2.3二次函數(shù)與一元二次方程、不等式5題型分類一、一元二次不等式1．一元二次不等式的概念只含有一個未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的不等式，稱為一元二次不等式．2．一元二次不等式的一般形式(1)ax2＋bx＋c＞0(a≠0)．(2)ax2＋bx＋c≥0(a≠0)．(3)ax2＋bx＋c＜0(a≠0)．(4)ax2＋bx＋c≤0(a≠0)．3．一元二次不等式的解與解集使一元二次不等式成立的未知數(shù)的值，叫做這個一元二次不等式的解，其解的集合，稱為這個一元二次不等式的解集．二、二次函數(shù)圖象、方程及不等式的關系設y＝ax2＋bx＋c(a＞0)，方程ax2＋bx＋c＝0的判別式Δ＝b2－4ac判別式Δ＞0Δ＝0Δ＜0解不等式y(tǒng)＞0或y＜0的步驟求方程y＝0的解有兩個不相等的實數(shù)根x1，x2(x1＜x2)有兩個相等的實數(shù)根x1＝x2＝－eq\f(b,2a)沒有實數(shù)根畫函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的圖象得等的集不式解y＞0{x|x＜x1_或x＞x2}{x|x1＜x＜x2}Ry＜0{x|x1＜x＜x2}??三、常用數(shù)集及表示符號x2－y2>0是一元二次不等式嗎？此不等式含有兩個變量，根據(jù)一元二次不等式的定義，可知不是一元二次不等式．2.類比“方程x2＝1的解集是{1，－1}，解集中的每一個元素均可使等式成立”．不等式x2>1的解集及其含義是什么？不等式x2>1的解集為{x|x<－1或x>1}，該集合中每一個元素都是不等式的解，即不等式的每一個解均使不等式成立．a(chǎn)x2＋x－1>0的解集為R，則實數(shù)a應滿足什么條件？結合二次函數(shù)圖象可知，若一元二次不等式ax2＋x－1>0的解集為R，則解得，所以不存在a使不等式ax2＋x－1>0的解集為R.四、不等式解法1．分式不等式的解法主導思想：化分式不等式為整式不等式類型同解不等式eq\f(ax＋b,cx＋d)＞0(＜0)(其中a，b，c，d為常數(shù))法一：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(ax＋b＞0(＜0),cx＋d＞0))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(ax＋b＜0(＞0),cx＋d＜0))法二：(ax＋b)(cx＋d)＞0(＜0)eq\f(ax＋b,cx＋d)≥0(≤0)法一：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(ax＋b≥0(≤0),ax＋d＞0))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(ax＋b≤0(≥0),cx＋d＜0))法二：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(（ax＋b）（cx＋d）≥0（≤0）,cx＋d≠0))eq\f(ax＋b,cx＋d)＞keq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(<k,≥k,≤k))(其中k為非零實數(shù))先移項通分轉化為上述兩種形式2．(1)不等式的解集為R(或恒成立)的條件不等式ax2＋bx＋c>0ax2＋bx＋c<0a＝0b＝0，c>0b＝0，c<0a≠0eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a>0,Δ<0))eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a<0,Δ<0))(2)有關不等式恒成立求參數(shù)的取值范圍的方法設二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c若ax2＋bx＋c≤k恒成立?ymax≤k若ax2＋bx＋c≥k恒成立?ymin≥k（一）一元二次不等式的解法1、一元二次不等式的求解可以通過函數(shù)圖象，方程的解等結合求解.通過開口向上，大于零取兩邊，小于零取中間；開口向下，大于零取中間，小于零取兩邊.2、解不含參數(shù)的一元二次不等式的一般步驟（1）化標準.通過對不等式的變形，使不等式右側為0，使二次項系數(shù)為正.（2）判別式.對不等式左側因式分解，若不易分解，則計算對應方程的判別式.（3）求實根.求出相應的一元二次方程的根或根據(jù)判別式說明方程有無實根.（4）畫草圖.根據(jù)一元二次方程根的情況畫出對應的二次函數(shù)的草圖.（5）寫解集.根據(jù)圖象寫出不等式的解集.3、解含參數(shù)的一元二次不等式的一般步驟(1)討論二次項系數(shù):二次項若含有參數(shù)應討論是等于0,小于0，還是大于0，然后將不等式轉化為二次項系數(shù)為正的形式.(2)判斷方程根的個數(shù):討論判別式△與0的關系.(3)寫出解集:確定無根時可直接寫出解集;確定方程有兩個根時，要討論兩根的大小關系，從而確定解集形式.題型1：解不含參數(shù)的一元二次不等式11．（2023秋·安徽合肥·高二?？紝W業(yè)考試）不等式的解集為（

