水力劈裂裂縫流體運動質(zhì)量守恒定律及縫內(nèi)水力分布研究

作為高壓隧道，在地板壓力的作用下，或在高暴露于地下水的作用下，地下隧道的外部空間受到不同程度的水裂隙。水裂也是高水頭混凝土水庫上游裂縫失穩(wěn)擴展的重要因素之一。水力劈裂是高壓水流或其它液體將巖體或混凝土內(nèi)已有的裂隙和空隙驅(qū)動擴張、擴展、相互貫通等物理現(xiàn)象,水力劈裂過程也是水流在較小巖體或混凝土間隙內(nèi)運動與周圍固體變形耦合過程,縫內(nèi)水壓分布規(guī)律是連接流固耦合分析的紐帶。水力劈裂一詞起源于石油天然氣行業(yè),其機理研究相對較多,但這些研究是基于人工致裂,即在恒定流量、恒定水頭下巖體的開裂問題,重點研究施加多大的高壓水頭能使巖體開裂。在水利水電工程行業(yè)中的深埋地下結(jié)構(gòu)、高壩、邊坡等水流自然營造力所產(chǎn)生的水力劈裂卻基本上是恒水頭(如壓力隧洞和水庫壩體)或變水頭和變流量情況下產(chǎn)生的,因其邊界條件不同,水力劈裂機理和縫內(nèi)水壓分布也就不一定相同。由于水力劈裂機理的復(fù)雜性,目前對自然營造力作用下的水力劈裂機理研究較少,尤其是單裂縫的水力劈裂問題。雖然針對混凝土壩水力劈裂的研究已有少量文獻(xiàn),但混凝土高壩設(shè)計和地下結(jié)構(gòu)圍巖穩(wěn)定分析中還不能很好地考慮這部分影響。Brühwiler和Saouma通過混凝土試件的水力劈裂試驗,研究不同級配混凝土縫內(nèi)水壓分布規(guī)律。Slowik和Saouma研究裂縫邊緣張開速度不同時縫內(nèi)水壓梯度分布隨時間的變化規(guī)律。Tinawi和Guizani研究初始形狀為矩形,裂縫長度固定不變,裂縫壁僅剛性張開、閉合、形狀為梯形的壩體上游面已存在的裂縫,從理論上推導(dǎo)了裂縫內(nèi)水壓分布計算式,并應(yīng)用有限元分析法研究了不同地震波作用下裂縫快速張開、閉合時壩體上游面裂縫內(nèi)壓力的變化情況。文獻(xiàn)研究混凝土拱壩上游面初始裂縫縫內(nèi)水壓為不同分布形式時裂縫開展情況及壩體應(yīng)力特性。從經(jīng)典斷裂力學(xué)理論和文獻(xiàn)知,裂縫的擴展形狀為橢圓形,本文就以此為前提,假定裂縫形狀為半橢圓形推導(dǎo)縫內(nèi)水壓分布,放棄恒定流量邊界條件,推導(dǎo)水力劈裂裂縫流體的質(zhì)量守恒方程和裂縫內(nèi)水壓分布理論計算式,并與Slowik和Saouma的試驗結(jié)果比較,探討公式的適用范圍。1控制體積法求解微段裂縫描述空間流體運動的一般方程是Navier-Stokes方程,結(jié)合邊界條件從理論上構(gòu)成了流體運動狀態(tài)的完備描述,然而,因流體運動狀態(tài)及邊界條件的復(fù)雜性,目前僅能對一些簡單邊界問題求解,如平行板之間層流運動(泊肅葉流動)。而對于大多數(shù)問題Navier-Stokes方程難以得到理論解,往往需要簡化模型和計算方法,但不管采用什么方法,求解過程應(yīng)遵循質(zhì)量守恒和動量守恒定律?；炷梁蛶r體水力劈裂裂縫的長度與寬度之比往往在104以上數(shù)量級。水流在這樣一個很小的縫隙內(nèi)流動,可以忽略壓力沿裂縫寬度方向的變化,認(rèn)為壓力僅沿長度方向變化。對這種問題采用控制體積法求解比直接通過Navier-Stokes方程求解更為有效,而且精度完全能夠滿足工程要求。控制體積法就是沿裂縫長度方向取若干個微段體積,通過研究微段的運動來得到問題的解。采用控制體積法求解時,不可壓縮液體質(zhì)量守恒定律可描述為dmdt=ρddt∫?VdV+ρ∮?Ω(u?n)dA=0(1)式中:V為控制體體積;Ω為控制體的表面;m為控制體質(zhì)量;ρ為水的質(zhì)量密度;u為速度矢量;n為控制體表面的外法線矢量。不可壓縮液體動量守恒定律描述為dΜdt=ρddt∫?VudV+ρ∮?Ωu(u?n)dA=∑F(2)式中:M為控制體積的動量;F為作用在控制體積上的力矢量。2計算裂縫分辨率的理論2.1任意時段流速分布基本假定如下:(1)水的體積是不可壓縮的;(2)水流屬于牛頓流體,滿足摩擦定律;(3)裂縫壁滲透系數(shù)很小,流體濾失量可以忽略;(4)水流在裂隙內(nèi)的運動屬于一維層流,任一斷面任意時刻流速分布符合泊肅葉流動;(5)裂縫在某一個方向?qū)挾冗h(yuǎn)大于其它兩個方向,在該方向取單位寬度,簡化為平面問題研究,在該平面內(nèi)裂縫形狀為半橢圓形。