5.1概率的一般概念5.2正態(tài)分布第五章 概率及概率分布5.1概率的一般概念一概率的定義1．

先驗(yàn)概率的定義2．

后驗(yàn)概率的定義二概率的性質(zhì)：0≦P(A)≦1P(V)=0

P(U)=1三獨(dú)立事件和互不相容事件。四概率的加法和乘法1．

概率的加法2．

概率的乘法正態(tài)分布是一種連續(xù)型隨機(jī)變量的概率分布，在教育研究中有很多現(xiàn)象一般呈正態(tài)分布1、正態(tài)分布5.2正態(tài)分布

5.2.1概念：正態(tài)分布中的μ、σ、N都是常量，在每個(gè)正態(tài)分布中，它們的變化會(huì)導(dǎo)致正態(tài)曲線不同，如下圖，盡管平均數(shù)相同，但由于σ不同而正態(tài)分布的形態(tài)差異較大。標(biāo)準(zhǔn)分?jǐn)?shù)(也稱(chēng)為Z分?jǐn)?shù))是一種以平均數(shù)為參照點(diǎn)，以標(biāo)準(zhǔn)差為單位的相對(duì)量數(shù)，用Z表示。其特點(diǎn)為：把所有絕對(duì)數(shù)量表示的μ、σ的正態(tài)分布的曲線函數(shù)都變成了以平均數(shù)為0，標(biāo)準(zhǔn)差為1的正態(tài)分布曲線函數(shù)。標(biāo)準(zhǔn)分?jǐn)?shù)的計(jì)算公式Z=標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布曲線(STANDARDNORMALCURVE)分布的函數(shù)為：2、標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布Z分?jǐn)?shù)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布曲線

μ=0、σ=1μ=0？為什么標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的平均數(shù)為0，標(biāo)準(zhǔn)差為1!3.標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的特點(diǎn)：

（1）已知Z值求面積例1

例4

（2）已知面積求Z值例1

某次測(cè)驗(yàn)分?jǐn)?shù)是正態(tài)分布，其平均分是72，標(biāo)準(zhǔn)差是6，問(wèn)在平均分上下多少分中間包括95%的學(xué)生?在平均分上下多少分中間包括99%的學(xué)生?5.2.2正態(tài)分布的應(yīng)用例1在某一幼兒園的一次點(diǎn)數(shù)比賽中，全園的平均分是70，標(biāo)準(zhǔn)分是12.5，甲幼兒得78分，乙幼兒得83分，丙幼兒得65分，問(wèn)這三幼兒的點(diǎn)數(shù)成績(jī)?cè)趫@中各處于怎樣的位置1.標(biāo)準(zhǔn)分的應(yīng)用解：∵

=70S=12.5∴甲幼兒：Z=Z=

=

=0.64乙幼兒：Z=Z=

=

=1.04

丙幼兒：Z=Z=

=

=－0.4答：甲幼兒的成績(jī)?cè)谌珗@平均成績(jī)以上0.64標(biāo)準(zhǔn)差；、乙幼兒的成績(jī)?cè)谌珗@平均成績(jī)以上1.04標(biāo)準(zhǔn)差；丙幼兒的成績(jī)?cè)谌珗@平均成績(jī)以下0.4個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差。表24：甲乙兩幼兒語(yǔ)言、常識(shí)、計(jì)算成績(jī)測(cè)試成績(jī)表幼兒全體幼兒標(biāo)準(zhǔn)分?jǐn)?shù)Z甲乙σ甲乙語(yǔ)言常識(shí)計(jì)算5975635179725074674109總計(jì)1972022.250.10-0.440.750.500.561.911.31例2甲乙兩幼兒在語(yǔ)言、常識(shí)、計(jì)算活動(dòng)中測(cè)試的成績(jī)?nèi)缦卤?，試分析說(shuō)明誰(shuí)的總成績(jī)較好？使用標(biāo)準(zhǔn)分?jǐn)?shù)(Z)應(yīng)注意的問(wèn)題：

標(biāo)準(zhǔn)分?jǐn)?shù)雖然能夠反映原始分?jǐn)?shù)在團(tuán)體中的相對(duì)位置，但不能直接體現(xiàn)對(duì)象對(duì)知識(shí)的掌握程度。所以在對(duì)對(duì)象學(xué)習(xí)情況進(jìn)行評(píng)定和分析時(shí)，應(yīng)將原始分?jǐn)?shù)和標(biāo)準(zhǔn)分?jǐn)?shù)結(jié)合起來(lái)分析研究。2.標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的應(yīng)用等級(jí)考試A,B,C,D化學(xué)試卷滿分值150分，某區(qū)全體學(xué)生平均分85分，標(biāo)準(zhǔn)差15。若A等占5%，B等占35%，C等占50%,D等占10%；則等第對(duì)應(yīng)的分?jǐn)?shù)線分別是多少？某校200人參加考試，獲A等有多少人？結(jié)論由對(duì)應(yīng)面積P查表得：Z1=1.65X1=110Z2=0.25X2=89Z3=-1.28X3=65.8第六章抽樣分布及總體平均數(shù)的推斷6.1抽樣分布6.2總體平均數(shù)的估計(jì)6.3假設(shè)檢驗(yàn)的基本原理6.4總體平均數(shù)的顯著性檢驗(yàn)上海市初中一年級(jí)末數(shù)學(xué)水平的調(diào)查研究，在該研究中假定上海市共有初中一年級(jí)學(xué)生為150000人(N人)，如果對(duì)上海所有初中一年級(jí)學(xué)生進(jìn)行統(tǒng)一的標(biāo)準(zhǔn)化的數(shù)學(xué)成就測(cè)驗(yàn)，其測(cè)驗(yàn)的平均成績(jī)?yōu)?0分(μ)，測(cè)驗(yàn)的標(biāo)準(zhǔn)差為9分(σ

