\o"點(diǎn)擊文章標(biāo)題可訪問原文章鏈接"\o"點(diǎn)擊文章標(biāo)題可訪問原文章鏈接"青島版八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊知識(shí)點(diǎn)總結(jié)第6章平行四邊形平行四邊形及其性質(zhì)1.定義：兩組對邊分別平行的四邊形叫平行四邊形2.平行四邊形的性質(zhì)（1）平行四邊形的對邊平行且相等；（2）平行四邊形的鄰角互補(bǔ)，對角相等；（3）平行四邊形的對角線互相平分；3.平行四邊形的判定平行四邊形是幾何中一個(gè)重要內(nèi)容，如何根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，判定一個(gè)四邊形是平行四邊形是個(gè)重點(diǎn)，下面就對平行四邊形的五種判定方法，進(jìn)行劃分：第一類：與四邊形的對邊有關(guān)（1）兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形；（2）兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形；（3）一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形；第二類：與四邊形的對角有關(guān)（4）兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形；第三類：與四邊形的對角線有關(guān)（5）對角線互相平分的四邊形是平行四邊形常見考法（1）利用平行四邊形的性質(zhì)，求角度、線段長、周長；（2）求平行四邊形某邊的取值范圍；（3）考查一些綜合計(jì)算問題；（4）利用平行四邊形性質(zhì)證明角相等、線段相等和直線平行；（5）利用判定定理證明四邊形是平行四邊形。誤區(qū)提醒（1）平行四邊形的性質(zhì)較多，易把對角線互相平分，錯(cuò)記成對角線相等；（2）“一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形”錯(cuò)記成“一組對邊平行，一組對邊相等的四邊形是平行四邊形”后者不是平行四邊形的判定定理，它只是個(gè)等腰梯形。一、特殊的平行四邊形1.矩形：（1）定義：有一個(gè)角是直角的平行四邊形。（2）性質(zhì)：矩形的四個(gè)角都是直角；矩形的對角線平分且相等。（3）判定定理：①有一個(gè)角是直角的平行四邊形叫做矩形。②對角線相等的平行四邊形是矩形。③有三個(gè)角是直角的四邊形是矩形。直角三角形的性質(zhì)：直角三角形中所對的直角邊等于斜邊的一半。2.菱形：（1）定義：鄰邊相等的平行四邊形。（2）性質(zhì)：菱形的四條邊都相等；菱形的兩條對角線互相垂直，并且每一條對角線平分一組對角。（3）判定定理：①一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形。②對角線互相垂直的平行四邊形是菱形。③四條邊相等的四邊形是菱形。（4）面積：3.正方形：（1）定義：一個(gè)角是直角的菱形或鄰邊相等的矩形。（2）性質(zhì)：四條邊都相等，四個(gè)角都是直角，對角線互相垂直平分。正方形既是矩形，又是菱形（3）正方形判定定理：①對角線互相垂直平分且相等的四邊形是正方形；②一組鄰邊相等，一個(gè)角為直角的平行四邊形是正方形；③對角線互相垂直的矩形是正方形；④鄰邊相等的矩形是正方形⑤有一個(gè)角是直角的菱形是正方形；⑥對角線相等的菱形是正方形。二、矩形、菱形、正方形與平行四邊形、四邊形之間的聯(lián)系：1.矩形、菱形和正方形都是特殊的平行四邊形，其性質(zhì)都是在平行四邊形的基礎(chǔ)上擴(kuò)充來的。矩形是由平行四邊形增加“一個(gè)角為90°”的條件得到的，它在角和對角線方面具有比平行四邊形更多的特性；菱形是由平行四邊形增加“一組鄰邊相等”的條件得到的，它在邊和對角線方面具有比平行四邊形更多的特性；正方形是由平行四邊形增加“一組鄰邊相等”和“一個(gè)角為90°”兩個(gè)條件得到的，它在邊、角和對角線方面都具有比平行四邊形更多的特性。2.矩形、菱形的判定可以根據(jù)出發(fā)點(diǎn)不同而分成兩類：一類是以四邊形為出發(fā)點(diǎn)進(jìn)行判定，另一類是以平行四邊形為出發(fā)點(diǎn)進(jìn)行判定。而正方形除了上述兩個(gè)出發(fā)點(diǎn)外，還可以從矩形和菱形出發(fā)進(jìn)行判定。三、判定一個(gè)四邊形是特殊四邊形的步驟：常見考法（1）利用菱形、矩形、正方形的性質(zhì)進(jìn)行邊、角以及面積等計(jì)算；（2）靈活運(yùn)用判定定理證明一個(gè)四邊形（或平行四邊形）是菱形、矩形、正方形；（3）一些折疊問題；（4）矩形與直角三角形和等腰三角形有著密切聯(lián)系、正方形與等腰直角三角形也有著密切聯(lián)系。所以，以此為背景可以設(shè)置許多考題。誤區(qū)提醒（1）平行四邊形的所有性質(zhì)矩形、菱形、正方形都具有，但矩形、菱形、正方形具有的性質(zhì)平行四邊形不一定具有，這點(diǎn)易出現(xiàn)混淆；（2）矩形、菱形具有的性質(zhì)正方形都具有，而正方形具有的性質(zhì)，矩形不一定具有，菱形也不一定具有，這點(diǎn)也易出現(xiàn)混淆；（3）不能正確的理解和運(yùn)用判定定理進(jìn)行證明，（如在證明菱形時(shí)，把四條邊相等的四邊形是菱形誤解成兩組鄰邊相等的四邊形是菱形）；（3）再利用對角線長度求菱形的面積時(shí)，忘記乘；（3）判定一個(gè)四邊形是特殊的平行四邊形的條件不充分。平行四邊形的判定知識(shí)點(diǎn)1.定義：兩組對邊分別平行的四邊形叫平行四邊形2.平行四邊形的性質(zhì)(1)平行四邊形的對邊平行且相等;(2)平行四邊形的鄰角互補(bǔ)，對角相等;(3)平行四邊形的對角線互相平分;3.平行四邊形的判定(1)兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形：(2)兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形;(3)一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形;(4)兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形：(5)對角線互相平分的四邊形是平行四邊形.對稱性：平行四邊形是中心對稱圖形平行四邊形是幾何中一個(gè)重要內(nèi)容，如何根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，判定一個(gè)四邊形是平行四邊形是個(gè)重點(diǎn)，下面就對平行四邊形的五種判定方法，進(jìn)行劃分：第一類：與四邊形的對邊有關(guān)(1)兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形;(2)兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形;(3)一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形;第二類：與四邊形的對角有關(guān)(4)兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形;第三類：與四邊形的對角線有關(guān)(5)對角線互相平分的四邊形是平行四邊形常見考法(1)利用平行四邊形的性質(zhì)，求角度、線段長、周長;(2)求平行四邊形某邊的取值范圍;(3)考查一些綜合計(jì)算問題;(4)利用平行四邊形性質(zhì)證明角相等、線段相等和直線平行;(5)利用判定定理證明四邊形是平行四邊形特殊的平行四邊形知識(shí)點(diǎn)【菱形】1.菱形的定義：有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形。2.菱形的性質(zhì)：(1)菱形的性質(zhì)有：①平行四邊形的一切性質(zhì);②四條邊都相等;③對角線互相垂直，并且每一條對角線平分一組對角;④菱形是對稱軸圖形，它有2條對稱軸，分別為它的兩條對角線所在的直線。(2)菱形面積=底×高=對角線乘積的一半。3.菱形的判定：(1)用定義判定(即一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形)。(2)對角線互相垂直的平行四邊形是菱形。(3)四條邊都相等的四邊形是菱形。綜上可知，判定菱形時(shí)常用的思路：四條邊都相等菱形菱形四邊形平行四邊形有一組鄰邊相等菱形【矩形】1.矩形的定義：有一個(gè)角是直角的平行四邊形叫做矩形。2.矩形的性質(zhì)：(1)具有平行四邊形的一切性質(zhì);(2)矩形的四個(gè)角都是直角;(3)矩形的四個(gè)角都相等。4.矩形的判定方法：(1)用定義判定(即有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形);(2)三個(gè)角都是直角的四邊形是矩形;(3)對角線相等的平行四邊形是矩形。綜上可知，判定矩形時(shí)常用的思路：【正方形】1.正方形的定義：有一組鄰邊相等，并且有一個(gè)角是直角的平行四邊形叫做正方形。2.正方形的性質(zhì)：正方形具有平行四邊形、矩形、菱形的一切性質(zhì)。(1)邊：四條邊相等，鄰邊垂直且相等，對邊平行且相等。1(2)角：四個(gè)角都是直角。(3)對角線：對角線相等且互相垂直平分，每條對角線平分一組對角。3.正方形的判定(1)根據(jù)定義判定;(2)對角線相等的菱形是正方形;(2)有一個(gè)角是直角的菱形是正方形;(3)有一組鄰邊相等的矩形是正方形;(4)對角線互相垂直的矩形是正方形。4.特殊的平行四邊形之間的關(guān)系矩形、菱形是特殊的平行四邊形，正方形是更特殊的平行四邊形，它既是矩形，又是菱形，它們之間的關(guān)系如圖所示：5.依次連接四邊形各邊中點(diǎn)所得到的四邊形的形狀：(1)依次連接任意四邊形各邊中點(diǎn)所得到的四邊形是平行變形;(2)依次連接對角線相等的四邊形各邊中點(diǎn)所得到的四邊形是菱形;(3)依次連接對角線垂直的四邊形各邊中點(diǎn)所得到的四邊形是矩形;(4)依次連接對角線垂直且相等的四邊形各邊中點(diǎn)所得到的四邊形是正方形;三角形的中位線定理知識(shí)點(diǎn)連接三角形兩邊中點(diǎn)的線段叫做三角形的中位線。（1）三角形共有三條中位線，并且它們又重新構(gòu)成一個(gè)新的三角形。（2）要會(huì)區(qū)別三角形中線與中位線。三角形中位線定理：三角形的中位線平行于第三邊，并且等于它的一半。三角形中位線定理的作用：位置關(guān)系：可以證明兩條直線平行。數(shù)量關(guān)系：可以證明線段的倍分關(guān)系。常用結(jié)論：任一個(gè)三角形都有三條中位線，由此有：結(jié)論1：三條中位線組成一個(gè)三角形，其周長為原三角形周長的一半。結(jié)論2：三條中位線將原三角形分割成四個(gè)全等的三角形。結(jié)論3：三條中位線將原三角形劃分出三個(gè)面積相等的平行四邊形。結(jié)論4：三角形一條中線和與它相交的中位線互相平分。結(jié)論5：三角形中任意兩條中位線的夾角與這夾角所對的三角形的頂角相等。

