通常，圖象處理在以下三個域中進(jìn)行：空域處理：利用某種方法直接對數(shù)字圖象中的象素進(jìn)行修改。頻域處理：將空域圖象經(jīng)過傅立葉變換，使其成為“頻域圖象”，而后對其各個頻率成分進(jìn)行處理；處理完成后，將“頻域圖象”圖象經(jīng)過傅立葉反變換為空域圖象。其它域處理：空域圖象經(jīng)過某種變換，使其成為“對應(yīng)域圖象”，而后進(jìn)行相應(yīng)處理；處理完成后，將“對應(yīng)域圖象”圖象經(jīng)過對應(yīng)反變換為空域圖象。第三章圖像變換

圖象變換可以看成是一幅圖象經(jīng)過一個系統(tǒng)變換生成的結(jié)果：

f(x,y)→h(x,y)→g(x,y)如果系統(tǒng)h(x,y)滿足一定的條件：齊次性、可加性和時不變性，就成為了線性時不變系統(tǒng)。一般而言，都將圖像處理系統(tǒng)看成為線性時不變(位置不變)系統(tǒng)。圖像變換看成是圖象經(jīng)過一線性位置不變系統(tǒng)變換的結(jié)果。所有線性系統(tǒng)理論都可以拿來使用。圖像變換是將圖像從空域變換到其它域，如頻域。圖像變換需滿足某些條件。為什么要變換利用變換的某些性質(zhì)，可以大大簡化或加速圖象處理過程空域圖象經(jīng)過變換后形成“對應(yīng)域圖象”，從中會看到在空域圖象中不易看到的某些“東西”。變換后形成“對應(yīng)域圖象”，會呈現(xiàn)某些性態(tài)，利用這些性態(tài)可完成圖象處理中某個應(yīng)用領(lǐng)域的應(yīng)用。應(yīng)選擇什么樣的變換才能滿足各種要求是下面要討論的主要問題之一。變換選擇的原則1)變換必須是可逆的。2)變換不能損失信息。3)變換必須是有好處的。4)變換算法必須是不復(fù)雜的。

G(i,j)=If(x,y)→f(x,y)=I-1G(i,j)雖然滿足1、2、4條件，但不滿足第三條。變換的目的：①使圖像處理問題簡化；②有利于圖像特征提取；③有助于從概念上增強(qiáng)對圖像信息的理解。圖像變換通常是一種二維正交變換。一般要求：

①正交變換必須是可逆的；

②正變換和反變換的算法不能太復(fù)雜；

③正交變換的特點(diǎn)是在變換域中圖像能量集中分布在低頻率成分上，邊緣、線狀信息反映在高頻率成分上，有利于圖象處理。因此正交變換廣泛應(yīng)用在圖像增強(qiáng)、圖像恢復(fù)、特征提取、圖像壓縮編碼和形狀分析等方面。

圖像變換的預(yù)備知識

xyzδ(x,y)0x0δ(x)δ(x+a)δ(x-a)a-a抽樣定理實(shí)際的宏觀物理過程都是連續(xù)變化的，物理量的空間分布也是連續(xù)變化的。

在今天的數(shù)字時代，連續(xù)變化的物理量要用它的一些離散分布的采樣值來表示，而且這些采樣值的表達(dá)方式也是離散的

這些離散的數(shù)字表示的物理量的含義或者說包含的信息量與原先的連續(xù)變化的物理量是否相同？

是否可以由這些抽樣值準(zhǔn)確恢復(fù)一個連續(xù)的原函數(shù)？

函數(shù)的抽樣

最簡單的抽樣方法是用二維梳狀函數(shù)與被抽樣的函數(shù)相乘

如果被抽樣的函數(shù)為，抽樣函數(shù)可表示為

梳狀函數(shù)是函數(shù)的集合，它與任何函數(shù)的乘積就是無數(shù)分布在平面上在，兩方向上間距為和的函數(shù)與該函數(shù)的乘積任何函數(shù)與函數(shù)相乘的結(jié)果仍然是函數(shù)，只是函數(shù)的“大小”要被該函數(shù)在函數(shù)位置上的函數(shù)值所調(diào)制。換句話說，每個函數(shù)下的體積正比于該點(diǎn)函數(shù)的數(shù)值

