第1講平面向量的概念及其線性運算1．向量的有關(guān)概念名稱定義備注向量既有eq\o(□,\s\up3(01))大小又有eq\o(□,\s\up3(02))方向的量；向量的大小叫做向量的長度(或稱模)平面向量是自由向量零向量長度為eq\o(□,\s\up3(03))0的向量記作0，其方向是任意的單位向量長度等于eq\o(□,\s\up3(04))1個單位的向量與非零向量a平行的單位向量為±eq\f(a,|a|)平行向量方向相同或eq\o(□,\s\up3(05))相反的非零向量(又叫做共線向量)0與任一向量平行或共線相等向量長度相等且方向eq\o(□,\s\up3(06))相同的向量兩向量只有相等或不相等，不能比較大小相反向量長度相等且方向eq\o(□,\s\up3(07))相反的向量0的相反向量為02．向量的線性運算3．共線向量定理向量a(a≠0)與b共線，當(dāng)且僅當(dāng)有唯一一個實數(shù)λ，使b＝λa.1．一般地，首尾順次相接的多個向量的和等于從第一個向量起點指向最后一個向量終點的向量，即eq\o(A1A2,\s\up14(→))＋eq\o(A2A3,\s\up14(→))＋eq\o(A3A4,\s\up14(→))＋…＋An－1An＝eq\o(A1An,\s\up14(→)).特別地，一個封閉圖形首尾連接而成的向量和為零向量．2．若P為線段AB的中點，O為平面內(nèi)任一點，則eq\o(OP,\s\up14(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(OA,\s\up14(→))＋eq\o(OB,\s\up14(→)))．3.eq\o(OA,\s\up14(→))＝λeq\o(OB,\s\up14(→))＋μeq\o(OC,\s\up14(→))(λ，μ為實數(shù))，若點A，B，C共線(O不在直線BC上)，則λ＋μ＝1.1．給出下列命題：①兩個向量相等，則它們的起點相同，終點相同；②若|a|＝|b|，則a＝b；③若eq\o(AB,\s\up14(→))＝eq\o(DC,\s\up14(→))，則四邊形ABCD為平行四邊形；④在?ABCD中，一定有eq\o(AB,\s\up14(→))＝eq\o(DC,\s\up14(→))；⑤若m＝n，n＝p，則m＝p.其中不正確的個數(shù)是()A．2B．3C．4D．5答案B解析兩個向量的起點相同，終點相同，則這兩個向量相等，但兩個相等向量不一定有相同的起點和終點，故①不正確；|a|＝|b|，由于a與b方向不確定，所以a，b不一定相等，故②不正確；eq\o(AB,\s\up14(→))＝eq\o(DC,\s\up14(→))，可能有A，B，C，D在一條直線上的情況，所以③不正確，正確的是④⑤.故選B.2．在△ABC中，已知M是BC的中點，設(shè)eq\o(CB,\s\up14(→))＝a，eq\o(CA,\s\up14(→))＝b，則eq\o(AM,\s\up14(→))＝()A.eq\f(1,2)a－b B.eq\f(1,2)a＋bC．a(chǎn)－eq\f(1,2)b D．a(chǎn)＋eq\f(1,2)b答案A解析因為eq\o(AM,\s\up14(→))＝eq\o(CM,\s\up14(→))－eq\o(CA,\s\up14(→))＝eq\f(1,2)eq\o(CB,\s\up14(→))－eq\o(CA,\s\up14(→))＝eq\f(1,2)a－b.故選A.3．(2021·安徽亳州模擬)已知向量eq\o(AB,\s\up14(→))＝a＋3b，eq\o(BC,\s\up14(→))＝5a＋3b，eq\o(CD,\s\up14(→))＝－3a＋3b，則()A．A，B，C三點共線B．A，B，D三點共線C．A，C，D三點共線D．B，C，D三點共線答案B解析∵eq\o(BD,\s\up14(→))＝eq\o(BC,\s\up14(→))＋eq\o(CD,\s\up14(→))＝2a＋6b＝2eq\o(AB,\s\up14(→))，∴eq\o(BD,\s\up14(→))與eq\o(AB,\s\up14(→))共線，∵eq\o(BD,\s\up14(→))與eq\o(AB,\s\up14(→))有公共點B，∴A，B，D三點共線．故選B.4．設(shè)平行四邊形ABCD的對角線交于點P，則下列命題中正確的個數(shù)是()①eq\o(AC,\s\up14(→))＝eq\o(AB,\s\up14(→))＋eq\o(AD,\s\up14(→))；②eq\o(AP,\s\up14(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up14(→))＋eq\o(AD,\s\up14(→)))；③eq\o(DB,\s\up14(→))＝eq\o(AB,\s\up14(→))－eq\o(AD,\s\up14(→))；④eq\o(PD,\s\up14(→))＝eq\o(PB,\s\up14(→)).A．1B．2C．3D．4答案C解析由向量加法的平行四邊形法則，知①eq\o(AC,\s\up14(→))＝eq\o(AB,\s\up14(→))＋eq\o(AD,\s\up14(→))，②eq\o(AP,\s\up14(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up14(→))＋eq\o(AD,\s\up14(→)))是正確的；由向量減法的三角形法則，知③eq\o(DB,\s\up14(→))＝eq\o(AB,\s\up14(→))－eq\o(AD,\s\up14(→))是正確的；因為eq\o(PD,\s\up14(→))，eq\o(PB,\s\up14(→))的大小相同，方向相反，所以④eq\o(PD,\s\up14(→))＝eq\o(PB,\s\up14(→))是錯誤的．故選C.5．(2021·江西省名校聯(lián)考)在△ABC中，eq\o(BD,\s\up14(→))＝eq\o(DC,\s\up14(→))，eq\o(AP,\s\up14(→))＝2eq\o(PD,\s\up14(→))，eq\o(BP,\s\up14(→))＝λeq\o(AB,\s\up14(→))＋μeq\o(AC,\s\up14(→))，則λ＋μ等于()A．