初中數(shù)學(xué)三角形中位線定理知識(shí)點(diǎn)總結(jié)（二）三角形中位線定義：連接三角形兩邊中點(diǎn)的線段叫做三角形的中位線。一個(gè)三角形共有三條中位線。三角形中位線定理：三角形的中位線平行于第三邊，并且等于它的一半。三角形中位線逆定理：逆定理一：在三角形內(nèi)，與三角形的兩邊相交，平行且等于三角形第三邊一半的線段是三角形的中位線。逆定理二：在三角形內(nèi)，經(jīng)過三角形一邊的中點(diǎn)，且與另一邊平行的線段，是三角形的中位線。區(qū)分三角形的中位線和中線：三角形的中位線是連結(jié)三角形兩邊中點(diǎn)的線段;三角形的中線是連結(jié)一個(gè)頂點(diǎn)和它的對邊中點(diǎn)的線段。第7章實(shí)數(shù)算術(shù)平方根知識(shí)要領(lǐng)：若一個(gè)正數(shù)x的平方等于a，即x^2=a，則這個(gè)正數(shù)x為a的算術(shù)平方根算術(shù)平方根的雙重非負(fù)性1.√a中a?02.√a?0算術(shù)平方根產(chǎn)生根號(hào)(即算術(shù)平方根)的產(chǎn)生源于正方形的對角線長度“根號(hào)二”，這個(gè)“根號(hào)二”的發(fā)現(xiàn)一度引起了畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的恐慌。因?yàn)榘串?dāng)時(shí)的權(quán)威解釋(也就是畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的學(xué)說)，世界的一切事物都可以用有理數(shù)代表。對于這個(gè)無理數(shù)“根號(hào)二”，最終人們選取了用根號(hào)來表示算術(shù)平方根舉例9的平方根為±3;9的算術(shù)平方根為3，正數(shù)的平方根都是前面加±，算術(shù)平方根全部都是正數(shù)。算術(shù)平方根辨析算術(shù)平方根和平方根是大家學(xué)習(xí)實(shí)數(shù)接觸最多的概念，兩者密不可分?？蓪τ诔鯇W(xué)者來說是對“孿生殺手”，很容易在解題過程中產(chǎn)生錯(cuò)誤。算術(shù)平方根和平方根到底有哪些區(qū)別與聯(lián)系呢?一、兩者區(qū)別1、定義不同：⑴一般地，如果一個(gè)正數(shù)x的平方等于a，即x2=a，那么這個(gè)正數(shù)x叫做a的算術(shù)平方根(arithmeticsquareroot)。⑵一般地，如果一個(gè)數(shù)的平方等于a，那么這個(gè)數(shù)叫做a的平方根或二次方根(squareroot)。這就是說，如果x2=a，那么x叫做a的平方根。2、表示方法不同：⑴a的算術(shù)平方根記為√a，讀作“根號(hào)a”，a叫做被開方數(shù)(radicand)。⑵a的平方根記為±√a，讀作“正負(fù)根號(hào)a”，其中a叫做被開方數(shù)。3、個(gè)數(shù)不同：從形式上看，二者的符號(hào)主體相似，但是一個(gè)數(shù)的平方根要在其算術(shù)平方根的前面寫上“±”。這也正好說明了一個(gè)正數(shù)和零的算術(shù)平方根有且只有一個(gè)，而一個(gè)正數(shù)卻有兩個(gè)互為相反數(shù)的平方根。零只有一個(gè)平方根二、兩者聯(lián)系1、前提條件相同：算術(shù)平方根和平方根存在的前提條件都是“只有非負(fù)數(shù)才有算術(shù)平方根和平方根”。2、存在包容關(guān)系：平方根包含了算術(shù)平方根，因?yàn)橐粋€(gè)正數(shù)的算術(shù)平方根只是其兩個(gè)平方根中的一個(gè)。3、0的算術(shù)平方根和平方根相同，都是0。：a的算術(shù)平方根記作√a，讀作“根號(hào)a”，a叫做被開方數(shù)。要點(diǎn)：一個(gè)正數(shù)如果有平方根，那么必定有兩個(gè)，它們互為相反數(shù)。顯然，如果我們知道了這兩個(gè)平方根的一個(gè)，那么就可以及時(shí)的根據(jù)相反數(shù)的概念得到它的另一個(gè)平方根。如果一個(gè)正數(shù)x的平方等于a，即x2=a，那么這個(gè)正數(shù)x叫做a的算術(shù)平方根。a的算術(shù)平方根記為，讀作“根號(hào)a”，a叫做被開方數(shù)。規(guī)定：0的平方根是0。負(fù)數(shù)在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)不能開平方，只有在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)，才可以開平方根。例如：-1的平方根為±1i，-9的平方根為±3i。平方根包含了算術(shù)平方根，算術(shù)平方根是平方根中的一種。任何復(fù)數(shù)都有平方根。算術(shù)平方根為：√a=a(a為非負(fù)數(shù))被開方數(shù)是乘方運(yùn)算里的冪。求平方根可通過逆運(yùn)算平方來求。開平方：求一個(gè)非負(fù)數(shù)a的平方根的運(yùn)算叫做開平方，其中a叫做被開方數(shù)。若x的平方等于a，那么x就叫做a的平方根，即±√a=±x(a為非負(fù)數(shù))性質(zhì)與平方根的關(guān)系正數(shù)的平方根有兩個(gè)，它們?yōu)橄喾磾?shù)，其中正數(shù)的平方根，就是這個(gè)數(shù)的算術(shù)平方根。產(chǎn)生根號(hào)(即算術(shù)平方根)的產(chǎn)生源于正方形的對角線長度“根號(hào)二”，這個(gè)“根號(hào)二”的發(fā)現(xiàn)一度引起了畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的恐慌。因?yàn)榘串?dāng)時(shí)的解釋(也就是畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的學(xué)說)，萬物皆數(shù)(也就是說世界上所有的事物都可以用數(shù)來表示)。對于這個(gè)無理數(shù)“根號(hào)二”，最終人們選取了用根號(hào)來表示。1、勾股定理