）A．或B． C．D．或【答案】A【分析】利用“三個二次”的關系解二次不等式.【詳解】不等式的解集為或.故選：A.【點睛】二次函數(shù)、二次方程與二次不等式統(tǒng)稱“三個二次”，它們常結合在一起，有關二次函數(shù)的問題，數(shù)形結合，密切聯(lián)系圖象是探求解題思路的有效方法．一般從：①開口方向；②對稱軸位置；③判別式；④端點函數(shù)值符號四個方面分析．12．（2023秋·湖南長沙·高二長沙一中校聯(lián)考階段練習）已知集合，則（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】解一元二次不等式可得，求交集即可.【詳解】因為，所以，故選：B.13．（2023秋·山東德州·高三統(tǒng)考期末）設集合，則（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】先解出集合A,然后求．【詳解】又所以故選：A【點睛】集合的交并運算：(1)離散型的數(shù)集用韋恩圖；(2)連續(xù)型的數(shù)集用數(shù)軸．14．【多選】（2023·全國·高一專題練習）下列不等式的解集是空集的是（

）A． B．C． D．【答案】CD【分析】根據(jù)一元二次不等式的解法及完全平方數(shù)的性質判斷即可.【詳解】對于A：恒成立，即不等式的解集為，故A錯誤；對于B：不等式，即，即，解得，所以不等式的解集為，故B錯誤；對于C：不等式，即，因為恒成立，所以不等式的解集為空集，故C正確；對于D：不等式，即，因為恒成立，所以不等式的解集為空集，故D正確；故選：CD15．（2023·全國·高一專題練習）求下列不等式的解集：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6).【答案】(1)或(2)(3)(4)(5)或(6)【分析】解一元二次不等式可求解（1）、（2）、（3）、（4）、（5），配方可求解（6）.【詳解】（1）由，可得或，故不等式的解集為或.（2）由，得，解得，故不等式的解集為.（3）由，可得，即，解得，故不等式的解集為.（4）由，可得，解得，故不等式的解集為.（5）由，可得，即，解得或，故不等式的解集為或.（6）因為恒成立，所以不等式的解集為.16．（2023秋·江蘇無錫·高一江蘇省南菁高級中學校考開學考試）解下列不等式：(1)(2)(3)(4)【答案】(1)或(2)(3)(4)或【分析】根據(jù)一元二次不等式的求法直接求解即可.【詳解】（1）由得：，解得：或，不等式的解集為或.（2），，不等式的解集為.（3）由得：，解得：，不等式的解集為.（4）由得：，解得：或，不等式的解集為或.題型2：解含有參數(shù)的一元二次不等式21．（2023·全國·高一專題練習）不等式的解集為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】首先不等式轉化為，再根據(jù)，結合一元二次不等式的形式求不等式的解集.【詳解】原不等式可以轉化為：，當時，可知，對應的方程的兩根為1，，所以不等式的解集為：.故選：A.22．（2023秋·高一?？颊n時練習）解關于x的不等式:.【答案】答案見解析【分析】對，，進行分類討論進而解方程即可.【詳解】①當時，不等式化為，解得，此時不等式的解集為;②當時，原不等式化為，解得不等式的解集為:；③當時，原不等式化為:，解得不等式的解集為:.