第4講函數(shù)與導數(shù)解答題目錄第一部分：知識強化第二部分：重難點題型突破突破一：分離變量法與不等式恒（能）成立問題突破二：分類討論法與不等式恒（能）成立問題突破三：同構(gòu)法與不等式恒（能）成立問題突破四：端點效應與不等式恒（能）成立問題突破五：最值定位法解決雙參不等式問題突破六：值域法解決雙參等式問題突破七：單變量不等式證明角度1：構(gòu)造函數(shù)，利用單調(diào)性證明不等式角度2：構(gòu)造函數(shù)，利用最值證明不等式角度3：等價轉(zhuǎn)化與不等式證明角度4：超越放縮與不等式證明突破八：利用導數(shù)證明雙變量不等式角度1：分離雙參，構(gòu)造函數(shù)角度2：糅合雙參（比值糅合）角度3：糅合雙參（差值糅合）角度4：利用指數(shù)（對數(shù)）平均不等式解決雙變量問題第一部分：知識強化1、不等式恒成立(能成立)求參數(shù)范圍的類型與解法（1）分離參數(shù)法用分離參數(shù)法解含參不等式恒成立問題，可以根據(jù)不等式的性質(zhì)將參數(shù)分離出來，得到一個一端是參數(shù)，另一端是變量表達式的不等式；步驟：①分類參數(shù)（注意分類參數(shù)時自變量的取值范圍是否影響不等式的方向）②轉(zhuǎn)化：若)對恒成立，則只需；若對恒成立，則只需．③求最值.（2）分類討論法如果無法分離參數(shù)，可以考慮對參數(shù)或自變量進行分類討論求解，如果是二次不等式恒成立的問題，可以考慮二次項系數(shù)與判別式的方法(，或，)求解．（3）等價轉(zhuǎn)化法當遇到型的不等式恒成立問題時，一般采用作差法，構(gòu)造“左減右”的函數(shù)或者“右減左”的函數(shù)，進而只需滿足，或者，將比較法的思想融入函數(shù)中，轉(zhuǎn)化為求解函數(shù)的最值的問題.2、最值定位法解決雙參不等式問題（1）,,使得成立（2）,,使得成立（3）,,使得成立（4）,,使得成立3、值域法解決雙參等式問題（任意——存在型）,,使得成立①，求出的值域，記為②求出的值域，記為③則,求出參數(shù)取值范圍.4、值域法解決雙參等式問題（存在——存在型）,,使得成立①，求出的值域，記為②求出的值域，記為③則,求出參數(shù)取值范圍.5、兩個超越不等式：（注意解答題需先證明后使用）（1）對數(shù)型超越放縮：（）上式（1）中等號右邊只取第一項得：結(jié)論①用替換上式結(jié)論①中的得：結(jié)論②對于結(jié)論②左右兩邊同乘“”得，用替換“”得：（）結(jié)論③（2）指數(shù)型超越放縮：（）上式（2）中等號右邊只取前2項得：結(jié)論①用替換上式結(jié)論①中的得：結(jié)論②當時，對于上式結(jié)論②結(jié)論③當時，對于上式結(jié)論②結(jié)論④6、指數(shù)不等式法在對數(shù)均值不等式中，設(shè)，，則，根據(jù)對數(shù)均值不等式有如下關(guān)系：7、對數(shù)均值不等式法兩個正數(shù)和的對數(shù)平均定義：對數(shù)平均與算術(shù)平均、幾何平均的大小關(guān)系：（此式記為對數(shù)平均不等式）取等條件：當且僅當時，等號成立．第二部分：重難點題型突破突破一：分離變量法與不等式恒（能）成立問題1．（2022·湖南·寧鄉(xiāng)市教育研究中心模擬預測）已知，若對任意的不等式恒成立，則實數(shù)的最小值為_______.【答案】【詳解】恒成立，等價于，令，則，則，所以當時都有，所以單調(diào)遞增.所以不等式轉(zhuǎn)化為，即，即，即，即.令，則.當都有，所以單調(diào)遞增；當時，都有，所以單調(diào)遞減.所以所以，即的最小值為.故答案為：.2．（2022·黑龍江·高二期中）已知，若存在，使不等式，對于恒成立，則實數(shù)的取值范圍是______．【答案】【詳解】時，不等式可化為，因為存在使不等式恒成立，所以只需，設(shè)，，則，，所以在上為增函數(shù)，所以，所以，，所以整理可得，設(shè)，所以，令，則，所以在上單調(diào)遞增，所以，所以，則在上單調(diào)遞增，所以，所以，即實數(shù)的取值范圍是3．（2022·貴州畢節(jié)·三模（文））函數(shù)．(1)討論函數(shù)零點的個數(shù)；(2)若對，恒成立，求實數(shù)的取值范圍．【答案】(1)在上有唯一零點(2)(1)解：函數(shù)的定義域為，所以在上恒成立，即在上為增函數(shù)，且在上有唯一零點(2)解：由題意得：在上恒成立，即在上恒成立，令，，所以令，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，4．（2022·廣東·潮州市瓷都中學三模）已知函數(shù).(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)若，函數(shù)在上恒成立，求整數(shù)的最大值.【答案】(1)見解析(2)(1)（1）若時，，在上單調(diào)遞增；若時，，當或時，，為增函數(shù)，當時，，為減函數(shù)，若時，，當或時，，為增函數(shù)，當時，，為減函數(shù).