－eq\f(1,3)B.eq\f(1,3)C．－eq\f(1,2)D.eq\f(1,2)答案A解析因為eq\o(BD,\s\up14(→))＝eq\o(DC,\s\up14(→))，eq\o(AP,\s\up14(→))＝2eq\o(PD,\s\up14(→))，所以eq\o(AD,\s\up14(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up14(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up14(→))＝eq\f(3,2)eq\o(AP,\s\up14(→))，所以eq\o(AP,\s\up14(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up14(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up14(→))，所以eq\o(BP,\s\up14(→))＝eq\o(AP,\s\up14(→))－eq\o(AB,\s\up14(→))＝－eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up14(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up14(→))，因為eq\o(BP,\s\up14(→))＝λeq\o(AB,\s\up14(→))＋μeq\o(AC,\s\up14(→))，所以λ＝－eq\f(2,3)，μ＝eq\f(1,3)，所以λ＋μ＝－eq\f(1,3).故選A.6．已知?ABCD的對角線AC，BD相交于點O，且eq\o(OA,\s\up14(→))＝a，eq\o(OB,\s\up14(→))＝b，則eq\o(DC,\s\up14(→))＝，eq\o(BC,\s\up14(→))＝(用a，b表示)．答案b－a－a－b解析如圖，eq\o(DC,\s\up14(→))＝eq\o(AB,\s\up14(→))＝eq\o(OB,\s\up14(→))－eq\o(OA,\s\up14(→))＝b－a，eq\o(BC,\s\up14(→))＝eq\o(OC,\s\up14(→))－eq\o(OB,\s\up14(→))＝－eq\o(OA,\s\up14(→))－eq\o(OB,\s\up14(→))＝－a－b.考向一平面向量的概念例1給出下列命題：①若a與b共線，b與c共線，則a與c也共線；②若A，B，C，D是不共線的四點，且eq\o(AB,\s\up14(→))＝eq\o(DC,\s\up14(→))，則四邊形ABCD為平行四邊形；③a＝b的充要條件是|a|＝|b|且a∥b；④已知λ，μ為實數(shù)，若λa＝μb，則a與b共線．其中真命題的序號是．答案②解析對于①，若b＝0，則a與c不一定共線，①是假命題．對于②，因為eq\o(AB,\s\up14(→))＝eq\o(DC,\s\up14(→))，所以|eq\o(AB,\s\up14(→))|＝|eq\o(DC,\s\up14(→))|且eq\o(AB,\s\up14(→))∥eq\o(DC,\s\up14(→))；又A，B，C，D是不共線的四點，所以四邊形ABCD為平行四邊形，②是真命題．對于③，當(dāng)a∥b且方向相反時，即使|a|＝|b|，也不能得到a＝b，所以|a|＝|b|且a∥b不是a＝b的充要條件，而是必要不充分條件，③是假命題．對于④，當(dāng)λ＝μ＝0時，a與b可以為任意向量，滿足λa＝μb，但a與b不一定共線，④是假命題．平面向量有關(guān)概念的四個關(guān)注點(1)相等向量具有傳遞性，非零向量的平行也具有傳遞性．(2)共線向量即為平行向量，它們均與起點無關(guān)．(3)向量可以平移，平移后的向量與原向量是相等向量，解題時，不要把它與函數(shù)圖象的移動混淆．(4)非零向量a與eq\f(a,|a|)的關(guān)系：eq\f(a,|a|)是與a同方向的單位向量．1.設(shè)a0為單位向量，有下列命題：①若a為平面內(nèi)的某個向量，則a＝|a|a0；②若非零向量a與a0平行，則a＝|a|a0；③若a與a0平行且|a|＝1，則a＝a0.其中假命題的個數(shù)是()A．0B．1C．2D．3答案D解析向量是既有大小又有方向的量，a與|a|a0的模相同，但方向不一定相同，故①是假命題；若非零向量a與a0平行，則a與a0的方向有兩種情況：一是同向，二是反向，反向時a＝－|a|a0，故②③也是假命題．綜上所述，假命題的個數(shù)是3.故選D.2．下列五個命題：①溫度有零上和零下之分，所以溫度是向量；②向量a≠b，則a與b的方向必不相同；③|a|＞|b|，則a＞b；④向量eq\o(AB,\s\up14(→))與eq\o(CD,\s\up14(→))是共線向量，則A，B，C，D四點共線；⑤方向為北偏西50°的向量與方向為東偏南40°的向量一定是平行向量．其中正確的是()A．①⑤B．④C．⑤D．②④答案C解析溫度雖有大小卻無方向，故不是向量，①錯誤；a≠b，a與b的方向可以相同，②錯誤；向量的長度可以比較大小，但向量不能比較大小，③錯誤；正方形ABCD中eq\o(AB,\s\up14(→))與eq\o(CD,\s\up14(→))共線，但A，B，C，D四點不共線，④錯誤；作圖易得⑤正確．故選C.精準(zhǔn)設(shè)計考向，多角度探究突破考向二平面向量的線性運算角度向量加減法的幾何意義例2(1)(2022·江西南昌模擬)已知兩個非零向量a，b滿足|a＋b|＝|a－b|，則下列結(jié)論正確的是()A．a(chǎn)∥b B．a(chǎn)⊥bC．|a|＝|b| D．a(chǎn)＋b＝a－b答案B解析由已知a，b不共線，在?ABCD中，設(shè)eq\o(AB,\s\up14(→))＝a，eq\o(AD,\s\up14(→))＝b，由|a＋b|＝|a－b|，知|eq\o(AC,\s\up14(→))|＝|eq\o(DB,\s\up14(→))|，從而四邊形ABCD為矩形，即AB⊥AD，故a⊥b.故選B.