第=page11頁(yè)，共=sectionpages11頁(yè)2023-2024學(xué)年遼寧省鐵嶺市昌圖第一高級(jí)中學(xué)高二（上）月考數(shù)學(xué)試卷（9月份）一、單選題（本大題共8小題，共40.0分。在每小題列出的選項(xiàng)中，選出符合題目的一項(xiàng)）1.已知直線l的一個(gè)方向向量為p=(sinπ3,A.π6 B.π3 C.2π2.設(shè)x，y∈R，向量a=(x,1,1)，b=(A.22 B.10 C.33.下列說(shuō)法正確的是(

)A.“a=?1“是“直線a2x?y+1=0與直線x?ay?2=0互相垂直”的充要條件

B.經(jīng)過(guò)點(diǎn)(1,1)4.下列命題正確的是(

)A.|a|?|b|<|a+b|是向量a，b不共線的充要條件

B.在空間四邊形ABCD中，AB?CD+BC?AD+CA?BD5.過(guò)點(diǎn)P(1,2)引一條直線，使它與點(diǎn)A(A.4x+y?6=0 B.3x+26.已知定點(diǎn)P(?2,0)和直線l：(1+3λA.22 B.10 C.27.如圖，一個(gè)結(jié)晶體的形狀為平行六面體ABCD?A1B1C1A.AC1=6 B.BD⊥平面ACC1

C.向量CB18.已知MN是長(zhǎng)方體外接球的一條直徑，點(diǎn)P在長(zhǎng)方體表面上運(yùn)動(dòng)，長(zhǎng)方體的棱長(zhǎng)分別是1,1,2A.[?12,0] B.[二、多選題（本大題共4小題，共20.0分。在每小題有多項(xiàng)符合題目要求）9.已知空間向量a=(?2,?A.(2a+b)/?/a B.5|10.下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是(

)A.直線a2x?y+1=0與直線x?ay?2=0互相垂直則a=?1

B.經(jīng)過(guò)點(diǎn)(1,1)且在x11.對(duì)于非零空間向量a，b，c，現(xiàn)給出下列命題，其中為真命題的是(

)A.若a?b<0，則a，b的夾角是鈍角

B.若a=(1,2,3)，b=(?1,?1,1)，則12.已知直線l：2x+3y?12=0與x軸、y軸分別交于A，B兩點(diǎn)，直線m過(guò)AB的中點(diǎn)，若直線l，m及A.2x?3y=0 B.2三、填空題（本大題共4小題，共20.0分）13.已知直線l過(guò)點(diǎn)P(2,?1)，在x軸和y軸上的截距互為相反數(shù)，則直線14.已知向量a=(1,1,0)，b=(?1,15.如圖，在三棱錐O?ABC中，點(diǎn)G為底面△ABC的重心，點(diǎn)M是線段OG上靠近點(diǎn)G的三等分點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)M的平面分別交棱OA，OB，OC于點(diǎn)D，E，F(xiàn)，若O

16.如圖，在等腰直角三角形ABC中，AB=AC=2，點(diǎn)P是邊AB上異于A，B的一點(diǎn)，光線從點(diǎn)P出發(fā)，經(jīng)BC，CA反射后又回到原點(diǎn)P.

四、解答題（本大題共6小題，共70.0分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟）17.(本小題10.0分)

(1)若直線l過(guò)點(diǎn)P(?1,2)，且與直線3x?4y+5=018.(本小題12.0分)

已知向量a=(2,?3,?2)，b=(?1,5,?3)．19.(本小題12.0分)

已知OA，OB，OC兩兩垂直，OA=OC=3，OB=2，M為OB的中點(diǎn)，點(diǎn)N在AC上，AN=2NC．

(Ⅰ)求20.(本小題12.0分)

等腰直角三角形ABC的直角頂點(diǎn)B和頂點(diǎn)A都在直線2x?y?3=0上，頂點(diǎn)C的坐標(biāo)是(?2,3)，直線AC的傾斜角是鈍角．

(1)求直線BC，AC在x軸上的截距之和；

(2)21.(本小題12.0分)

如圖，幾何體是圓柱的一部分，它是由矩形ABCD(及其內(nèi)部)以AB邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)120°得到的，G是DF的中點(diǎn)．

(Ⅰ)設(shè)P是CE上的一點(diǎn)，且AP⊥BE，求∠CB22.(本小題12.0分)

如圖，PO是三棱錐P?ABC的高，PA=PB，AB⊥AC，E為PB的中點(diǎn)．

(1)證明：O

答案和解析1.【答案】A

【解析】解：由題意可得：直線l的斜率k=cosπ3sinπ3=33=tanπ62.【答案】C

【解析】【分析】本題考查向量的模的求法，考查向量平行、向量垂直、平面向量坐標(biāo)運(yùn)算法則等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題．