綜上，時，在上單調(diào)遞增；當時，在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當時，在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.(2)由，解得，所以，由時，，可知在上恒成立可化為在上恒成立，設(shè)，則，設(shè)，則，所以在上單調(diào)遞增，又，，所以方程有且只有一個實根，且，，所以在上，，單調(diào)遞減，在上，，單調(diào)遞增，所以函數(shù)的最小值為，從而，又為整數(shù)，所以的最大值為：.5．（2022·江蘇·無錫市第一中學高三階段練習）已知函數(shù)（）.(1)當時，對于函數(shù)，存在，使得成立，求滿足條件的最大整數(shù)；（）(2)設(shè)函數(shù)，若在上恒成立，求實數(shù)的取值范圍.【答案】(1)滿足條件的最大整數(shù)為4；(2)實數(shù)的取值范圍為.（1）由已知可得，，，所以，，當時，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，當時，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，又，，，因為，所以所以函數(shù)在上的的最大值為，最小值為，因為存在，使得成立，所以，所以，又，故，所以滿足條件的最大整數(shù)的值為4；（2）不等式，可化為，因為，所以，由已知在上恒成立；所以，設(shè)，則，設(shè)，則，當時，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，又，所以，所以當時，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，所以，所以實數(shù)的取值范圍為.6．（2022·天津市寧河區(qū)蘆臺第一中學高二階段練習）已知函數(shù).(1)求函數(shù)的極值；(2)令是函數(shù)圖像上任意兩點，且滿足，求實數(shù)的取值范圍；(3)若，使成立，求實數(shù)的最大值.【答案】(1)的極小值為，無極大值；(2)；(3)1.(1)因為，所以，所以當時，當時，所以的極小值為，無極大值.(2)不妨設(shè)，則，則由，可得，變形得恒成立，令，則在上單調(diào)遞增，故在恒成立，在恒成立．，當且僅當時取“”，；(3)，．，，，，，使得成立．令，則，令，則由，可得或（舍．當時，，則在上單調(diào)遞減；當時，，則在上單調(diào)遞增．，在，上恒成立．在，上單調(diào)遞增，則（1），即．實數(shù)的最大值為1．突破二：分類討論法與不等式恒（能）成立問題1．（2022·內(nèi)蒙古·霍林郭勒市第一中學高三階段練習（理））已知函數(shù)，，若對于，恒成立，則實數(shù)的取值集合是_______．【答案】##【詳解】易知函數(shù)和函數(shù)的圖象均過點．①當時，，顯然成立；②當時，由可得：當時，則；當時，則；當時，則；∵，當時，，當時，，則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，且當時，，∴，則；當時，則有：若，則，故成立；若，則，故成立；若，則，當時，，當時，，∴當時，，故成立；故符合題意；③當時，，即，∴不符合題意綜上所述：的取值集合是.故答案為：.2．（2022·天津市瑞景中學高三期中）已知函數(shù)，其中.(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)設(shè)，若對任意的，恒成立，求的最大值.【答案】(1)當時，在上單調(diào)遞增，無單調(diào)遞減區(qū)間；當時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.(2)【詳解】（1），定義域為當時，，在上遞增.當時，，在上遞增.當時，令，得；令，得.即在上遞增，在上遞減.綜上：當時，在上單調(diào)遞增，無單調(diào)遞減區(qū)間；當時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.（2）在上恒成立，等價于.由（1）得，當時，在上單調(diào)遞增，無最大值，故此時原不等式無法恒成立；當時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則此時即須成立.記函數(shù)，且則即在單調(diào)遞增.因為，所以滿足的a的最大整數(shù)值為.綜上：的最大值為.3．（2022·北京海淀·高三期中）已知函數(shù)．(1)當時，求曲線在點處的切線方程；(2)當時，證明：函數(shù)在區(qū)間上有且僅有一個零點；(3)若對任意，不等式恒成立，求的取值范圍．【答案】(1)；(2)證明見解析；(3).【詳解】（1）當時，，則，，又，在點處的切線方程為：，即.（2）當時，令，則；當時，，，即，在上單調(diào)遞增，又，，在上有唯一零點，即在上有且僅有一個零點.（3）令，則對任意，恒成立；又，令，則；當時，若，則，，，在上恒成立，則在上單調(diào)遞增；①當時，，，，使得，且當時，，在上單調(diào)遞減，此時，不合題意；②當時，；當時，，則在上單調(diào)遞增，恒成立，滿足題意；③當時，，由②知：對任意，，滿足題意；綜上所述：實數(shù)的取值范圍為.4．