)。實(shí)例16.1抽樣分布

6.1.1研究實(shí)例

實(shí)例2某一調(diào)查研究者甲為了節(jié)省調(diào)查研究的成本，現(xiàn)從上海市初中一年級(jí)學(xué)生中隨機(jī)抽取500人(n人)進(jìn)行統(tǒng)一的標(biāo)準(zhǔn)化的數(shù)學(xué)成就測(cè)驗(yàn)，試圖通過(guò)這500人的測(cè)驗(yàn)結(jié)果來(lái)推斷全上海初中一年級(jí)學(xué)生的數(shù)學(xué)水平，其測(cè)驗(yàn)的平均成績(jī)?yōu)?2分()，測(cè)驗(yàn)的標(biāo)準(zhǔn)差為8分(σx

)。1、分析上述實(shí)例區(qū)分總體和樣本區(qū)分參數(shù)與統(tǒng)計(jì)量及不同的表達(dá)方式總體參數(shù)樣本統(tǒng)計(jì)量容量Nn平均數(shù)

μ標(biāo)準(zhǔn)差σσx如果我們用上海初一年級(jí)150000個(gè)學(xué)生的成績(jī)做圖，則構(gòu)成一個(gè)總體分布圖：概率密度或百分比成績(jī)?nèi)绻覀冎挥闷渲谐槿〉?00個(gè)個(gè)學(xué)生的成績(jī)做圖，則構(gòu)成一個(gè)樣本分布圖：概率密度或百分比成績(jī)2、抽樣分析假定該研究者第一次抽取500人做完調(diào)查研究后，又重新從上海初中一年級(jí)學(xué)生中(150000人)抽取500人(n2)進(jìn)行調(diào)查研究，其平均數(shù)為：標(biāo)準(zhǔn)差為：σx2(抽取學(xué)生的過(guò)程中，前面抽到的學(xué)生在后面抽取中也可能抽到，但不重復(fù)測(cè)驗(yàn))。如果上述過(guò)程不斷重復(fù)操作，則可以得到更多的樣本平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差，如下表：抽樣次數(shù)樣本容量樣本平均數(shù)樣本標(biāo)準(zhǔn)差1500σx12500σx23500σx3…………i500σxi…………k500σxk…………∝500σx∝如果我們用k(k趨近于無(wú)窮大)個(gè)樣本平均數(shù)做頻數(shù)分布圖，則構(gòu)成一個(gè)由樣本平均數(shù)組成的抽樣分布(平均數(shù)抽樣分布)圖：概率密度或百分比抽樣的平均成績(jī)由這些抽樣的平均數(shù)構(gòu)成的平均數(shù)由這些抽樣平均數(shù)組成分布的標(biāo)準(zhǔn)差稱(chēng)為平均數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)誤用來(lái)表示。標(biāo)準(zhǔn)誤

：某種統(tǒng)計(jì)量的標(biāo)準(zhǔn)差稱(chēng)為該統(tǒng)計(jì)量的標(biāo)準(zhǔn)誤。抽樣分布是某一種統(tǒng)計(jì)量的概率分布3、正態(tài)總體中，平均數(shù)的抽樣分布呈正態(tài)1、2、4、偏態(tài)總體中，當(dāng)抽樣容量較大時(shí)，平均數(shù)的抽樣分布也呈正態(tài)6.1.2平均數(shù)抽樣分布的幾個(gè)定理

平均數(shù)為：標(biāo)準(zhǔn)差為：離差統(tǒng)計(jì)量是以標(biāo)準(zhǔn)差為單位來(lái)來(lái)度量某一個(gè)個(gè)案值與平均數(shù)間的差異。Z分?jǐn)?shù)就是一種離差統(tǒng)計(jì)量6.1.3樣本平均數(shù)與總體平均數(shù)離差統(tǒng)計(jì)量的形態(tài)

