北京海淀區(qū)北方交通大學(xué)附屬中學(xué)2024屆數(shù)學(xué)高一上期末聯(lián)考模擬試題注意事項(xiàng)1．考生要認(rèn)真填寫(xiě)考場(chǎng)號(hào)和座位序號(hào)。2．試題所有答案必須填涂或書(shū)寫(xiě)在答題卡上，在試卷上作答無(wú)效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．已知定義在上的函數(shù)滿足：，且，，則方程在區(qū)間上的所有實(shí)根之和為A.-5 B.-6C.-7 D.-82．已知函數(shù)，若存在四個(gè)互不相等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A. B.C. D.3．命題“，有”的否定是（）A.，使 B.，有C.，使 D.，使4．已知一個(gè)水平放置的平面四邊形的直觀圖是邊長(zhǎng)為1的正方形，則原圖形的周長(zhǎng)為（）A.6 B.8C. D.5．已知圓與直線交于，兩點(diǎn)，過(guò)，分別作軸的垂線，且與軸分別交于，兩點(diǎn)，若，則A.或1 B.7或C.或 D.7或16．如圖，PO是三棱錐P-ABC底面ABC的垂線，垂足為O①若PA⊥BC，PB⊥AC，則點(diǎn)O是△ABC的垂心；②若PA=PB=PC，則點(diǎn)O是△ABC的外心；③若∠PAB=∠PAC，∠PBA=∠PBC，則點(diǎn)O是△ABC的內(nèi)心；④過(guò)點(diǎn)P分別做邊AB，BC，AC的垂線，垂足分別為E，F(xiàn)，G，若PE=PF=PG，則點(diǎn)O是△ABC的重心以上推斷正確的個(gè)數(shù)是（）A.1 B.2C.3 D.47．中國(guó)的5G技術(shù)領(lǐng)先世界，5G技術(shù)的數(shù)學(xué)原理之一便是著名的香農(nóng)公式：.它表示：在受噪聲干擾的信道中，最大信息傳遞速度取決于信道帶寬，信道內(nèi)信號(hào)的平均功率，信道內(nèi)部的高斯噪聲功率的大小，其中叫做信噪比.當(dāng)信噪比比較大時(shí)，公式中真數(shù)中的1可以忽略不計(jì).按照香農(nóng)公式，若不改變帶寬，而將信噪比從1000提升至4000，則大約增加了（）附：A.10% B.20%C.50% D.100%8．設(shè)全集，集合，，則（）A. B.C. D.9．已知指數(shù)函數(shù)在上單調(diào)遞增，則的值為（）A.3 B.2C. D.10．下列選項(xiàng)正確的是（）A. B.C. D.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．已知奇函數(shù)在上是增函數(shù)，若，，，則，，的大小關(guān)系為_(kāi)__________.12．某醫(yī)藥研究所開(kāi)發(fā)一種新藥，如果成年人按規(guī)定的劑量服用，據(jù)監(jiān)測(cè)，服藥后每毫升血液中的含藥量（微克）與時(shí)間（時(shí)）之間近似滿足如圖所示的圖象．據(jù)進(jìn)一步測(cè)定，每毫升血液中含藥量不少于0.25微克時(shí)，治療疾病有效，則服藥一次治療疾病有效的時(shí)間為_(kāi)__________小時(shí)．13．在中，角、、所對(duì)的邊為、、，若，，，則角________14．已知函數(shù)，則的值是________15．已知扇形的弧長(zhǎng)為6，圓心角弧度數(shù)為2，則其面積為_(kāi)_____________.16．已知正數(shù)a，b滿足，則的最小值為_(kāi)_____三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．已知函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)，且相鄰的兩個(gè)零點(diǎn)之差的絕對(duì)值為6（1）求的解析式；（2）將的圖象向右平移3個(gè)單位后得到函數(shù)的圖象若關(guān)于x的方程在上有解，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.18．已知函數(shù).（1）判斷函數(shù)在R上的單調(diào)性，并用單調(diào)性的定義證明；（2）判斷函數(shù)的奇偶性，并證明；（3）若恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍.19．