知識(shí)點(diǎn)內(nèi)容：直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方；表示方法：如果直角三角形的兩直角邊分別為a，b，斜邊為c，那么.勾股定理的由來：勾股定理也叫商高定理，在西方稱為畢達(dá)哥拉斯定理．我國古代把直角三角形中較短的直角邊稱為勾，較長的直角邊稱為股，斜邊稱為弦．早在三千多年前，周朝數(shù)學(xué)家商高就提出了“勾三，股四，弦五”形式的勾股定理，后來人們進(jìn)一步發(fā)現(xiàn)并證明了直角三角形的三邊關(guān)系為：兩直角邊的平方和等于斜邊的平方2、勾股定理的證明勾股定理的證明方法很多，常見的是拼圖的方法用拼圖的方法驗(yàn)證勾股定理的思路是①圖形進(jìn)過割補(bǔ)拼接后，只要沒有重疊，沒有空隙，面積不會(huì)改變②根據(jù)同一種圖形的面積不同的表示方法，列出等式，推導(dǎo)出勾股定理常見方法如下：3、勾股定理的適用范圍勾股定理揭示了直角三角形三條邊之間所存在的數(shù)量關(guān)系，它只適用于直角三角形，對于銳角三角形和鈍角三角形的三邊就不具有這一特征，因而在應(yīng)用勾股定理時(shí)，必須明了所考察的對象是直角三角形4、勾股定理的應(yīng)用①已知直角三角形的任意兩邊長，求第三邊在中，②知道直角三角形一邊，可得另外兩邊之間的數(shù)量關(guān)系③可運(yùn)用勾股定理解決一些實(shí)際問題