當(dāng)總體標(biāo)準(zhǔn)差已知時(shí)，平均數(shù)的離差統(tǒng)計(jì)量的計(jì)算：當(dāng)總體標(biāo)準(zhǔn)差未知時(shí)，平均數(shù)的離差統(tǒng)計(jì)量的計(jì)算：首先根據(jù)樣本標(biāo)準(zhǔn)差(σx)來(lái)估計(jì)總體標(biāo)準(zhǔn)差(σ)，其估計(jì)值用S來(lái)表示。因此，平均數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)誤為：離差統(tǒng)計(jì)量的表達(dá)形式為：例：某校二年級(jí)學(xué)生的英語(yǔ)平均成績(jī)?yōu)?8，從中隨機(jī)抽取50人，其平均成績(jī)?yōu)?2，標(biāo)準(zhǔn)差為12()。試估計(jì)該校二年級(jí)學(xué)生英語(yǔ)成績(jī)的標(biāo)準(zhǔn)差，并計(jì)算50人平均成績(jī)的離差統(tǒng)計(jì)量。戈賽特（英國(guó)數(shù)學(xué)家1876-1937）戈塞特早先在牛津溫切斯特及新（New）學(xué)院學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)和化學(xué)，后來(lái)到都伯林市一家釀酒公司擔(dān)任釀造化學(xué)技師，從事統(tǒng)計(jì)和實(shí)驗(yàn)工作，1906—1907年間，在倫敦大學(xué)學(xué)院生物實(shí)驗(yàn)室做研究，也有機(jī)會(huì)和皮爾遜共同研討，此后他們經(jīng)常通信.1905年，戈塞特利用酒廠里大量的小樣本數(shù)據(jù)寫(xiě)了第一篇論文《誤差法則在釀酒過(guò)程中的應(yīng)用》1908年，戈塞特以“學(xué)生（Student）”為筆名在《生物計(jì)量學(xué)》雜志發(fā)表了論文《平均數(shù)的規(guī)律誤差》.t分布及其特點(diǎn)自由度：df表示表6.1中央面積為0.95時(shí)不同自由度t的臨界值自由度2462030∞t值±4.30±2.78±2.45±2.09±2.04±1.961、點(diǎn)估計(jì)的定義:用某一樣本統(tǒng)計(jì)量的值來(lái)估計(jì)相應(yīng)總體參數(shù)的值。2、點(diǎn)估計(jì)的評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)無(wú)偏性估計(jì)μ

有效性：MdMo一致性:n樣本容量無(wú)限增大時(shí)6.2總體平均數(shù)的估計(jì)

6.2.1點(diǎn)估計(jì)

1、區(qū)間估計(jì)的定義：以概率分布為理論依據(jù)，按照一定的概率要求，由樣本統(tǒng)計(jì)量的值估計(jì)總體參數(shù)值所在范圍。2、區(qū)間估計(jì)的計(jì)算（總體標(biāo)準(zhǔn)差σ知）例1：某一個(gè)正態(tài)總體，其平均數(shù)為130，標(biāo)準(zhǔn)差為10。（1）以平均數(shù)為中心，95%學(xué)生的成績(jī)的分布范圍；（2）其成績(jī)?cè)?28到132間的人數(shù)的比例；（3）上端5%學(xué)生成績(jī)的分布范圍。6.2.2區(qū)間估計(jì)

某一個(gè)正態(tài)總體，其平均數(shù)為130，標(biāo)準(zhǔn)差為10。（1）從總體中抽取25人，計(jì)算其平均成績(jī)，該平均成績(jī)?cè)?28到132間的概率有多大；（2）從總體中抽取25人，計(jì)算其平均成績(jī)，該平均成績(jī)以總體平均數(shù)為中心，95%概率下的分布范圍。若總體平均數(shù)未知，從總體中抽取25人，計(jì)算其平均成績(jī)?yōu)?29，按一定概率要求估計(jì)總體參數(shù)μ的變化范圍?！獏^(qū)間估計(jì)例2：例3某小學(xué)10歲兒童身高的標(biāo)準(zhǔn)差為6.25厘米，現(xiàn)從該校隨機(jī)抽出27名10歲兒童，其平均身高為134.2厘米，試估計(jì)該校10歲兒童身高的95%和99%置信區(qū)間.在總體標(biāo)準(zhǔn)差未知，總體呈正態(tài)分布，n無(wú)論大小，（或總體不呈正態(tài)分布，n＞30）樣本平均數(shù)與總體平均數(shù)的離差統(tǒng)計(jì)量呈t分布；t值μ3、總體標(biāo)準(zhǔn)差(σ)未知條件下的區(qū)間估計(jì)

區(qū)間估計(jì)原理例1從某小學(xué)三年級(jí)學(xué)生中隨機(jī)抽取12名學(xué)生，其其閱讀能力平均分?jǐn)?shù)為29.917，s=4.100.試估計(jì)該校三年級(jí)學(xué)生總體平均成績(jī)95%和99%的置信區(qū)間。例2從某年高考隨機(jī)抽取102份作文試卷，其平均成績(jī)?yōu)?6，標(biāo)準(zhǔn)差為1.5。試估計(jì)總體平均成績(jī)95%和99%的置信區(qū)間。1、假設(shè)檢驗(yàn)的定義2、假設(shè)檢驗(yàn)的原理6.3假設(shè)檢驗(yàn)的基本原理和過(guò)程