（2022·福建福州·高二期末）已知函數(shù)(1)當時，求曲線在點（0，f（0））處的切線方程；(2)若存在，使得不等式成立，求m的取值范圍．【答案】(1)(2)(1)當時，,定義域為R，.所以，.所以曲線在點（0，f（0））處的切線方程為：，即.(2)不等式可化為：，即存在，使得不等式成立.構(gòu)造函數(shù)，則.①當時，恒成立，故在上單調(diào)遞增，故，解得：，故；②當時，令，解得：令，解得：故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又，故，解得：，這與相矛盾，舍去；③當時，恒成立，故在上單調(diào)遞減，故，不符合題意，應舍去.綜上所述：m的取值范圍為：.5．（2022·陜西·咸陽市高新一中高二期中（理））已知函數(shù)(1)若曲線在和處的切線互相平行，求的值與函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)設(shè)，若對任意，均存在，使得，求的取值范圍．【答案】(1)，單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為(2)(1)，由得，，由得，由得，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.(2)若要命題成立，只須當時，，由可知當時，所以只須對來說，，（1）當時，在上有，∴這時，由得；（2）當時，，設(shè)，則，∴在遞減，，∴當時，，綜上所述，滿足題意的.6．（2022·全國·高三專題練習）已知函數(shù)，則的極小值為___________；若函數(shù)，對于任意的，總存在，使得，則實數(shù)的取值范圍是___________.【答案】

【詳解】由，得，令，得，列表如下：遞減極小值遞增所以，函數(shù)的極小值為；（2），，使得，即，.①當時，函數(shù)單調(diào)遞增，，，即；②當時，函數(shù)單調(diào)遞減，，，即；③當時，，不符合題意.綜上：.故答案為：；.突破三：同構(gòu)法與不等式恒（能）成立問題1．（2022·廣西北?！ひ荒＃ɡ恚┮阎瘮?shù)．(1)當時，求過點且和曲線相切的直線方程；(2)若對任意實數(shù)，不等式恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．【答案】(1)；(2).【詳解】（1）當時，，，因為點沒有在曲線上，故不是切點，設(shè)切點為，直線斜率為，則切線方程為，又因為該直線過點，所以，即，記，當時，，當時，，∴在上單調(diào)遞增，又，∴，故切線方程為；（2）當時，由可得，即，構(gòu)造函數(shù)，其中，則，所以函數(shù)在上為增函數(shù)，由可得，所以，即，其中，令，其中，則．當時，，函數(shù)單調(diào)遞增，當時，，函數(shù)單調(diào)遞減，所以，即．2．（2022·江蘇·南京師大蘇州實驗學校高三階段練習）已知函數(shù)．(1)討論的極值；(2)當時，是否存在正實數(shù)，使得成立（為自然對數(shù)的底數(shù)）？若存在，求的取值范圍；若不存在，請說明理由．【答案】(1)答案見解析(2)（1）解：函數(shù)的定義域為．．①當時，恒成立，在上為減函數(shù)，函數(shù)不存在極值；②當時，當時，當時在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以在處取得極小值，即，無極大值．綜上可得：當時函數(shù)無極值，當時，無極大值；（2）解：因為時成立，即在上有解，即在上有解，又，由（1）可知，即，令，則，則在上有解，令，則，所以當時，當時，即在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又，，所以存在使得，所以當時，當時，當時，所以只需，即時滿足題意.3．（2022·江西·蘆溪中學高三階段練習（理））已知函數(shù)．(1)若在上單調(diào)遞增，求實數(shù)a的取值范圍；(2)當時，證明：．【答案】(1)；(2)證明見解析.（1）因為在上單調(diào)遞增，所以對恒成立，即對恒成立．令，則．因為當時，，所以，即在上單調(diào)遞減，所以，從而，即實數(shù)a的取值范圍是．（2）證明：當時，．要證，即證，即證，即證．令，則只要證．令，則．當時，在上單調(diào)遞減；當時，在上單調(diào)遞增，所以，所以，即成立，故．突破四：端點效應與不等式恒（能）成立問題1．設(shè)函數(shù)，其中．（Ⅰ）當時，求函數(shù)的零點；（Ⅱ）若對任意，，恒有，求實數(shù)的取值范圍．【解析】（Ⅰ）當時，，當時，令，即，解得；（ⅱ）當時，令，即，此方程△，無實數(shù)解．由（ⅱ），得的零點為，，（Ⅱ）方法1．當時，對于，，得，顯然函數(shù)在，上遞減，要使恒成立，只需，即，得，又，所以符合題意．（ⅱ）當時，，由，知函數(shù)在上遞增，在上遞減．以下對再進行分類當，即時，函數(shù)在上遞增，在上遞減．