ηj=√ε0μ0√εjcos2θj.(6)以上是針對模型圖1中間各介質(zhì)層中既有左行波,又有右行波的情況討論的,而對模型圖1的最后一個界面而言,將只有右行波,沒有左行波.這相當(dāng)于E′rN+2=0,H′rN+2=0.此時仍然可以推出上式.對于一維周期性結(jié)構(gòu)的情況(圖1),可逐層應(yīng)用(5)式的單介質(zhì)層特征矩陣方程.對第N層介質(zhì),其左界面的場矢量為EN,HN,右界面的場矢量為EN+1,HN+1,則有[EΝΗΝ]=(ΜΝ)[EΝ+1ΗΝ+1].依次逐層類推,可得如模型圖1所示的一維周期性結(jié)構(gòu):[E1Η1]=Μ1Μ2\:ΜΝ[EΝ+1ΗΝ+1]=ΜaΜbΜa\:ΜbΜa[EΝ+1ΗΝ+1]=Μ[EΝ+1ΗΝ+1]=[ABCD][EΝ+1ΗΝ+1],(7)式中M=MaMbMa\:MbMa就是一維周期性結(jié)構(gòu)的特征矩陣.2.3維周期結(jié)構(gòu)的數(shù)值計算分別在第Ⅰ個界面及第N+1個界面上列電磁場分量方程,并將求得的E1,H1,EN+1,HN+1代入(7)式,展開可求得模型圖1所示的一維周期性結(jié)構(gòu)的兩側(cè)均為空氣,故有ηN+1=η0.利用(8)式編程運算,可以得到一維光子晶體的反射率(或透射率)隨入射光角頻率ω的變化關(guān)系,從而得到一維光子晶體的帶隙結(jié)構(gòu).對模型圖1所示的一維周期性結(jié)構(gòu)(當(dāng)介質(zhì)層數(shù)N較大時,可近似看作周期結(jié)構(gòu)),由布洛赫定理,界面處的場矢量滿足:[EΝ+2ΗΝ+2]=eikd[EΝΗΝ](k為布洛赫波矢)?(9)又由特征矩陣方法可得[EΝΗΝ]=ΜaΜb[EΝ+2ΗΝ+2],(10)于是[EΝΗΝ]=ΜaΜb[EΝ+2ΗΝ+2]=e-ikd[EΝ+2ΗΝ+2].(11)由定解條件det(MaMb-e-ikd)=0,可得到模型圖1所示的一維周期性結(jié)構(gòu)的色散關(guān)系如下(正入射時,θa=θb=0):coskd=cosδacosδb-12(ηaηb+ηbηa)sinδasinδb,(12)式中δa=-?cεaa,δb=-?cεbb,ηa=ε0μ0εa,ηb=ε0μ0εb.如果將kd限制在0≤kd≤π范圍內(nèi),可以得到如圖3(a)和圖4(a)所示的一維光子晶體的簡約布里淵區(qū)圖像.3計算示例3.1維光子晶體的帶隙結(jié)構(gòu)用上面討論的方法,通過計算機編程,可以求出一維光子晶體的特征矩陣M中的A,B,C,D4個矩陣元,然后利用(8)式,即可求出一維光子晶體的帶隙結(jié)構(gòu).作為本文理論模型的驗證,我們采用文獻所用參數(shù),以便對比.介質(zhì)層a為ZnS,εa=5.5225,介質(zhì)層厚度a=740nm;介質(zhì)層b為MgF2,εb=1.9044,介質(zhì)層厚度b=1260nm.空間周期d=a+b=2000nm.一維周期性結(jié)構(gòu)的空間周期數(shù)為10,共21層介質(zhì),介質(zhì)層a的填充率因子f=a/d=0.37.基頻ω0(即第一禁帶的中心頻率)由{na=εa?nb=εb,n=(naa+nbb)/d,k0=π/d,ω0=ck0/n=cπnaa+nbb(13)決定(按上述參數(shù),可求得ω0≈271THz,對應(yīng)的光波段波長為6955.6nm).