6.3.1假設(shè)檢驗(yàn)的原理基本思想小概率原理：如果對(duì)總體的某種假設(shè)是真實(shí)的，那么不利于或不能支持這一假設(shè)的事件A（小概率事件）在一次試驗(yàn)中幾乎不可能發(fā)生的；要是在一次試驗(yàn)中A竟然發(fā)生了，就有理由懷疑該假設(shè)的真實(shí)性，拒絕這一假設(shè)?？傮w（某種假設(shè)）抽樣樣本（觀察結(jié)果）檢驗(yàn)（接受）（拒絕）小概率事件未發(fā)生小概率事件發(fā)生假設(shè)的形式：

H0——原假設(shè)，H1——備擇假設(shè)雙側(cè)檢驗(yàn)：H0：μ=μ0

，H1：μ≠μ0單側(cè)檢驗(yàn)：H0：μ≥μ0

，H1：μ＜μ0H0：μ≤μ0

，H1：μ＞μ0假設(shè)檢驗(yàn)就是根據(jù)樣本觀察結(jié)果對(duì)原假設(shè)（H0）進(jìn)行檢驗(yàn)，接受H0，就否定H1；拒絕H0，就接受H1。1、兩類(lèi)錯(cuò)誤的定義α錯(cuò)誤：假設(shè)是真而被拒絕，其大小與假設(shè)檢驗(yàn)的顯著性水平相等。β錯(cuò)誤：假設(shè)是偽而被接受。6.3.2統(tǒng)計(jì)決斷的兩類(lèi)錯(cuò)誤及其控制2、兩類(lèi)錯(cuò)誤的相互關(guān)系在我們做決策時(shí)兩類(lèi)錯(cuò)誤客觀存在；當(dāng)一種錯(cuò)誤在減小時(shí)，另一類(lèi)錯(cuò)誤在增加。3、控制兩類(lèi)錯(cuò)誤的方法合理安排拒絕區(qū)域的位置；擴(kuò)大抽樣的容量。4、抽樣容量要多大？樣本容量的擴(kuò)大引起的變化是什么？1.根據(jù)具體問(wèn)題的要求，建立總體假設(shè)H0，H12.選擇統(tǒng)計(jì)量確定H0為真時(shí)的抽樣分布3.給定顯著性水平α，當(dāng)原假設(shè)H0為真時(shí)，求出臨界值。4.計(jì)算檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的數(shù)值與臨界值比較6.3.3假設(shè)檢驗(yàn)中的基本過(guò)程

6.4.1總體標(biāo)準(zhǔn)差(σ)已知條件下的總體平均數(shù)的顯著性檢驗(yàn)例1全區(qū)統(tǒng)一考試物理平均分為50分，標(biāo)準(zhǔn)差為10分。某校一個(gè)班41人的平均成績(jī)?yōu)?2.5，問(wèn)該班成績(jī)與全區(qū)成績(jī)差異是否顯著？6.4總體平均數(shù)的顯著性檢驗(yàn)

1.假設(shè)：H0：μ=50，H1：μ≠502.選擇檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量并計(jì)算其值3.確定顯著性水平α，查表求出臨界值。α=0.05，Z0.05=±1.964.統(tǒng)計(jì)決斷：∣z∣=1.60＜1.96α＞0.05,小概率事件沒(méi)有發(fā)生，接受H0：μ=50即該班成績(jī)與全區(qū)成績(jī)無(wú)顯著性差異。例2張老師是一名剛參加工作的青年化學(xué)老師，在某中學(xué)負(fù)責(zé)講授高中一年級(jí)（4）班化學(xué)課程，期末全?；瘜W(xué)統(tǒng)一考試，高一5個(gè)班的化學(xué)平均分是68分，標(biāo)準(zhǔn)差為8.6分，其中4班有46名同學(xué)，化學(xué)平均分為63分。根據(jù)考試結(jié)果，學(xué)校領(lǐng)導(dǎo)認(rèn)為張老師的教學(xué)效果低于全校的平均水平。問(wèn)題：張老師所帶的高一（4）班化學(xué)平均分低于全年級(jí)的平均水平嗎？1.假設(shè)：H0：μ≥68，H1：μ﹤682.選擇檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量并計(jì)算其值3.確定顯著性水平α，查表求出臨界值。α=0.05，Z0.05=-1.65；α=0.01，Z0.01=-2.33；4.統(tǒng)計(jì)決斷：∣z∣=3.94＞2.33α＜0.01,小概率事件發(fā)生了，拒絕H0：μ≥68，接受H1：μ﹤68即該班化學(xué)成績(jī)低于全年級(jí)的平均水平。練習(xí)：有人從受過(guò)良好教育早期兒童中隨機(jī)抽取70人施行韋氏智力測(cè)驗(yàn)(該測(cè)驗(yàn)的總體平均數(shù)為100，標(biāo)準(zhǔn)差為15)，其結(jié)果為103.3。能否認(rèn)為受過(guò)良好早期教育的兒童智力高于一般水平？例題1：某區(qū)初三英語(yǔ)統(tǒng)一測(cè)驗(yàn)平均分為65分，該區(qū)某校20份試卷的分?jǐn)?shù)為：72、76、68、78、62、59、64、85、70、75、61、74、87、83、54、76、56、66、68、62。問(wèn)該校初三英語(yǔ)平均分與全區(qū)是否一樣？6.4.2總體標(biāo)準(zhǔn)差(σ)未知條件下的總體平均數(shù)的顯著性檢驗(yàn)

