圓全章復習【學習目標】理解圓及其有關概念，理解弧、弦、圓心角的關系，探究并了解點與圓、直線與圓、圓與圓的位置關系，探究并把握圓周角與圓心角的關系、直徑所對的圓周角的特征；了解切線的概念，探究并把握切線與過切點的半徑之間的位置關系，能判定一條直線是否為圓的切線，會過圓上一點畫圓的切線；了解三角形的內心和外心，探究如何過一點、兩點和不在同始終線上的三點作圓；、圓錐的側面積及全面積；結合相關圖形性質的探究和證明，進一步培育合情推理力量，進展規(guī)律思維力量和推理論證的【學問網絡】【要點梳理】要點一、圓的定義、性質及與圓有關的角圓的定義線段OA圍著它的一個端點O旋轉一周，另一個端點A(2)圓是到定點的距離等于定長的點的集合.要點詮釋：②圓是一條封閉曲線.圓的性質對稱中心是圓心.在同圓或等圓中，兩個圓心角，兩條弧，兩條弦，兩條弦心距，這四組量中的任意一組相等，那么它所對應的其他各組分別相等.軸對稱：圓是軸對稱圖形，經過圓心的任始終線都是它的對稱軸.(3)垂徑定理及推論：①垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條弧.②平分弦(不是直徑)的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧.③弦的垂直平分線過圓心，且平分弦對的兩條弧.④平分一條弦所對的兩條弧的直線過圓心，且垂直平分此弦.⑤平行弦夾的弧相等.要點詮釋：在垂經定理及其推論中：過圓心、垂直于弦、平分弦、平分弦所對的優(yōu)弧、平分弦所對的劣弧，〔分的弦不能是直徑〕兩圓的性質兩個圓是一個軸對稱圖形，對稱軸是兩圓連心線.相交兩圓的連心線垂直平分公共弦，相切兩圓的連心線經過切點.與圓有關的角圓心角：頂點在圓心的角叫圓心角.圓心角的性質：圓心角的度數等于它所對的弧的度數.(2)圓周角：頂點在圓上，兩邊都和圓相交的角叫做圓周角.圓周角的性質：①圓周角等于它所對的弧所對的圓心角的一半.③90°的圓周角所對的弦為直徑；半圓或直徑所對的圓周角為直角.⑤圓內接四邊形的對角互補；外角等于它的內對角.要點詮釋：(1)圓周角必需滿足兩個條件：①頂點在圓上；②角的兩邊都和圓相交.(2)圓周角定理成立的前提條件是在同圓或等圓中.要點二、與圓有關的位置關系設⊙O的半徑為，OP=，則有P設⊙O的半徑為，OP=，則有PPO外；點PO上；PO內.點和圓的位置關系和點到圓心的距離的數量關系是相對應的，即知道位置關系就可以確定數量關系；知道數量關系也可以確定位置關系.判定幾個點A、A、A 在同一個圓上的方法當時，當時，在⊙O上.設⊙O半徑為R設⊙O半徑為R，點O到直線的距離為.(1)直線和⊙O直線和圓相離.(2)直線和⊙O直線和⊙O.(3)直線和⊙O直線和⊙O.切線的判定、性質切線的判定：②到圓心的距離等于圓的半徑的直線是圓的切線.①經過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線.②到圓心的距離等于圓的半徑的直線是圓的切線.切線的性質：①圓的切線垂直于過切點的半徑.②經過圓心作圓的切線的垂線經過切點.③經過切點作切線的垂線經過圓心.切線長定理：從圓外一點作圓的兩條切線，它們的切線長相等，這一點和圓心的連線平分兩條切線的夾角.設的半徑為，圓心距.(1)設的半徑為，圓心距.(1)和沒有公共點，且每一個圓上的全部點在另一個圓的外部外離.(2)和沒有公共點，且的每一個點都在內部內含(3)和有唯一公共點，除這個點外，每個圓上的點都在另一個圓外部外切.(4)和有唯一公共點，除這個點外， 的每個點都在 內部內切.(5)和有兩個公共點 相交 .要點三、三角形的外接圓與內切圓、圓內接四邊形與外切四邊形三角形的內心、外心、重心、垂心三角形的內心：是三角形三條角平分線的交點，它是三角形內切圓的圓心，在三角形內部，它到三角形三邊的距離相等，通常用“I”表示.三角形的外心：是三角形三邊中垂線的交點，它是三角形外接圓的圓心，銳角三角形外心在三角形內部，直角三角形的外心是斜邊中點，鈍角三角形外心在三角形外部，三角形外心到三角形三個頂點的距離相等，通常用O2倍，通常用G垂心：是三角形三邊高線的交點.要點詮釋：任何一個三角形都有且只有一個內切圓，但任意一個圓都有很多個外切三角形；的一半，即(S的一半，即(SPr三角形的外心與內心的區(qū)分：名稱確定方法圖形性質外心(三角形外接圓的圓三角形三邊中垂線的交點(1)OA=OB=OC；(2)外心不一定在三角形內部心)內心(三角形內切圓的圓心)