抽樣函數(shù)函數(shù)的傅立葉變換函數(shù)f（x）的一維傅立葉變換定義為：其逆變換定義為：傅立葉變換的幅值和相角f（t）的傅立葉變換結(jié)果常常是虛數(shù)，可用復(fù)數(shù)形式表示為：則其幅值為：其相位為：幅值和相角的應(yīng)用f（t）的能量譜:用幅值和相位來表示傅立葉變換:幅值相位離散傅立葉變換正變換：逆變換：二維傅立葉變換對于二維信號，二維傅立葉變換定義為：二維離散傅立葉變換圖象的傅立葉變換例子原圖像

幅度譜相位譜

圖象的傅立葉變換例子原圖像

幅度譜相位譜傅立葉變換一個周期為T的函數(shù)在[-T/2,T/2]上滿足狄利克雷（Dirichlet)條件，則在[-T/2,T/2]可以展成傅立葉級數(shù)其復(fù)指數(shù)形式為其中

傅立葉級數(shù)清楚地表明了信號由那些頻率分量組成及其所占的比重，從而有利于對信號進(jìn)行分析與處理。

一、連續(xù)函數(shù)的傅立葉變換

1.

一維連續(xù)函數(shù)的傅立葉變換

令f(x)為實(shí)變量x的連續(xù)函數(shù)，f(x)的傅立葉變換以F(u)表示，則表達(dá)式為

若已知F(u)，則傅立葉反變換為

式（1）和（2）稱為傅立葉變換對。

這里f(x)是實(shí)函數(shù)，它的傅立葉變換F(u)通常是復(fù)函數(shù)。F(u)的實(shí)部、虛部、振幅、能量和相位分別表示如下：傅立葉變換中出現(xiàn)的變量u通常稱為頻率變量。

2.二維連續(xù)函數(shù)的傅立葉變換傅立葉變換很容易推廣到二維的情況。如果f(x，y)是連續(xù)和可積的，且F(u，v)是可積的，則存在如下的傅立葉變換對

二維函數(shù)的傅立葉譜、相位和能量譜分別為

|F(u，v)∣=[R2(u，v)+I2(u，v)]1/2(11)φ(u，v)=tan-1[I(u，v)／R(u，v)](12)E(u，v)=R2(u，v)+I2(u，v)(13)例圖(a)所示矩形的傅立葉變換如下：

二、離散函數(shù)的傅立葉變換假定取間隔△x單位的抽樣方法將一個連續(xù)函數(shù)f(x)離散化為一個序列{f(x0)，f(x0+△x)，…，f[x0+(N-1)△x]}，如圖所示。

將序列表示成

f(x)=f(x0+x△x)式中x假定為離散值0，1，2，…，N﹣1。即用序列{f(0)，f(1)，f(2)，…，f(N-1)}代替{f(x0)，f(x0+△x)，…，f[x0+(N-1)△x]}。被抽樣函數(shù)的離散傅立葉變換可表示為

式中x=0，1，2，…，N-1。在式(14)給出的離散傅立葉變換中，u=0，1，2，…，N-1的值對應(yīng)于在值0，△u，2△u，…，(N-1)△u處連續(xù)變換的抽樣值。用F(u)來表示F(u△u)。除了F(u)的抽樣始于頻率軸的原點(diǎn)之外，這個表示法和離散的f(x)所用的表示法相似。可以證明△u和△x的關(guān)系為△u=1/N△x

在二維的情況下，離散的傅立葉變換對表示為

對連續(xù)函數(shù)的抽樣是在二維的格子上進(jìn)行的，此格子在x軸和y軸上分別以寬度△x和△y被劃分，與一維的情況一樣，離散函數(shù)f(x，y)表示函數(shù)f(x0+x△x，y0+y△y)對于x=0，1，2，…，M-1和y=0，1，2，…，N-1點(diǎn)的取樣。對F(u，v)有類似的解釋。在空間域和頻率域中的抽樣間距由下式相聯(lián)系

△u=1/（M△x

）△v=1/（N△y）

當(dāng)圖像抽樣成一個方形陣列時，即M=N，則

式中x，y=0，1，2，…，N-1。應(yīng)注意，在此情況下，在兩個表達(dá)式中都已包含1/N項(xiàng)。因?yàn)镕(u，v)和f(x，y)是一個傅立葉變換對，這些常數(shù)倍乘項(xiàng)的組合是任意的。實(shí)際中圖像常被數(shù)字化為方陣。