(2)(2022·廣西柳州模擬)若點O是△ABC所在平面內(nèi)的一點，且滿足|eq\o(OB,\s\up14(→))－eq\o(OC,\s\up14(→))|＝|eq\o(OB,\s\up14(→))＋eq\o(OC,\s\up14(→))－2eq\o(OA,\s\up14(→))|，則△ABC的形狀為．答案直角三角形解析因為eq\o(OB,\s\up14(→))＋eq\o(OC,\s\up14(→))－2eq\o(OA,\s\up14(→))＝eq\o(OB,\s\up14(→))－eq\o(OA,\s\up14(→))＋eq\o(OC,\s\up14(→))－eq\o(OA,\s\up14(→))＝eq\o(AB,\s\up14(→))＋eq\o(AC,\s\up14(→))，eq\o(OB,\s\up14(→))－eq\o(OC,\s\up14(→))＝eq\o(CB,\s\up14(→))＝eq\o(AB,\s\up14(→))－eq\o(AC,\s\up14(→))，所以|eq\o(AB,\s\up14(→))＋eq\o(AC,\s\up14(→))|＝|eq\o(AB,\s\up14(→))－eq\o(AC,\s\up14(→))|，即eq\o(AB,\s\up14(→))·eq\o(AC,\s\up14(→))＝0，故eq\o(AB,\s\up14(→))⊥eq\o(AC,\s\up14(→))，△ABC為直角三角形．角度平面向量線性運算例3(1)(2021·安徽蕪湖質(zhì)量檢測)如圖所示，下列結(jié)論正確的是()①eq\o(PQ,\s\up14(→))＝eq\f(3,2)a＋eq\f(3,2)b；②eq\o(PT,\s\up14(→))＝－eq\f(3,2)a－eq\f(3,2)b；③eq\o(PS,\s\up14(→))＝eq\f(3,2)a－eq\f(1,2)b；④eq\o(PR,\s\up14(→))＝eq\f(3,2)a＋b.A．①②B．③④C．①③D．②④答案C解析由a＋b＝eq\f(2,3)eq\o(PQ,\s\up14(→))，知eq\o(PQ,\s\up14(→))＝eq\f(3,2)a＋eq\f(3,2)b，①正確；由a－b＝eq\f(2,3)eq\o(PT,\s\up14(→))，知eq\o(PT,\s\up14(→))＝eq\f(3,2)a－eq\f(3,2)b，②錯誤；eq\o(PS,\s\up14(→))＝eq\o(PT,\s\up14(→))＋b，故eq\o(PS,\s\up14(→))＝eq\f(3,2)a－eq\f(1,2)b，③正確；eq\o(PR,\s\up14(→))＝eq\o(PT,\s\up14(→))＋2b＝eq\f(3,2)a＋eq\f(1,2)b，④錯誤．故選C.(2)在等腰梯形ABCD中，eq\o(AB,\s\up14(→))＝－2eq\o(CD,\s\up14(→))，M為BC的中點，則eq\o(AM,\s\up14(→))＝()A.eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up14(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up14(→))B.eq\f(3,4)eq\o(AB,\s\up14(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up14(→))C.eq\f(3,4)eq\o(AB,\s\up14(→))＋eq\f(1,4)eq\o(AD,\s\up14(→))D.eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up14(→))＋eq\f(3,4)eq\o(AD,\s\up14(→))答案B解析因為eq\o(AB,\s\up14(→))＝－2eq\o(CD,\s\up14(→))，所以eq\o(AB,\s\up14(→))＝2eq\o(DC,\s\up14(→)).又因為M是BC的中點，所以eq\o(AM,\s\up14(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up14(→))＋eq\o(AC,\s\up14(→)))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up14(→))＋eq\o(AD,\s\up14(→))＋eq\o(DC,\s\up14(→)))＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\o(AB,\s\up14(→))＋\o(AD,\s\up14(→))＋\f(1,2)\o(AB,\s\up14(→))))＝eq\f(3,4)eq\o(AB,\s\up14(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up14(→)).故選B.角度利用線性運算求參數(shù)例4(1)設(shè)D為△ABC所在平面內(nèi)一點，eq\o(AD,\s\up14(→))＝－eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up14(→))＋eq\f(4,3)eq\o(AC,\s\up14(→))，若eq\o(BC,\s\up14(→))＝λeq\o(DC,\s\up14(→))(λ∈R)，則λ＝()A．2B．3C．－2D．－3答案D解析由eq\o(BC,\s\up14(→))＝λeq\o(DC,\s\up14(→))可知eq\o(AC,\s\up14(→))－eq\o(AB,\s\up14(→))＝λ(eq\o(AC,\s\up14(→))－eq\o(AD,\s\up14(→)))，∴eq\o(AD,\s\up14(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,λ)))eq\o(AC,\s\up14(→))＋eq\f(1,λ)eq\o(AB,\s\up14(→))，又eq\o(AD,\s\up14(→))＝－eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up14(→))＋eq\f(4,3)eq\o(AC,\s\up14(→))，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,λ)＝－\f(1,3)，,1－\f(1,λ)＝\f(4,3)，))解得λ＝－3.