根號(hào)2是有理數(shù)嗎？根號(hào)2不是有理數(shù)證明：假設(shè)根號(hào)2是有理數(shù)，設(shè)根號(hào)2=Q/P（P、Q是整數(shù)，而且互質(zhì)），則Q=根號(hào)2*P所以

Q平方=2*P平方，因?yàn)橛疫吺?的倍數(shù)，故左邊Q平方也是2的倍數(shù)，從而Q是2的倍數(shù)，設(shè)Q=2n，代入Q平方=2*P平方得：2*n平方=P平方，由于左邊是2的倍數(shù)，故右邊P平方也是2的倍數(shù)，從而P是2的倍數(shù)，則P、Q都是2的倍數(shù)，即P、Q有公因數(shù)2，這與P、Q互質(zhì)相矛盾。所以根號(hào)2不是有理數(shù)，是無理數(shù)。

知識(shí)概念

1.有理數(shù)：

(1)凡能寫成形式的數(shù)，都是有理數(shù).正整數(shù)、0、負(fù)整數(shù)統(tǒng)稱整數(shù)；正分?jǐn)?shù)、負(fù)分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱分?jǐn)?shù)；整數(shù)和分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱有理數(shù).注意：0即不是正數(shù)，也不是負(fù)數(shù)；-a不一定是負(fù)數(shù)，+a也不一定是正數(shù)；不是有理數(shù)；

(2)有理數(shù)的分類:①②

2．?dāng)?shù)軸：數(shù)軸是規(guī)定了原點(diǎn)、正方向、單位長度的一條直線.

3．相反數(shù)：

(1)只有符號(hào)不同的兩個(gè)數(shù)，我們說其中一個(gè)是另一個(gè)的相反數(shù)；0的相反數(shù)還是0；

(2)相反數(shù)的和為0a+b=0a、b互為相反數(shù).

4.絕對值：

(1)正數(shù)的絕對值是其本身，0的絕對值是0，負(fù)數(shù)的絕對值是它的相反數(shù)；注意：絕對值的意義是數(shù)軸上表示某數(shù)的點(diǎn)離開原點(diǎn)的距離；

(2)絕對值可表示為：或；絕對值的問題經(jīng)常分類討論；

5.有理數(shù)比大?。海?）正數(shù)的絕對值越大，這個(gè)數(shù)越大；（2）正數(shù)永遠(yuǎn)比0大，負(fù)數(shù)永遠(yuǎn)比0??；（3）正數(shù)大于一切負(fù)數(shù)；（4）兩個(gè)負(fù)數(shù)比大小，絕對值大的反而小；（5）數(shù)軸上的兩個(gè)數(shù)，右邊的數(shù)總比左邊的數(shù)大；（6）大數(shù)-小數(shù)＞0，小數(shù)-大數(shù)＜0.

6.互為倒數(shù)：乘積為1的兩個(gè)數(shù)互為倒數(shù)；注意：0沒有倒數(shù)；若a≠0，那么的倒數(shù)是；若ab=1a、b互為倒數(shù)；若ab=-1a、b互為負(fù)倒數(shù).

7.有理數(shù)加法法則：

（1）同號(hào)兩數(shù)相加，取相同的符號(hào)，并把絕對值相加；

（2）異號(hào)兩數(shù)相加，取絕對值較大的符號(hào)，并用較大的絕對值減去較小的絕對值；

（3）一個(gè)數(shù)與0相加，仍得這個(gè)數(shù).

8．有理數(shù)加法的運(yùn)算律：

（1）加法的交換律：a+b=b+a；（2）加法的結(jié)合律：（a+b）+c=a+（b+c）.

9．有理數(shù)減法法則：減去一個(gè)數(shù)，等于加上這個(gè)數(shù)的相反數(shù)；即a-b=a+（-b）.

10.有理數(shù)乘法法則：

（1）兩數(shù)相乘，同號(hào)為正，異號(hào)為負(fù)，并把絕對值相乘；

（2）任何數(shù)同零相乘都得零；

（3）幾個(gè)數(shù)相乘，有一個(gè)因式為零，積為零；各個(gè)因式都不為零，積的符號(hào)由負(fù)因式的個(gè)數(shù)決定.

11.有理數(shù)乘法的運(yùn)算律：

（1）乘法的交換律：ab=ba；（2）乘法的結(jié)合律：（ab）c=a（bc）；

（3）乘法的分配律：a（b+c）=ab+ac.

12．有理數(shù)除法法則：除以一個(gè)數(shù)等于乘以這個(gè)數(shù)的倒數(shù)；注意：零不能做除數(shù)，.

13．有理數(shù)乘方的法則：

（1）正數(shù)的任何次冪都是正數(shù)；

（2）負(fù)數(shù)的奇次冪是負(fù)數(shù)；負(fù)數(shù)的偶次冪是正數(shù)；注意：當(dāng)n為正奇數(shù)時(shí):(-a)n=-an或(a-b)n=-(b-a)n,當(dāng)n為正偶數(shù)時(shí):(-a)n=an或(a-b)n=(b-a)n.

