第3章函數(shù)的概念與性質(zhì)33冪函數(shù)初中我們研究過三類函數(shù)：一次函數(shù)、二次函數(shù)和反比例函數(shù)。前面我們用”集合對(duì)應(yīng)說“給函數(shù)更精細(xì)化的定義，然后利用函數(shù)概念和對(duì)圖像的觀察，研究了函數(shù)的單調(diào)性、最值和奇偶性本節(jié)利用這些知識(shí)研究一類新的函數(shù)【探究】1如果盧老師以1元/g的價(jià)格購買了某種蔬菜t千克，那么他需要支付的錢數(shù)P=t元，這里P是t的函數(shù)；2如果正方形的邊長為a，那么正方形的面積S=a2，這里S是a的函數(shù)；3如果立方體的棱長為b，那么立方體的體積V=b3，這里V是b的函數(shù)；4如果正方形廣場的面積為S，那么廣場的邊長c=，這里c是S的函數(shù)；5如果某人t秒內(nèi)汽車前進(jìn)了1m，那么他的平均速度v=m/s，這里v是t的函數(shù)；【以下各個(gè)函數(shù)有什么共同的特征？】

【思考】如果將上述函數(shù)解析式左側(cè)的因變量改成y，右側(cè)自變量改成，請(qǐng)仔細(xì)觀察得到的函數(shù)解析式，它們具有什么共同的結(jié)構(gòu)特征？新得到的函數(shù)解析式分別是：新得到的函數(shù)解析式分別是：1單項(xiàng)式；2冪的形式且系數(shù)為1；；4冪的指數(shù)是常數(shù)共同的結(jié)構(gòu)特征：可以發(fā)現(xiàn)，這些函數(shù)的表達(dá)式都具有冪的形式，而且都是以冪的底數(shù)為自變量，冪的指數(shù)都是常數(shù)分別是1，2，3，05，-1；它們都是形如的函數(shù)一般地，函數(shù)叫做冪函數(shù)，其中是自變量，是常數(shù)

【冪函數(shù)的概念】冪函數(shù)的特征【1】的系數(shù)為1

【2】的底數(shù)為自變量

【3】的指數(shù)為常數(shù)

只有同時(shí)滿足這三個(gè)條件的，才是冪函數(shù)形如等的函數(shù)不是冪函數(shù)

判斷一個(gè)函數(shù)是不是冪函數(shù)的依據(jù)是該函數(shù)是否為為常數(shù)的形式反過來，若一個(gè)函數(shù)為冪函數(shù)，那么它也一定具有這個(gè)形式在我們解決某些問題的時(shí)候這個(gè)結(jié)論有奇效

一般地，函數(shù)叫做冪函數(shù)，其中是自變量，是常數(shù)

【1】在函數(shù)①②③④⑤⑥中，是冪函數(shù)的是（）【解】根據(jù)冪函數(shù)的定義，只有①⑤⑥是冪函數(shù)選項(xiàng)②系數(shù)不為1；選項(xiàng)③系數(shù)不為1且多了常數(shù)項(xiàng)選項(xiàng)④同理

①⑤⑥【2】已知冪函數(shù)的圖像經(jīng)過點(diǎn)，求這個(gè)函數(shù)的表達(dá)式

【解】由題意設(shè)函數(shù)的表達(dá)式為

把點(diǎn)代入，得：

即，所以

所以這個(gè)函數(shù)的表達(dá)式為

和初中解決一次函數(shù)一樣，利用待定系數(shù)法因?yàn)閮绾瘮?shù)只有一個(gè)系數(shù)，所以只需要一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)就可以求寫出冪函數(shù)的表達(dá)式【鞏固練習(xí)】【探究】根據(jù)學(xué)習(xí)函數(shù)的經(jīng)驗(yàn)，你認(rèn)為應(yīng)該如何研究冪函數(shù)的性質(zhì)？答：通常先根據(jù)解析式求出定義域，研究函數(shù)的部分性質(zhì)，畫出函數(shù)圖象，再利用圖象和解析式，討論函數(shù)的其他性質(zhì)冪函數(shù)的圖像與性質(zhì)【說明】對(duì)于冪函數(shù)，我們只研究時(shí)圖像的性質(zhì)問題分別畫出上述函數(shù)的圖象問題分別畫出上述函數(shù)的圖象①定義域：R②值域：R；沒有最值；③單調(diào)性：在R上是增函數(shù)；④奇偶性：奇函數(shù)①定義域：{|≥0}；②值域：{y|y≥0}；有最小值0，沒有最大值；③單調(diào)性：在R上是增函數(shù)；④奇偶性：非奇非偶函數(shù)

奇函數(shù)奇函數(shù)奇函數(shù)偶函數(shù)非奇非偶函數(shù)增函數(shù)增函數(shù)增函數(shù)

P90表33-1和兩種情況下冪函數(shù)的圖像變化及性質(zhì)表：

在0，∞上都有定義，定義域與a的取值有關(guān)圖像過點(diǎn)0，0和點(diǎn)1，1圖像過點(diǎn)1，1在0，∞上是增函數(shù)在0，∞上是減函數(shù)在第一象限，當(dāng)0＜a＜1時(shí)，圖像上凸；當(dāng)a＞1時(shí)，圖像下凹在第一象限，圖像都下凹與a的取值有關(guān)冪函數(shù)的圖像與性質(zhì)應(yīng)用探究例冪函數(shù)在0，∞上是減函數(shù)，求m的值解：令，解得m=4或m=-1.(1)若m=4，則，在(0，+∞)上是增函數(shù)，不符合已知.綜上所述，m=-1.(2)若m=-1，則，在(0，+∞)上是減函數(shù)，符合已知.應(yīng)用探究例比較下列各組數(shù)的大小12解：

(1)由于函數(shù)在(0，+∞)上是增函數(shù)，又1.3<2，因此，即a<b；(2)由于函數(shù)在R上是增函數(shù)，又-2.1<-1.9，因此，即a<b；比較大小用作差法由增減性，根據(jù)自變量的大小，比較函數(shù)值的大小；或者根據(jù)函數(shù)值的大小，比較自變量的大小【綜合運(yùn)用】12奇函數(shù)，圖象分布在第一、三象限，關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱；冪函數(shù)在第一象限圖象規(guī)律：偶函數(shù)，圖象分布在第一、二象限，關(guān)于y軸對(duì)稱；沒有奇偶性的函數(shù)，圖象只在第一象限注：冪函數(shù)在第四象限不會(huì)有圖象“雙曲線”型“拋物線”型1α<020<α<13α>1【規(guī)律小結(jié)】α<0，冪函數(shù)在第一象限圖象單調(diào)