三角形三條角平分線的交點

(1)到三角形三邊距離相等；(2)OA、OB、OCBAC、∠ABC、∠ACB；(3)內心在三角形內部.圓內接四邊形和外切四邊形(2要點四、圓中有關計算圓的面積公式：，周長.圓的面積公式：，周長.圓心角為、半徑為R.圓心角為，半徑為R，弧長為的扇形的面積圓心角為，半徑為R，弧長為的扇形的面積.圓柱的側面圖是一個矩形，底面半徑為R，母線長為的圓柱的體積為，側面積為，全面積為.圓錐的側面開放圖為扇形，底面半徑為R，母線長為，高為的圓錐的側面積為，全面積為，母線長、圓錐高、底面圓的半徑之間有圓錐的側面開放圖為扇形，底面半徑為R，母線長為，高為的圓錐的側面積為，全面積為，母線長、圓錐高、底面圓的半徑之間有.(1)對于扇形面積公式，關鍵要理解圓心角是1°的扇形面積是圓面積的；(3)扇形面積公式，可依據題目條件敏捷選擇使用，它與三角形面積公式有在扇形面積公式中，涉及三個量：扇形面積S；(3)扇形面積公式，可依據題目條件敏捷選擇使用，它與三角形面積公式有(4)扇形兩個面積公式之間的聯系：.(4)扇形兩個面積公式之間的聯系：.【典型例題】類型一、圓的根底學問1.如圖，⊙O是以數軸的原點O1AOB=45°,點P在數軸上運動，假設過222點P且與OA平行〔或重合〕的直線與⊙O有公共點,設OP=x，則x的取值范圍是〔 〕.2222A．－1≤x≤1 2【答案】B；

C．0≤x≤

D．x＞【解析】如圖，平移過P點的直線到P′，使其與⊙O相切，設切點為Q，連接OQ，由切線的性質，得∠OQP′=90°，∵OA∥P′Q，∴∠OP′Q=∠AOB=45°，∴△OQP′為等腰直角三角形，在Rt△OQP′中，OQ=1，OP′=2，∴當過點P且與OA平行的直線與⊙O有公共點時，0≤OP≤ ，當點P在x軸負半軸即點P向左側移動時，結果為- 2≤OP≤0．故答案為：- 2≤OP≤2．舉一反三：【變式】如圖，⊙O是以數軸的原點為圓心，半徑為1的圓，∠AOB=45°，點P在數軸上運動，假設過點P且與OB平行的直線于⊙O有公共點，設P〔x，0〕，則x的取值范圍是〔 〕.A．-1≤x＜0或0＜x≤1 B．0＜x≤1 C．-2≤x＜0或0＜x≤2 D．x＞1【答案】∵⊙O【答案】∵⊙O1，∠AOB=45°，∴過點P′且與OBO相切時，假設切點為D，∴OD=DP′=1，OP′=2，∴0＜OP≤2，同理可得，當OP與x-2≤OP＜0，∴-2≤OP＜00＜OP≤2．C．2．如下圖，在⊙OAB⊙O的直徑，弦CG⊥ABD，FOCFCB，BFCGE，求證：CE＝BE．【答案與解析】證法一：如圖(1)，連接BC，∵ABO的直徑，弦CG⊥AB，∴CBGB．∵CFBC，∴CFGB．∴∠C＝∠CBE．∴CE＝BE．證法二：如圖(2)，作ON⊥BF，垂足為N，連接OE．∵ABOAB⊥CG，∴CBBG．∵CBCF，∴CFBCBG．∴BF＝CG，ON＝OD．∵∠ONE＝∠ODE＝90°，OE＝OE，ON＝OD，∴△ONE≌△ODE，∴NE＝DE．∵BN1BF∵2