14．乘方的定義：

（1）求相同因式積的運(yùn)算，叫做乘方；

（2）乘方中，相同的因式叫做底數(shù)，相同因式的個(gè)數(shù)叫做指數(shù)，乘方的結(jié)果叫做冪；

15．科學(xué)記數(shù)法：把一個(gè)大于10的數(shù)記成a×10n的形式，其中a是整數(shù)數(shù)位只有一位的數(shù)，這種記數(shù)法叫科學(xué)記數(shù)法.

16.近似數(shù)的精確位：一個(gè)近似數(shù)，四舍五入到那一位，就說這個(gè)近似數(shù)的精確到那一位.

17.有效數(shù)字：從左邊第一個(gè)不為零的數(shù)字起，到精確的位數(shù)止，所有數(shù)字，都叫這個(gè)近似數(shù)的有效數(shù)字.

18.混合運(yùn)算法則：先乘方，后乘除，最后加減.1、勾股定理的逆定理

知識(shí)點(diǎn)如果三角形三邊長a，b，c滿足，那么這個(gè)三角形是直角三角形，其中c為斜邊.①勾股定理的逆定理是判定一個(gè)三角形是否是直角三角形的一種重要方法，它通過“數(shù)轉(zhuǎn)化為形”來確定三角形的可能形狀，在運(yùn)用這一定理時(shí)，可用兩小邊的平方和與較長邊的平方作比較，若它們相等時(shí)，以a，b，c為三邊的三角形是直角三角形；若，時(shí)，以a，b，c為三邊的三角形是鈍角三角形；若，時(shí)，以a，b，c為三邊的三角形是銳角三角形；②定理中a，b，c

及只是一種表現(xiàn)形式，不可認(rèn)為是唯一的，如若三角形三邊長a，b，c

滿足，那么以a，b，c

為三邊的三角形是直角三角形，但是b為斜邊.③勾股定理的逆定理在用問題描述時(shí)，不能說成：當(dāng)斜邊的平方等于兩條直角邊的平方和時(shí)，這個(gè)三角形是直角三角形2、勾股數(shù)①能夠構(gòu)成直角三角形的三邊長的三個(gè)正整數(shù)稱為勾股數(shù)，即中，a，b，c

為正整數(shù)時(shí)，稱a，b，c

為一組勾股數(shù)②記住常見的勾股數(shù)可以提高解題速度，如3、4、5；6、8、10；5、12、13；7、24、25等。③用含字母的代數(shù)式表示n組勾股數(shù)：3、勾股定理的應(yīng)用勾股定理能夠幫助我們解決直角三角形中的邊長的計(jì)算或直角三角形中線段之間的關(guān)系的證明問題．在使用勾股定理時(shí)，必須把握直角三角形的前提條件，了解直角三角形中，斜邊和直角邊各是什么，以便運(yùn)用勾股定理進(jìn)行計(jì)算，應(yīng)設(shè)法添加輔助線（通常作垂線），構(gòu)造直角三角形，以便正確使用勾股定理進(jìn)行求解．4、勾股定理逆定理的應(yīng)用勾股定理的逆定理能幫助我們通過三角形三邊之間的數(shù)量關(guān)系判斷一個(gè)三角形是否是直角三角形，在具體推算過程中，應(yīng)用兩短邊的平方和與最長邊的平方進(jìn)行比較，切不可不加思考的用兩邊的平方和與第三邊的平方比較而得到錯(cuò)誤的結(jié)論．5、勾股定理及其逆定理的應(yīng)用勾股定理及其逆定理在解決一些實(shí)際問題或具體的幾何問題中，是密不可分的一個(gè)整體．通常既要通過逆定理判定一個(gè)三角形是直角三角形，又要用勾股定理求出邊的長度，二者相輔相成，完成對問題的解決．常見圖形：6、互逆命題的概念如果一個(gè)命題的題設(shè)和結(jié)論分別是另一個(gè)命題的結(jié)論和題設(shè)，這樣的兩個(gè)命題叫做互逆命題。如果把其中一個(gè)叫做原命題，那么另一個(gè)叫做它的逆命題。平方根

知識(shí)點(diǎn)平方根表示法：一個(gè)非負(fù)數(shù)a的平方根記作，讀作正負(fù)根號(hào)a。a叫被開方數(shù)。中被開方數(shù)的取值范圍：被開方數(shù)a≥0平方根性質(zhì)：①一個(gè)正數(shù)的平方根有兩個(gè)，它們互為相反數(shù)。②0的平方根是它本身0。③負(fù)數(shù)沒有平方根開平方；求一個(gè)數(shù)的平方根的運(yùn)算，叫做開平方。平方根與算術(shù)平方根區(qū)別：1、定義不同。2表示方法不同。3、個(gè)數(shù)不同。4、取值范圍不同。聯(lián)系1、二者之間存在著從屬關(guān)系。2、存在條件相同。3、0的算術(shù)平方根與平方根都是0含根號(hào)式子的意義：表示a的平方根，表示a的算術(shù)平方根，表示a的負(fù)的平方根。知識(shí)要點(diǎn)立方根