故選D.(2)(2022·四川南充診斷考試)如圖所示，矩形ABCD的對角線相交于點O，E為AO的中點，若eq\o(DE,\s\up14(→))＝λeq\o(AB,\s\up14(→))＋μeq\o(AD,\s\up14(→))(λ，μ為實數(shù))，則λ2＋μ2＝()A.eq\f(5,8)B.eq\f(1,4)C．1D.eq\f(5,16)答案A解析eq\o(DE,\s\up14(→))＝eq\f(1,2)eq\o(DA,\s\up14(→))＋eq\f(1,2)eq\o(DO,\s\up14(→))＝eq\f(1,2)eq\o(DA,\s\up14(→))＋eq\f(1,4)eq\o(DB,\s\up14(→))＝eq\f(1,2)eq\o(DA,\s\up14(→))＋eq\f(1,4)(eq\o(DA,\s\up14(→))＋eq\o(AB,\s\up14(→)))＝eq\f(1,4)eq\o(AB,\s\up14(→))－eq\f(3,4)eq\o(AD,\s\up14(→))，所以λ＝eq\f(1,4)，μ＝－eq\f(3,4)，故λ2＋μ2＝eq\f(5,8).故選A.向量線性運算的解題策略(1)向量加減的常用法則是平行四邊形法則和三角形法則，一般共起點的向量求和用平行四邊形法則，求差用三角形法則，求首尾相連向量的和用三角形法則．(2)找出圖形中的相等向量、共線向量，將所求向量與已知向量轉(zhuǎn)化到同一個平行四邊形或三角形中求解．3.已知四邊形ABCD是平行四邊形，O為平面上任意一點，設(shè)eq\o(OA,\s\up14(→))＝a，eq\o(OB,\s\up14(→))＝b，eq\o(OC,\s\up14(→))＝c，eq\o(OD,\s\up14(→))＝d，則()A．a(chǎn)＋b＋c＋d＝0B．a(chǎn)－b＋c－d＝0C．a(chǎn)＋b－c－d＝0D．a(chǎn)－b－c＋d＝0答案B解析如圖所示，a－b＝eq\o(BA,\s\up14(→))，c－d＝eq\o(DC,\s\up14(→))，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB綊DC，且eq\o(BA,\s\up14(→))與eq\o(DC,\s\up14(→))反向，即eq\o(BA,\s\up14(→))＋eq\o(DC,\s\up14(→))＝0，也就是a－b＋c－d＝0.故選B.4．如圖所示，在正方形ABCD中，E為AB的中點，F(xiàn)為CE的中點，則eq\o(AF,\s\up14(→))＝()A.eq\f(3,4)eq\o(AB,\s\up14(→))＋eq\f(1,4)eq\o(AD,\s\up14(→))B.eq\f(1,4)eq\o(AB,\s\up14(→))＋eq\f(3,4)eq\o(AD,\s\up14(→))C.eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up14(→))＋eq\o(AD,\s\up14(→))D.eq\f(3,4)eq\o(AB,\s\up14(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up14(→))答案D解析根據(jù)題意得eq\o(AF,\s\up14(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AC,\s\up14(→))＋eq\o(AE,\s\up14(→)))，又因為eq\o(AC,\s\up14(→))＝eq\o(AB,\s\up14(→))＋eq\o(AD,\s\up14(→))，eq\o(AE,\s\up14(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up14(→))，所以eq\o(AF,\s\up14(→))＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\o(AB,\s\up14(→))＋\o(AD,\s\up14(→))＋\f(1,2)\o(AB,\s\up14(→))))＝eq\f(3,4)eq\o(AB,\s\up14(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up14(→)).故選D.5．(2021·河南洛陽模擬)在△ABC中，點G滿足eq\o(GA,\s\up14(→))＋eq\o(GB,\s\up14(→))＋eq\o(GC,\s\up14(→))＝0.若存在點O，使得eq\o(OG,\s\up14(→))＝eq\f(1,6)eq\o(BC,\s\up14(→))，且eq\o(OA,\s\up14(→))＝meq\o(OB,\s\up14(→))＋neq\o(OC,\s\up14(→))，則m－n等于()A．2B．－2C．1D．－1答案D解析∵eq\o(GA,\s\up14(→))＋eq\o(GB,\s\up14(→))＋eq\o(GC,\s\up14(→))＝0，∴eq\o(OA,\s\up14(→))－eq\o(OG,\s\up14(→))＋eq\o(OB,\s\up14(→))－eq\o(OG,\s\up14(→))＋eq\o(OC,\s\up14(→))－eq\o(OG,\s\up14(→))＝0，∴eq\o(OG,\s\up14(→))＝eq\f(1,3)(eq\o(OA,\s\up14(→))＋eq\o(OB,\s\up14(→))＋eq\o(OC,\s\up14(→)))＝eq\f(1,6)eq\o(BC,\s\up14(→))＝eq\f(1,6)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\o(OC,\s\up14(→))－\o(OB,\s\up14(→))))，可得eq\o(OA,\s\up14(→))＝－eq\f(1,2)eq\o(OC,\s\up14(→))－eq\f(3,2)eq\o(OB,\s\up14(→))，∴m＝－eq\f(3,2)，n＝－eq\f(1,2)，m－n＝－1.