此時（a），，只需，即解得，即，又，所以符合題意．（11分）當，即時，函數(shù)在，上遞增．要使恒成立，只需（a），即，得，又，所以符合題意．由（ⅱ），得實數(shù)的取值范圍是．方法2．因為對任意，，恒有，所以，即，解得．下面證明，當時，對任意，，恒有，當時，遞增，故（a）成立；（ⅱ）當時，，，，故，成立．由此，對任意，，恒有，2．（2021·河南大學附屬中學高三階段練習（文））已知函數(shù)f（x）＝ax﹣a+lnx．（1）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性；（2）當x∈（1，+∞）時，曲線y＝f（x）總在曲線y＝a（x2﹣1）的下方，求實數(shù)a的取值范圍．【詳解】（1）的定義域為，對已知函數(shù)求導，得：，若，則，單調(diào)遞增；若，則當時，，單調(diào)遞增；當，，單調(diào)遞減.（2）由題意得，整理得.令，則.由題意知“”是“”的必要條件.由，解得：.下面證明：“”是“”的充分條件.由不等式知，當時，.綜上可知.突破五：最值定位法解決雙參不等式問題1．（多選）（2022·福建龍巖·高二期中）已知函數(shù)，，若，，使得成立，則a的取值可以是（

）A．0 B． C． D．【答案】AD【詳解】解：，當時，，當時，，所以在上遞減，在，上遞增，故當，時，，對于二次函數(shù)，該函數(shù)開口向下，所以其在區(qū)間，上的最小值在端點處取得，所以要使對，，，，使得成立，只需，因為函數(shù)開口向下，所以當，時，（1），（2），所以或，所以或，解得．故選：AD.2．（2022·江蘇省石莊高級中學高二階段練習）已知，，若對，，使得成立，則a的取值范圍是______．【答案】【詳解】因為，所以，當時，，當時，，所以，因為開口方向向下，所以在區(qū)間上的最小值的端點處取得，所以要使對，，使得成立，只需，即或，即或，解得，所以a的取值范圍是，故答案為：3．（2022·陜西·寶雞市金臺區(qū)教育體育局教研室高二期中（理））已知函數(shù).(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)當時，設(shè)，若對于任意、，均有，求的取值范圍.【答案】(1)當時，單調(diào)遞減區(qū)間為；當時，單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為．(2)(1)解：函數(shù)的定義域為，所以，①當時，恒成立，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為；②當時，由，解得；當時，，當時，，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為．綜上可得：當時，單調(diào)遞減區(qū)間為；當時，單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為．(2)解：由已知，轉(zhuǎn)化為．由（1）知，當時，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為．故的極大值即為最大值，，因為，則，當時，當時，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．故的極小值即為最小值，，即，解得．的取值范圍為4．（2022·上海市楊思高級中學高三期中）已知函數(shù).（1）若，求曲線在處切線的方程；（2）求的單調(diào)區(qū)間；（3）設(shè)，若對任意，均存在，使得，求的取值范圍.【答案】（1）；（2）當時，單調(diào)遞增區(qū)間為，無單調(diào)遞減區(qū)間；當時，單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為；（3）.【詳解】（1）由已知，，曲線在處切線方程為，即.（2）.①當時，由于，故，所以，的單調(diào)遞增區(qū)間為，無單調(diào)遞減區(qū)間.②當時，由，得.在區(qū)間上，，在區(qū)間上，所以，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.（3）由已知，轉(zhuǎn)化為，由（2）知，當時，在上單調(diào)遞增，值域為，故不符合題意.(或者舉出反例：存在，故不符合題意.)當時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故的極大值即為最大值，，所以，解得.5．（2022·全國·高三專題練習）已知函數(shù)在處取得極值，．（1）求的值與的單調(diào)區(qū)間；（2）設(shè)，已知函數(shù)，若對于任意、，，都有，求實數(shù)的取值范圍．【答案】（1），單調(diào)遞增區(qū)間為、，單調(diào)遞減區(qū)間為；（2）.【詳解】解：（1）由題意得的定義域為，，函數(shù)在處取得極值，（2），解得，則由得或，、、的關(guān)系如下表：200遞增極大值遞減極小值遞增函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為、，單調(diào)遞減區(qū)間為；（2）由（1）得函數(shù)，當時，對任意、，，都有，即當，，時，，在，上單調(diào)遞減，，，，在，上單調(diào)遞減，則，，則，即，解得或，結(jié)合，得，故實數(shù)的取值范圍為．