知識(shí)點(diǎn)讀作“三次根號(hào)a”其中，a叫做被開方數(shù)，3叫做根指數(shù)。(a等于所有數(shù)，包括0)如果被開方數(shù)還有指數(shù)，那么這個(gè)指數(shù)(必須是三能約去的)還可以和三次根號(hào)約去。求一個(gè)數(shù)a的立方根的運(yùn)算叫做開立方。立方根的性質(zhì)：⑴正數(shù)的立方根是正數(shù).⑵負(fù)數(shù)的立方根是負(fù)數(shù).⑶0的立方根是0.一般地，如果一個(gè)數(shù)X的立方等于a，那么這個(gè)數(shù)X就叫做a的立方根(cuberoot，也叫做三次方根)。如2是8的立方根，-3分之2是-27分之8的立方根，0是0的立方根。立方和開立方運(yùn)算，互為逆運(yùn)算?；橄喾磾?shù)的兩個(gè)數(shù)的立方根也是互為相反數(shù)。負(fù)數(shù)不能開平方，但能開立方。立方根如何與其他數(shù)作比較?⑴做這兩個(gè)數(shù)的立方⑵作差⑶比較被開方數(shù)(如三次根號(hào)3大于三次根號(hào)2)任何數(shù)(正數(shù)、負(fù)數(shù)、或零)的立方根如果存在的話，必定只有一個(gè).平方根與立方根的區(qū)別與聯(lián)系一、區(qū)別⑴根指數(shù)不同：平方根的根指數(shù)為2，且可以省略不寫;立方根的根指數(shù)為3，且不能省略不寫。⑵被開方的取值范圍不同：平方根中被開方數(shù)必需為非負(fù)數(shù);立方根中被開方數(shù)可以為任何數(shù)。⑶結(jié)果不同：平方根的結(jié)果除0之外，有兩個(gè)互為相反的結(jié)果;立方根的結(jié)果只有一個(gè)。二、連系二者都是與乘方運(yùn)算互為逆運(yùn)算用計(jì)算器求平方根和立方根

知識(shí)點(diǎn)應(yīng)用計(jì)算器計(jì)算時(shí)要注意以下幾個(gè)問題:(1)不同的按鍵順序會(huì)導(dǎo)致不同的結(jié)果;(2)不同的計(jì)算器顯示的有效數(shù)字不一定完全相同,在開方開不盡的情況下,如無特殊說明,計(jì)算結(jié)果一般保留小數(shù)點(diǎn)后四個(gè)有效數(shù)字;(3)凡從計(jì)算器上得到的結(jié)果,我們一般約定使用等號(hào).

一?利用計(jì)算器計(jì)算數(shù)的平方根

例1用計(jì)算器求36的算術(shù)平方根.

解:用計(jì)算器求的步驟如下:

所以36的算術(shù)平方根是6.

點(diǎn)評:如果是求平方根,則注意在寫結(jié)論時(shí),應(yīng)填上“±”號(hào),如上例中36的平方根為±6.

二?利用計(jì)算器計(jì)算數(shù)的立方根

例2用計(jì)算器求0.8456的立方根.

分析:求解時(shí)要用到y(tǒng)x上方的鍵,因此要用功能鍵進(jìn)行切換.

解:步驟如下:

∴=0.9456.

點(diǎn)評:求立方根和求平方根十分類似,區(qū)別是在倒數(shù)第二步將2改為3,只是次數(shù)不同.另外,如果要求一個(gè)負(fù)數(shù)的立方根,可以先求它的相反數(shù)的立方根,再在結(jié)果前加上負(fù)號(hào)即可.

三?利用計(jì)算器探求數(shù)學(xué)規(guī)律

例3借助計(jì)算器求下面的式子的值.

(1);(2);(3).

仔細(xì)觀察上面幾個(gè)式子的運(yùn)算結(jié)果,試猜想的結(jié)果,并驗(yàn)證.

解:我們可以利用計(jì)算器得到:(1)=3;(2)=33;(3)=333.

仔細(xì)觀察上面幾個(gè)式子的運(yùn)算結(jié)果,可猜想:

=.

可以利用提取驗(yàn)證猜想是正確的.

另外,有的計(jì)算器功能不同,操作步驟也相應(yīng)不同.同學(xué)們要視實(shí)際情況而定.實(shí)數(shù)

知識(shí)點(diǎn)實(shí)數(shù)包括有理數(shù)和無理數(shù).其中無理數(shù)就是無限不循環(huán)小數(shù),有理數(shù)就包括整數(shù)和分?jǐn)?shù).數(shù)學(xué)上,實(shí)數(shù)直觀地定義為和數(shù)軸上的點(diǎn)一一對應(yīng)的數(shù).本來實(shí)數(shù)僅稱作數(shù),后來引入了虛數(shù)概念,原本的數(shù)稱作“實(shí)數(shù)”——意義是“實(shí)在的數(shù)”.實(shí)數(shù)可以分為有理數(shù)和無理數(shù)兩類,或代數(shù)數(shù)和超越數(shù)兩類,或正數(shù),負(fù)數(shù)和零三類.實(shí)數(shù)集合通常用字母R或R^n表示.而R^n表示n維實(shí)數(shù)空間.實(shí)數(shù)是不可數(shù)的.實(shí)數(shù)是實(shí)分析的核心研究對象.實(shí)數(shù)可以用來測量連續(xù)的量.理論上,任何實(shí)數(shù)都可以用無限小數(shù)的方式表示,小數(shù)點(diǎn)的右邊是一個(gè)無窮的數(shù)列（可以是循環(huán)的,也可以是非循環(huán)的）.在實(shí)際運(yùn)用中,實(shí)數(shù)經(jīng)常被近似成一個(gè)有限小數(shù)（保留小數(shù)點(diǎn)后n位,n為正整數(shù)）.在計(jì)算機(jī)領(lǐng)域,由于計(jì)算機(jī)只能存儲(chǔ)有限的小數(shù)位數(shù),實(shí)數(shù)經(jīng)常用浮點(diǎn)數(shù)來表示.①相反數(shù)（只有符號(hào)不同的兩個(gè)數(shù),我們就說其中一個(gè)是另一個(gè)的相反數(shù)）實(shí)數(shù)a的相反數(shù)是-a②絕對值（在數(shù)軸上一個(gè)數(shù)所對應(yīng)的點(diǎn)與原點(diǎn)0的距離）實(shí)數(shù)a的絕對值是：|a|=①a為正數(shù)時(shí),|a|=a②a為0時(shí),|a|=0③a為負(fù)數(shù)時(shí),|a|=a③倒數(shù)（兩個(gè)實(shí)數(shù)的乘積是1,則這兩個(gè)數(shù)互為倒數(shù)）實(shí)數(shù)a的倒數(shù)是：1/a（a≠0）與實(shí)數(shù)相對應(yīng)的就是虛數(shù)：a+bi表示實(shí)數(shù)的分類1、有理數(shù)：任何一個(gè)有理數(shù)總可以寫成的形式，其中p、q是互質(zhì)的整數(shù)，這是有理數(shù)的重要特征。2、無理數(shù)：初中遇到的無理數(shù)有三種：開不盡的方根，如、；特定結(jié)構(gòu)的不限環(huán)無限小數(shù)，如1.101001000100001……；特定意義的數(shù)，如π、°等。3、判斷一個(gè)實(shí)數(shù)的數(shù)性不能僅憑表面上的感覺，往往要經(jīng)過整理化簡后才下結(jié)論。第8章一元一次不等式不等式的基本性質(zhì)