故選D.考向三共線向量定理的應(yīng)用例5(1)設(shè)e1與e2是兩個不共線向量，eq\o(AB,\s\up14(→))＝3e1＋2e2，eq\o(CB,\s\up14(→))＝ke1＋e2，eq\o(CD,\s\up14(→))＝3e1－2ke2，若A，B，D三點共線，則k的值為()A．－eq\f(9,4)B．－eq\f(4,9)C．－eq\f(3,8)D．不存在答案A解析由題意，A，B，D三點共線，故必存在一個實數(shù)λ，使得eq\o(AB,\s\up14(→))＝λeq\o(BD,\s\up14(→)).又因為eq\o(AB,\s\up14(→))＝3e1＋2e2，eq\o(CB,\s\up14(→))＝ke1＋e2，eq\o(CD,\s\up14(→))＝3e1－2ke2，所以eq\o(BD,\s\up14(→))＝eq\o(CD,\s\up14(→))－eq\o(CB,\s\up14(→))＝3e1－2ke2－(ke1＋e2)＝(3－k)e1－(2k＋1)e2，所以3e1＋2e2＝λ(3－k)e1－λ(2k＋1)e2，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3＝λ3－k，,2＝－λ2k＋1，))解得k＝－eq\f(9,4).故選A.(2)已知平面內(nèi)的三點A，B，O不共線，且eq\o(AP,\s\up14(→))＝λeq\o(OA,\s\up14(→))＋μeq\o(OB,\s\up14(→))，則A，P，B三點共線的一個必要不充分條件是()A．λ＝μ B．|λ|＝|μ|C．λ＝－μ D．λ＝1－μ答案B解析A，P，B三點共線，即存在一個實數(shù)m，使得eq\o(AP,\s\up14(→))＝meq\o(AB,\s\up14(→))，∵eq\o(AP,\s\up14(→))＝λeq\o(OA,\s\up14(→))＋μeq\o(OB,\s\up14(→))，∴meq\o(AB,\s\up14(→))＝λeq\o(OA,\s\up14(→))＋μeq\o(OB,\s\up14(→))，即m(eq\o(OB,\s\up14(→))－eq\o(OA,\s\up14(→)))＝λeq\o(OA,\s\up14(→))＋μeq\o(OB,\s\up14(→))，∴(m－μ)eq\o(OB,\s\up14(→))＝(m＋λ)eq\o(OA,\s\up14(→))，∵A，B，O三點不共線，∴m－μ＝0，m＋λ＝0，即λ＝－μ＝－m，∴A，B，P三點共線的充要條件為λ＝－μ，結(jié)合各選項知A，B，P三點共線的一個必要不充分條件為|λ|＝|μ|.故選B.(1)三點共線問題可轉(zhuǎn)化為向量共線問題來解決，但應(yīng)注意向量共線與三點共線的區(qū)別與聯(lián)系，當(dāng)兩向量共線且有公共點時，才能得出三點共線．根據(jù)A，B，C三點共線求參數(shù)問題，只需將問題轉(zhuǎn)化為eq\o(AC,\s\up14(→))＝λeq\o(AB,\s\up14(→))，再利用對應(yīng)系數(shù)相等列出方程組，進而解出系數(shù)．(2)三點共線的一個常用結(jié)論：A，B，C三點共線?存在實數(shù)λ，μ對平面內(nèi)任意一點O(O不在直線BC上)滿足eq\o(OA,\s\up14(→))＝λeq\o(OB,\s\up14(→))＋μeq\o(OC,\s\up14(→))(λ＋μ＝1)．6.(2021·山西師大附中模擬)在△ABC中，eq\o(AN,\s\up14(→))＝eq\f(1,4)eq\o(NC,\s\up14(→))，P是直線BN上一點，若eq\o(AP,\s\up14(→))＝meq\o(AB,\s\up14(→))＋eq\f(2,5)eq\o(AC,\s\up14(→))，則實數(shù)m的值為()A．－4B．－1C．1D．4答案B解析∵eq\o(AN,\s\up14(→))＝eq\f(1,4)eq\o(NC,\s\up14(→))，∴eq\o(AC,\s\up14(→))＝5eq\o(AN,\s\up14(→)).又eq\o(AP,\s\up14(→))＝meq\o(AB,\s\up14(→))＋eq\f(2,5)eq\o(AC,\s\up14(→))，∴eq\o(AP,\s\up14(→))＝meq\o(AB,\s\up14(→))＋2eq\o(AN,\s\up14(→))，由B，P，N三點共線可知，m＋2＝1，∴m＝－1.故選B.7．已知向量a，b不共線，且c＝λa＋b，d＝a＋(2λ－1)b，若c與d共線反向，則實數(shù)λ的值為()A．1B．－eq\f(1,2)C.eq\f(1,2)D．－2答案B解析由于c與d共線反向，則存在實數(shù)k使c＝kd(k<0)，于是λa＋b＝k[a＋(2λ－1)b]，整理得λa＋b＝ka＋(2λk－k)b.由于a，b不共線，所以有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ＝k，,1＝2λk－k，))整理得2λ2－λ－1＝0，解得λ＝1或λ＝－eq\f(1,2).又因為k<0，所以λ<0，故λ＝－eq\f(1,2).故選B.1．如圖，O是平行四邊形ABCD的兩條對角線的交點，則下列等式正確的是()A.eq\o(DA,\s\up14(→))－eq\o(DC,\s\up14(→))＝eq\o(AC,\s\up14(→))B.eq\o(DA,\s\up14(→))＋eq\o(DC,\s\up14(→))＝eq\o(DO,\s\up14(→))C.eq\o(OA,\s\up14(→))－eq\o(OB,\s\up14(→))＋eq\o(AD,\s\up14(→))＝eq\o(DB,\s\up14(→))D.eq\o(AO,\s\up14(→))＋eq\o(OB,\s\up14(→))＋eq\o(BC,\s\up14(→))＝eq\o(AC,\s\up14(→))答案D解析對于A，eq\o(DA,\s\up14(→))－eq\o(DC,\s\up14(→))＝eq\o(CA,\s\up14(→))，錯誤；對于B，eq\o(DA,\s\up14(→))＋eq\o(DC,\s\up14(→))＝2eq\o(DO,\s\up14(→))，錯誤；對于C，eq\o(OA,\s\up14(→))－eq\o(OB,\s\up14(→))＋eq\o(AD,\s\up14(→))＝eq\o(BA,\s\up14(→))＋eq\o(AD,\s\up14(→))＝eq\o(BD,\s\up14(→))，錯誤；對于D，eq\o(AO,\s\up14(→))＋eq\o(OB,\s\up14(→))＋eq\o(BC,\s\up14(→))＝eq\o(AB,\s\up14(→))＋eq\o(BC,\s\up14(→))＝eq\o(AC,\s\up14(→))，正確．