6．（2022·遼寧·大連二十四中高一期中）已知函數(shù)是定義域為的奇函數(shù)，且.(1)求的值，并判斷的單調(diào)性（不必證明）；(2)設(shè)為正數(shù)，函數(shù)，若對于任意，總存在，使得成立，求的最大值.【答案】(1)，，單調(diào)遞增；(2).【詳解】（1）因為時定義域為的奇函數(shù)，所以，則，又，則，解得，所以，在定義域內(nèi)單調(diào)增.（2）因為對任意，總存在，使，所以，由（1）得，，當時，在出取得最小值，在，即處取得最小值，所以，所以，解得.所以的最大值為.7．（2022·江蘇省江浦高級中學高一期中）已知二次函數(shù).(1)若關(guān)于的不等式對恒成立，求的取值范圍；(2)已知函數(shù)，若對，，使不等式成立，求的取值范圍.【答案】(1)(2)或【詳解】（1）由得，當時，，所以對恒成立，只需即可，令，由得且，則，因為，當且僅當即，時等號成立，所以，即.（2）由，，使不等式成立可得即可，由在上單調(diào)遞增可得，而的對稱軸為，①當即時在上單調(diào)遞增，則，解得，綜上；②當即時，，解得或，綜上；③當即時在上單調(diào)遞減，則，解得；綜合①②③可得的取值范圍為或.突破六：值域法解決雙參等式問題1．（多選）（2022·江蘇·常熟中學高三階段練習）已知函數(shù)，，若對任意的，均存在，使得，則的取值可能是（

）A． B． C． D．【答案】BC【詳解】設(shè)在上的值域為，在上的值域為，則；，當時，，在上單調(diào)遞增，；方法一：若，則，令對恒成立，恒成立，即；當時，在上恒成立，在上單調(diào)遞增，，解得：；綜上所述：；方法二：；當時，恒成立，在上單調(diào)遞增，，，即，，解得：；當時，，，在上單調(diào)遞減，，，即，，解得：（舍）；當時，令，解得：，當時，；當時，；在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，不合題意；綜上所述：.故選：BC.2．（2022·山東省實驗中學高一階段練習）設(shè)函數(shù)與函數(shù)）的定義域的交集為D，集合M是由所有具有性質(zhì)：“對任意的，都有”的函數(shù)組成的集合.(1)判斷函數(shù)，是不是集合M中的元素？并說明理由；(2)設(shè)函數(shù)，，且，若對任意，總存在，使成立，求實數(shù)a的取值范圍.【答案】(1)，，理由見解析(2).（1）因為對任意，，所以.因為對任意，，所以.（2）因為函數(shù)，且，所以，整理得，解得，或(舍去)，故.當時，，.對于函數(shù)，且當時，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，故，由題意知，解得.所以，實數(shù)a的取值范圍為.3．（2022·河南·新密市第一高級中學高一階段練習）已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，且．(1)若關(guān)于的方程的兩根滿足一根大于1，另外一根小于1，求實數(shù)的取值范圍；(2)已知函數(shù)，若對任意，總存在，使得成立，求實數(shù)的取值范圍．【答案】(1)(2)【詳解】（1）是上的奇函數(shù)，，即，又，．即關(guān)于的方程的兩根滿足一根大于1，另外一根小于1，設(shè)，則函數(shù)的圖象開口向上，∴，即，∴實數(shù)的取值范圍是；（2）由（1）知，，當時，，當時，，此時，∴，當時，，此時，∴，綜上，的值域；∵，，∴的值域.∵對任意，總存在，使得成立，∴，即，所以，實數(shù)的取值范圍為．突破七：單變量不等式證明角度1：構(gòu)造函數(shù)，利用單調(diào)性證明不等式1．（2022·河南焦作·高三期中（理））已知函數(shù)，曲線在點處的切線在軸上的截距為．(1)求的最小值；(2)證明：當時，．參考數(shù)據(jù)：，．【答案】(1)0；(2)證明見解析.【詳解】（1）由題得，又，所以切點坐標為，所以曲線在點處的切線方程為，令得，所以.所以，當時，，函數(shù)在單調(diào)遞增；當時，，函數(shù)在單調(diào)遞減.所以函數(shù)的最小值為.所以函數(shù)的最小值為0.（2）當時，顯然成立.當時，令，所以，所以，所以在單調(diào)遞增（增函數(shù)+增函數(shù)=增函數(shù)），又，所以恒成立，所以在單調(diào)遞增，又，所以存在使得即.所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增.所以.故得證.2．（2022·河南·高三階段練習（文））已知函數(shù)，且曲線在點處的切線方程為．(1)求a，b的值，并求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)證明：．【答案】(1)答案見解析；(2)證明見解析.（1）的定義域為(0,+∞)，,則.