綜上所述，當時，解集為;當時，解集為;當時，解集為23．（2023秋·高一課時練習）解關于的不等式：．【答案】答案見解析.【分析】分，，，，五種情況討論求解即可.【詳解】原不等式可化為，當時，，得，當時，由，得，解得，當時，，得，解得，當時，由，得，此時，，所以解得，或，當時，由，得，此時，所以解得，或，綜上所述，當時，原不等式的解集為；當時，原不等式的解集為；當時，原不等式的解集為；當時，原不等式的解集為或；當時，原不等式的解集為或．24．（2023秋·北京西城·高一北京鐵路二中?？计谥校┰O，解關于的不等式：．【答案】答案見解析【分析】將所求不等式變形為，對實數(shù)的取值進行分類討論，結合一次、二次不等式的解法解原不等式，即可得解.【詳解】解：由可得.（1）當時，原不等式即為，解得；（2）當時，解方程可得或.①當時，，解原不等式可得或②當時，則，解原不等式可得；③當時，原不等式即為，解得；④當時，，解原不等式可得.綜上所述，當時，原不等式的解集為；當時，原不等式的解集為；當時，原不等式的解集為；當時，原不等式的解集為；當時，原不等式的解集為.25．（2023·江蘇·高一假期作業(yè)）解關于x的不等式【答案】答案見解析【分析】原不等式可化為，分、、三種情況求解即可.【詳解】原不等式可化為.當，即時，或；當，即時，；當，即時，或.綜上，當時，解集為或；當時，解集為；當時，解集為或.26．（2023秋·黑龍江鶴崗·高一鶴崗一中?？计谥校┮阎?，求關于的不等式的解集.【答案】答案見解析【分析】討論，、、且三種大情況，解不等式得到答案.【詳解】①當時，不等式的解為.②當時，令解得；當時，，解得；當時，，不等式的解集為R；當且時，由基本不等式得，解得或.綜上：當時，不等式解集為；當時，不等式解集為；當時，不等式的解集為R；當且時，不等式的解集為或.27．（2023春·陜西寶雞·高二統(tǒng)考期末）設集合，.(1)當時，求的非空真子集的個數(shù)；(2)若，求實數(shù)的取值范圍.【答案】(1)62(2)或【分析】（1）化簡集合并得集合的元素個數(shù)，從而利用非空真子集的個數(shù)公式計算即可；（2）分兩種情況討論，當時，根據(jù)計算，當時，由列不等式組，求解集即可.【詳解】（1）當時，集合，A中共有6個元素，所以A的非空真子集的個數(shù)為.（2）當集合時，無解，即，解得，此時滿足；當集合，即時，，若，則集合，因為，所以，所以，不符合題意，舍去；若，則集合，因為，所以，所以，綜上所述，實數(shù)m的取值范圍為或.（二）三個“二次”之間的關系及應用三個“二次”之間的關系(1)三個“二次”中，二次函數(shù)是主體，討論二次函數(shù)主要是將問題轉化為一元二次方程和一元二次不等式的形式來研究．(2)討論一元二次方程和一元二次不等式又要將其與相應的二次函數(shù)相聯(lián)系，通過二次函數(shù)的圖象及性質來解決問題，關系如下：特別提醒：由于忽視二次項系數(shù)的符號和不等號的開口易寫錯不等式的解集形式．(3)解決三個“二次”之間的關系這類問題的關鍵是善于從題目條件中捕捉到根的信息，然后利用一元二次不等式與方程根的關系解決.不等式解集的端點值是對應方程的根，往往要用根與系數(shù)的關系.題型3：由不等式的解集求參數(shù)31．（2023秋·福建福州·高一福州三中?？茧A段練習）已知不等式的解集是，則（

