例[2.7]設(shè)隨機(jī)過(guò)程式中，a、30皆為常數(shù)，①是在（0,2n）上均勻分布的隨機(jī)變量。試問(wèn)：⑴X（t）是否是平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程？為什么？（2）X?是否具有遍歷性？解：（1）隨機(jī)變量①的概率密度為因而，過(guò)程x（o的均值、自相關(guān)函數(shù)和均方值分別為E[X（t）]=卜x（t）p（申）d^=J2kacos（①t+申）- d^=0=mTOC\o"1-5"\h\z一s e o 0 2兀 xR(t,t)=R(t,t+t)=E[X(t)X(t+t)]X1 2 Xa2=E[acos(①t+e)acos(①(t+t)+?)]= E[acos?t+cos(2?t+?t+2?)o o 2 o oo=—[cos?t+f2兀cos(2?t+?t+2申)丄小申]=—cos?t=R(t)2 oo oo 2兀 2 oxD[X(t)]=E[X2(t)]-E2[X(t)]=R(0)-o=-x 2所以，x(r)是寬平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程。⑵因?yàn)镋[X(t)]=m=lim—JTacos(①t+?)dt=limacos?sin%T=0x t*2T-t o t* ①T0R(t,t+t)=E[X(t)X(t+t)]X=limJTacos(①t+?)-acos[①(t+t)+?]dtT”2T-t 0 0a2= cos?t2o對(duì)照（1）和（2）的結(jié)果可知，X（0具有寬遍歷性?！纠??8】設(shè)有一個(gè)二進(jìn)制數(shù)字信號(hào)x(t),如圖所示，其振幅為M或皿；在時(shí)間T內(nèi)其符號(hào)改變的次數(shù)k服從泊松分布。式中，A是單位時(shí)間內(nèi)振幅的符號(hào)改變的平均次數(shù)。試求其相關(guān)函數(shù)和功率譜密度P(f)oP(kP(k)=(舊)ke「卩,k>0T解：將此二進(jìn)制數(shù)字信號(hào)看成是一個(gè)平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)，則自相關(guān)函數(shù)為：R(T)=E[x(t)x(t-t)]由圖可以看出，乘積x(t)x(t-T)只有兩種可能取值：a2或m2。因此，上式可以化簡(jiǎn)為：R(t)=a2x[a2出現(xiàn)的概率]+@2)x[(-a2)出現(xiàn)的概率]式中，“出現(xiàn)的概率”可以按上述泊松分布P(k)計(jì)算，若在t秒內(nèi)x(t)的符號(hào)有偶數(shù)次變化，則出現(xiàn)+a2;若在T秒內(nèi)x(t)的符號(hào)有奇數(shù)次變化，則出現(xiàn)也。因此，R(T)=E[x(t)x(t-t)]=a2[P(0)+P(2)+P(4)+…]-a2[P(1)+P(3)+P(5)+…]也(RT)2 (RT也(RT)2 (RT)31 +…]3!R(t)=a2e-也[1一+_3!1!2!由于在泊松分布中T是時(shí)間間隔，所以它應(yīng)該是非負(fù)數(shù)。所以，上式中當(dāng)T取負(fù)值時(shí)，上式應(yīng)當(dāng)改寫(xiě)成R(T)=a2e2rt將上兩式合并，最后得到：r(t)=a2e一2RT其功率譜密度P(f)可以由其自相關(guān)函數(shù)R(t)的傅里葉變換求出：P(f)=卜R(t)e-㈣dT=卜a2e-2rT%一㈣dT—g —g=J?a2e—2rte—肋dT+f0a2e+2rte-肋dT=————0 —g r2+晉P(f)和R(t)的曲線:R(t)=a2e-2r|tI卩⑴*例：設(shè)某信道具有均勻的雙邊噪聲功率譜密度Pn(/)=0.5X10-3W/Hz，在該信道中傳輸AM信號(hào)，并設(shè)調(diào)制信號(hào)加(0的頻帶限制于5kHz,載頻是100kHz，邊帶功率為10kW,載波功率為40kW。若接收機(jī)的輸入信號(hào)先經(jīng)過(guò)一個(gè)合適的理想帶通濾波器，然后再加至包絡(luò)檢波器進(jìn)行解調(diào)。