一維和二維離散函數(shù)的傅立葉譜、相位和能量譜也分別由前面式子給出，唯一的差別在于獨(dú)立變量是離散的。一般來說，對一幅圖像進(jìn)行傅立葉變換運(yùn)算量很大，不直接利用以上公式計算。現(xiàn)在都采用傅立葉變換快速算法，這樣可大大減少計算量。圖像傅立葉變換幅度譜告訴我們圖像中某種頻率的成份有多少相位譜告訴我們頻率成份位于圖像的什么位置通常我們只關(guān)心幅度譜下面兩個圖對應(yīng)的幅度

譜是一樣（這里只顯示

了其幅度譜，當(dāng)然相位

譜是不一樣的）圖像傅立葉變換從幅度譜中我們

可以看出明亮線

反映出原始圖像

的灰度級變化，

這正是圖像的輪

廓邊圖像傅立葉變換從幅度譜中我們

可以看出明亮線

和原始圖像中對

應(yīng)的輪廓線是垂

直的。如果原始

圖像中有圓形區(qū)

域那么幅度譜中

也呈圓形分布圖像傅立葉變換圖像中的顆粒狀對

應(yīng)的幅度譜呈環(huán)狀，

但即使只有一顆顆

粒，其幅度譜的模

式還是這樣。圖像傅立葉變換這些圖像沒有特定

的結(jié)構(gòu)，左上角到

右下角有一條斜線，

它可能是由帽子和

頭發(fā)之間的邊線產(chǎn)

生的兩個圖像都存在一

些小邊界圖像傅立葉變換圖像發(fā)生旋轉(zhuǎn)時，幅度譜也相應(yīng)的進(jìn)行了旋轉(zhuǎn)Fourier變換示意圖Fourier變換的頻率特性

Fourier變換的低通濾波Fourier變換的高通濾波基于Fourier變換的壓縮另一幅圖像效果壓縮率為：1.7：1壓縮率為：2.24：1壓縮率為：3.3：1基于Fourier變換的壓縮壓縮率為：8.1：1壓縮率為：10.77：1壓縮率為：16.1：1例如：對一維信號f(x)=[1010]進(jìn)行傅立葉變換。由得u=0時，

u=1時,u=2時,u=3時,在N=4時，傅立葉變換以矩陣形式表示為F(u)==Af(x)xy1-1j-j3.2.3二維離散傅立葉變換的若干性質(zhì)

離散傅立葉變換建立了函數(shù)在空間域與頻率域之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系，在數(shù)字圖像處理中，經(jīng)常要利用這種轉(zhuǎn)換關(guān)系及其轉(zhuǎn)換規(guī)律，離散傅立葉變換的若干重要性質(zhì)。1．周期性和共軛對稱性若離散的傅立葉變換和它的反變換周期為N，則有

F(u，v)=F(u+N，v)=F(u，v+N)=F(u+N，v+N)傅立葉變換存在共軛對稱性

F(u，v)=F*(-u，-v)這種周期性和共軛對稱性對圖像的頻譜分析和顯示帶來很大益處。傅立葉變換周期性的例子(a)

表示在區(qū)間中一個周期的傅立葉譜(b)

表示在同一區(qū)間內(nèi)整個周期平移之后的頻譜

2.分離性

一個二維傅立葉變換可由連續(xù)兩次一維傅立葉變換來實(shí)現(xiàn)。例如下例兩式:3.平移性質(zhì)

傅立葉變換對的平移性質(zhì)可寫成(以表示函數(shù)和其傅立葉變換的對應(yīng)性)

:式（1）表明將F(x,y)與一個指數(shù)項(xiàng)相乘就相當(dāng)于把其變換后的頻域中心移動到新的位置。式(2)表明將F(u,v)與一個指數(shù)項(xiàng)相乘就相當(dāng)于把其反變換后的空域中心移動到新的位置。另外，從式(2)可知，對F(x,y)的平移不影響其傅立葉變換的幅值。4.旋轉(zhuǎn)性質(zhì)借助極坐標(biāo)變換x=rcosθ，y=rsinθ，

u=wcosφ，v=sinφ將F(x,y)和F(u,v)轉(zhuǎn)換為F(r,θ)和F(w,φ)。直接將它們代入傅立葉變換對得到：對F(x,y)旋轉(zhuǎn)θ0對應(yīng)于將其傅立葉變換F(u,v)也旋轉(zhuǎn)θ0。類似的,對F(u,v)旋轉(zhuǎn)θ0也對應(yīng)于將其傅立葉反變換F(x,y)旋轉(zhuǎn)θ0。5.分配律根據(jù)傅立葉變換對的定義可得到：

