2023屆高三年級2月份大聯(lián)考數(shù)學試題本試卷共4頁，22題。全卷滿分150分?？荚囉脮r120分鐘。注意事項：1．答題前，先將自己的姓名、考號等填寫在試題卷和答題卡上，并將準考證號條形碼粘貼在答題卡上的指定位置。2．選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑。寫在試題卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效。3．填空題和解答題的作答：用簽字筆直接答在答題卡上對應的答題區(qū)域內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效。4．考試結(jié)束后，請將本試題卷和答題卡一并上交。一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．設集合，則（）A．B．C．D．2．若復數(shù)滿足，則（）A．的實部為3B．的虛部為4C．在復平面對應的點在第四象限D(zhuǎn)．的模長為3．（）A．B．C．D．4．某蘋果園一般把當年所產(chǎn)的蘋果，根據(jù)外形、甜度等品質(zhì)，由高到低評定為A、B、C、D、E五個等級，分別以不同的價格出售．圖1是2021年的等級結(jié)果，圖2是2022年的等級結(jié)果，已知2022年的蘋果產(chǎn)量是2021年的2倍．2022年與2021年比較，下列說法正確的是（）圖1圖2A．2022年A等級的蘋果產(chǎn)量比2021年少B．2022年B等級的蘋果產(chǎn)量是2021年的2.5倍C．2022年D等級的蘋果產(chǎn)量是2021年的一半D．2022年E等級的蘋果產(chǎn)量與2021年相同5．已知邊長為1的正五邊形，則（）A．B．C．D．6．已知函數(shù)，集合，則集合中元素的個數(shù)為（）A．4B．5C．6D．77．橢圓的左、右焦點為，過的直線交橢圓于兩點．的三邊構(gòu)成等差數(shù)列，則橢圓的離心率為（）A．B．C．或D．或8．已知函數(shù)，直線，若有且僅有一個整數(shù)，使得點在直線上方，則實數(shù)的取值范圍是（）A．B．C．D．二、多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．9．函數(shù)的周期為，下列命題正確的有（）A．點為的圖象的一個對稱中心B．是圖象的一條對稱軸C．在上單調(diào)遞減D．的圖象向左平移3個單位，得的圖象10．已知函數(shù)，則（）A．在上是減函數(shù)B．的圖象關于直線對稱C．的圖象關于點對稱D．不等式的解集是11．在棱長為2的正方體中，分別是線段的中點，點分別滿足，則（）A．對任意，平面平面B．當平面時，C．當時，四面體的外接球的表面積為D．對任意，三棱錐的體積為定值12．若直線經(jīng)過點，則（）A．B．C．D．三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13．已知，直線上有且只有一個點滿足，寫出滿足條件的其中一條直線的方程__________．14．在的展開式中，含項的系數(shù)為__________．15．已知雙曲線，四點中恰有三點在上，則雙曲線的標準方程為__________．16．已知圓錐的頂點為，軸截面為銳角，則當__________時，圓錐的內(nèi)切球與外接球的表面積的比值最大，最大值為__________．四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應寫出必要的文字說明，證明過程或演算步驟．17．（本小題滿分10分）在①，②，③向量這三個條件中任選一個，補充在下面問題中，并解答．在中，內(nèi)角的對邊分別為，且__________．（1）求角的大?。唬?）是線段上的點，且，求的面積．18．（本小題滿分12分）已知各項均為正數(shù)的數(shù)列滿足．