知識(shí)點(diǎn)1：不等式的兩邊都加上（或減去）同一個(gè)整式，不等式的方向不變。

2：不等式的兩邊都乘以（或除以）同一個(gè)正數(shù)，不等式的方向不變。

3：不等式的兩邊都乘以（或除以）同一個(gè)負(fù)數(shù)，不等式的方向改變。

4：不等式的兩邊都加上（或減去）同一個(gè)整式，不等式的方向不變。

一元一次不等式

知識(shí)點(diǎn)一、不等式的概念1、不等式用不等號(hào)表示不等關(guān)系的式子，叫做不等式。

2、不等式的解集對于一個(gè)含有未知數(shù)的不等式，任何一個(gè)適合這個(gè)不等式的未知數(shù)的值，都叫做這個(gè)不等式的解。對于一個(gè)含有未知數(shù)的不等式，它的所有解的集合叫做這個(gè)不等式的解的集合，簡稱這個(gè)不等式的解集。求不等式的解集的過程，叫做解不等式。

3、用數(shù)軸表示不等式的方法二、不等式基本性質(zhì)

1、不等式兩邊都加上（或減去）同一個(gè)數(shù)或同一個(gè)整式，不等號(hào)的方向不變。

2、不等式兩邊都乘以（或除以）同一個(gè)正數(shù)，不等號(hào)的方向不變。

3、不等式兩邊都乘以（或除以）同一個(gè)負(fù)數(shù)，不等號(hào)的方向改變。

三、一元一次不等式

1、一元一次不等式的概念

一般地，不等式中只含有一個(gè)未知數(shù)，未知數(shù)的次數(shù)是1，且不等式的兩邊都是整式，這樣的不等式叫做一元一次不等式。

2、一元一次不等式的解法解一元一次不等式的一般步驟：（1）去分母（2）去括號(hào)（3）移項(xiàng)（4）合并同類項(xiàng)（5）將x項(xiàng)的系數(shù)化為1一元一次不等式的概念

只含有一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是1，系數(shù)不等于0的不等式，叫做一元一次不等式.這個(gè)不等式必須同時(shí)滿足3個(gè)條件：（1）只含有一個(gè)未知數(shù)；（2）含未知數(shù)的式子是整式；（3）未知數(shù)的次數(shù)是1.這3個(gè)條件缺一不可.如：2x-（4x+1）>3、5y+2≤3（y-1），都是不等式，而x2-3x+20是關(guān)于x的一元一次不等式，則a必須具備的條件是a-1≠0，即a≠1.列一元一次不等式解應(yīng)用題步驟：1.審清題意、設(shè)未知數(shù)，只能設(shè)一個(gè)未知數(shù)。2.找等量關(guān)系列方程3.解方程4.寫出結(jié)果（也就是答）5.檢驗(yàn)6.答一元一次不等式組

知識(shí)點(diǎn)

1、一元一次不等式組的概念幾個(gè)一元一次不等式合在一起，就組成了一個(gè)一元一次不等式組。幾個(gè)一元一次不等式的解集的公共部分，叫做它們所組成的一元一次不等式組的解集。求不等式組的解集的過程，叫做解不等式組。當(dāng)任何數(shù)x都不能使不等式同時(shí)成立，我們就說這個(gè)不等式組無解或其解為空集。

2、一元一次不等式組的解法（1）分別求出不等式組中各個(gè)不等式的解集（2）利用數(shù)軸求出這些不等式的解集的公共部分，即這個(gè)不等式組的解集。第9章二次根式二次根式和它的性質(zhì)

知識(shí)點(diǎn)

√a2=|a|文字語言敘述為：一個(gè)數(shù)的平方的算術(shù)平方根等于這個(gè)數(shù)的絕對值。

注：1、化簡√a2時(shí)，一定要弄明白被開方數(shù)的底數(shù)a是正數(shù)還是負(fù)數(shù)，若是正數(shù)或0，則等于a本身，即√a2=|a|=a(a≥0)；若a是負(fù)數(shù)，則等于a的相反數(shù)-a，即√a2=|a|=－a(a﹤0)；2、√a2中的a的取值范圍可以是任意實(shí)數(shù)，即不論a取何值，√a2一定有意義；3、化簡√a2時(shí)，先將它化成|a|，再根據(jù)絕對值的意義來進(jìn)行化簡。一、概念要點(diǎn)：知識(shí)點(diǎn)三、二次根式的運(yùn)算方法

1．二次根式的乘除運(yùn)算

(1)運(yùn)算結(jié)果應(yīng)滿足以下兩個(gè)要求：①應(yīng)為最簡二次根式或有理式；②分母中不含根號(hào).