試求：(1)解調(diào)器輸入端的信噪功率比；⑵解調(diào)器輸出端的信噪功率比；(3)制度增益G。例：已知一調(diào)制信號(hào)加)二1°；t)V，它所產(chǎn)生的調(diào)角波具有形式s(t)二Acosbt+Q(t)J ?，F(xiàn)要求調(diào)制指數(shù)m=10radm c，試求：若為FM波，最大頻偏Ao、帶寬B、調(diào)頻靈敏度K、FFM波表達(dá)式；若為PM波，最大相移9、帶寬B、調(diào)相靈敏度K、max PPM波表達(dá)式。例題：采用13折線A律編碼（段內(nèi)為自然碼），歸一化值1劃分為2048個(gè)最小量化單位A,若抽樣值分別為+37A和-168A時(shí)，試求:（1）編碼器輸出碼組；（2）對(duì)應(yīng)于7位碼的均勻量化11位碼。思考題：采用13折線A律編碼器電路，設(shè)接收端收到的碼組為“01010011，”并已知段內(nèi)碼為折疊二進(jìn)制碼。試問(wèn)編碼器輸出多少最小量化單位（A）。差分脈沖編碼調(diào)制（DPCM）的原理例：語(yǔ)音信號(hào)：x1[0255]N=8x2[08] N=3fs=8kHzx1的傳輸速率：64kb/s32kHzx2的傳輸速率：24kb/s12kHz例：現(xiàn)要求分別用PCM系統(tǒng)和AM系統(tǒng)傳輸頻率為fm=4kHz的正弦信號(hào)，并使兩個(gè)系統(tǒng)的輸出量化信噪比都滿足30dB的要求，試比較兩個(gè)系統(tǒng)的抽樣速率及信息速率。解:⑴當(dāng)采用PCM系統(tǒng)時(shí)?抽樣頻率fs=2fm=8kHz?量化電平數(shù):由于(S)一 =20lgM>30dBLNJ因此取M=32 qdB編碼位數(shù)N=log2M=5信息速率Rb=fs*N=40kb/s?最小帶寬〃眾血2=20kHz⑵當(dāng)采用AM系統(tǒng)時(shí) (S) ( f3)?抽樣頻率IJ=1叫0.04xJ>30dBdB 0L這里，f0=fL=m”則f?$117kHz,取fs=120kHz?信息速率Rb=fS=120kb/s最小帶寬B=Rb/2=60kHz例題：采用13折線A律編碼(段內(nèi)為自然碼)，歸一化值1劃分為2048個(gè)最小量化單位A,若抽樣值分別為+37A和-168A時(shí)，求編碼器輸出碼組，并用雙極性歸零矩形脈沖波形表示出來(lái)。已知升余弦濾波器的帶寬B=3000Hz,滾降因子a=0.5，試求該基帶系統(tǒng)的可傳輸?shù)拇a元傳輸速率。相干解調(diào)法時(shí)的誤碼率為：r相干解調(diào)法時(shí)的誤碼率為：r12)1【例1】設(shè)有一個(gè)2ASK信號(hào)傳輸系統(tǒng)，其中碼元速率RB=4.8x106Baud,接收信號(hào)的振幅A=1mV，高斯噪聲的單邊功率譜密度n0=2x10-15W/Hz。試求：1)用包絡(luò)檢波法時(shí)的最佳誤碼率；2)用相干解調(diào)法時(shí)的最佳誤碼率。解:基帶矩形脈沖的帶寬為1THzo2ASK信號(hào)的帶寬應(yīng)該是它的兩倍，即2/THz。故接收端帶通濾波器的最佳帶寬應(yīng)為： B?2/T=2RB=9?6x106Hz故帶通濾波器輸出噪聲平均功率等b2=nB=1.92x10-8Wn0于:因此其輸出信噪比等于：A210-6r= =u26>>12T^2x1.92x10-8(1)包絡(luò)檢波法時(shí)的誤碼率為：1-r1P=e4=e-6.5=7.5x10-4e22e4二 e-6.5二1.66x10-4rj3?1416x26【例2】設(shè)發(fā)送的二進(jìn)制信息為101011001，采用2ASK方式傳輸。已知碼元傳輸速率為1200B，載波頻率為2400Hz：試畫(huà)出2ASK信號(hào)的時(shí)間波形；試畫(huà)出2ASK信號(hào)頻譜結(jié)構(gòu)示意圖，并計(jì)算其帶寬?！纠?】設(shè)有一2FSK傳輸系統(tǒng)，其傳輸帶寬等于2400Hz。2FSK信號(hào)的頻率分別等于/0=980Hz,fl=1580Hz。