（1）當時，求數(shù)列的通項公式；（2）若，求數(shù)列的前項和．19．（本小題滿分12分）如圖，五棱錐中，，，，，，，，，分別是線段的中點，．（1）證明：平面；（2）求二面角的正弦值．20．（本小題滿分12分）為了促進健康保險的發(fā)展，規(guī)范健康保險的經(jīng)營行為，保護健康保險活動當事人的合法權益，提升人民群眾健康保障水平，我國制定了《健康保險管理辦法》．為了解某一地區(qū)中年居民（年齡在40～55歲）購買健康保險的情況，一機構(gòu)根據(jù)統(tǒng)計數(shù)據(jù)，用最小二乘法得到健康保險購買量（單位：萬單）關于（年份）的線性回歸方程為，且購買量的方差為，年份的方差為．（1）求與的相關系數(shù)，并據(jù)此判斷健康保險購買業(yè)與年份的相關性強弱；（2）該機構(gòu)還調(diào)查了該地區(qū)90位居民的性別與是否購買健康保險的情況，得到的數(shù)據(jù)如下表：性別沒有購買健康保險購買健康保險總計男性39645女性301545總計692190依據(jù)小概率值的獨立性檢驗，能否認為購買健康保險與居民性別有關；（3）在上述購買健康保險的居民中按照性別進行分層抽樣抽取7人，再從這7人中隨機抽取3人，記這3人中，男性的人數(shù)為，求的分布列和數(shù)學期望．參考公式：（ⅰ）線性回歸方程：，其中；（ⅱ）相關系數(shù)：，若，則可判斷與線性相關較強．（ⅲ），其中．附表：0.100.050.0100.0012.7063.8416.63510.82821．（本小題滿分12分）點是拋物線的焦點，為坐標原點，過點作垂直于軸的直線，與拋物線相交于兩點，，拋物線的準線與軸交于點．（1）求拋物線的方程；（2）設是拋物線上異于兩點的兩個不同的點，直線相交于點，直線相交于點，證明：三點共線．22．（本小題滿分12分）已知函數(shù)．（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）已知函數(shù)有兩個零點，求實數(shù)的取值范圍．2023屆高三年級2月份大聯(lián)考數(shù)學參考答案及評分細則一、單選題1．C【解析】由題解得，所以，又因為，所以．故選C．2．C【解析】因為，所以的實部為4，虛部為．在復平面對應的點在第四象限，．故選C．3．A【解析】．故選A．4．B【解析】設2021年的蘋果產(chǎn)量為，則2022年的蘋果產(chǎn)量為，根據(jù)圖表得出兩年各個等級的蘋果產(chǎn)量如下圖所示：年份20212022由表可知A、C、D選項錯誤，B選項正確．故選B．5．B【解析】如圖，設的中點為，連接，，，．故選B．6．D【解析】當時，，得或3；當時，，得或，所以若，則或或1或3，畫出函數(shù)的圖象如下，再畫出直線，直線與函數(shù)的圖象有一個交點，直線與函數(shù)的圖象各有兩個交點，共7個交點，所以集合中元素的個數(shù)為7．故選D．7．D【解析】設直角三角形的三邊分別為成等差數(shù)列，則，解得：．若中，當時，不妨設，如圖，根據(jù)橢圓定義可知，，所以，即，得，，所以，離心率，當時，不妨設，如圖，根據(jù)橢圓定義可知，，所以，即，得，得，離心率．故選D．8．C【解析】點在直線上方，即，即有且僅有一個正整數(shù)解．函數(shù)，當時，單調(diào)遞增；時，單調(diào)遞減，所以函數(shù)在處取得極大值，時，；時，；時，時，時，，故可得函數(shù)如下圖，直線過定點，若有且僅有一個正整數(shù)解，首先應有，且2是唯一的整數(shù)解，即，得：．故選C．二、多選題9．ABC【解析】因為函數(shù)的周期為，所以，所以．對于A，令，當時，．則是圖象的一個對稱中心，故A正確；對于B，令，當時，．則是圖象的一條對稱軸，故B正確；對于C，由，解得的單調(diào)遞減區(qū)間為，取的一個單調(diào)遞減區(qū)間為，因為，故C正確；對于D，的圖象向左平移3個單位，得，故D錯誤．故選ABC．10．