因此,通過改變一維光子晶體的空間周期d(或a,b)或者用不同介電常量的介質(zhì),可以得到不同的帶隙基頻ω0,進而得到不同的倍頻帶隙.通過計算得到如圖3和圖4所示的一維光子晶體的帶隙結(jié)構(gòu).圖3(a)為由模型圖1描述的一維周期性結(jié)構(gòu)的色散關(guān)系.圖3(b)為透射率T與入射光波頻率ω的關(guān)系,正入射時TE模與TM模的情況相同.作為與文獻的對比驗證,圖3中取naa=nbb,發(fā)現(xiàn)基頻ω0的偶數(shù)倍頻處的禁帶消失;而當(dāng)取naa≠nbb時,將得到如圖4所示的帶隙結(jié)構(gòu),基頻ω0的偶數(shù)倍頻處的禁帶保留,結(jié)果與文獻完全相同,這也就從一個側(cè)面佐證了本文方法的可靠性.偶數(shù)倍頻處的禁帶是否保留可從(12)式的色散關(guān)系加以解釋:當(dāng)ω=2mω0時,若naa=nbb,則可得到coskd=1,這樣的k存在,故無帶隙;而當(dāng)naa≠nbb時,由色散關(guān)系式可以得到coskd<-1或coskd>1,這樣的k不存在,即為禁帶.利用本文方法,討論了第一帶隙的寬度及中心頻率隨介質(zhì)a的介電常量εa的變化規(guī)律,得到與文獻相同的結(jié)果,進一步證明了本文方法的可信性.在此基礎(chǔ)之上,還討論了第一帶隙的寬度及中心頻率隨介質(zhì)層a的填充率因子f的變化關(guān)系,如圖5和圖6所示.發(fā)現(xiàn)其與第一帶隙的寬度及中心頻率隨εa的變化規(guī)律大體相同.在實際應(yīng)用過程中,總是希望設(shè)計出的器件具有較寬的“禁帶”,以抑制無序漲落的影響,從而帶來更多的應(yīng)用.從上面的分析可以看出,可以利用光子晶體的理論指導(dǎo)設(shè)計具有寬“禁帶”的人工材料,而且使得設(shè)計出的材料具有盡可能大的禁帶寬度.3.2摻雜方式的確定類似于電子結(jié)構(gòu)的摻雜,半導(dǎo)體中摻雜形成的施主能級或受主能級產(chǎn)生許多新的現(xiàn)象,使得現(xiàn)代集成電路迅速發(fā)展.同樣在光子晶體中摻雜后,會在光子能隙中引入新的電磁波模式,形成摻雜能級(頻率),這將給激光技術(shù)和非線性光學(xué)帶來全新的應(yīng)用.此類問題用完整晶體能帶理論計算相當(dāng)復(fù)雜,但用本文方法計算摻雜則要相對簡單得多,而且當(dāng)改變摻雜方式時操作十分方便.文獻考慮了在如圖1所示的一維周期性結(jié)構(gòu)的最中間一層摻入雜質(zhì)層的情況.如果改變摻雜方式,在一維周期性結(jié)構(gòu)的最中間及兩端都摻入雜質(zhì)層,發(fā)現(xiàn)帶隙結(jié)構(gòu)將發(fā)生很大變化,基本的主帶隙的位置及寬度大體不變,而在主帶隙的邊緣出現(xiàn)摻雜缺陷模式,在主帶隙之間出現(xiàn)了一系列的等間距窄帶隙(見圖7).3.3自由電子金屬模型以上討論都是基于介電常量ε與頻率ω?zé)o關(guān)的前提下進行的,即認(rèn)為ε為常量.本文所提出的特征矩陣法也適用于介質(zhì)的介電常量ε隨入射光波頻率ω變化的情況,只需在以上各式中用ε(ω)代替ε即可,前提是必須知道ε對ω的顯式依賴關(guān)系.ε(ω)=1-ωp2ω2,(14)ε(ω)=ε∞ωL2-ω2ωΤ2-ω2.