利用向量平行和向量垂直的性質(zhì)列出方程組，求出x，y，再由平面向量坐標(biāo)運(yùn)算法則求出a+b【解答】

解：設(shè)x，y∈R，向量a=(x,1,1)，b=(1,y,1)，c=(3.【答案】D

【解析】【分析】本題主要考查直線平行與垂直的判定以及直線方程的截距式與兩點(diǎn)式，屬于基礎(chǔ)題．

根據(jù)直線垂直的充要條件判斷A；根據(jù)直線方程的截距式和兩點(diǎn)式判斷B，C，根據(jù)直線平行的條件判斷D．【解答】

解：對(duì)于A，因?yàn)橹本€a2x?y+1=0與直線x?ay?2=0互相垂直的充要條件是a2×1+?1×?a=0，即a=?1或a=0，所以A錯(cuò)誤；

對(duì)于B，①當(dāng)直線經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，且過(guò)點(diǎn)(1,1)時(shí)，直線方程為x?y=0；

②當(dāng)直線不經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，可設(shè)直線的截距式方程為xa+ya=1，代入點(diǎn)(1,1)可得，4.【答案】B

【解析】解：由|a|?|b|<|a+b|，向量a，b可能共線，比如共線向量a，b的模分別是2，3，故A不正確；

在空間四邊形ABCD中，AB?CD+BC?AD+CA?BD=(AC+CB)?CD?CB?AD?AC?BD

=AC?(C5.【答案】B

【解析】解：由題意得，所求直線經(jīng)過(guò)線段AB的中點(diǎn)，或者所求的直線和線段AB平行，

由中點(diǎn)公式可求線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為(3,?1)，又直線過(guò)點(diǎn)P(1,2)，

∴當(dāng)所求直線經(jīng)過(guò)線段AB的中點(diǎn)時(shí)，由兩點(diǎn)式得

所求直線的方程為y?2?1?2=x?13?1，即3x+2y?7=0，

當(dāng)所求的直線和線段6.【答案】D

【解析】解：直線l：(1+3λ)x+(3?2λ)y?(8+2λ)=0(λ∈R)，

整理得7.【答案】B

【解析】解：平行六面體ABCD?A1B1C1D1，其中，以頂點(diǎn)A為端點(diǎn)的三條棱長(zhǎng)均為6，且它們彼此的夾角都是60°，

故|AC1|2=|AB+BC+CC1|2=|AB|2+|BC|2+|CC1|2+2AB?BC+2AB?CC1+2BC?CC1=62+68.【答案】B

【解析】解：設(shè)外接球的球心為O，半徑為r，

則r=121+1+2=1，

因?yàn)镻M?PN=(PO+OM)?(PO+ON)，且ON=?OM，

9.【答案】BC【解析】【分析】本題考查了空間向量的綜合應(yīng)用，涉及了空間向量的平行與垂直、空間向量的模、空間向量夾角公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．

根據(jù)已知空間向量的坐標(biāo)，利用平行向量、向量的模、垂直向量、向量的夾角公式對(duì)四個(gè)選項(xiàng)逐一判斷即可．【解答】

解：因?yàn)閍=(?2,?1,1)，b=(3,4,5)，

所以2a+b=(?1,2,7)，而10.【答案】AC【解析】解：A.直線a2x?y+1=0與直線x?ay?2=0互相垂直，則a2?(?a)=0，解得a=0或?1，因此不正確．

B.直線經(jīng)過(guò)原點(diǎn)時(shí)，可得直線方程為：y=x，即x?y=0；直線不經(jīng)過(guò)原點(diǎn)時(shí)，可設(shè)直線方程為：x+y=a，把點(diǎn)(1,1)代入可得：1+1=a，解得a=2.綜上可得滿足條件的直線方程為：x+y?2=0或x?y=0，因此正確．

C.過(guò)(x1,y1)、(x2,y2)兩點(diǎn)的所有直線的方程為：x1=x2時(shí)，直線方程為x=x1；y1=y211.【答案】BD【解析】解：對(duì)于A，若a?b<0，則a，b的夾角θ滿足cosθ<0，

所以θ是鈍角或θ=π，所以選項(xiàng)A錯(cuò)誤；

對(duì)于B，因?yàn)閍?b=?1?2+3=0，所以a⊥b，選項(xiàng)B正確；

對(duì)于C，根據(jù)向量的數(shù)量積定義知，a?b=b?c時(shí)，a=c12.【答案】AC【解析】解：直線l：2x+3y?12=0中，分別令x=0，y=0可得：A(6,0)，B(0,4)，