CD1CG，，2，，∴BN＝CD，∴BN-EN＝CD-ED，∴BE＝CE．證法三：如圖(3)，連接OCBF于點N．∵CFBC，∴OC⊥BF．∵ABOCG⊥AB，∵BGBC，CFBGBC．∴BFCG，ONOD．∵OC＝OB，∴OC-ON＝OB-OD，即CN＝BD．又∠CNE＝∠BDE＝90°，∠CEN＝∠BED，∴△CNE≌△BDE，∴CE＝BE．【變式】如下圖，在⊙O內有折線OABC,其中OA=8,AB=12,∠A=∠B=60°,則BC的長為〔 〕A．19 B．16 C．18 D．20【答案】如圖，延長AOBC于點D,過O作OE⊥BCE.則三角形ABD為等邊三角形，DA=AB=BD=12，OD=AD-AO=41Rt△ODE，∠ODE=60°，∠DOE=30°,則DE=2OD=2，BE=BD-DE=10OE垂直平分BC，BC=2BE=20.應選D類型三、與圓有關的位置關系320如圖〔1〕所示.經測量，一支香煙的直徑0.75cm8.4cm.1〕試計算煙盒頂蓋ABCD的面積〔本小題計算結果不取近似值；〔2〕制作這樣一個煙盒至少需要多少面積的紙張〔不計重疊粘合的局部，計算結果準確到0.1cm，3取1.73〕.【答案與解析】如圖2，作OEOO3 31 233 3AB2

3 3 33cm8 4 4∴四邊形ABCD制作一個煙盒至少需要紙張：例4．如圖，例4．如圖，AB是⊙O的直徑， =，連接ED、BD，延長AE交BD的延長線于點M，過點D作〔1〕假設OA=CD=2，求陰影局部的面積；⊙O的切線交〔1〕假設OA=CD=2，求陰影局部的面積；〔2〕求證：DE=DM．解：如圖，連接OD解：如圖，連接OD，∵CD是⊙O切線，∴OD⊥CD，∵OA=CD=2 ，OA=OD，∴OD=CD=2，∴△OCD∴OD=CD=2，∴S陰影=S△OCD∴S陰影=S△OCD﹣S扇OBD=﹣=；〔2〕證明：如圖，連接AD，∵AB是⊙O直徑，又∵ =，∴∠ADB=∠ADM=90又∵ =，∴ED=BD，∠MAD=∠BAD，，在△AMD和△ABD中，，∴△AMD≌△ABD，∴DM=BD，∴DE=DM．舉一反三：⊙O于點D，連接OD交BC于點E，∠B=30°，FO=2．【變式】如圖，⊙O是△⊙O于點D，連接OD交BC于點E，∠B=30°，FO=2．求AC的長度；求圖中陰影局部的面積〔計算結果保存根號〕〔〕O⊥A，∴∠BOF=90°，∵∠B=30°，FO=2 ，∴OB=6，AB=2OB=12，又∵AB為⊙O的直徑，∴AC= AB=6；∴∠ACB=90∴AC= AB=6；∴AO=6，即AC=AO，Rt△∴AO=6，即AC=AO，Rt△ACFRt△AOF中，∴Rt△ACF≌Rt△AOF，∴∠FAO=∠FAC=30°，∴∠DOB=60°，∵OD=6，∴DG=3，∴S△ACF+S△∵OD=6，∴DG=3，∴S△ACF+S△OFD=S△AOD=×6×3=9，9．【穩(wěn)固練習】一、選擇題如下圖，AB、ACOBCOBDBD＝OBAD．假設∠DAC＝78°，那么∠ADO等于( )．A．70° B．64° C．62° D．51°333在半徑為27m的圓形廣場中心點O的上空安裝了一個照明光源S，S射向地面的光束呈圓錐形，其軸截面SAB的頂角為120°(如下圖)，則光源離地面的垂直高度SO為( )．333A．54m