=69.8，s=9.4741.假設(shè)：H0：μ=65，

H1：μ≠652.選擇檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量并計(jì)算其值3.確定顯著性水平α，查表求出臨界值。α=0.05，t(19)0.05=2.093；α=0.01，t(19)0.01=2.861；4.統(tǒng)計(jì)決斷：t(19)0.05=2.093

＜t﹡=2.266＜

t(19)0.01=2.861在α=0.05拒絕H0：μ=65，接受H1：μ≠65即該校初三英語(yǔ)平均分與全區(qū)不一樣例題2：王老師在某大學(xué)擔(dān)任5個(gè)班的英語(yǔ)課，為了研究英語(yǔ)演講比賽對(duì)學(xué)生英語(yǔ)學(xué)習(xí)成績(jī)的影響，選定（1）班學(xué)生進(jìn)行實(shí)驗(yàn)。每次她給（1）班上課占用10分鐘時(shí)間讓學(xué)生進(jìn)行演講比賽。一學(xué)期后，全校期末英語(yǔ)考試平均分為78分，（1）班15名同學(xué)考試成績(jī):問(wèn)題：學(xué)生演講比賽是否能提高英語(yǔ)學(xué)習(xí)成績(jī)？平均分：82.3，標(biāo)準(zhǔn)差（S)：7.321.假設(shè)：H0：μ≤78，

H1：μ＞782.選擇檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量并計(jì)算其值3.確定顯著性水平α，查表求出臨界值。α=0.05，t(14)0.05=1.761；α=0.01，t(14)0.01=2.624；4.統(tǒng)計(jì)決斷：t(14)0.05=1.761

＜t﹡=2.275＜

t(14)0.01=2.624在α=0.05拒絕H0：μ≤78，接受H1：μ＞78即學(xué)生演講比賽能提高英語(yǔ)學(xué)習(xí)成績(jī).總體標(biāo)準(zhǔn)差(σ)未知，n較大情況某年高考某市數(shù)學(xué)平均分為60，現(xiàn)從參加此次考試的文科生中，隨機(jī)抽取94份試卷，算的平均分為58分，標(biāo)準(zhǔn)差為9.2，問(wèn)文科生的數(shù)學(xué)成績(jī)與全市考生是否相同？1.假設(shè)：H0：μ=60，

H1：μ≠602.選擇檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量并計(jì)算其值3.確定顯著性水平α，查表求出臨界值。α=0.05，z0.05=±1.96；α=0.01，z0.01=±2.58；4.統(tǒng)計(jì)決斷：z0.05=1.96

＜∣z﹡∣=2.11＜

z0.01=2.58在α=0.05拒絕H0：μ=60，接受H1：μ≠60即該校文科生的數(shù)學(xué)成績(jī)與全市考生不相同。6.4.3差異顯著性的判斷規(guī)則

有大于或等于99%的把握(即有很大把握)說(shuō)兩個(gè)總體有差異。(拒絕接受)差異非常顯著P≤0.01有大于或等于95%的把握(即有把握)說(shuō)兩個(gè)總體有差異。(拒絕接受)差異顯著0.01<P≤0.05沒(méi)有把握說(shuō)兩個(gè)總體差異。(保留)差異不顯著P>0.05判斷統(tǒng)計(jì)意義P值總體均值的檢驗(yàn)條件檢驗(yàn)條件量拒絕域H0、H1(1)H0：μ=μ0H1：μ≠μ0

z(2)H0：μ≤μ0H1：μ＞μ0(3)H0：μ≥μ0H1：μ＜μz0z0正態(tài)總體σ2已知總體均值的檢驗(yàn)條件檢驗(yàn)條件量拒絕域H0、H1(1)H0：μ=μ0H1：μ≠μ0

t(2)H0：μ≤μ0H1：μ＞μ0(3)H0：μ≥μ0H1：μ＜μt0t00正態(tài)總體σ2未知(n＜30)正態(tài)總體σ2未知(n≥30)總體均值的檢驗(yàn)條件檢驗(yàn)條件量拒絕域H0、H1(1)H0：μ=μ0H1：μ≠μ0