碼元速率RB=300Baud。接收端輸入的信噪比等于6dB。試求：此2FSK信號(hào)的帶寬；用包絡(luò)檢波法時(shí)的誤碼率；用相干檢測(cè)法時(shí)的誤碼率。【解】1.信號(hào)帶寬：10Af=f-f+2f=1580-980+2x300=1200Hz10先計(jì)算信噪比r：帶通濾波器的帶寬應(yīng)等于：B=2RB=600Hz帶通濾波器輸入端和輸出端的帶寬比：2400/600=4帶通濾波器輸出端的信噪功率比：r=4X4=16所以，包絡(luò)檢波法的誤碼率：1e1e-"2二2e-8=1.7x10-4相干檢測(cè)法的誤碼率-用査表法得出:P=erfc21-erf2P=erfc21-erf21-erf2丿.8284 -0.99993]=3.5x10-52用近似式得出：e-r/2e-r/2=e-8=3.39x10-5KT兩者基本一樣?！纠吭?FSK系統(tǒng)中，發(fā)送“1”符號(hào)的頻率f1=1?15MHz,發(fā)送“0”符號(hào)的頻率f2=0.85MHz,且發(fā)送概率相等，碼元傳輸速率尺〃=0?2MB。解調(diào)器輸入端信號(hào)振幅a=4mV，信道加性高斯白噪聲的雙邊功率譜密度“0/2=10-12W/Hz。:試求2FSK信號(hào)的頻帶寬度；若采用相干解調(diào)，試求系統(tǒng)的誤碼率；若采用非相干解調(diào)，試求系統(tǒng)的誤碼率:【例4】設(shè)發(fā)送的二進(jìn)制信息為101011001，采用2FSK方式傳輸:已知碼元傳輸速率為1200Baud,發(fā)送碼元1時(shí)載波頻率為2400Hz,發(fā)送碼元0時(shí)載波頻率為1800Hz：試畫(huà)出2FSK信號(hào)的時(shí)間波形(采用開(kāi)關(guān)法)；試畫(huà)出2FSK信號(hào)頻譜結(jié)構(gòu)示意圖，并計(jì)算其帶寬?！纠?】設(shè)發(fā)送的二進(jìn)制信息為111010011，采用2PSK方式傳輸:已知碼元傳輸速率為2400Baud,載波頻率為3600Hz：試畫(huà)出2PSK信號(hào)的時(shí)間波形；若采用相干解調(diào)方式進(jìn)行解調(diào)，試畫(huà)出各點(diǎn)時(shí)間波形；若發(fā)送信息“0”和“1”的概率相等，試畫(huà)出2PSK信號(hào)頻譜結(jié)構(gòu)示意圖，并計(jì)算其帶寬ace【例6】假設(shè)要求以1Mb/s的速率用2DPSK信號(hào)傳輸數(shù)據(jù)，誤碼率不超過(guò)10-4，且在接收設(shè)備輸入端的白色高斯噪聲的單邊功率譜密度n0等于1x10-12W/Hz：試求：(1)采用相位比較法時(shí)所需接收信號(hào)功率；(2)采用極性比較法時(shí)所需接收信號(hào)功率:解:現(xiàn)在碼元速率為1MB。2DPSK信號(hào)的帶寬和2ASK信號(hào)的帶寬一樣，所以接收帶通濾波器的帶寬等于B?2/T=2x106Hz帶通濾波器輸出噪聲功率等于2=nB=1x10-12x2x105=2x10-6n0采用相位比較法1時(shí)：按照要求P=e-r<10-4e2從而得到要求信噪比:r=—2>ln5000=8.522c2n即要求信號(hào)功率:A2P='8.52xc2=8.52x2x10-6=1.7x10-5W=—17.7dBms2 n采用極性比較法時(shí)：按照同樣要求P'=1- <10-4e即erfJT>1-10-4=0.9999由誤差函數(shù)表查出要求：jr>2.75 r>7.56故要求信號(hào)功率A2P=—>7.56c2=7.56x2x10-6=15.1x10-6W=-18.2dBms2 n例7】在二進(jìn)制數(shù)字調(diào)制系統(tǒng)中，已知碼元傳輸速率RB=1MB，接收機(jī)輸入高斯白噪聲的單邊功率譜密度n0=4*10-16W/Hz，若要求解調(diào)器輸出誤碼率Pev=10-4,試求下列情況下系統(tǒng)的輸入信號(hào)功率：（1）相干解調(diào)和非相干解調(diào)2ASK；（2）相干解調(diào)和非相干解調(diào)2FSK；（3）相