如圖1(a),在任意時刻裂縫形態(tài)方程為x2a2+y2b2=1(3)式中:a、b分別為任意時刻橢圓的長軸和短軸,是關(guān)于時間t的函數(shù)。流速分布如圖1(b)所示,為ux,y=u0(1-4y2w2x)(4)式中:ux,y為任一點流速(因本文研究均指任意時刻流體狀態(tài),為了簡單,省略下標(biāo)t,以下同);u0為研究斷面最大流速;wx為x斷面處裂縫寬度。2.2流速、通過流量計算式(1)右側(cè)第一項為控制體質(zhì)量隨時間的變化率,對于不可壓縮液體則為體積變化率,第二項為控制體周圍各面流出和流入的水的通量。取x處一微段dx如圖1,位于x斷面處裂縫寬度為wx、任一點流速為u1x,y、平均流速為ˉu1、最大流速為u01、通過流量為qx;位于x+dx斷面處裂縫寬度為wx?wx?xdx、任一點流速為u2x,y、平均流速ˉu2、最大流速為u02、通過流量為qx+?qx?xdx。下面分別計算式(1)中各項,按平面問題考慮。微段dx的體積為∫?VdV=12(wx+wx+?wx?xdx)dx≈wxdx(5)對于一維層流,式(1)右側(cè)第二項可以簡化為∮?Ω(u?n)dA=∫?s1u1x,ydy-∫?s2u2x,ydy(6)將式(3)代入式(6)并沿裂縫高度積分,得∮?Ω(u?n)dA=23u01wx-23u02(wx+?wx?xdx)(7)對于層流,斷面最大流速等于全斷面平均流速的2倍,即有u01=2ˉu1,u02=2ˉu2,而ˉu1=qx/wx、ˉu2=(qx+?qx?xdx)/(wx+?wx?xdx),將其代入式(7),忽略高階微量后,得∮?Ω(u?n)dA=-43?qx?xdx(8)再將式(5)及式(8)代入式(1),就得到裂縫水流運動質(zhì)量守恒方程的具體形式,為?wx?t=43?qx?x(9)式(9)與文獻(xiàn)中假定裂縫為平行板得到的質(zhì)量守恒方程在形式上是相同的,但多出4/3系數(shù),說明假定裂縫形狀為橢圓形時其體積要稍小于按平行板得到的體積。雖然裂縫按橢圓形狀分析較按平行板要合理,但與實際的裂縫形狀仍有一定誤差。當(dāng)裂縫長度并不大時,這種誤差要小一些。2.3u3000計算公式dΜdt=ρddt∫?Vux,ydV+ρ∫?s1u21x,ydA-ρ∫?s2u22x,ydA=∑Fx(10)按牛頓流體摩擦定律得水流沿邊界的摩阻力為τ=μ?uxy?y=μ16qxw3xy|y=±wx2(11)式中:μ為流體的動力粘滯系數(shù)。假定圖1控制體左側(cè)x斷面的平均水頭壓力為Px,而右側(cè)x+dx斷面平均水頭壓力為Ρx+?Ρx?xdx,因為流速很小,忽略慣性力作用,同時忽略該段流體的重力作用。則沿x方向的合力為∑Fx=-(Ρx?wx?x+wx?Ρx?x+16μqxw2x)dx(12)將層流斷面不同流速、流量之間關(guān)系代入式(10)右側(cè)第一項,采用積分中值定律,有∫?Vux,ydV=43qxdx(13)引入動量修正系數(shù)β以簡化式(10)中的其余兩項,有∫?s1u21x,ydA=βˉu21S1；∫?s2u22x,ydA=βˉu22S2(14)其中β近似取圓形斷面理論計算修正值,即β=4/3。將式(12)、式(13)及式(14)代入式(10),略去高階微量,化簡得?Ρx?x+Ρxwx?wx?x=-16μqxw3x+43ρ[1wx?qx?t+qxw3x(2?qx?x-qxwx?wx?x)](15)根據(jù)泊肅葉流動的解知,x斷面通過的流量為qx=-w3x12μ?Ρx?x(16)將式(16)代入式(15),結(jié)合式(9)進(jìn)一步簡化式(15),得裂縫水壓梯度的微分方程為(13+12ρμwx?wx?t)?Ρx?x-Ρxwx?wx?x=0(17)2.4裂縫內(nèi)水壓分布微分方程wx=2b√1-x2a2=w0√1-x2a2(18)式中:w0為裂縫邊緣張開寬度。由式(18)得?wx?x=-w0ax√a2-x2；?wx?t=˙w0√1-x2a2+w0x2a3√1-x2a2˙a(19)式中:˙w0為裂縫邊緣張開寬度隨時間變化率;˙a為裂縫長度擴展率。將式(19)代入式(17),得?