又,則曲線在點處的切線方程為,即,所以解得：.所以,且.令,解得：；令,解得：.所以的單調(diào)遞減區(qū)間為,單調(diào)遞增區(qū)間為.（2）由（1）知,x>0.則要證，只需,只需.令,則..令,則，所以在(0,+∞)上單調(diào)遞增.而，所以存在唯一的,使得.當時,單調(diào)遞減；當時,單調(diào)遞增.所以所以,即.3．（2022·河南宋基信陽實驗中學高三階段練習（文））已知函數(shù)，(1)若，求的極值；(2)討論的單調(diào)區(qū)間；(3)求證：當時，.【答案】(1)極小值為，無極大值(2)答案見解析(3)證明見解析（1）當時，，則其定義域為，；當時，；當時，；在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；的極小值為，無極大值.（2）由題意得：定義域為，；①當時，，在上恒成立，的單調(diào)遞增區(qū)間為，無單調(diào)遞減區(qū)間；②當時，令，解得：，當時，；當時，；的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.綜上所述：當時，的單調(diào)遞增區(qū)間為，無單調(diào)遞減區(qū)間；當時，的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.（3）令，則，令，則；當時，恒成立，在上單調(diào)遞減，，在上恒成立，在上單調(diào)遞減，，即當時，.4．（2022·廣東廣州·高二期末）設(shè)x＞0，f(x)=lnx，(1)求證：直線y=x-1與曲線y=f(x)相切；(2)判斷f(x)與g(x)的大小關(guān)系，并加以證明．【答案】(1)見解析；(2)，證明見解析.(1)證明：因為直線y=x-1過點(1,0),f(x)=lnx過點(1,0).設(shè)過點(1,0)與f(x)=lnx相切的直線為,因為,設(shè)切點為：，所以切線方程為，代入（1，0）,得，所以切線方程為，即與曲線y=f(x)相切；(2)。證明：令，所以，所以當時，，單調(diào)遞減；當時，，單調(diào)遞增；所以，即，所以，即有，得證.角度2：構(gòu)造函數(shù)，利用最值證明不等式1．（2022·山西忻州·高三階段練習）已知函數(shù).(1)若在上單調(diào)遞增，求的取值范圍；(2)若，比較與的大小關(guān)系.【答案】(1)(2)【詳解】（1）由題意知，在上恒成立，化簡可得，當時，，所以，故的取值范圍是.（2）令，則，當時，，單調(diào)遞增，當時，，單調(diào)遞減，則，所以，即.2．（2022·云南·巍山彝族回族自治縣第二中學高二階段練習）函數(shù).(1)求證：；(2)求證：.【答案】(1)證明見解析；(2)證明見解析（1）令，，令，解得，當時，，單調(diào)遞減；當時，，單調(diào)遞增；∴，∴，即；（2）由題意將問題轉(zhuǎn)化為恒成立，構(gòu)造函數(shù)，，令，恒成立，∴在上為減函數(shù)且，∴，∴當時，，；當時,，，∴在上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)，∴，∴3．（2022·河南·一模（理））已知函數(shù)．(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)若，證明：當時，．【答案】(1)答案見解析(2)證明見解析【詳解】（1）由題意得：定義域為，；①當時，，則恒成立，在上單調(diào)遞增；②當時，令，解得：，當時，；當時，；在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；綜上所述：當時，在上單調(diào)遞增；當時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.（2）由題意得：，，令，則，在上單調(diào)遞減，又，，，使得，即，則，當時，；當時，；在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，；令，則，在上單調(diào)遞增，，即，.角度3：等價轉(zhuǎn)化與不等式證明1．（2022·江西景德鎮(zhèn)·三模（文））已知函數(shù)，.(1)當時，求函數(shù)的極值；(2)已知，求證：當時，總有.【答案】(1)極小值為，無極大值(2)證明見解析(1)當時，，當時，，函數(shù)單調(diào)遞減，當時，，函數(shù)單調(diào)遞增，故函數(shù)存在極小值為，無極大值.(2)，令，.∵且，∴，由于，故函數(shù)在上單調(diào)遞增，且，∴恒成立，于是,故當時，，函數(shù)單調(diào)遞減，當時，，函數(shù)單調(diào)遞增，∴,又，即函數(shù)當時單調(diào)遞增，且，故，即，∴,∴當時，總有.2．（2022·全國·高三專題練習（文））已知函數(shù).(1)當時，討論的單調(diào)性；(2)若函數(shù)，證明：當時，.【答案】(1)答案見解析(2)證明見解析(1)的定義域.