上式表明傅立葉變換和反變換對加法滿足分配律，但對乘法則不滿足，一般有

6.尺度變換(縮放)給定兩個標(biāo)量a和b，可證明對傅立葉變換以下兩式成立

7.平均值對一個二維離散函數(shù)，其平均值可用下式表示

如將u=v=0代入式

可以得到

比較以上兩式可得

7．離散卷積定理設(shè)f(x,y)，g(x,y)是大小分別為A×B和C×D的兩個數(shù)組，則它們的離散卷積定義為式中M=A+C-1,N=B+D-1證明離散卷積定理，對上式有于是空間域卷積定理得證。

8．離散相關(guān)定理大小為A×B和C×D的兩個離散函數(shù)序列f(x,y)，g(x,y)的互相關(guān)定義為

式中

M=A+C－1，N=B+D－1其它可分離圖像變換下面先討論這類變換的通用公式，然后介紹在圖像處理中常用的沃爾什、哈達(dá)瑪、離散余弦等變換。一、通用公式一維離散傅立葉變換是一類重要的變換，它可以用通用關(guān)系式表示

其中T(u)是f(x)的正變換，g(x，u)是正變換核，并且假定u在范圍0，1，…，N-1內(nèi)取值，類似地，逆變換由關(guān)系式

給出，其中h(x，u)是反變換核，并且假定在范圍0，1，…，N-1內(nèi)取值。變換的性質(zhì)由它的變換核的性質(zhì)所決定。對于二維方陣，正變換和反變換由式

以及

其中g(shù)(x，y，u，v)和h(x，y，u，v)分別稱為正變換核和反變換核。如果

則稱正向核是可分離的。如果g1在函數(shù)上等于g2，則這個核是加法對稱的。在這種情況下，上式可以表示成

二維傅立葉變換的一個特殊情況，它的核為

它是可分離的和對稱的，因?yàn)楹苋菀鬃C明反傅立葉核也是可分離的和對稱的。

一個具有可分離核的變換可以分成兩步計算，每一步要作一個一維變換。首先，沿著f(x，v)的每一行取一維變換，得到

其中x，v=0，1，2，…，N-1.然后，沿著T(x，v)的每一列取一維變換；這個結(jié)果可以表示成

其中u，v=0，1，2，…，N-1。

如果核g(x，y，u，v)是可分離和對稱的，傅氏變換式也可以表達(dá)成下面矩陣形式

其中F是N×N的圖像矩陣，A是以aij=g1(i，j)為元素的N×N的對稱變換矩陣，而T是N×N的變換結(jié)果，它的u，v在范圍0，1，2，…，N-1內(nèi)取值。為了得到反變換，對上式的兩邊分別前后各乘1個反變換矩陣B：

如果B=A-1，則這表明圖像F可完全由其變換恢復(fù)。如果B不等于A-1，則由式得F的一個近似:2、哈達(dá)瑪(Hadamard)變換

與傅立葉變換、余弦型變換不同，哈達(dá)瑪(Hadamard)變換和下面將要介紹沃爾什(Walsh)的變換的基波都是方波的變形。通常這種變換的計算速度很快，這主要的原因是因?yàn)槠渲械脑S多乘法操作都非常簡單。一維哈達(dá)瑪變換對的定義：其中N=2n。其中：bk(z)是z的二進(jìn)制表達(dá)中的第k位。正變換反變換二維哈達(dá)瑪變換對的定義正變換；其中N=2n。反變換；其中N=2n。其中：bk(z)是z的二進(jìn)制表達(dá)中的第k位。例如：b2(4)→000100→=1000100000011001111100000→0×0＋0×1=0例如：N=8時，有哈達(dá)瑪變換陣每一行的符號的變化次數(shù)稱作這個行的列率。哈達(dá)瑪變換的正反變換核是一樣的。變換核生成有一規(guī)律，使其生成非常方便(如果圖像是N×N，N=2n)。3、沃爾什(Walsh)變換我們從哈達(dá)瑪變換知道：它的構(gòu)造是由小塊堆積成大塊的。但是分析其列率就知道其排列是無規(guī)則的。將無序的哈達(dá)瑪核進(jìn)行列率的排序，之后得到的有序的哈達(dá)瑪變換就成為沃爾什變換。當(dāng)N=2n時，有一維沃爾什變換對：例如：N=8時，有沃爾什變換陣可見，沃爾什變換陣可由哈達(dá)瑪變換陣重排列率構(gòu)成。二維沃爾什變換對的定義例：用4×4沃爾什變換陣G對給定圖像f1(x,y)和f2(x,y)進(jìn)行變換，求其變換后的“圖像”W1(u,v)和W2(u,v)。能量集中在邊角！且圖像越平滑能量越集中。二、沃爾什變換當(dāng)N=2n時，函數(shù)f(x)的離散沃爾什變換記作w(u)，在式中用核代入即可求得式中u,x=0,1,2,…,N-1。式為一維離散沃爾什變換。