z(2)H0：μ≤μ0H1：μ＞μ0(3)H0：μ≥μ0H1：μ＜μz0z00非正態(tài)總體n≥30σ2已知或未知第七章平均數(shù)差異的顯著性檢驗(yàn)§7—1平均數(shù)差異顯著性檢驗(yàn)的基本原理§7—2獨(dú)立樣本平均數(shù)差異顯著性檢驗(yàn)§7—3相關(guān)樣本平均數(shù)差異顯著性檢驗(yàn)§7—4方差齊性檢驗(yàn)§7—1平均數(shù)差異顯著性檢驗(yàn)的基本原理一平均數(shù)差異顯著性檢驗(yàn)的原理依據(jù)兩個(gè)樣本平均數(shù)差的抽樣分布進(jìn)行假設(shè)檢驗(yàn)。二平均數(shù)之差的標(biāo)準(zhǔn)誤：（1）獨(dú)立樣本：（2）相關(guān)樣本平均數(shù)之差標(biāo)準(zhǔn)誤：§7—2獨(dú)立樣本平均數(shù)差異顯著性檢驗(yàn)一獨(dú)立大樣本平均數(shù)差異的檢驗(yàn)例題：高一學(xué)生英語(yǔ)測(cè)驗(yàn)成績(jī)?nèi)绫?.1問(wèn)男女生英語(yǔ)測(cè)驗(yàn)成績(jī)是否有顯著性差異？性別人數(shù)樣本平均數(shù)樣本標(biāo)準(zhǔn)差男18076.511.5女17478.210.5解：這是兩個(gè)獨(dú)立大樣本平均數(shù)差異顯著性檢驗(yàn)——Z檢驗(yàn)1.提出假設(shè)：2.選擇檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量并計(jì)算其值：公式：4.統(tǒng)計(jì)決斷：∵︱Z︱=1.45<1.96P>0.05∴接受H0結(jié)論：高一男女英語(yǔ)測(cè)驗(yàn)成績(jī)無(wú)顯著性差異3.確定顯著性水平α，查表求出臨界值。α=0.05，z0.05=±1.96；練習(xí)：現(xiàn)有某區(qū)4-5歲和5-6歲的兩組幼兒，分別對(duì)他們進(jìn)行兩次測(cè)驗(yàn)，測(cè)驗(yàn)后的成績(jī)統(tǒng)計(jì)如下，試檢驗(yàn)這兩組幼兒的測(cè)驗(yàn)成績(jī)是否有差異。

表7.2。某區(qū)4-5歲和5-6歲兩組幼兒的量詞測(cè)驗(yàn)成績(jī)表

組別人數(shù)n平均成績(jī)（）標(biāo)準(zhǔn)差（S)4-5歲6020.787.6325-6歲5038.727.792二獨(dú)立小樣本平均值比較1。原理：若總體標(biāo)準(zhǔn)差未知，用S1、S2估計(jì)σ1、σ2二獨(dú)立小樣本平均值比較2.例題：從高二年級(jí)組隨即抽取兩個(gè)小組，在化學(xué)教學(xué)中實(shí)驗(yàn)組采用啟發(fā)探究法，對(duì)照組采用傳統(tǒng)講授法，后期統(tǒng)一測(cè)驗(yàn)如下表7。2。問(wèn)兩種教學(xué)方法是否有顯著性差異？(根據(jù)已有的經(jīng)驗(yàn)確知啟發(fā)探究發(fā)優(yōu)于傳統(tǒng)講授法）表7.2ns實(shí)驗(yàn)組（啟）1059.96.999對(duì)照組（傳統(tǒng)）950.37.714解：這是兩個(gè)獨(dú)立小樣本平均數(shù)差異顯著性檢驗(yàn)——t檢驗(yàn)根據(jù)題議用右側(cè)檢驗(yàn)1.提出假設(shè)：2.選擇檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量并計(jì)算其值：公式：4.統(tǒng)計(jì)決斷：∵

t(17)0.01=2.567<t**=2.835P<0.01∴接受H1結(jié)論：高二化學(xué)啟發(fā)探究教學(xué)法優(yōu)于傳統(tǒng)講授法，并達(dá)到及其顯著水平。3.確定顯著性水平α，查表求出臨界值。df=n1+n2-2=10+9-2=17,t(17)0.05=1.740P(1)t(17)0.01=2.567P(1)獨(dú)立小樣本平均值比較練習(xí)李老師為了研究在高中階段“男生”與“女生”學(xué)習(xí)化學(xué)方面存在的差異，把全班49名同學(xué)的化學(xué)成績(jī)按“男生”與“女生”進(jìn)行分類(lèi)統(tǒng)計(jì)：全班21名男同學(xué)的平均成績(jī)是70.4分，標(biāo)準(zhǔn)差為10.6分；28名女同學(xué)的平均成績(jī)是66.8分，標(biāo)準(zhǔn)差是9.4分。問(wèn)題：李老師怎樣評(píng)價(jià)在高中階段“男生”與“女生”在化學(xué)成績(jī)方面存在的差異？獨(dú)立小樣本方差不齊平均值比較1。統(tǒng)計(jì)量2。臨界值確定方法§7—3相關(guān)樣本平均數(shù)差異顯著性檢驗(yàn)相關(guān)樣本的兩種情況1。同水平的測(cè)驗(yàn)對(duì)同一組被試在實(shí)驗(yàn)前后兩次進(jìn)行測(cè)驗(yàn)，所獲得的兩組測(cè)驗(yàn)結(jié)果是相關(guān)樣本。2。按某些條件基本相同的原則，經(jīng)過(guò)一一配對(duì)而成的兩組被試，實(shí)行不同的實(shí)驗(yàn)處理后，對(duì)同一個(gè)測(cè)驗(yàn)所得到的兩組測(cè)驗(yàn)結(jié)果是相關(guān)樣本。相關(guān)小樣本平均值差異檢驗(yàn)練習(xí)針對(duì)當(dāng)前學(xué)生自學(xué)能力較差的現(xiàn)象，某學(xué)校開(kāi)展了一系列自學(xué)輔導(dǎo)講座，為了測(cè)定講座的效果，在開(kāi)展講座前抽取10名學(xué)生每人發(fā)一本教材自學(xué)，兩天后進(jìn)行一次測(cè)試；開(kāi)展講座后，利用同等水平的教材，同樣的自學(xué)時(shí)間，同等的考試難度再次對(duì)這10名同學(xué)進(jìn)行一次測(cè)試，兩次測(cè)試結(jié)果如表4.1問(wèn)題：輔導(dǎo)講座對(duì)學(xué)生的自學(xué)能力有無(wú)影響？表4.1學(xué)生自學(xué)測(cè)試結(jié)果學(xué)生編號(hào)講座前X1講座后X2X1X21769370682747253283809172804526533805638151036627747747828972988858471409647346721072705040§7—4方差齊性檢驗(yàn)