m

m D．18 m第1題圖 第2題圖 第3題圖 第4題圖設計一個商標圖案，如下圖，在矩形ABCDAB=2BCAB=8cmAAD作半圓，則商標圖案(陰影局部)的面積等于().A.(4π+8)cm2 B.(4π+16)cm2C.(3π+8)cm2D.(3π+16)cm24．如圖， 的半徑為5，弦 的長為8，點在線段 (包括端點)上移動，則 的取值范圍是( ).A. B.C.D.“圓材埋壁是我國古代著名的數學著《九章算術中的問題“今有圓材埋在壁中不知大小，以鋸鋸之，深一寸，鋸道長一尺，問徑幾何?”用數學語言可表示為：如下圖，CD為⊙O的直徑，弦AB⊥CD于E，CE=1寸，AB=10寸，則直徑CD的長為( )A．12.5寸 B．13寸 C．25寸 D．26寸如圖，P是⊙O外一點，Q是⊙O上的動點，線段PQ的中點為M，連接OP，OM．假設⊙O的半徑為2，OP=4，則線段OM的最小值是〔 〕A．0 B．1 C．2 D．3一條弦的兩個端點把圓周分成4:5兩局部，則該弦所對的圓周角為( A．80° B．100° C．80°或100° D．160°或200°如下圖，AB、ACO分別相切于B、CA＝50°，點P是圓上異于B、CBPC)．A．65°B．115°C．65115°D．13050°9．如下左圖，是9．如下左圖，是的內接三角形，PPA、C則的變化范圍是 .第9題圖 第10題圖那么∠A的度數是 .⊙O與⊙O的半徑r

x26x80 OO的圓心距d=51 1 1 2 1 2⊙O與⊙O的位置關系是 .1 2五個結論：①∠EBC=22.5°；②BD=DC；③AE=2EC；④劣弧 是劣弧 的2倍；⑤AE=BC，其中如圖，AB為⊙O的直徑，AB=AC五個結論：①∠EBC=22.5°；②BD=DC；③AE=2EC；④劣弧 是劣弧 的2倍；⑤AE=BC，其中正確的序號是 ．兩個圓內切其中一個圓的半徑為5，兩圓的圓心距為2，則另一個圓的半徑是 .ABCD外接圓的直徑為2a，截去四個角成一正八邊形，則這個正八邊形EFGHIJLK長為 ，面積為 ．如圖(1)(2)…(m)是邊長均大于2n邊形，分別以它們的各頂點為圓心，以l34圖(1)中3條弧的弧長的和為 ，圖(2)中4條弧的弧長的和為 ；求圖(m)中n條弧的弧長的和為 (用n表示)．如下圖，蒙古包可以近似地看做由圓錐和圓柱組成，假設想用毛氈搭建20個底面積為9πm2，高為3.5m，外圍高4m的蒙古包，至少要 m2的毛氈．三、解答題 如圖，⊙O△ABCFHO的切線，切點為F，FH∥BC，連結AFBCE，∠ABC平分線BDAFD，連結BF．證明：AFBAC；證明：BF＝FD.如圖，四邊形ABCD是⊙O的內接四邊形，BC的延長線與AD的延長線交于點E，且DC=DE．求證：∠A=∠AEB；連接OE，交CD于點F，OE⊥CD，求證：△ABE是等邊三角形．問題背景：課外學習小組在一次學習研討中，得到了如下兩個命題：①如圖(1)，在正△ABCM、N分別是AC、ABBMCN相交于點O，假設∠BON＝60°，BM＝CN；②如圖(2ABCDM、NCD、ADBMCNO，假設∠BON＝90°，BM＝CN．然后運用類似的思想提出了如下命題：(3ABCDEMN分別是CDEBM與CN相交于點OBM＝CN．任務要求：請你從①②③三個命題中選擇一個進展證明；(2)請你連續(xù)完成下面的探究；n(n≥3ABCDEF…中，M、NCD、DEBMCNO，試問當∠BON等于多少度時，結論BM＝CN成立(不要求證明)；②如圖(4ABCDEM、NDE、AEBMCNO，∠BON＝108°時，試問結論BM＝CN【答案與解析】一、選擇題【答案】B；【解析】由ABO的切線，則AB⊥OD．又BD＝OB，則AB垂直平分OD，AO＝AD，∠DAB＝∠BAO．AB、ACOCAO＝∠BAO＝∠DAB．所以，∠DAB＝∠DAC＝26°．∠ADO＝90°-26°＝64°．此題涉及切線性質定理、切線長定理、垂直平分線的性質、等腰三角形的性質等．【答案】C；【解析】圓錐的高、底面半徑與母線組成直角三角形．由題意，SO⊥ABO，∴∠SOA＝∠SOB＝90°．又SA＝SB，∠ASB＝120°，∴SA＝∠SB＝180120?30，設SO＝x，則A＝2x．∵A＝2，23由勾股定理，得(2x)2-x2＝272，解得x93