其中bk(z)是z的二進(jìn)制表示的第k位值。例如，n=3，N=2n=8,如果z=6（二進(jìn)制是110），則有b0(z)=0，b1(z)=1，以及b2(z)=1。

N=8的沃爾什變換核的值

g(x，y)的值，除常數(shù)項(xiàng)1/N外，對于N=8可以列成上表。由沃爾什變換核形成的數(shù)組是一個對稱矩陣，它的行和列是正交的。除相差常數(shù)因子1/N外，正、反變換核其他完全相同。因此因而，一維離散沃爾什反變換由

給出。它與以三角函數(shù)項(xiàng)為基礎(chǔ)的傅立葉變換不同，沃爾什變換是由值或者取+1或者取-1的基本函數(shù)的級數(shù)展開式構(gòu)成。

二維正和反沃爾什變換核由關(guān)系式

給出。這兩個核完全相同，所以下面兩式給出的二維沃爾什正變換和反變換也具有相同形式：

沃爾什正變換核和反變換核都是可分離的和對稱的，因?yàn)榭芍S的沃爾什正反變換都可分成兩個步驟計算，每個步驟用一個一維變換實(shí)現(xiàn)。

三、哈達(dá)瑪變換對于一維正向哈達(dá)瑪(Hadamard)核有若干種已知公式，其中的一種由關(guān)系式

給出。這里在指數(shù)上的和是按模2算術(shù)執(zhí)行的，bk(z)代表z的二進(jìn)制表示的第k位值。一維哈達(dá)瑪變換表達(dá)式

其中N=2n，并假定u在范圍0，1，2，…，N-1內(nèi)取值。二維核類似地由關(guān)系式以及兩個核完全相同，所以下面兩式

給出的二維的哈達(dá)瑪正變換和反變換也具有相同形式。哈達(dá)瑪正變換核都是可分離的和對稱的。由可知，二維的哈達(dá)瑪正變換和反變換都可分成兩個步驟計算，每個步驟用一個一維變換實(shí)現(xiàn)。一維哈達(dá)瑪核產(chǎn)生的數(shù)值矩陣，在N=8的情形下如表示。其中的常數(shù)項(xiàng)1/N被省略了。應(yīng)注意，雖然在這個表中的元素和沃爾什變換時一樣，但是行和列的次序是不同的。事實(shí)上，當(dāng)N=2n時，這是這兩個變換之間的唯一區(qū)別。當(dāng)N不等于2的整數(shù)次冪時，這種區(qū)別更大。如果能夠?qū)θ我庹麛?shù)N做沃爾什變換的話，那么就存在N的哈達(dá)瑪變換。N=8的哈達(dá)瑪變換核的值