）A．10 B．6 C．0 D．2【答案】A【解析】由一元二次方程根與系數(shù)的關系求得即可得出結果.【詳解】因為不等式的解集是,所以的兩根為，則，即，所以.故選：A【點睛】本題考查由一元二次不等式的解集求解參數(shù)，一元二次不等式的解法，屬于基礎題.32．（2023春·黑龍江鶴崗·高一鶴崗一中?？计谥校┤舨坏仁降慕饧癁?，則．【答案】.【詳解】分析：由不等式和方程的關系，可直接代入求的值，進而求出的值．詳解：根據(jù)不等式解集與方程的關系，將帶入得所以由可得點睛：本題考查了不等式和方程的關系，利用不等式解集的邊界為方程的解，可直接代入求得的值．33．（2023秋·福建泉州·高一?？茧A段練習）若關于的不等式的解集是，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)題意可知，是方程的兩根，根據(jù)韋達定理便可求解．【詳解】關于的不等式的解集是，，是方程的兩根，，解得，，故選：B．34．【多選】（2023秋·湖北恩施·高一恩施市第一中學校考階段練習）已知不等式的解集為或，其中，則下列選項正確的是（

）A．B．不等式的解集為或C．D．不等式的解集為或【答案】AB【分析】對于A，由不等式的解集進行判斷，對于BD，由韋達定理，然后結合一元二次不等式的解法進行判斷，對于C，由不等式的解集結合根與系數(shù)的關系判斷.【詳解】不等式的解集為或，所以，，所以A正確，所以，由解集形式可知，由于，所以，所以，所以C不正確，由，得，因為，所以，即，因為，所以，所以不等式的解集為或，所以B正確，D錯誤，故答案為：AB35．【多選】（2023秋·江蘇南通·高一校考階段練習）已知關于的不等式的解集為或，則下列說法正確的是（

）A．B．不等式的解集是C．D．不等式的解集是或【答案】ACD【分析】由不等式與方程之間的關系及題設條件得到之間的關系，然后逐項分析即可得出正確選項.【詳解】由題意不等式的解集為或，則可知，即A正確；易知，和是方程的兩個實數(shù)根，由韋達定理可得，則；所以不等式即為，解得，所以B錯誤；易知，所以C正確；不等式即為，也即，解得或，所以D正確.故選：ACD36．【多選】（2023秋·山西運城·高一校考階段練習）已知一元二次方程的兩個根為，且，那么滿足的的取值有（

）A． B． C． D．【答案】AB【分析】根據(jù)一元二次不等式對應方程的根確定其解集即可.【詳解】∵一元二次方程的兩個根為且，∴由得：或.故選：AB37．（2023秋·重慶·高一開學考試）若一元二次不等式的解集是，那么不等式的解集是.【答案】或【分析】由題意可得方程的解是和，由根與系數(shù)的關系可得，，代入不等式，解不等式即可求出答案.【詳解】的解集是，所以方程的解是和，且，由根與系數(shù)的關系可得：，，解得，，所以不等式變形為，即，其解集是或．故答案為：或38．（2023·全國·高一專題練習）已知不等式的解集為，則不等式的解集為（）A． B．C． D．【答案】D【分析】首先根據(jù)根與系數(shù)的關系利用韋達定理求解系數(shù)，然后解不等式即可；【詳解】由不等式的解集為，知是方程的兩實數(shù)根，由根與系數(shù)的關系，得，解得：，所以不等式可化為，解得：或，故不等式的解集為：.故選：D.39．（2023秋·黑龍江佳木斯·高三佳木斯一中校考階段練習）不等式的解集是，集合．(1)求實數(shù)a，b的值；(2)若集合A是B的子集．求實數(shù)m的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】（1）由題意知，且方程的兩個根為，代入求解即可；（2）由（1）化簡集合，再分類討論，利用集合的包含關系求參數(shù)即可得解.【詳解】（1）由題意知，且方程的兩個根為，代入得，解得.（2）由（1）知，故集合，于是有，可得，若，可得，解得；若，可得，解得；若符合條件.故實數(shù)的取值范圍是.310．（2023秋·浙江麗水·高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù)，若的解集中有且僅有兩個整數(shù)，則的取值范圍是.【答案】【分析】根據(jù)，的解集中有且僅有兩個整數(shù)，得到兩個整數(shù)為0和1求解.【詳解】解：因為，且的解集中有且僅有兩個整數(shù)，所以，解得，所以的取值范圍是，故答案為：311．【多選】（2023春·浙江溫州·高二統(tǒng)考學業(yè)考試）關于x的不等式的解集中恰有3個正整數(shù)解，則a的值可以為（