1?；驹鞦分布（F比值的抽樣分布）2。例題方差比較例題P121小樣本方差齊性比較P124方差齊性比較方差比較應(yīng)用王老師是一名高三把關(guān)的老教師，今年新接高三年級(jí)兩個(gè)班的化學(xué)課，從上學(xué)期期末考試結(jié)果了解到兩個(gè)班化學(xué)成績(jī)并不理想，具體考試成績(jī)?nèi)缦拢阂话?1人，平均分72分，標(biāo)準(zhǔn)差為10.2；二班37人，平均分也是72分，標(biāo)準(zhǔn)差為5.19。針對(duì)這種情況，王老師想采用集體補(bǔ)課或個(gè)別輔導(dǎo)等形式?jīng)Q心把兩個(gè)班的化學(xué)成績(jī)搞上去。問(wèn)題：針對(duì)兩個(gè)班的具體情況，王老師怎樣采取相應(yīng)的補(bǔ)課形式才能取得最佳效果？第五章總體比率的推斷§5—1比率的抽樣分布§5—2總體比率的區(qū)間估計(jì)§5—3總體比率的假設(shè)檢驗(yàn)§5—4總體比率差異的顯著性檢驗(yàn)§5—1比率的抽樣分布比率抽樣分布的基本原理比率的標(biāo)準(zhǔn)差例如：從某區(qū)隨即機(jī)取100個(gè)中學(xué)生，查得正常視力有65人，若用樣本比率P=65/100來(lái)估計(jì)全區(qū)中學(xué)生正常視力的比率時(shí)，其抽樣誤差（即標(biāo)準(zhǔn)差）為？§5—2總體比率的區(qū)間估計(jì)

§5—3總體比率的假設(shè)檢驗(yàn)

例如：某市中學(xué)教師中大學(xué)本科畢業(yè)的比率是0.60，現(xiàn)從某區(qū)隨機(jī)抽取50名中學(xué)教師，其中大學(xué)本科畢業(yè)的有32人，問(wèn)該區(qū)中學(xué)教師大學(xué)本科畢業(yè)的比率與全市中學(xué)教師大學(xué)本科畢業(yè)的比率是否有顯著性差異？總體比率的假設(shè)檢驗(yàn)練習(xí)教學(xué)效果的評(píng)價(jià)：已知某學(xué)校今年高考升學(xué)率為45%，其中劉老師所帶的（1）班共45人，有23人考取大學(xué)，其升學(xué)率為51.1%，高于全校平均升學(xué)率6.1%。于是劉老師在多種場(chǎng)合發(fā)言時(shí)說(shuō)：“自己帶的（1）班升學(xué)率明顯高于全校平均水平?！眴?wèn)題：劉老師的結(jié)論科學(xué)嗎？§5—4總體比率差異的顯著性檢驗(yàn)一兩個(gè)獨(dú)立樣本比率差異的顯著性檢驗(yàn)基本原理例如：關(guān)于人體血液循環(huán)的講授，在實(shí)驗(yàn)組運(yùn)用條疊投影片，使學(xué)生直觀形象地看到人體大小循環(huán)，動(dòng)、靜脈的流動(dòng)情況。在對(duì)照組由教師畫(huà)圖說(shuō)明人體血液循環(huán)的方向。授課結(jié)束，當(dāng)堂測(cè)驗(yàn)的結(jié)果如下表，問(wèn)兩種教學(xué)用具的效果是否一樣？總體比率差異的顯著性檢驗(yàn)練習(xí)某師范大學(xué)為了調(diào)查不同專(zhuān)業(yè)學(xué)生“專(zhuān)業(yè)思想”的差異，分別從數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)和中文專(zhuān)業(yè)隨機(jī)找了120名同學(xué)和160名同學(xué)進(jìn)行調(diào)查，其中數(shù)學(xué)系有84名同學(xué)表示畢業(yè)后愿意當(dāng)老師，中文系有104名同學(xué)表示畢業(yè)后愿意當(dāng)老師。問(wèn)題：數(shù)學(xué)系和中文系愿意當(dāng)老師的學(xué)生比率是否有差異？例題某校120個(gè)學(xué)生期末化學(xué)測(cè)試之后，讓他們?cè)诤倮铼?dú)立完成教師編選的化學(xué)練習(xí)題，開(kāi)學(xué)初進(jìn)行同類(lèi)題目的測(cè)試，兩次測(cè)試結(jié)果見(jiàn)下面頻率表，問(wèn)學(xué)生獨(dú)立完成教師編選的化學(xué)練習(xí)題，對(duì)提高化學(xué)成績(jī)是否顯著效果？二相關(guān)樣本比率差異性檢驗(yàn)表5.1兩次測(cè)試結(jié)果表