最小階（N=2）的哈達(dá)瑪矩陣是如果用HN代表N階矩陣，上面提到的迭代關(guān)系可由下式給出

式（3.3-10）中的變換矩陣可將哈達(dá)瑪矩陣用矩陣階的平方根歸一化得到，即

四、離散余弦變換

余弦變換是簡化傅立葉變換的重要方法，特別是用于圖像信息壓縮傳輸如計算機(jī)多媒體技術(shù)中的傳輸。從傅立葉變換性質(zhì)可知當(dāng)f(x)或f(x,y)為偶函數(shù)時，虛數(shù)項(xiàng)為零不需計算，變換只計算余弦項(xiàng)。因此余弦變換是傅立葉變換的特例。一個采樣從0，1，2，…，N-1的任意函數(shù)f(x)，若向反方向折疊形成2N個采樣的偶函數(shù)，就可進(jìn)行2N的偶函數(shù)傅立葉變換。相應(yīng)的一維離散余弦變換(DCT)和其反變換由以下兩式定義其中a(u)由下式定義將一幅N×N的圖像f(x,y)沿水平方向?qū)φ坨R像，再沿垂直方向?qū)φ坨R像，可成為一個2N×2N的偶函數(shù)圖像。那么它的二維正反DCT對由下面兩式定義u,v=0,1,…,N-1傅立葉變換需要復(fù)數(shù)的乘法和加法運(yùn)算，而復(fù)數(shù)運(yùn)算比實(shí)數(shù)運(yùn)算要費(fèi)時得多離散余弦變換是實(shí)值變換，它廣泛應(yīng)用于語音和圖像的壓縮圖像的離散余弦變換DCT矩陣的左上角代表低頻分量，右下角代表高頻分量由DCT域圖像我們能夠了解圖像主要包含低頻成份DCT域圖像空間域圖像小波變換

小波的概念是由法國地球物理學(xué)家J.Morlet在1984年提出的，他在分析地質(zhì)資料時，首先引進(jìn)并使用了小波(Wavelet)這一術(shù)語，“小波”就是小的波形。

所謂“小”是指它具有衰減性;而稱之為“波”則是指它的波動性，其振幅正負(fù)相間的震蕩形式。傅立葉變換的提出,使信號分析可以在時域和頻域上分開進(jìn)行,有時常常希望分析信號的時間特性的同時,分析信號的頻率特性,這樣,便引出了時頻分析的概念

針對傅立葉變換不能同時進(jìn)行時間-頻率局部分析的缺點(diǎn)，D.Gabor在1946年，提取信號傅立葉變換的局部信息，引入了一個時間局部變化的“窗函數(shù)”，－稱為Gabor變換，又稱為加窗傅立葉變換Gabor其中函數(shù)稱為窗函數(shù)。—加窗傅立葉變換或稱為短時傅立葉變換。雖然加窗傅立葉變換能在不同程度上克服傅立葉變換的上述弱點(diǎn)，

但提取精確信息，要涉及時窗和頻窗的選擇問題。由著名的Heisenberg測不準(zhǔn)原理可知，g(t)無論是什么樣的窗函數(shù)，時窗g(t)的寬度與頻窗g(w)寬度之積不小于1/4π，在對信號作時—頻分析時，其時窗和頻窗不能同時達(dá)到極小值。換句話說，不能在提高時域分辨率的同時使頻率分辨率也無限制地提高。如要求更好的局部性質(zhì)或更多的整體性質(zhì)時，就必須更改窗口的大小，從而使計算量大增，以至無法具體實(shí)現(xiàn)。

窗口傅立葉變換是一種時頻分析手段,在進(jìn)行信號分析時,通過一個信號加窗的方法,得到在窗口內(nèi)信息的頻域特性,通過移動這個窗,就可以得到在不同時域中頻率特性,相當(dāng)于用一個形狀、大小和放大倍數(shù)相同的“放大鏡在時-頻面上移動去觀察信號在某固定長度時間內(nèi)的頻率特性。

Gabor變換的時——頻窗口是固定不變的，窗口沒有自適應(yīng)性，不適于分析多尺度信號過程和突變過程，而且其離散形式?jīng)]有正交展開，難于實(shí)現(xiàn)高效算法，這是Gabor變換的主要缺點(diǎn)，因此也就限制了它的應(yīng)用。

在非平穩(wěn)信號的分析中，希望存在一種變換函數(shù)，它能滿足：對于高頻譜的信息，時間間隔要相對的小，以便給出比較好的精度；而對于低頻譜的信息，時間間隔要相對的寬，以便給出完全的信息，也就是說，要有一個靈活可變的時間-頻率窗，使在高“中心頻率”時，時窗寬度自動變窄；在低“中心頻率”時，時頻窗寬度自動變寬作為多尺度分析工具，小波變換為信號在不同尺度上的分析和表征提供了一個精確和統(tǒng)一的框架，從圖像處理的角度看，小波變換存在以下幾個優(yōu)點(diǎn)：(1)小波分解可以覆蓋整個頻域(提供了一個數(shù)學(xué)上完備的描述)(2)小波變換通過選取合適的濾波器，可以極大的減小或去除所提取得不同特征之間的相關(guān)性(3)小波變換具有“變焦”特性，在低頻段,可用高頻率分辨率和低時間分辨率(寬分析窗口)，在高頻段，可用低頻率分辨率和高時間分辨率(窄分析窗口)(4)小波變換實(shí)現(xiàn)上有快速算法