）A． B． C． D．2【答案】CD【分析】由題意先判斷出，寫出不等式的解集，由不等式的解集中恰有3個正整數(shù)，分析的這3個正整數(shù)為,計算求解即可.【詳解】不等式化簡為的解集中恰有3個正整數(shù)，當時，不等式化為，則解集中有無數(shù)個整數(shù).當時，不等式的解集中有無數(shù)個正整數(shù)，故A錯誤；所以，，，所以所以不等式的解集為：，根據(jù)0一定屬于此集合，則由不等式的解集中恰有3個正整數(shù)，則這3個整數(shù)中一定為：，則，解得故可取和2，故C,D正確，AB錯誤；故選：CD.（三）分式不等式的解法（1）解分式不等式的策略:對于形如的不等式可等價轉化為來解決;對于形如:的不等式可等價轉化為來解決.（2）對于不等號右邊不為零的較復雜的分式不等式，先移項再通分(不要去分母)，使之轉化為不等號右邊為零，然后再用上述方法求解．題型4：解分式不等式41．（2023秋·云南曲靖·高一校考階段練習）不等式的解集是．【答案】或【分析】分式不等式轉化為一元二次不等式，求出答案.【詳解】等價于，解得或，故解集為或.故答案為：或42．（2023·全國·高一專題練習）不等式的解集為（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】應用分式不等式的解法，結合解一元二次不等式求解集即可.【詳解】由題設，可得，故解集為.故選：D43．（2023秋·河南商丘·高一統(tǒng)考期中）不等式的解集是．【答案】【分析】分式不等式可轉化為整式不等式求解，但要注意分母不為零.【詳解】不等式等價于，解得.故解集為：.故答案為：44．（2023秋·高一課時練習）解不等式.【答案】或【分析】將分式不等式轉化為一元二次不等式進行求解即可.【詳解】移項得，左邊通分并化簡得，即，可轉化為解得或，所以原不等式的解集為或45．（2023·全國·高一專題練習）解不等式.【答案】或【分析】解分式不等式即可.【詳解】因為，所以，即，所以，解得或，所以原不等式的解集為或.46．（2023·全國·高三對口高考）已知集合，則．【答案】【分析】根據(jù)分式不等式的解法求解即可.【詳解】解：原不等式等價于，化簡得，所以，又等價于，解得：所以，故答案為：．（四）不等式恒成立問題1．不等式ax2＋bx＋c>0的解是全體實數(shù)(或恒成立)的條件是：當a＝0時，b＝0，c>0；當a≠0時，2．不等式ax2＋bx＋c<0的解是全體實數(shù)(或恒成立)的條件是：當a＝0時，b＝0，c<0；當a≠0時，題型5：不等式恒成立問題51．（2023春·湖南·高二開學考試）已知，若恒成立，則實數(shù)m的取值范圍是．【答案】【分析】根據(jù)基本不等式“1”的代換求得的最小值，從而可得恒成立，根據(jù)一元二次不等式即可解得實數(shù)m的取值范圍.【詳解】，當且僅當，即時等號成立，所以，解得，即實數(shù)m的取值范圍是．故答案為：.52．（2023秋·寧夏銀川·高三寧夏育才中學?？茧A段練習）設.(1)若不等式對一切實數(shù)恒成立，求實數(shù)的取值范圍；(2)已知解關于的不等式【答案】(1)(2)答案見解析【分析】（1）根據(jù)題意，轉化為對一切實數(shù)恒成立，分和，兩種情況討論，列出不等式組，即可求解；（2）根據(jù)題意，求得的兩個根為，分類討論，即可求解.【詳解】（1）解：由對一切實數(shù)恒成立，即對一切實數(shù)恒成立，當時，，不滿足題意；當時，則滿足，解得，綜上所述，實數(shù)的取值范圍為.（2）解：由不等式，即，方程的兩個根為，①當時，不等式的解集為②當時，不等式的解集為③當時，不等式的解集為.綜上所述，當時，不等式的解集為；當時，解集為.53．（2023秋·四川遂寧·高一射洪中學?？茧A段練習）設．(1)若不等式對一切實數(shù)恒成立，求實數(shù)的取值范圍；(2)解關于的不等式．【答案】(1)(2)答案見解析【分析】（1）對進行分類討論來分析恒成立問題.（2）解不等式時要對進行分類討論.【詳解】（1）不等式.當時，，即不等式僅對成立，不滿足題意，舍.當時，要使對一切實數(shù)恒成立.則解得.綜上，實數(shù)的取值范圍為.