(m)．【答案】A.；∵矩形ABCD，AB=2BC，AB=8cm，，，∴，，∴，∴，∴.∴.【解析】OM5；最短是OM⊥AB時，此時OM=3，應選A.【答案】D；【解析】由于直徑CD垂直于弦AB，所以可通過連接OA(或OB)，求出半徑即可.知(寸)，在Rt△AOE知(寸)，在Rt△AOE，即，解得OA=13即，解得OA=13，進而求得CD=26(寸).【答案】B.【解析】設OP與⊙O交于點N，連結MN，OQ，如圖，∵OP=4，ON=2，∴N是OP的中點，∵M為PQ的中點，∴MN= OQ= ×2=1，∴MN為∴MN= OQ= ×2=1，M在以N為圓心，1為半徑的圓上，M在ON上時，OM1，∴線段OM1．應選B．【答案】C；【解析】圓周角的頂點在劣弧上時，圓周角為36051100；圓周角的頂點在優(yōu)弧上時，9 2圓周角為3604180．留意分狀況爭論．9 2【答案】C；【解析】連接OC、OB，則∠BOC＝360°-90°-90°-50°＝130°．點P在優(yōu)弧上時，1∠BPC＝2∠BOC＝65°；點PBPC＝180°-65°＝115°．9；主要應用了切線的性質定理、圓周角定理和多邊形內角和定理．9；【答案】99°；【解析】由EB=EC，∠E=46°知，∠ECB=67°，從而∠BCD=180°-67°-32°=81°，在⊙OBCDAA=180°-81°=99°.【答案】相交；【解析】求出方程x26x80 的兩實根r1

、r4、2，則r2

r

r,所以兩圓相122交.122【答案】①②④；【解析】連接AD，AB是直徑，AD⊥BC，又∵△ABC是等腰三角形，故點DBC的中點，即BD=CD，故②正確；由圓周角定理知，∠EBC=∠DAC= ∠BAC=22.5°，故由圓周角定理知，∠EBC=∠DAC= ∠BAC=22.5°，故①正確；∵∠ABE=90°﹣∠EBC﹣∠BAD=45°=2∠CAD，故④正確；∵∠EBC=22.5°，2EC≠BE，AE=BE，∴AE≠2CE，③不正確；∵AE=BE，BE是直角邊，BC是斜邊，確定不等，故⑤錯誤．綜上所述，正確的結論是：①②④．【答案】73；【解析】兩圓有三種位置關系：相交、相切(外切、內切)和相離(外離、內含).兩圓內切時，圓心距5，而d=2，所以有，解得圓心距5，而d=2，所以有，解得r=7或r=3，22【答案】(2

1)a； (2

2)a2；2【解析】正方形ABCD外接圓的直徑就是它的對角線，由此求得正方形邊長為a．如下圖，設正八2邊形的邊長為xR△AEL

x∴2222 22

1)a，22即正八邊形的邊長為(22

1)a．2S S 4S a2x2a2[(2正八邊形 正方形 △AEL

2)a2．15.【答案】(1)π；2π；(2)(n-2)π；【解析】∵n(n-2)180n(n2)180

1(n2)個以某定點360 21為半徑的圓周長，∴n211(n2)(n2)．2此題還有其他解法，比方：設各個扇形的圓心角依次為 ，，…，，1 2 n則1 2

…n

(n2)18，∴n條弧長的和為1

1 2 1… n

1 (…)180

180

180

180 1 2 n 180

(n2)180(n2)．【答案】720π；h2r21【解析】∵S＝πr2，∴9π＝πr2，∴h2r211

5，∴SS S錐 柱

rl2rh2

35233.5152136，S 2036720．總所求面積包括圓錐的側面積和圓柱的側面積，不包括底面積．三、解答題【答案與解析】〔1〕連結OFA12OA12ODBEC∴OF⊥FH∵FH∥BC，∴OF垂直平分