故選D.2．已知向量i與j不共線，且eq\o(AB,\s\up14(→))＝i＋mj，eq\o(AD,\s\up14(→))＝ni＋j，若A，B，D三點共線，則實數(shù)m，n應(yīng)該滿足的條件是()A．m＋n＝1 B．m＋n＝－1C．mn＝1 D．mn＝－1答案C解析由A，B，D三點共線，可設(shè)eq\o(AB,\s\up14(→))＝λeq\o(AD,\s\up14(→))，于是有i＋mj＝λ(ni＋j)＝λni＋λj.又i，j不共線，因此eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λn＝1，,λ＝m，))即有mn＝1.故選C.3．(2021·河南焦作高三月考)△ABC中，點D在邊AB上，CD平分∠ACB，若eq\o(CB,\s\up14(→))＝a，eq\o(CA,\s\up14(→))＝b，|a|＝1，|b|＝2，則eq\o(CD,\s\up14(→))＝()A.eq\f(1,3)a＋eq\f(2,3)bB.eq\f(2,3)a＋eq\f(1,3)bC.eq\f(3,5)a＋eq\f(4,5)bD.eq\f(4,5)a＋eq\f(3,5)b答案B解析∵CD為∠ACB的角平分線，∴由角平分線定理，得eq\f(BD,AD)＝eq\f(BC,AC)＝eq\f(1,2)，∵eq\o(AB,\s\up14(→))＝eq\o(CB,\s\up14(→))－eq\o(CA,\s\up14(→))＝a－b，∴eq\o(AD,\s\up14(→))＝eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up14(→))＝eq\f(2,3)a－eq\f(2,3)b，∴eq\o(CD,\s\up14(→))＝eq\o(CA,\s\up14(→))＋eq\o(AD,\s\up14(→))＝b＋eq\f(2,3)a－eq\f(2,3)b＝eq\f(2,3)a＋eq\f(1,3)b.故選B.4．設(shè)a，b都是非零向量，下列四個選項中，一定能使eq\f(a,|a|)＋eq\f(b,|b|)＝0成立的是()A．a(chǎn)＝2b B．a(chǎn)∥bC．a(chǎn)＝－eq\f(1,3)b D．a(chǎn)⊥b答案C解析“eq\f(a,|a|)＋eq\f(b,|b|)＝0，且a，b都是非零向量”等價于“非零向量a，b共線且反向”．故選C.5．(2022·云南昆明摸底)設(shè)D，E，F(xiàn)分別為△ABC的三邊BC，CA，AB的中點，則eq\o(EB,\s\up14(→))＋eq\o(FC,\s\up14(→))＝()A.eq\o(AD,\s\up14(→))B.eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up14(→))C.eq\o(BC,\s\up14(→))D.eq\f(1,2)eq\o(BC,\s\up14(→))答案A解析設(shè)eq\o(AB,\s\up14(→))＝a，eq\o(AC,\s\up14(→))＝b，則eq\o(EB,\s\up14(→))＝－eq\f(1,2)b＋a，eq\o(FC,\s\up14(→))＝－eq\f(1,2)a＋b，從而eq\o(EB,\s\up14(→))＋eq\o(FC,\s\up14(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)b＋a))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)a＋b))＝eq\f(1,2)(a＋b)＝eq\o(AD,\s\up14(→)).故選A.6.(2021·皖南八校聯(lián)考)如圖，在直角梯形ABCD中，AB＝2AD＝2DC，E為BC邊上一點，eq\o(BC,\s\up14(→))＝3eq\o(EC,\s\up14(→))，F(xiàn)為AE的中點，則eq\o(BF,\s\up14(→))＝()A.eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up14(→))－eq\f(2,3)eq\o(AD,\s\up14(→)) B．－eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up14(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AD,\s\up14(→))C．－eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up14(→))＋eq\f(2,3)eq\o(AD,\s\up14(→)) D.eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up14(→))－eq\f(1,3)eq\o(AD,\s\up14(→))答案B解析如圖，連接AC，根據(jù)平面向量的運算法則，得eq\o(BF,\s\up14(→))＝eq\f(1,2)eq\o(BA,\s\up14(→))＋eq\f(1,2)eq\o(BE,\s\up14(→))，eq\o(BE,\s\up14(→))＝eq\f(2,3)eq\o(BC,\s\up14(→))，eq\o(BC,\s\up14(→))＝eq\o(AC,\s\up14(→))－eq\o(AB,\s\up14(→)).