（2）當時，解得.當時，.①若，的解為；②若，當即時，解得.當時，，的解為或.當時，，的解為或.綜上，當時，不等式解集為；當時，不等式解集為；當時，不等式解集為或；當時，不等式解集為；當時，不等式解集為或.54．（2023秋·黑龍江哈爾濱·高一哈爾濱三中?？茧A段練習）已知函數(shù)．(1)若不等式的解集為R，求m的取值范圍；(2)解關于x的不等式．【答案】(1)(2)答案見解析【分析】（1）函數(shù)類型不定，需對的系數(shù)分類討論，結合圖象即得答案.（2）對應函數(shù)類型不定，需對的系數(shù)分類討論，對應方程有根大小不定，需分類討論，結合圖象即得答案.【詳解】（1）由已知得，在R上恒成立.①當時，顯然不滿足題意.②當時，只需滿足，解得.綜上所述，實數(shù)的取值范圍為.（2）不等式，即為，即，可化為.①當，即時，，解集為；②當，即時，，解集為或;③當，即時，i當，即時，解集為；ii當，即時，解集為；iii當，即時，解集為.綜上所述：當時，解集為；當時，解集為或；當時，解集為；當時，解集為；當時，解集為.55．（2023春·江蘇南京·高二南京市中華中學?？茧A段練習）設．(1)若不等式對一切實數(shù)恒成立，求實數(shù)的取值范圍；(2)解關于的不等式．【答案】(1)(2)答案見解析.【分析】(1)根據(jù)給定條件利用一元二次不等式恒成立求解作答.(2)分類討論解一元二次不等式即可作答.【詳解】（1），恒成立等價于，，當時，，對一切實數(shù)不恒成立，則，此時必有，即，解得，所以實數(shù)的取值范圍是.（2）依題意，，可化為，當時，可得，當時，可得，又，解得，當時，不等式可化為，當時，，解得，當時，，解得或，當時，，解得或，所以，當時，原不等式的解集為，當時，原不等式的解集為，當時，原不等式的解集為或；當時，原不等式的解集為；當時，原不等式的解集為或.56．（2023秋·高一單元測試）設.(1)若不等式對一切實數(shù)恒成立，求實數(shù)的取值范圍;(2)解關于的不等式.【答案】(1)(2)答案見解析【分析】（1）由題意等價于對于一切實數(shù)x恒成立，由可得答案；（2）轉化為不等式，分、、討論解不等式可得答案.【詳解】（1）由題意，不等式對于一切實數(shù)x恒成立，等價于對于一切實數(shù)x恒成立，所以，解得，故實數(shù)a的取值范圍為；（2）不等式，即，當，即時，不等式的解集為；當，即時，不等式的解集為；當，即時，不等式的解集為.綜上所述，當時，不等式的解集為；當時，不等式的解集為；當時，不等式的解集為.一、單選題1．（2023秋·高一課時練習）不等式的解集是（）A． B．或C． D．或【答案】D【分析】先將原不等式轉化為，然后解不等式組可得答案【詳解】原不等式可化為，所以解得或，故原不等式的解集為或．故選：D2．（2023秋·高一課時練習）若，則不等式的解集為（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)得到，從而求出不等式的解集.【詳解】因為，所以，即，則，解得：，所以不等式的解集為，故選：D.3．（2023秋·江蘇鹽城·高一統(tǒng)考期中）已知關于的不等式的解集為，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】分析可知關于的方程的兩根分別為、，利用韋達定理可求得、的值，由此可求得的值.【詳解】因為關于的不等式的解集為，則關于的方程的兩根分別為、，由韋達定理可得，解得，因此，.故選：B.4．（2023·全國·高一專題練習）關于的不等式的解集中，恰有2個整數(shù)，則的取值范圍是（）A． B．C．或 D．或【答案】C【分析】根據(jù)題意，求得一元二次不等式的解集，結合端點的大小列出不等式，即可求解.【詳解】由不等式，可得，當時，即時，可得，即不等式的解集為，若滿足解集中恰好有2個整數(shù)，則，解得；當時，即時，可得，即不等式的解集為，若滿足解集中恰好有2個整數(shù)，則，解得；當時，即時，即不等式的解集為，顯然不成立，綜上可得，實數(shù)的取值范圍是.故選：C.5．（2023·全國·高一專題練習）已知一元二次不等式的解集為，則的最大值為（