當時，分下面三種情況討論：①當時，恒成立，所以在單調(diào)遞增；②當時，，令，得，或，所以在和單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減；③當時，，令，得，或，所以在和單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減.綜上，當時，在和為增函數(shù)，在為減函數(shù)；時，在為增函數(shù)；當時，在和為增函數(shù)，在為減函數(shù).(2)（2）當時，要證明，即證.設(shè)，則，又函數(shù)在為增函數(shù)，而，所以存在，使得，且有，所以在為減函數(shù)，在為增函數(shù).所以，令，顯然在為減函數(shù)，所以，即，而，所以，即，故當時，恒成立.3．（2022·山東·菏澤一中高二階段練習）已知函數(shù)，，其中…為自然對數(shù)的底數(shù).(1)當時，若過點與函數(shù)相切的直線有兩條，求的取值范圍；(2)若，，證明：.【答案】(1)(2)證明見解析(1)解：，.設(shè)切點為P令，.得有兩根令，時，不符合題意時，令，單調(diào)遞增，單調(diào)遞減.，得又，且.(2)證明：要證只需證明成立因為，所以原問題可轉(zhuǎn)化為證明.①當時，所以所以成立所以成立②當時，設(shè)因為所以所以所以在上為增函數(shù)所以所以在上為增函數(shù)所以所以所以成立綜上得證.4．（2022·全國·高三專題練習）已知函數(shù)．(1)求的極大值點和極小值點；(2)若函數(shù)，當時，證明：．【答案】(1)極大值點為，極小值點為(2)證明見解析(1)定義域為R，導函數(shù)，由，得或，令，得；令，得或．所以在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．故的極大值點為，極小值點為．(2)欲證，只需證，即證設(shè)函數(shù)，則，令，得；令，得．所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，即當時，．設(shè)函數(shù)，則，所以在上單調(diào)遞減，則，即，所以，即，又，所以，（點撥：放縮法是常用的證明不等式的方法）所以當時，．5．（2022·廣西·欽州一中高二期中（理））已知函數(shù).（1）求曲線在處的切線方程；（2）若，證明不等式在上成立.【答案】（1）；（2）證明見解析.【詳解】（1）由，得.所以，且斜率，故所求切線方程為，即；（2）證明：由題欲證只需證，即證在上成立，令，則，令，當時，遞減；當時，遞增，故，∴當時，∴，即得證.角度4：超越放縮與不等式證明1．（2022·江蘇省包場高級中學高三開學考試）已知函數(shù).(1)設(shè)是函數(shù)的極值點，求的值并討論的單調(diào)性；(2)當時，證明：.【答案】(1)，當時，函數(shù)單調(diào)遞減；當時，函數(shù)單調(diào)遞增.(2)證明見解析（1），，，是函數(shù)的極值點，，解得，，設(shè)，則，是的唯一零點，當時，，函數(shù)單調(diào)遞減；當時，，函數(shù)單調(diào)遞增.（2）當，時，，設(shè)，則，所以當時，單調(diào)遞增，所以，即，，取函數(shù)，則，當時，，單調(diào)遞減，當時，，單調(diào)遞增，所以函數(shù)在處取得唯一的極小值，即最小值為，，故.2．（2022·安徽·高二期末）函數(shù).(1)當時，求函數(shù)的極值；(2)當，且.①證明：有兩個極值點；②證明：對任意的.【答案】(1)，無極大值(2)①證明見解析；②證明見解析（1）當時，，解得當單調(diào)遞減；當單調(diào)遞增，當時，有極小值，，無極大值；（2）①證明：則，所以當時，單調(diào)遞減；當單調(diào)遞增；所以，由零點存在定理知，在上各有一個零點，即存在，使得所以在上，，單調(diào)遞增，在，，單調(diào)遞減再在上，，單調(diào)遞增所以有兩個極值點；②證明：由①可知的最小值為0，令，則，得到即，令，則，所以3．（2022·四川·成都七中高二期中（理））函數(shù).(1)若，對一切恒成立，求a的最大值；(2)證明：，其中e是自然對數(shù)的底數(shù).【答案】(1)1(2)證明見解析(1)，又，①當，恒成立，滿足題意；②當，令，，當，，單調(diào)遞減，當，，單調(diào)遞增；所以在處取得極小值，即最小值.要使恒成立，即，代入得，解得.綜上，∴a的最大值為1.(2)由（1）知，時，，當時，兩邊取對數(shù)得，由不等式對任意恒成立，當且僅當時，取“=”號，∴，恒成立.令（，且）則，∴，即，∴.4．（2022·四川·成都七中高二期中（文））函數(shù).(1)若，對一切恒成立，求a的最大值；(2)證明：，其中e是自然對數(shù)的底數(shù).【答案】(1)1(2)證明見解析(1)由題意得，，又，①當，恒成立，滿足題意；②當，令，，當，，單調(diào)遞減，當，，單調(diào)遞增；所以在處取得極小值，即最小值.要使恒成立，即，代入得，解得.綜上，∴a的最大值為1.(2)證明：當時，由（1）可知，當且僅當成立.令，即.∴，，…，，將各式相乘可得，即.突破八：利用導數(shù)證明雙變量不等式角度1：分離雙參，構(gòu)造函數(shù)1．（多選）（2022·全國·高三專題練習）若對任意的，，且，都有，則m的值可能是（