某中學(xué)共有3000名學(xué)生，其中高一年級(jí)有1200名學(xué)生，為了解學(xué)生的睡眠情況，現(xiàn)用分層抽樣的方法，在三個(gè)年級(jí)中抽取了200名學(xué)生，依據(jù)每名學(xué)生的睡眠時(shí)間（單位：小時(shí)），繪制出了如圖所示的頻率分布直方圖.（1）求樣本中高一年級(jí)學(xué)生的人數(shù)及圖中a的值；（2）估計(jì)樣本數(shù)據(jù)中位數(shù)（保留兩位小數(shù)）；（3）估計(jì)全校睡眠時(shí)間不低于7個(gè)小時(shí)的學(xué)生人數(shù).20．某同學(xué)作函數(shù)f(x)=Asin(x+)在一個(gè)周期內(nèi)的簡(jiǎn)圖時(shí)，列表并填入了部分?jǐn)?shù)據(jù)，如下表：0-3（1）請(qǐng)將上表數(shù)據(jù)補(bǔ)充完整，并求出f(x)的解析式；（2）若f(x)在區(qū)間(m，0)內(nèi)是單調(diào)函數(shù)，求實(shí)數(shù)m的最小值.21．已知函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn).（Ⅰ）求實(shí)數(shù)的值;（Ⅱ）若不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（Ⅲ）若函數(shù)，，是否存在實(shí)數(shù)使得的最小值為，若存在請(qǐng)求出的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、C【解題分析】由題意知，函數(shù)的周期為2，則函數(shù)在區(qū)間上的圖像如下圖所示：由圖形可知函數(shù)在區(qū)間上的交點(diǎn)為，易知點(diǎn)的橫坐標(biāo)為-3，若設(shè)的橫坐標(biāo)為，則點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，所以方程在區(qū)間上的所有實(shí)數(shù)根之和為.考點(diǎn)：分段函數(shù)及基本函數(shù)的性質(zhì).2、D【解題分析】令，則，由題意，有兩個(gè)不同的解，有兩個(gè)不相等的實(shí)根，由圖可知，得或，所以和各有兩個(gè)解當(dāng)有兩個(gè)解時(shí)，則，當(dāng)有兩個(gè)解時(shí)，則或，綜上，的取值范圍是，故選D點(diǎn)睛：本題考查函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用．本題為嵌套函數(shù)的應(yīng)用，一般的，我們應(yīng)用整體思想解決問(wèn)題，所以令，則，由題意，有兩個(gè)不同的解，有兩個(gè)不相等的實(shí)根，再結(jié)合圖象逐步分析，解得答案3、D【解題分析】全稱命題的否定：將任意改存在并否定原結(jié)論，即可知正確選項(xiàng).【題目詳解】由全稱命題的否定為特稱命題，∴原命題的否定為.故選：D4、B【解題分析】由斜二測(cè)畫(huà)法的規(guī)則，把直觀圖還原為原平面圖形，再求原圖形的周長(zhǎng)【題目詳解】解：由斜二測(cè)畫(huà)法的規(guī)則知，與軸平行的線段其長(zhǎng)度不變以及與橫軸平行的性質(zhì)不變，正方形的對(duì)角線在軸上，可求得其長(zhǎng)度為，所以在平面圖中其在軸上，且其長(zhǎng)度變?yōu)樵瓉?lái)2倍，是，其原來(lái)的圖形如圖所示；所以原圖形的周長(zhǎng)是：故選：【題目點(diǎn)撥】本題考查了平面圖形的直觀圖應(yīng)用問(wèn)題，能夠快速的在直觀圖和原圖之間進(jìn)行轉(zhuǎn)化，是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題5、A【解題分析】由題可得出，利用圓心到直線的距離可得，進(jìn)而求得答案【題目詳解】因?yàn)橹本€的傾斜角為，，所以，利用圓心到直線的距離可得，解得或.