）A．2 B．1 C．1 D．2【答案】A【分析】先根據(jù)一元二次不等式的解集求參，再結合基本不等式求最值即可.【詳解】的解集為，故為方程的兩個根，且（當且僅當時等號成立）.故選：A.6．（2023秋·高一單元測試）已知函數(shù)（），若集合有且只有一個元素，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)已知條件得到有兩個不等的實根，得出的取值范圍，再根據(jù)的范圍得出，所以要滿足題意，則有，解之可得實數(shù)的取值范圍.【詳解】函數(shù)，集合，中為整數(shù)的解有且僅有一個，所以方程有兩個實根，即，解得或（舍去），當時，又，，所以要使集合有且只有一個元素，則有，解得，故．故選：．7．（2023秋·吉林長春·高一?？计谥校┤鐖D是函數(shù)的圖象，則不等式的解集為（

）A． B． C．或 D．【答案】C【分析】由二次函數(shù)與一元二次不等式關系，結合函數(shù)圖象確定不等式解集.【詳解】由二次函數(shù)圖象可得：若，則或，故不等式的解集為或.故選：C.8．（2023春·山西朔州·高一?？茧A段練習）若關于的不等式對任意的恒成立，則的最大值為（

）A．2 B． C． D．4【答案】C【分析】根據(jù)一元二次不等式恒成立，結合判別式列出關于m的不等式，即可求得答案.【詳解】由題意得關于的不等式對任意的恒成立，故恒成立，即，故的最大值為，故選：C9．（2023·全國·高一專題練習）若命題“，使得”是假命題，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B．或C． D．或【答案】C【分析】轉化存在量詞命題的否定為真命題，列式求解.【詳解】命題“，使得”是假命題，即“成立”是真命題，故，解得.故選：C.二、多選題10．（2023秋·高一單元測試）若兩個正實數(shù)x，y滿足，且不等式有解，則實數(shù)的值可以是（

）A．2 B．1C．3 D．5【答案】AD【分析】將“不等式有解”轉化為，利用“1”的代換的思想進行構造，運用基本不等式求最值，最后解出關于m的一元二次不等式的解集即可得到答案．【詳解】因為不等式有解，所以，因為，且，所以，當且僅當，即時，等號是成立的，所以，所以，即，解得或.故選：AD．11．（2023·全國·高一專題練習）已知不等式的解集為或，則下列結論正確的是（）A．B．C．D．的解集為或【答案】ABC【分析】根據(jù)不等式與方程的關系，結合韋達定理，求得的關系，再分析選項.【詳解】由不等式和解集的形式可知，，且方程的實數(shù)根為或，那么，所以，所以，且，故ABC正確；不等式，即，解得:,所以不等式的解集為，故D錯誤.故選：ABC12．（2023秋·福建泉州·高一統(tǒng)考期中）若關于x的不等式的解集中恰有兩個整數(shù)，則a的值可能為（