與傅立葉變換類似，小波變換也是將一個信號分解成若干基波的線性組合，這些基波是不同時間發(fā)生的不同頻率的小波，具體是靠平移和收縮來實(shí)現(xiàn)的。平移確定某個頻率出現(xiàn)的位置，伸縮得到從低到高不同頻率的基波。傅立葉變換用到的基波函數(shù)是唯一確定的，即為正弦函數(shù)，小波變換用到的小波不唯一的，所以選擇小波是實(shí)際應(yīng)用中的難題。

廣泛應(yīng)用：信號處理、圖像處理、模式識別、量子物理、非線性科學(xué)領(lǐng)域原則上，凡傳統(tǒng)使用Fourier分析的方法，都可以用小波分析代替與Fourier變換、Gabor變換相比，小波變換是空間（時間）和頻率的局部變換伸縮和平移等運(yùn)算功能可對函數(shù)或信號進(jìn)行多尺度的細(xì)化分析，解決了Fourier變換不能解決的許多困難，對高頻采取逐漸精細(xì)的時域或空域步長，從而可以聚焦到分析對象的任意細(xì)節(jié)－數(shù)學(xué)顯微鏡圖像的小波處理小波分解低頻系數(shù)水平系數(shù)垂直系數(shù)對角系數(shù)一、連續(xù)小波變換同傅立葉變換那樣，在小波變換中同樣存在著一維、二維的連續(xù)小波變換和離散小波變換。1．一維連續(xù)小波變換給定基本小波函數(shù)，信號f(t)的連續(xù)小波變換定義為小波變換可以表示為Wf(a,b)=fa,b(t)，它可以看作是求函數(shù)f(t)在的各尺度平移信號上的投影。即求f(t)與的相關(guān)性。其中a>0，b∈R。上式給出f(t)的一種多尺度表示，a代表尺度因子，稱為小波。

如果是復(fù)變函數(shù)時，上式采用復(fù)共軛函數(shù)。若a>1，則函數(shù)具有伸展作用；a<1時，函數(shù)具有收縮作用。而傅立葉變換則恰好相反。伸縮參數(shù)a對小波的影響見下圖。伸縮參數(shù)a對生成小波(t)的影響隨著a的減小，的支撐區(qū)間隨之變窄，頻譜隨之想高頻端展開小波隨伸縮參數(shù)a、平移參數(shù)b而變化如下圖所示。圖中小波函數(shù)為。當(dāng)a=2,b=15時，的波形從原點(diǎn)向右移至t=15且波形展寬，a=–5,b=–10時，(t)則是(t)從原點(diǎn)向左平移至t=–10處且波形收縮。隨著參數(shù)a的減小，a,b(t)的支撐區(qū)隨之變窄，而a,b(ω)的頻譜隨之向高頻端展寬，反之亦然。這就有可能實(shí)現(xiàn)窗口大小自適應(yīng)變化。小波的波形隨參數(shù)ａ，ｂ而變化的情形

小波的波形隨參數(shù)ａ，ｂ而變化的情形

當(dāng)比例因子a增大時（a>1),表示用伸展了的波形去觀察整個f(t),換句話說，這時以小的時間分辨率和大的頻率分辨率來觀測信號的低頻信息，反之，當(dāng)a減小時（0<a<1)，則壓縮了的波形去衡量f（t)的局部，即以大的時間分辨率和小得頻率分辨率來觀察信號的高頻部分。隨著尺度因子從大到小（0<a<+),f(t)的小波變換可以反映從概貌到細(xì)節(jié)的全部信息。從這個意義上講，小波變換是一架變焦鏡頭，它既是望遠(yuǎn)鏡又是顯微鏡。小波(t)的選擇既不是唯一的，也不是任意的。它應(yīng)滿足以下幾個條件：1)定義域應(yīng)是緊支撐的，即在一個很小的區(qū)間外，函數(shù)為零，也就是函數(shù)應(yīng)有速降特性。2）平均值為零，即：其高階矩也為零。

k=0,1,2,…,N–1小波(t)在t軸上取值有正有負(fù)才能保證上式積分為零。所以(t)應(yīng)有振蕩性。由此可見，小波是一個具有振蕩性和迅速衰減的波對于所有的f(t)，(t)∈L2(R)，連續(xù)小波逆變換由式給出