(15)如果考慮一種由金屬薄層與空氣層相間排列的一維周期性結(jié)構(gòu),金屬薄層a的厚度取為700nm,介電常量ε(ω)由(14)式所示的自由電子金屬模型決定,其中ωp為導(dǎo)帶電子等離子體頻率;空氣層厚度b取為6300nm,介電常量ε=1.0,d=7000nm,填充率因子f=0.1,可以得到其帶隙結(jié)構(gòu),如圖8所示.可以發(fā)現(xiàn)隨入射光波頻率的增大,帶隙寬度逐漸減小至趨于零,即在高頻波段無帶隙存在.另外,由于沒有考慮金屬的吸收,所以在圖8中高頻波段的透射率為1.如果考慮由一種簡單立方雙原子極性半導(dǎo)體或離子晶體如GaAs與空氣層相間排列的一維周期性結(jié)構(gòu),參量與上述自由電子金屬模型相同,只是GaAs的介電常量ε(ω)由(15)式?jīng)Q定,其中ε∞是高頻(光頻)介電常量,ωT和ωL分別為晶格長光學(xué)波橫波頻率和縱波頻率,對GaAs晶體,ε∞=10.9,ωT=8.12THz,ωL=8.75THz.得到其帶隙結(jié)構(gòu)如圖9所示.從圖中透射率與入射光波頻率的T-ω關(guān)系和色散關(guān)系的對比中可以看出,兩者在很高符合程度上都預(yù)示出了帶隙的位置及寬度.同樣,若考慮有損耗介質(zhì)(如金屬)時,直接將表征有損耗介質(zhì)性質(zhì)的復(fù)介電常量代入上述各式進行復(fù)數(shù)運算即可.限于篇幅,在此不另作舉例,但有損耗介質(zhì)也是制造實際器件時要考慮的一個極為重要的因素.4e.y.rev.會t.3.3.3.3.3.3.3本文詳細(xì)推導(dǎo)了一種計算一維光子晶體帶隙結(jié)構(gòu)的方法——特征矩陣法,并可推廣到介電常量ε隨入射光波頻率ω變化的介質(zhì)層的情況和復(fù)介電常量介質(zhì)層的情況.通過計算討論了一維光子晶體的光學(xué)傳輸特性,如色散關(guān)系、帶隙結(jié)構(gòu)及分布;還討論了在一維光子晶體中摻入雜質(zhì)層時,引入新的電磁波模式的情況.本文方法所得結(jié)果與用其他方法如本征值方法、FDTD等方法所得結(jié)果完全符合,表明本文方法的正確性和可信性.但本文方法的計算速度明顯高于本征值方法、FDTD等方法,而且本文方法更容易進行各種參數(shù)調(diào)節(jié),便于作出各種參數(shù)變化曲線,因而本文方法是一種能考慮到多種結(jié)構(gòu)和成分等物理參數(shù)實際情況的簡單易行的設(shè)計理論,它為高維器件的制作提供了初級估算.值得指出的是本文方法可以較易擴展至二維情況,將在另文發(fā)表.E.Yablonovitch,Phys.Rev.Lett.,58(1987),2059.S.John,Phys.Rev.Lett.,58(1987),2486.E.Yablonovitch,J.Gmitter,Phys.Rev.Lett.,63(1989),1950.C.M.Soukoulis,PhotonicBandGapMaterials(KluwerAcademic,Dordrecht,1996).S.John,J.Wang,Phys.Rev.,B43(1991),12772.G.C.Gu,H.Q.Lietal.,ActaOpt.Sin.,20(2000),728(inChinese)[顧國昌、李宏強等,光學(xué)學(xué)報,20(2000),728].X.Y.Liu,ActaPhys.Sin.,49(2000),189(inChinese)