第二次測(cè)試第一次測(cè)試良非良總和良a(48)b(14)a+b(62)非良c(22)d(36)c+d(58)總和a+c(70)b+d(50)a+b+c+d(120)練習(xí)：某學(xué)校有教師145人，經(jīng)調(diào)查能堅(jiān)持鍛煉身體的有85人。經(jīng)過(guò)學(xué)校動(dòng)員，兩個(gè)月之后有進(jìn)行調(diào)查，結(jié)果發(fā)現(xiàn)能堅(jiān)持經(jīng)常身體的有120人，其中有75人在動(dòng)員之前就經(jīng)常鍛煉身體。問(wèn)題：學(xué)校動(dòng)員之前就經(jīng)常鍛煉身體的教師比率差異是否顯著？學(xué)校動(dòng)員效果怎樣？表5.2動(dòng)員前后堅(jiān)持鍛煉情況表

動(dòng)員后動(dòng)員前能堅(jiān)持不能總和能堅(jiān)持a()b()a+b(85)不能c()d()c+d(60)總和a+c(120)b+d(25)a+b+c+d(145)第六章卡方（χ2）檢驗(yàn)§6—1χ2及其分布一、χ2檢驗(yàn)的特點(diǎn)二、χ2檢驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)量的基本形式。（10.1）例如：從某校隨即抽取50個(gè)學(xué)生，其中男生27人，女生23人，問(wèn)該校男女生的人數(shù)是否相同？三、χ2的抽樣分布?！?—2單向表的χ2檢驗(yàn)一、按一定比率決定理論頻數(shù)的χ2檢驗(yàn)二、一個(gè)自由度的χ2檢驗(yàn)三、頻數(shù)分布正態(tài)性的χ2檢驗(yàn)

一、按一定比率決定理論頻數(shù)的χ2檢驗(yàn)

例如：大學(xué)某系54位老年教師中，健康狀況屬于好的有15人，中等的有23人，差的有16人，問(wèn)該校老年教師健康狀況好、中、差的人數(shù)比率是否為1：2：1？練習(xí)某師范大學(xué)對(duì)化學(xué)教師的素質(zhì)進(jìn)行調(diào)查，調(diào)查對(duì)象為化學(xué)師范專(zhuān)業(yè)學(xué)生。在調(diào)查表中有這樣一個(gè)問(wèn)題：你認(rèn)為化學(xué)教師最重要的能力是：1自學(xué)能力，2教學(xué)能力，3實(shí)驗(yàn)研究和教學(xué)研究能力。在收回的60份調(diào)查表中，選1的22人，選2的26人，選3的12人。問(wèn)題：從調(diào)查結(jié)果看，學(xué)生對(duì)這三種能力的看法是否有差異？他們認(rèn)為哪種能力最重要？二、一個(gè)自由度的χ2檢驗(yàn)

1。各組的ft≥5的情況。例如：從小學(xué)生中隨即抽取76人，其中50人喜歡體育，26人不喜歡體育，問(wèn)該校學(xué)生喜歡和不喜歡體育的人數(shù)是否相等？2。各組的ft?5的情況。運(yùn)用亞茨連續(xù)性校正法。（10.2）例如：某區(qū)中學(xué)共青團(tuán)員的比率為0.8，現(xiàn)從該區(qū)某中學(xué)隨即抽取20人，其中共青團(tuán)員有12人，問(wèn)該校共青團(tuán)員的比率與全區(qū)是否一樣？三、頻數(shù)分布正態(tài)性的χ2檢驗(yàn)

§6—3雙向表的χ2檢驗(yàn)把實(shí)得的點(diǎn)計(jì)數(shù)據(jù)按兩種分類(lèi)標(biāo)準(zhǔn)制成的表就是雙向表。橫行所分組數(shù)用r表示縱行所分組數(shù)用c表示rc表的χ2檢驗(yàn)一、獨(dú)立性的χ2檢驗(yàn)例如：家庭經(jīng)濟(jì)狀況屬于上、中、下的高三畢業(yè)生，對(duì)于是否愿意報(bào)考師范大學(xué)有三種不同的態(tài)度（愿意、不愿意、未定），其人數(shù)分布如表6.1括號(hào)外面的數(shù)據(jù)。問(wèn)學(xué)生是否愿意報(bào)考師范大學(xué)與家庭經(jīng)濟(jì)狀況是否有關(guān)系？表6.1學(xué)生對(duì)報(bào)考師范大學(xué)的態(tài)度與家庭經(jīng)濟(jì)狀況之間的關(guān)系家庭經(jīng)濟(jì)狀況對(duì)報(bào)考師范大學(xué)的態(tài)度總合愿意不愿意未定上中下18（20.53）27（1