）A．0 B． C．1 D．【答案】BC【分析】原不等式可化為，根據(jù)一次函數(shù)和二次函數(shù)的圖象可知和為原不等式的兩個整數(shù)解，由此列不等式組求的范圍即可.【詳解】可化為，因為關于的不等式的解集中恰有兩個整數(shù)，由一次函數(shù)和二次函數(shù)的圖象可知和為不等式的解集中的兩個整數(shù)，所以解得，故選：BC13．（2023秋·江蘇鎮(zhèn)江·高一揚中市第二高級中學?？奸_學考試）下列結論正確的是（

）A．不等式的解集為或B．不等式的解集為或C．不等式的解集為或D．不等式的解集為或【答案】AD【分析】由分式不等式的解法求解不等式后判斷，【詳解】由得，解得或，由得，即，解得或，故選：AD14．（2023秋·云南曲靖·高一校考階段練習）不等式的解集為，則實數(shù)可能是（

）A．0 B．2 C．9 D．13【答案】ABC【分析】根據(jù)二次函數(shù)的性質，結合不等式恒成立，可得答案.【詳解】當時，不等式為，顯然不成立，符合題意；當時，令，顯然函數(shù)為開口向上的拋物線，由不等式的解集是，則，解得.當時，令，顯然函數(shù)為開口向下的拋物線，所以不等式顯然解集不可能是.所以.故選：ABC.三、填空題15．（2024秋·吉林通化·高三?？茧A段練習）不等式的解集是.【答案】【分析】根據(jù)一元二次不等式的求解即可得作答.【詳解】由得，故答案為：.16．（2023·全國·高一專題練習）已知不等式的解是或，不等式的解集為.【答案】或【分析】由題意可得，2和3是方程的兩個根，然后利用根與系數(shù)的關系表示出，代入中求解即可【詳解】因為不等式的解是或，所以，2和3是方程的兩個根，所以，解得，所以不等式可化為，因為，所以，得，解得或，所以不等式的解集為或，故答案為：或，17．（2023·全國·高一專題練習）對于任意實數(shù)，不等式恒成立，則實數(shù)的取值范圍是．【答案】【分析】分、兩種情況討論，在第一種情況下，直接檢驗即可；在第二種情況下，根據(jù)二次不等式恒成立，可得出關于的不等式組，綜合可得出實數(shù)的取值范圍.【詳解】對任意的實數(shù)，不等式恒成立，當時，即當時，則有恒成立，合乎題意；當時，即當時，則有，解得.綜上所述，實數(shù)的取值范圍是.故答案為：.18．（2023·全國·高一課堂例題）當時，不等式恒成立，則實數(shù)a的取值范圍為.【答案】【分析】根據(jù)二次函數(shù)的性質分類討論求解最值即可求解，或者利用參數(shù)分離，結合基本不等式求解最值.【詳解】方法一

∵當時，不等式恒成立，∴只需求出函數(shù)的最小值，令最小值大于0即可.二次函數(shù)的圖象的對稱軸為.當，即時，函數(shù)在處取得最小值，則，，∴.當，即時，函數(shù)在處取得最小值，∴，解得，∴.綜上，實數(shù)a的取值范圍為.方法二:∵，∴由得.∵，當且僅當，即時等號成立，∴的最大值為，∴.故a的取值范圍為.故答案為：19．（2023秋·新疆伊犁·高三奎屯市第一高級中學?？茧A段練習）不等式的解集為.【答案】【分析】將分式不等式轉化成整式不等式求解即可得出答案.【詳解】根據(jù)不等式整理可得，即，等價于，解得；所以不等式的解集為故答案為：20．（2023秋·全國·高一專題練習）若不等式對一切實數(shù)x都成立，則的取值范圍為.【答案】【分析】根據(jù)題意，分和，兩種情況，結合二次函數(shù)的圖象與性質，即可求解.【詳解】由不等式對一切實數(shù)都成立，當時，即，可得，此時對一切實數(shù)都成立；當時，則滿足，解得，綜上可得，實數(shù)的取值范圍是.故答案為：.四、解答題21．（2023秋