1.1. 彈性動力學(xué)有限元基本解法結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的通用運(yùn)動學(xué)方程為：MU+CU+KU=R（1）求解該動力學(xué)振動響應(yīng)主要有三類方法：（1）時域法（2）頻域法（3）響應(yīng)譜法時域法又可分為：（1）直接積分法，（2）模態(tài)疊加法。直接積分法又可分為中心差分法（顯式），Wilson0（隱式）法以及Newmark（隱式）法等。本文介紹中心差分法（顯式）與Newmark（隱式）法。1中心差分法（顯式）假定0，11，t2，…，撲時刻的節(jié)點位移，速度與加速度均為已知，現(xiàn)求解撲（t+At）時刻的結(jié)構(gòu)響應(yīng)。中心差分法對加速度，速度的導(dǎo)數(shù)采用中心差分代替，即為：U=1（U-2U+U）tAt2t-At t t+AtU=^—（U -U） （2）t2At t+At t-At將（2）式代入（1）式后整理得到Mu=R （3）.t+At.t式（3）中M=^—M+^―CAt2 2AtR=R-（K--^M）U-（^―M-^―C）Utt At2 t At2 2At t-At分別稱為有效質(zhì)量矩陣，有效載荷矢量。R，M，C，K為結(jié)構(gòu)載荷，質(zhì)量，阻尼，剛度矩陣。求解線性方程組（3），即可獲得t+At時刻的節(jié)點位移向量氣山，將氣山代回幾何方程與物理方程，可得t+At時刻的單元應(yīng)力和應(yīng)變。中心差分法在求解t+at瞬時的位移u+草時，只需t+at時刻以前的狀態(tài)變量u和u草，然后計算出有效質(zhì)量矩陣M，有效載荷矢量Rt，即可求出u ，故稱此解法為顯式算法。 ’"t t t-At '中心；差分法，在開始計算時，需要仔細(xì)處理。t=0時，要計算U草，需要知道Ut的值。因此應(yīng)該有一個起始技術(shù)，因而該算法不是自動起步的。由于u0，U0，U0是已知的，由t=0時的（2）式可知： At -At

.. △t2..U=U0-AtU0+——UQ中心差分法中時間步長At的選擇涉及兩個方面的約束：數(shù)值算法的穩(wěn)定性和計算時間。中心差分法的實質(zhì)是用差分代替微分，并且對位移和加速度的導(dǎo)數(shù)采用線性外插，這限制了At的取值不可過大，否則結(jié)果可能失真過大。可以證明：中心差分法是條件穩(wěn)定的。即當(dāng)時間步長at必須小于由該問題求解方程性質(zhì)所決定的一個時間步長的臨界值。LS-DYNA中，采用“變時間步長法”，即每一時刻的步長at由當(dāng)前結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定性條件來控制。具體算法為：計算每一個單元的極限時間步長at，/=1,2…，取At=min(At)為下一個時刻的時間步長。各種單元的At計算方法如下。 “(1)1D桿，梁單元 ”其中a為時間步長因子，系統(tǒng)默認(rèn)為0.9。L為桿，梁單元的長度。材料聲速。(2)2D板，殼單元At=a其中a為時間步長因子，系統(tǒng)默認(rèn)為0.9。L為桿，梁單元的長度。材料聲速。(2)2D板，殼單元At=amin

eC其中a為時間步長因子，系統(tǒng)默認(rèn)為0.9。L為殼單元的最小單元邊長度。C=:' —為材料的聲速。\(1-v2)Pmin(3)3D單元eQ+(Q2+C2)1/2其中fCC+CL8|(8 <0), 1 0ekkkkQ=<〔0(8->0)C0和C1為無量綱常數(shù)，默認(rèn)C=1.5C=0.06.V L為單元等效長度，V為單元體積，AL為單元等效長度，V為單元體積，A為單元最大側(cè)面積。emaxAeemaxL(對4節(jié)點體單元)min C=—E(1-v)一為材料聲速。\(1+v)(1-2v)p時間步因子a可由用戶設(shè)置，減小a相當(dāng)于減少時間步長。設(shè)置時間步長因子a的關(guān)鍵字為*CONTROL_TIMESTEP，控制參數(shù)為TSSFAC。另外，質(zhì)量縮放可以人為控制時間步長。即調(diào)整單元密度p來改變時間步長。以殼單元為例說明質(zhì)量縮放改變時間步長。: EC= \(1-v2)p|~由( : EC= \(1-v2)p|~由( specified—)2L(1-V2)Pi得到p(At)2E

specified E ，’L2(1-v2)LS-DyNa中有2種質(zhì)量縮放方案，修"&*CONTROL_TIMESTEP中的參數(shù)。方案1：DT2MS為正的時間步通過調(diào)整單元密度，使所有單元時間步相同，只用于慣性效應(yīng)不重要的情況。方案2：DT2MS為負(fù)的時間步質(zhì)量縮放只用于小于指定時間步長\dt|的單元。慣性效應(yīng)應(yīng)該通過變形體的動能與內(nèi)能的比例進(jìn)行衡量(一般應(yīng)該小于10%等)。2Newmark法(隱式)Newmark假定在時間間隔[t,t+At]內(nèi)，加速度線性變化，即采用如下的加速度，速度公式：' '+[(1-5)U+5U]Att t+AtUt+At=U式中a,+UAt+[(L-Ut+At=U式中a,t 2 t t+At5為按積分的精度和穩(wěn)定性要求可以調(diào)整的參數(shù)。根據(jù)(4)式可給出U和U用U，U，U表示的表達(dá)式，代入(1)式中整理得到t+At t+At t+At t tKU=R(5)其中人1 5K=必12"十貳C+火R=R+M[-』一U+-^U+(—-1)U]+C[-LU+(—-1)t/+(—-1)AtU] 稱之為有效剛度矩陣和有效載荷矢量。由上式可以看出求解/+尊 t+At 以A12t以Att2以 t以Att以t2以 t當(dāng)前U ，需要用到當(dāng)前時刻的R，因此該算法為隱式算法。當(dāng)載荷歷史全部已知時，F(xiàn)a為已知量，求解需要迭代實現(xiàn)。可以證明，當(dāng)參數(shù)5>0.5，a>0.25(0.5+5)2時，Newmark法是無條件穩(wěn)定的，即at的大小不影響數(shù)值穩(wěn)定性。此時時間步長At的選擇主要根據(jù)解得精度確定。一般，Newmark法可以比中心差分法的時間步長大得多。3.結(jié)論比較兩種算法，顯式中心差分法非常適合研究波的傳播問題，如碰撞、高速沖擊、爆炸等。分析式(3)發(fā)現(xiàn)，顯式中心差分法的M與C矩陣是對角陣，如給定某些有限元節(jié)點以初始擾動，在經(jīng)過一個時間步長后，和它相關(guān)的節(jié)點進(jìn)入運(yùn)動，即U中這些節(jié)點對應(yīng)的分量成為非零量，此特點正好和波的傳播特點相一致。另一方面，研究波傳播的過程需要微小的時間步長，這也正是中心差分法的特點。而Newmark法更加適合于計算低頻占主導(dǎo)的動力問題，從計算精度考慮，允許采用較大的時間步長以節(jié)