BD【解析】定義域為，，令，即，解得，所以在上是增函數(shù)，故A錯誤；因為，所以，所以，所以的圖象關于直線對稱，故B正確；因為，所以的圖象不關于點對稱，故C錯誤；由上述過程可知在上是增函數(shù)，且圖象關于直線對稱，所以在上是減函數(shù)，且，所以不等式的解集是，故D正確．故選BD．11．ABD【解析】如圖，以分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標系，，，，，，，，，，，，，因為，所以，所以，所以平面．因為，所以平面，又因為，所以平面平面，故A正確；，當平面時，，即，，，故B正確；如圖，當時，分別是棱的中點，分別取棱的中點，則四面體的外接球即是長方體的外接球，其直徑為，球的表面積為，故C不正確；三棱錐的體積，所以三棱錐的體積為定值，故D正確．故選ABD．12．BCD【解析】直線經(jīng)過點，所以，且，對于，當時等號成立，故A錯誤；對于B：，所以，所以，故B正確；對于C：，當時等號成立，故C正確；對于D：，，且，由，得，當時等號成立，故D正確．故選BCD．三、填空題13．（答案不唯一）【解析】設，由，得，整理得，如圖，即點的軌跡為圓，圓心為，半徑，直線上有且只有一個點滿足，即直線與圓相切，所以直線的方程可以為（答案不唯一）．故答案為（答案不唯一）．14．45【解析】依題意，，因此展開式中項為，所以含項的系數(shù)為45．故答案為45．15．【解析】由題意可知點兩點關于原點對稱，所以一定在雙曲線上，而，因為，但，所以點不在雙曲線上，所以點在雙曲線上，則，解得，所以雙曲線方程為．故答案為．16．【解析】如圖，不妨設為線段的中點，連接，圓錐的內(nèi)切球球心為，半徑為；外接球球心為，半徑為．圓錐的內(nèi)切球與外接球的表面積的比值，在中，，，在中，，，當且僅當，時，等號成立，圓錐的內(nèi)切球與外接球的表面積的比值的最大值為．故答案為．四、解答題17．解：選條件①，（1）因為，故，所以，即，又中，，所以，即，又，所以．選條件②，（1）因為，由正弦定理，得，由余弦定理，得，即，又，所以．選條件③，（1）向量，，由正弦定理得：，，，，則，，；（2）設，因為，所以，因為，所以，中，由正弦定理知：，即，化簡得，即，所以，所以的面積為．18．解：（1）當時，因為，所以，所以，所以，所以，即，所以，由及得，所以，又當時，，所以當時，．（2）由（1）得當時，，所以，即數(shù)列是以1為首項，2為公比的等比數(shù)列，所以．故，設數(shù)列的前項和為，，①，②①-②得，，故．19．解：（1）因為是的中點，所以，因為，所以為等腰梯形，因為分別是的中點，所以，所以在同一條直線上，因為是線段的中點，所以，又因為，所以，所以，故，又因為，所以平面．（2）由（1）得兩兩垂直，所以以為原點，以的方向分別為軸，軸，軸的正方向，建立空間直角坐標系，則，，，，，，，．設是平面的法向量，則，即，可?。O是平面的法向量，則，即，可取，于是，設二面角的大小為．因此二面角的正弦值是．20．解：（1）相關系數(shù)為，故與線性相關較強．（2）零假設為：購買健康保險與居民性別相互獨立，即購買健康保險與居民性別無關．，所以依據(jù)小概率值的獨立性檢驗，我們推斷不成立，即認為購買健康保險與居民性別有關，此推斷犯錯誤的概率不大于0.05．（3）購買健康保險的居民男女之比為，所以7人中男性居民選取2人，女性居民選取5人，則的可能取值為0，1，2，，，，故的分布列為：012．21．解：（1）拋物線，因為，所以不妨令，所以或（舍），拋物線的方程為．（2）如圖，不妨令，拋物線的準線與軸的交點，設，直線的方程為：，直線的方程為：，聯(lián)立方程組，解得，，直線的方程為：，直線的方程為：，聯(lián)立方程組，解得，，直線的斜率，直線的斜率，所以直線的斜率與直線的斜率相等，即，所以三點共線．22．解：（1），定義域為，，當時，令，得；令，得，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．當時，令，得；令，得