【題目點(diǎn)撥】本題考查直線與圓的位置關(guān)系，屬于一般題6、C【解題分析】①由題意得出AO⊥BC，BO⊥BC，點(diǎn)O是△ABC的垂心；②若PA=PB=PC，則AO=BO=CO，點(diǎn)O是△ABC的外心；③由題意得出AO是∠BAC的平分線，BO是∠ABC的平分線，O是△ABC的內(nèi)心；④若PE=PF=PG，則OE=OF=OG，點(diǎn)O是△ABC的內(nèi)心【題目詳解】對(duì)于①，PO⊥底面ABC，∴PO⊥BC，又PA⊥BC，∴BC⊥平面PAO，∴AO⊥BC；同理PB⊥AC，得出BO⊥BC，∴點(diǎn)O是△ABC的垂心，①正確；對(duì)于②，若PA=PB=PC，由此推出Rt△PAO≌Rt△PBO≌Rt△PCO，∴AO=BO=CO，點(diǎn)O是△ABC的外心，②正確；對(duì)于③，若∠PAB=∠PAC，且PO⊥底面ABC，則AO是∠BAC的平分線，同理∠PBA=∠PBC時(shí)BO是∠ABC平分線，∴點(diǎn)O是△ABC的內(nèi)心，③正確；對(duì)于④，過(guò)點(diǎn)P分別做邊AB，BC，AC的垂線，垂足分別為E，F(xiàn)，G，若PE=PF=PG，則OE=OF=OG，點(diǎn)O是△ABC的內(nèi)心，④錯(cuò)誤綜上，正確的命題個(gè)數(shù)是3故選C【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了空間中的直線與平面的垂直關(guān)系應(yīng)用問(wèn)題，是中檔題7、B【解題分析】根據(jù)題意，計(jì)算出值即可；【題目詳解】當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，因?yàn)樗詫⑿旁氡葟?000提升至4000，則大約增加了20%，故選：B.【題目點(diǎn)撥】本題考查對(duì)數(shù)的運(yùn)算，考查運(yùn)算求解能力，求解時(shí)注意對(duì)數(shù)運(yùn)算法則的運(yùn)用.8、B【解題分析】先求出集合B，再根據(jù)交集補(bǔ)集定義即可求出.【題目詳解】，，，.故選：B.9、B【解題分析】令系數(shù)為，解出的值，又函數(shù)在上單調(diào)遞增，可得答案【題目詳解】解得，又函數(shù)在上單調(diào)遞增，則，故選：B10、A【解題分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)一一判斷可得；【題目詳解】解：對(duì)于A：在定義域上單調(diào)遞減，所以，故A正確；對(duì)于B：在定義域上單調(diào)遞增，所以，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C：因?yàn)?，，所以，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D：因?yàn)?，，即，所以，故D錯(cuò)誤；故選：A二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解題分析】根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)得，再根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)性質(zhì)得，進(jìn)而結(jié)合函數(shù)單調(diào)性比較大小即可.【題目詳解】解：因?yàn)楹瘮?shù)為奇函數(shù)，所以，由于函數(shù)在單調(diào)遞增，所以，由于，所以因?yàn)楹瘮?shù)在上是增函數(shù)，所以，即故答案為：12、【解題分析】根據(jù)圖象先求出函數(shù)的解析式，然后由已知構(gòu)造不等式0.25，解不等式可得每毫升血液中含藥量不少于0.25微克的起始時(shí)刻和結(jié)束時(shí)刻，他們之間的差值即為服藥一次治療疾病有效的時(shí)間【題目詳解】解：當(dāng)時(shí)，函數(shù)圖象是一個(gè)線段，由于過(guò)原點(diǎn)與點(diǎn)，故其解析式為，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的解析式為，因?yàn)樵谇€上，所以，解得，所以函數(shù)的解析式為，綜上，，由題意有，解得，所以，所以服藥一次治療疾病有效的時(shí)間為個(gè)小時(shí)，故答案為：．13、.【解題分析】利用余弦定理求出的值，結(jié)合角的取值范圍得出角的值.【題目詳解】由余弦定理得，，，故答案為.【題目點(diǎn)撥】本題考查余弦定理的應(yīng)用和反三角函數(shù)，解題時(shí)要充分結(jié)合元素類(lèi)型選擇正弦定理和余弦定理解三角形，考查計(jì)算能力，屬于中等題.14、-1【解題分析】利用分段函數(shù)的解析式，代入即可求解.【題目詳解】解：因?yàn)?，則.故答案為：-115、9【解題分析】根據(jù)扇形的弧長(zhǎng)是6，圓心角為2，先求得半徑，再代入公式求解.