因為eq\o(AC,\s\up14(→))＝eq\o(AD,\s\up14(→))＋eq\o(DC,\s\up14(→))，eq\o(DC,\s\up14(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up14(→))，所以eq\o(BF,\s\up14(→))＝－eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up14(→))＋eq\f(1,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\o(AD,\s\up14(→))＋\f(1,2)\o(AB,\s\up14(→))－\o(AB,\s\up14(→))))＝－eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up14(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AD,\s\up14(→)).故選B.7.如圖所示，已知AB是圓O的直徑，點C，D是半圓弧的兩個三等分點，eq\o(AB,\s\up14(→))＝a，eq\o(AC,\s\up14(→))＝b，則eq\o(AD,\s\up14(→))＝()A．a(chǎn)－eq\f(1,2)bB.eq\f(1,2)a－bC．a(chǎn)＋eq\f(1,2)bD.eq\f(1,2)a＋b答案D解析如圖，連接CD，由點C，D是半圓弧的三等分點，得CD∥AB，且eq\o(CD,\s\up14(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up14(→))＝eq\f(1,2)a，所以eq\o(AD,\s\up14(→))＝eq\o(AC,\s\up14(→))＋eq\o(CD,\s\up14(→))＝b＋eq\f(1,2)a.故選D.8．設(shè)M為平行四邊形ABCD對角線的交點，O為平行四邊形ABCD所在平面內(nèi)任意一點，則eq\o(OA,\s\up14(→))＋eq\o(OB,\s\up14(→))＋eq\o(OC,\s\up14(→))＋eq\o(OD,\s\up14(→))等于()A.eq\o(OM,\s\up14(→)) B．2eq\o(OM,\s\up14(→))C．3eq\o(OM,\s\up14(→)) D．4eq\o(OM,\s\up14(→))答案D解析eq\o(OA,\s\up14(→))＋eq\o(OB,\s\up14(→))＋eq\o(OC,\s\up14(→))＋eq\o(OD,\s\up14(→))＝(eq\o(OA,\s\up14(→))＋eq\o(OC,\s\up14(→)))＋(eq\o(OB,\s\up14(→))＋eq\o(OD,\s\up14(→)))＝2eq\o(OM,\s\up14(→))＋2eq\o(OM,\s\up14(→))＝4eq\o(OM,\s\up14(→)).故選D.9．(2022·山西太原模擬)已知O為△ABC內(nèi)一點，且eq\o(AO,\s\up14(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(OB,\s\up14(→))＋eq\o(OC,\s\up14(→)))，eq\o(AD,\s\up14(→))＝teq\o(AC,\s\up14(→))，若B，O，D三點共線，則t＝()A.eq\f(1,4)B.eq\f(1,3)C.eq\f(1,2)D.eq\f(2,3)答案B解析設(shè)E是BC邊的中點，則eq\f(1,2)(eq\o(OB,\s\up14(→))＋eq\o(OC,\s\up14(→)))＝eq\o(OE,\s\up14(→))，由題意得eq\o(AO,\s\up14(→))＝eq\o(OE,\s\up14(→))，所以eq\o(AO,\s\up14(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AE,\s\up14(→))＝eq\f(1,4)(eq\o(AB,\s\up14(→))＋eq\o(AC,\s\up14(→)))＝eq\f(1,4)eq\o(AB,\s\up14(→))＋eq\f(1,4t)eq\o(AD,\s\up14(→))，又因為B，O，D三點共線，所以eq\f(1,4)＋eq\f(1,4t)＝1，解得t＝eq\f(1,3).故選B.10．△ABC所在的平面內(nèi)有一點P，滿足eq\o(PA,\s\up14(→))＋eq\o(PB,\s\up14(→))＋eq\o(PC,\s\up14(→))＝eq\o(AB,\s\up14(→))，則△PBC與△ABC的面積之比是()A.eq\f(1,3)B.eq\f(1,2)C.eq\f(2,3)D.eq\f(3,4)答案C解析因為eq\o(PA,\s\up14(→))＋eq\o(PB,\s\up14(→))＋eq\o(PC,\s\up14(→))＝eq\o(AB,\s\up14(→))，所以eq\o(PA,\s\up14(→))＋eq\o(PB,\s\up14(→))＋eq\o(PC,\s\up14(→))＝eq\o(PB,\s\up14(→))－eq\o(PA,\s\up14(→))，所以eq\o(PC,\s\up14(→))＝－2eq\o(PA,\s\up14(→))＝2eq\o(AP,\s\up14(→))，即P是AC邊的一個三等分點，且PC＝eq\f(2,3)AC，由三角形的面積公式可知，eq\f(S△PBC,S△ABC)＝eq\f(PC,AC)＝eq\f(2,3).故選C.11.(2021·安徽滁州模擬)古希臘數(shù)學(xué)家歐多克索斯在深入研究比例理論時，提出了分線段的“中末比”問題：將一線段AB分為兩線段AC，CB，使得其中較長的一段AC是全長與另一段CB的比例中項，即滿足eq\f(AC,AB)＝eq\f(BC,AC)＝eq\f(\r(5)－1,2)，后人把這個數(shù)稱為黃金分割數(shù)，把點C稱為線段AB的黃金分割點，在△ABC中，若點P，Q為線段BC的兩個黃金分割點，設(shè)eq\o(AP,\s\up14(→))＝x1eq\o(AB,\s\up14(→))＋y1eq\o(AC,\s\up14(→))，eq\o(AQ,\s\up14(→))＝x2eq\o(AB,\s\up14(→))＋y2eq\o(AC,\s\up14(→))，則eq\f(x1,x2)＋eq\f(y1,y2)＝()A.eq\f(\r(5)＋1,2) B．