∴AB中點(diǎn)為P(3,2)；設(shè)直線m與x軸交點(diǎn)為C(t,0)，

則直線l，m及x軸圍成的三角形面積S=12|AC|?|yP|=|t?6|=6，

解得：13.【答案】x+2y【解析】解：若直線l經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，則其斜率為?12，故其方程為：y=?12x，即x+2y=0，

若直線l不經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，設(shè)其方程為xa?ya=1，又其過(guò)點(diǎn)(2,?1)，則2a+1a=114.【答案】?∞【解析】【分析】本題主要考查兩個(gè)向量的數(shù)量積公式，兩個(gè)向量共線的性質(zhì)，兩個(gè)向量的夾角公式，屬于中檔題．

由題意利用兩個(gè)向量的數(shù)量積公式求得a?b，再兩個(gè)向量共線的性質(zhì)，兩個(gè)向量的夾角公式，求得【解答】

解：∵向量a=(1,1,0)，b=(?1,0,2)，∴a?b=?1，且a、b不平行．

∵ka+b與2a?b的夾角為鈍角，設(shè)ka+b與2a?b的夾角為θ，

ka+b與2a15.【答案】92【解析】解：由題意可知，OM=23OG=23(OA+AG)=23[OA+23×12(AB+AC)]=23[OA+13(O16.【答案】43【解析】解：以直線AB為x軸，直線BC為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，

則B(2,0)，C(0,2)，直線BC的方程為x+y?2=0，

△ABC的重心G(23,23)，

設(shè)M，N分別是點(diǎn)P關(guān)于直線BC和y軸的對(duì)稱點(diǎn)，P(a,017.【答案】解：(1)因?yàn)榕c直線3x?4y+5=0平行，設(shè)直線方程為：3x?4y+m=0，將P(?1,2)代入方程，得m=11，

【解析】(1)由題可設(shè)直線方程為3x?4y+m18.【答案】解：(1)由題意可得ta+b=(2t?1,5?3t,?3?2t)，3a+2b=(4,【解析】(1)先求得ta+b與3a+2b的坐標(biāo)，再根據(jù)兩個(gè)向量平行的條件，求得t的值．

(19.【答案】解：(Ⅰ)OA，OB，OC兩兩垂直，OA=OC=3，OB=2，M為OB的中點(diǎn)，點(diǎn)N在AC上，AN=2NC．

以O(shè)為原點(diǎn)，OA為x軸，OB為y軸，OC為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，

則M(0,1,0)，A(3,0,0)，C(0,0,【解析】(Ⅰ)以O(shè)為原點(diǎn)，OA為x軸，OB為y軸，OC為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出MN的長(zhǎng)．

(Ⅱ)B(0，2，0)，設(shè)P(20.【答案】解：(1)根據(jù)題意，因?yàn)橹本€AB的方程為2x?y?3=0，所以直線BC的斜率為?12，

直線BC的方程為y?3=?12(x+2)，變形可得x+2y?4=0，

令y=0，得x=4，所以直線BC在x軸上的截距為4，

設(shè)A(a,2a?3)，由于|AB|=|BC|，則點(diǎn)A到直線BC的距離等于點(diǎn)C到直線AB的距離，

即|a+2(2a?3)?4|5=|?4?3?3|5，

解得a=0或a=4，

又直線AC的傾斜角為鈍角，所以a=0，

即A(0,?3)，所以直線AC的方程為3x+y+3=0，

【解析】(1)設(shè)A(a,2a?3)，由|AB|=|BC|知點(diǎn)A到直線BC的距離等于點(diǎn)21.【答案】解：(Ⅰ)∵AP⊥BE，AB⊥BE，且AB，AP?平面ABP，AB∩AP=A，

∴BE⊥平面ABP，又BP?平面ABP，

∴BE⊥BP，

又∠EBC=120°，

因此∠CBP=30°；

(Ⅱ)解法一：

取CE的中點(diǎn)H，連接EH，GH，CH，

∵∠EBC=120°，∴四邊形BEHC為菱形，

∴AE=GE=AC=GC=32+22=13．

取AG中點(diǎn)M，連接EM，CM，EC，

則EM⊥AG，CM⊥AG，

∴∠EMC為所求二面角的平面角．

又AM=1，∴E【解析】本題考查空間角的求法，考查空間想象能力和思維能力，訓(xùn)練了線面角的求法及利用空間向量求二面角的大小，是中檔題．

(Ⅰ)由已知利用線面垂直的判定可得BE⊥平面ABP，得到BE⊥BP，結(jié)合∠EBC=120°求得∠CBP=30°；

(Ⅱ)解法一：取CE的中點(diǎn)H，連接EH，GH，CH，可得四邊形BEHC為菱形，取AG中點(diǎn)M，連接EM，CM，EC，得到EM⊥AG，C22.【