【題目詳解】因?yàn)樯刃蔚幕￠L(zhǎng)是6，圓心角為2，所以，所以扇形的面積為，故答案為：9.16、##【解題分析】右邊化簡(jiǎn)可得，利用基本不等式，計(jì)算化簡(jiǎn)即可求得結(jié)果.【題目詳解】，故,則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立故答案為：三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）（2）【解題分析】（1）結(jié)合正弦函數(shù)性質(zhì)，相鄰兩個(gè)零點(diǎn)之差為函數(shù)的半個(gè)周期，由此得，代入已知點(diǎn)坐標(biāo)可求得，得解析式；（2）由圖象變換得，求出時(shí)的的值域，由屬于這個(gè)值域可得的范圍【題目詳解】（1）設(shè)的最小正周期為T(mén)，因?yàn)橄噜彽膬蓚€(gè)零點(diǎn)之差的絕對(duì)值為6，所以，所以.因?yàn)榈膱D象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，所以，又因?yàn)?，所?所以.（2）由（1）可得.當(dāng)時(shí)，，則.因?yàn)殛P(guān)于x的方程在上有解，所以，解得或.所以a的取值范圍為.【題目點(diǎn)撥】本題考查三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，由圖象求解析式，可結(jié)合“五點(diǎn)法”中的五點(diǎn)求解．方程有解問(wèn)題可由分離參數(shù)法轉(zhuǎn)化為求函數(shù)值域問(wèn)題．18、（1）在R上的單調(diào)遞增，證明見(jiàn)解析；（2）是奇函數(shù)，證明見(jiàn)解析；（3）.【解題分析】（1）利用單調(diào)性的定義證明，任取，設(shè)，然后判斷與0的大小，即可確定單調(diào)性.（2），直接利用函數(shù)奇偶性的定義判斷；（3）利用函數(shù)是奇函數(shù)，將題設(shè)不等式轉(zhuǎn)化為，再利用是上的單調(diào)增函數(shù)求解.【小問(wèn)1詳解】函數(shù)是增函數(shù)，任取，不妨設(shè)，，∵，∴，又，∴，即，∴函數(shù)是上的增函數(shù).【小問(wèn)2詳解】函數(shù)為奇函數(shù)，證明如下：由解析式可得：，且定義域?yàn)殛P(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，，∴函數(shù)是定義域內(nèi)的奇函數(shù).【小問(wèn)3詳解】由等價(jià)于，∵是上的單調(diào)增函數(shù)，∴，即恒成立，∴，解得.19、（1）人數(shù)為，；（2）7.42；（3）約為人.【解題分析】（1）由分層抽樣等比例性質(zhì)求高一年級(jí)學(xué)生的人數(shù)，根據(jù)直方圖及頻率和為1求參數(shù)a.（2）由頻率直方圖及中位數(shù)的性質(zhì)估計(jì)中位數(shù).（3）由直方圖計(jì)算區(qū)間的頻率，進(jìn)而估計(jì)全校睡眠時(shí)間不低于7個(gè)小時(shí)的學(xué)生人數(shù).【小問(wèn)1詳解】由分層抽樣等比例的性質(zhì)，樣本中高一年級(jí)學(xué)生的人數(shù)為.由，可得.【小問(wèn)2詳解】設(shè)中位數(shù)為x，由、，知：，∴.得，故樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)約為7.42.【小問(wèn)3詳解】由圖可知，樣本數(shù)據(jù)落在的頻率為.故全校睡眠時(shí)間不低于7個(gè)小時(shí)的學(xué)生人數(shù)約為人.20、（1）表格見(jiàn)解析，（2）【解題分析】（1）由題意，根據(jù)五點(diǎn)法作圖，利用正弦函數(shù)的性質(zhì)，補(bǔ)充表格，并求出函數(shù)的解析式（2）由題意利用正弦函數(shù)的單調(diào)性，求出實(shí)數(shù)的最小值【小問(wèn)1詳解】解：作函數(shù)，，的簡(jiǎn)圖時(shí)，根據(jù)表格可得，，，結(jié)合五點(diǎn)法作圖，，，故函數(shù)的解析式為列表如下：00300【小問(wèn)2詳解】解：因?yàn)椋?，若在區(qū)間內(nèi)是單調(diào)函數(shù)，則，且，解得，故