2C.eq\r(5) D.eq\r(5)＋1答案C解析由題意，得eq\o(AP,\s\up14(→))＝eq\o(AB,\s\up14(→))＋eq\o(BP,\s\up14(→))＝eq\o(AB,\s\up14(→))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(\r(5)－1,2)))eq\o(BC,\s\up14(→))＝eq\o(AB,\s\up14(→))＋eq\f(3－\r(5),2)(eq\o(AC,\s\up14(→))－eq\o(AB,\s\up14(→)))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(3－\r(5),2)))eq\o(AB,\s\up14(→))＋eq\f(3－\r(5),2)eq\o(AC,\s\up14(→))＝eq\f(\r(5)－1,2)eq\o(AB,\s\up14(→))＋eq\f(3－\r(5),2)eq\o(AC,\s\up14(→))，eq\o(AQ,\s\up14(→))＝eq\o(AB,\s\up14(→))＋eq\o(BQ,\s\up14(→))＝eq\o(AB,\s\up14(→))＋eq\f(\r(5)－1,2)eq\o(BC,\s\up14(→))＝eq\o(AB,\s\up14(→))＋eq\f(\r(5)－1,2)(eq\o(AC,\s\up14(→))－eq\o(AB,\s\up14(→)))＝eq\f(3－\r(5),2)eq\o(AB,\s\up14(→))＋eq\f(\r(5)－1,2)eq\o(AC,\s\up14(→)).∴x1＝y(tǒng)2＝eq\f(\r(5)－1,2)，x2＝y(tǒng)1＝eq\f(3－\r(5),2).∴eq\f(x1,x2)＋eq\f(y1,y2)＝eq\f(\r(5)－1,3－\r(5))＋eq\f(3－\r(5),\r(5)－1)＝eq\r(5).故選C.12.如圖，A，B分別是射線OM，ON上的點，給出下列向量：①eq\o(OA,\s\up14(→))＋2eq\o(OB,\s\up14(→))；②eq\f(1,2)eq\o(OA,\s\up14(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OB,\s\up14(→))；③eq\f(3,4)eq\o(OA,\s\up14(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OB,\s\up14(→))；④eq\f(3,4)eq\o(OA,\s\up14(→))＋eq\f(1,5)eq\o(OB,\s\up14(→))；⑤eq\f(3,4)eq\o(OA,\s\up14(→))－eq\f(1,5)eq\o(OB,\s\up14(→)).若這些向量均以O(shè)為起點，則終點落在陰影區(qū)域內(nèi)(包括邊界)的是()A．①②B．②④C．①③D．③⑤答案B解析如圖1，在ON上取點C，使得OC＝2OB，以O(shè)A，OC為鄰邊作平行四邊形OCDA，則eq\o(OD,\s\up14(→))＝eq\o(OA,\s\up14(→))＋2eq\o(OB,\s\up14(→))，其終點不在陰影區(qū)域內(nèi)，排除A，C；如圖2，取線段OA上一點E，使AE＝eq\f(1,4)OA，作EF∥OB，交AB于點F，則EF＝eq\f(1,4)OB，由于EF<eq\f(1,3)OB，所以eq\f(3,4)eq\o(OA,\s\up14(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OB,\s\up14(→))的終點不在陰影區(qū)域內(nèi)，排除D.故選B.13．設(shè)向量a，b不平行，向量λa＋b與a＋2b平行，則實數(shù)λ＝.答案eq\f(1,2)解析∵λa＋b與a＋2b平行，∴存在實數(shù)k，使λa＋b＝k(a＋2b)，∴(λ－k)a＋(1－2k)b＝0.∵a與b不平行，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ－k＝0，,1－2k＝0，))解得λ＝eq\f(1,2).14.(2022·甘肅嘉峪關(guān)市模擬)如圖所示，在△ABC中，點O是BC的中點．過點O的直線分別交直線AB，AC于不同的兩點M，N，若eq\o(AB,\s\up14(→))＝meq\o(AM,\s\up14(→))，eq\o(AC,\s\up14(→))＝neq\o(AN,\s\up14(→))，則m＋n的值為．答案2解析解法一：∵點O是BC的中點，∴eq\o(AO,\s\up14(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up14(→))＋eq\o(AC,\s\up14(→)))＝eq\f(m,2)eq\o(AM,\s\up14(→))＋eq\f(n,2)eq\o(AN,\s\up14(→)).∵M，O，N三點共線，∴eq\f(m,2)＋eq\f(n,2)＝1.∴m＋n＝2.解法二：MN繞O旋轉(zhuǎn)，當(dāng)N與C重合時，M與B重合，此時m＝n＝1，∴m＋n＝2.15．在平行四邊形ABCD中，若|eq\o(BC,\s\up14(→))＋eq\o(BA,\s\up14(→))|＝|eq\o(BC,\s\up14(→))＋eq\o(AB,\s\up14(→))|，則四邊形ABCD的形狀是．答案矩形解析由向量加法的平行四邊形法則可知，eq\o(BC,\s\up14(→))＋eq\o(BA,\s\up14(→))＝eq\o(BD,\s\up14(→))，eq\o(BC,\s\up14(→))＋eq\o(AB,\s\up14(→))＝eq\o(AC,\s\up14(→))，∵|eq\o(BC,\s\up14(→))＋eq\o(BA,\s\up14(→))|＝|eq\o(BC,\s\up14(→))＋eq\o(AB,\s\up14(→))|，∴|eq\o(B