Ρx?x+xa2-x2113+12ρμw0˙w0(1-x2a2)+12ρμw20˙ax2a3Ρx=0(20)式(20)即為任意時刻裂縫內(nèi)水壓分布微分方程,結(jié)合邊界條件就可以求解。大量研究表明,巖石與混凝土等脆性材料裂紋斷裂失穩(wěn)擴展具有跳躍性,裂縫長度并不是持續(xù)向前擴展,而是擴展到某一穩(wěn)定狀態(tài)即停止,待斷裂能積聚到一定程度后再出現(xiàn)一次跳躍。若考慮此穩(wěn)定狀態(tài),則可令˙a=0,式(20)可以大大化簡。再引入邊界條件,Px|xx=0=P0(P0為裂縫邊緣水壓),經(jīng)求解可得水力劈裂穩(wěn)定狀態(tài)下縫內(nèi)水壓分布理論計算式,為Ρx=Ρ0exp[νw0˙w0(1-a2a2-x2)](21)式中:ν為水的運動粘滯系數(shù),1ν=ρμ。3縫內(nèi)水壓分布由式(21)可以得到:由于(1-a2a2-x2)≤0,由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)知裂縫內(nèi)水壓沿裂縫長度按指數(shù)規(guī)律減小,隨裂縫邊緣張開寬度及張開速率的增大,式(21)中的指數(shù)部分減小,縫內(nèi)水壓增大;當(dāng)x→a時,Px→0;若令w0=˙wt,則t→∞,Px→P0,這說明隨著時間的推移,縫內(nèi)水壓會逐漸增大到全水頭。這些規(guī)律與文獻(xiàn)試驗得到的結(jié)論完全吻合,說明本文推導(dǎo)出的理論計算式符合實際。下面進(jìn)一步從定量角度比較分析。取文獻(xiàn)的試驗結(jié)果,裂縫邊緣快速張開,速率為200μm/s,外界水壓為0.21MPa,在加壓4.24s時裂縫長度為140mm,經(jīng)推算邊緣張開寬度為0.848mm。在此需要說明的是,裂縫邊緣張開速率與固體變形相比較快,而與一般水流流速相比仍是較小的,而此時裂縫的長度穩(wěn)定不變,水流進(jìn)入裂縫的速率仍很小,符合本文基本假定(4)。文獻(xiàn)試驗與本文理論計算得到的縫內(nèi)水壓沿長度分布如圖2。從圖2可以看出,本文的計算結(jié)果與試驗結(jié)果吻合較好。比較其它時段的理論計算結(jié)果與試驗結(jié)果也基本吻合,只是在開始較短時段內(nèi),裂尖附近二者差異稍大。延長時間到240s,裂縫內(nèi)水壓分布如圖3所示。與圖2比較可以得到,裂縫內(nèi)水壓隨著時間的延長,水壓會逐漸發(fā)展為全水頭,與文獻(xiàn)結(jié)論完全吻合。當(dāng)裂縫邊緣慢速張開,速率為2μm/s時,計算結(jié)果與試驗結(jié)果差異很大,說明本文提出的理論計算式只適用于裂縫快速張開。分析其原因有:①理論公式(21)僅考慮水力劈裂裂縫某一穩(wěn)定狀態(tài)時的水壓分布,不能充分反映時間效應(yīng)。因為即使是裂縫擴展長度處于穩(wěn)定狀態(tài),縫內(nèi)水壓未達(dá)到全水頭前,水流也會緩慢進(jìn)入裂縫,壓力會逐漸增大,這點雖從式(21)的定性分析可以得到,但在具體計算時因難以得到裂縫邊緣張開寬度與速率之間的確切函數(shù)關(guān)系而難以實現(xiàn);②在相同的時間內(nèi),慢速張開裂縫的寬度相對于快速張開時較小,而裂縫愈小,假定的截面流速分布式(4)與實際誤差愈大,這也是慢速張開時產(chǎn)生誤差的因素;③水力劈裂過程是裂隙水流運動與巖體或混凝土固體變形耦合過程,這種耦合作用具體體現(xiàn)在裂縫內(nèi)水壓是固體變形的邊界荷載,而裂隙內(nèi)水壓是裂隙張開寬度的函數(shù),裂隙張開寬度卻決定于固體的彈塑性變形,加之巖體或混凝土的蠕變效應(yīng)使這種耦合更為復(fù)雜,這說明單從裂縫水流運動角度計算水力劈裂過程中縫內(nèi)水壓分布是有誤差的。但本文提出的理論計算式,對于具體水力劈裂某個時刻,尤其是裂紋擴展處于穩(wěn)定狀態(tài)時,預(yù)測縫內(nèi)水壓分布仍不失其理論價值。4縫內(nèi)水壓計算式的修正本文從流體質(zhì)量守恒和動量守恒原理出發(fā),假定水力劈裂裂縫形態(tài)為半橢圓形,推導(dǎo)出了任意時刻縫內(nèi)水壓分布微分方程式,并得到了裂縫擴展處于穩(wěn)定狀態(tài)時縫內(nèi)水壓分布理論計算式。與已有試驗結(jié)果比較表明,本文的理論計算式反映出的規(guī)律