2.一維小波變換的基本性質(zhì)⑴線性小波變換是線性變換，它把一信號分解成不同尺度的分量。設(shè)為的小波變換，若則有

⑵平移和伸縮的共變性連續(xù)小波變換在任何平移之下是共變的，若f(t)?Wf(a,b)是一對小波變換關(guān)系，則f(t–b0)?Wf(a,b–b0)也是小波變換關(guān)系。

對于任何伸縮也是共變的，若f(t)?Wf(a,b)，則

⑶微分運(yùn)算

除上述性質(zhì)外，小波變換還有諸如局部正則性、能量守恒性、空間——尺度局部化等特性。3．幾種典型的一維小波由于基本小波的選取具有很大的靈活性，因此應(yīng)用學(xué)科的各個領(lǐng)域可根據(jù)所討論問題的自身特點(diǎn)選取基本小波。從這個方面看，小波變換比經(jīng)典的傅立葉變換更具有廣泛的適應(yīng)性，到目前為止，人們已經(jīng)構(gòu)造了各種各樣的小波及小波基。下面給出幾個有代表性的小波。（1）Haar小波該正交函數(shù)是由Haar提出來的，如圖所示。而由

構(gòu)成

中的一個正交小波基，稱為Haar基。式中，z為全體整數(shù)所成的集合。由于Haar基不是連續(xù)函數(shù)Haar小波的波形

Haar小波（1/8,1/8,1/8,1/8,1/8,1/8,1/8,1/8）（1/8,1/8,1/8,1/8,-1/8,-1/8,-1/8,-1/8）（1/4,1/4,-1/4,-1/4,0,0,0,0）（0,0,0,0,1/4,1/4,-1/4,-1/4）（1/2,-1/2,0,0,0,0,0,0）（0,0,1/2,-1/2,0,0,0,0）（0,0,0,0,1/2,-1/2,0,0）（0,0,0,0,0,0,1/2,-1/2）連續(xù)Haar小波對應(yīng)的離散Haar小波（2）墨西哥草帽高斯函數(shù)

的各階導(dǎo)數(shù)為

當(dāng)m=2時，稱為馬爾小波或墨西哥草帽小波，如下圖所示Marr小波在視覺信息加工研究和邊緣監(jiān)測方面獲得較多應(yīng)用。墨西哥草帽小波

4．二維連續(xù)小波變換由于圖像或計算機(jī)視覺信息一般是二維信息，因此這里給出二維小波變換的定義。若f(x,y)是一個二維函數(shù)，則它的連續(xù)小波變換是其中bx和by分別表示在x,y軸的平移。二維連續(xù)小波逆變換為：

其中而(x,y)是一個二維基本小波。同樣的產(chǎn)生方法可以推廣到超過兩個變量的函數(shù)上。

二、離散小波變換參數(shù)a的伸縮和參數(shù)b的平移為連續(xù)取值的小波變換是連續(xù)小波變換，主要用于理論分析方面。在實(shí)際引用中需要對尺寸參數(shù)a和定值參數(shù)b進(jìn)行離散化處理，離散化的基本思想體現(xiàn)了小波變換作為“數(shù)學(xué)顯微鏡”的主要功能。選擇適當(dāng)?shù)姆糯蟊稊?shù)，在一個特定的位置研究一個函數(shù)或信號過程，然后再平移到另一位置繼續(xù)研究，如果放大倍數(shù)過大，也就是尺度太小，就可按小步長移動一個距離，而該放大倍數(shù)的離散化則由于上述平移定位參數(shù)b的離散化方法來實(shí)現(xiàn)。于是離散小波可以定義為：相應(yīng)的離散小波變換

上式就是一維離散小波變換。在連續(xù)小波變換的情形下，我們知道在a>0時完全刻畫了函數(shù)f(t)的性質(zhì)或信號的變化過程，實(shí)際上用逆變換式可以由變換結(jié)果重構(gòu)f(t)。用離散小波，適當(dāng)選擇a0與b0之值，我們同樣能刻畫f(t)。

離散小波變換離散小波變換就是做向量的內(nèi)積。例：對（64，2，