）A． B． C． D．1【答案】BCD【詳解】，且，則，整理得設(shè)，則只需要在上單調(diào)遞減即可，，令，解得，則，所以BCD符合，故選：BCD.2．（2022·遼寧·沈陽市第三十一中學高三階段練習），均有成立，則的取值范圍為___________.【答案】【詳解】不妨設(shè)，則，由可得，所以，即，所以，令，則，因為，所以在上單調(diào)遞減，所以對于恒成立，所以對于恒成立，可得對于恒成立，所以，因為在上單調(diào)遞減，所以，所以，故答案為：3．（2022·全國·高三專題練習）已知函數(shù)在點，（1）處的切線與軸平行．(1)求實數(shù)的值及的極值；(2)若對任意，，有，求實數(shù)的取值范圍．【答案】(1)，的極小值為，無極大值(2)，(1)函數(shù)，，令（1），，解得；令，則，解得，當時，，當時，，即在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增所以有極小值為（1）；無極大值；(2)由（1）可知在上單調(diào)遞增，不妨設(shè)，則，即函數(shù)在上單調(diào)遞增，又，在上恒成立，在上恒成立，又在上，因此實數(shù)的取值范圍是，．4．（2022·全國·高三專題練習）已知函數(shù)．(1)若函數(shù)有兩個極值點，求的取值范圍；(2)證明：若，則對于任意的，，，有．【答案】(1)，(2)證明見解析(1)由題意知，，因為函數(shù)有兩個極值點，所以有兩個不等的正根，即有兩個不等的正根，所以，解得，所以的取值范圍是，．(2)構(gòu)造函數(shù)，則．由于，，故，即在上單調(diào)遞增，從而當時，有，即，故；當時，同理可證．綜上，對于任意的，，，有角度2：糅合雙參（比值糅合）1．（2022·廣東北江實驗學校模擬預測）已知函數(shù)，.(1)討論的單調(diào)性；(2)任取兩個正數(shù)，當時，求證：.【答案】(1)答案見解析；(2)證明見解析.(1).當時，，令，得；令，得.所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.當，即時，令，得或；令，得.所以在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.當，即時，恒成立，所以在上單調(diào)遞增.當，即時，令，得或；令，得.所以在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.綜上所述，當時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當時，在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當時，在上單調(diào)遞增；當時，在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；(2)證明：由題意得，.要證，只需證，即證，即證.令，所以只需證在上恒成立，即證在上恒成立.令，則，令，則.所以在上單調(diào)遞減，即在上單調(diào)遞減，所以，所以在上單調(diào)遞增，所以.所以.2．（2022·全國·高三專題練習）已知函數(shù).(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)若，且，證明：.【答案】(1)答案見解析；(2)證明見解析.(1)函數(shù)定義域為，，①當時，在上恒成立，即函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為②當時，，解得，當時，，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，當時，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，綜上可知：①當時，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，無單調(diào)遞增區(qū)間；②當時，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為(2)依題意，是函數(shù)的兩個零點，設(shè)，因為，，，不等式，，所證不等式即設(shè)，令，則，在上是增函數(shù)，且，所以在上是增函數(shù)，且，即，從而所證不等式成立.3．（2022·全國·高三專題練習）已知函數(shù)(1)討論的單調(diào)性；(2)若存在兩個極值點，，證明：【答案】(1)答案不唯一，具體見解析(2)證明見解析（1），設(shè)．，，①當時，，，則，在上單調(diào)遞增，②當時，，的零點為，，且，令，得，或，令，得，在，上單調(diào)遞減，在，，單調(diào)遞增，③當時，，的零點為，在上單調(diào)遞增，在，上單調(diào)遞減．綜上所述：當時，在上單調(diào)遞增；當時，在，上單調(diào)遞減，在，，單調(diào)遞增；當時，在上單調(diào)遞增，在，上單調(diào)