(2)注意每一步運(yùn)算的算理；

(3)乘法公式的推廣：

(4)注意：乘、除法的運(yùn)算法則要靈活運(yùn)用，在實(shí)際運(yùn)算中經(jīng)常從等式的右邊變形至等式的左邊，同時(shí)還要考慮字母的取值范圍，最后把運(yùn)算結(jié)果化成最簡二次根式．

2．二次根式的加減運(yùn)算需要先把二次根式化簡，然后把被開方數(shù)相同的二次根式（即同類二次根式）的系數(shù)相加減，被開方數(shù)不變。

3．二次根式的混合運(yùn)算(1)明確運(yùn)算的順序，即先乘方、開方，再乘除，最后算加減，有括號(hào)先算括號(hào)里；

(2)整式、分式中的運(yùn)算律、運(yùn)算法則及乘法公式在二次根式的混合運(yùn)算中也同樣適用.(3)二次根式運(yùn)算結(jié)果應(yīng)化簡．另外，根式的分?jǐn)?shù)必須寫成假分?jǐn)?shù)或真分?jǐn)?shù)，不能寫成帶分?jǐn)?shù)或小數(shù)．4.簡化二次根式的被開方數(shù)，主要有兩個(gè)途徑：1因式的內(nèi)移：因式內(nèi)移時(shí)，若，則將負(fù)號(hào)留在根號(hào)外．即：．2因式外移時(shí)，若被開數(shù)中字母取值范圍未指明時(shí)，則要進(jìn)行討論。二次根式的加減法知識(shí)點(diǎn)

知識(shí)點(diǎn)1：同類二次根式(Ⅰ)幾個(gè)二次根式化成最簡二次根式以后，如果被開方數(shù)相同，這幾個(gè)二次根式叫做同類二次根式，如這樣的二次根式都是同類二次根式。

(Ⅱ)判斷同類二次根式的方法：(1)首先將不是最簡形式的二次根式化為最簡二次根式以后，再看被開方數(shù)是否相同。(2)幾個(gè)二次根式是否是同類二次根式，只與被開方數(shù)及根指數(shù)有關(guān)，而與根號(hào)外的因式無關(guān)。

知識(shí)點(diǎn)2：合并同類二次根式的方法

合并同類二次根式的理論依據(jù)是逆用乘法對加法的分配律，合并同類二次根式，只把它們的系數(shù)相加，根指數(shù)和被開方數(shù)都不變，不是同類二次根式的不能合并。

知識(shí)點(diǎn)3：二次根式的加減法則

二次根式相加減先把各個(gè)二次根式化成最簡二次根式，再把同類二次根式合并，合并的方法為系數(shù)相加，根式不變。

知識(shí)點(diǎn)4：二次根式的混合運(yùn)算方法和順序

運(yùn)算方法是利用加、減、乘、除法則以及與多項(xiàng)式乘法類似法則進(jìn)行混合運(yùn)算。運(yùn)算的順序是先乘方，后乘除，最后加減，有括號(hào)的先算括號(hào)內(nèi)的。

知識(shí)點(diǎn)5：二次根式的加減法則與乘除法則的區(qū)別

乘除法中，系數(shù)相乘，被開方數(shù)相乘，與兩根式是否是同類根式無關(guān)，加減法中，系數(shù)相加，被開方數(shù)不變而且兩根式須是同類最簡根式。計(jì)算法則：第10章一次函數(shù)知識(shí)點(diǎn)1

一次函數(shù)和正比例函數(shù)的概念若兩個(gè)變量x，y間的關(guān)系式可以表示成y=kx+b（k，b為常數(shù)，k≠0）的形式，則稱y是x的一次函數(shù)（x為自變量），特別地，當(dāng)b=0時(shí)，稱y是x的正比例函數(shù).知識(shí)點(diǎn)2

函數(shù)的圖象由于兩點(diǎn)確定一條直線，一般選取兩個(gè)特殊點(diǎn)：直線與y軸的交點(diǎn)，直線與x軸的交點(diǎn)。.不必一定選取這兩個(gè)特殊點(diǎn).畫正比例函數(shù)y=kx的圖象時(shí)，只要描出點(diǎn)（0，0），（1，k）即可.知識(shí)點(diǎn)3一次函數(shù)y=kx+b（k，b為常數(shù)，k≠0）的性質(zhì)（1）k的正負(fù)決定直線的傾斜方向；①k＞0時(shí)，y的值隨x值的增大而增大；②k﹤O時(shí)，y的值隨x值的增大而減小．（2）|k|大小決定直線的傾斜程度，即|k|越大①當(dāng)b＞0時(shí)，直線與y軸交于正半軸上；②當(dāng)b＜0時(shí)，直線與y軸交于負(fù)半軸上；③當(dāng)b=0時(shí)，直線經(jīng)過原點(diǎn)，是正比例函數(shù)．（4）由于k，b的符號(hào)不同，直線所經(jīng)過的象限也不同；①如圖所示，當(dāng)k＞0，b＞0時(shí)，直線經(jīng)過第一、二、三象限（直線不經(jīng)過第四象限）；②如圖所示，當(dāng)k＞0，b＜O時(shí)，直線經(jīng)過第一、三、四象限（直線不經(jīng)過第二象限）；③如圖所示，當(dāng)k﹤O，b＞0時(shí)，直線經(jīng)過第一、二、四象限（直線不經(jīng)過第三象限）；④如圖所示，當(dāng)k﹤O，b﹤O時(shí)，直線經(jīng)過第二、三、四象限（直線不經(jīng)過第一象限）．（5）由于|k|決定直線與x軸相交的銳角的大小，k相同，說明這兩個(gè)銳角的大小相等，且它們是同位角，因此，它們是平行的．另外，從平移的角度也可以分析，例如：直線y=x＋1可以看作是正比例函數(shù)y=x向上平移一個(gè)單位得到的．知識(shí)點(diǎn)4

正比例函數(shù)y=kx（k≠0）的性質(zhì)（1）正比例函數(shù)y=kx的圖象必經(jīng)過原點(diǎn)；（2）當(dāng)k＞0時(shí)，圖象經(jīng)過第一、三象限,y隨x的增大而增大；（3）當(dāng)k＜0時(shí)，圖象經(jīng)過第二、四象限,y隨x的增大而減?。R(shí)點(diǎn)5

點(diǎn)P（x0，y0）與直線y=kx+b的圖象的關(guān)系（1）如果點(diǎn)P（x0，y0）在直線y=kx+b的圖象上，那么x0,y0的值必滿足解析式y(tǒng)=kx+b；（2）