前面我們介紹了隨機變量的數(shù)學期望和方差，對于多維隨機變量，反映分量之間關系的數(shù)字特征中，最重要的，就是本講要討論的“協(xié)方差和相關系數(shù)”.

協(xié)方差和相關系數(shù)下頁

任意兩個隨機變量X和Y的協(xié)方差,記為Cov(X,Y),[Covariance]

定義為⑶Cov(X1+X2,Y)=Cov(X1,Y)+Cov(X2,Y)⑴Cov(X,Y)=Cov(Y,X)一、協(xié)方差2.簡單性質⑵Cov(aX,bY)=abCov(X,Y)a,b是常數(shù)Cov(X,Y)=E{[X-E(X)][Y-E(Y)]}1.定義下頁

Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)

可見，若X與Y獨立，Cov(X,Y)=0.3.計算協(xié)方差的一個簡單公式由協(xié)方差的定義及期望的性質，可得Cov(X,Y)=E{[X-E(X)][Y-E(Y)]}=E(XY)-E(X)E(Y)-E(Y)E(X)+E(X)E(Y)=E(XY)-E(X)E(Y)即下頁若X1,X2,…,Xn兩兩獨立,，上式化為D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2Cov(X,Y)4.隨機變量和的方差與協(xié)方差的關系下頁二、相關系數(shù)為隨機變量X和Y的相關系數(shù).定義:設D(X)>0,D(Y)>0,稱在不致引起混淆時，記

為.下頁例1.求Cov(X,Y),ρXY解：E(X)=2,E(Y)=2；E(X2)=9/2,E(Y2)=9/2D(X)=1/2,D(Y)=1/2E(XY)=Cov(X,Y)=23/6–4=-1/6;???Y123101/61/1221/61/61/631/121/60X1/41/21/41）相關系數(shù)的計算下頁例2.

設隨機變量X的方差D(

X

)≠０且Y=aX+b(a≠０),求X和Y的相關系數(shù)ρXY.解：下頁2.X和Y獨立時，

=0，但其逆不真.由于當X和Y獨立時，Cov(X,Y)=0.故=0但由并不一定能推出X和Y獨立.請看下例.2）相關系數(shù)的性質及其與獨立性的關系下頁例3.

設X服從(-1/2,1/2)內的均勻分布,而Y=cos

(X)，求X，Y的相關系數(shù)。因而=0，即X和Y不相關.但Y與X有嚴格的函數(shù)關系，即X和Y不獨立.解：不難求得

Cov(X,Y)=0.相關系數(shù)刻劃了X和Y間“線性相關”的程度.下頁但對下述情形，獨立與不相關等價若(X,Y)服從二維正態(tài)分布，則X與Y獨立X與Y不相關顯然，若X與Y獨立，則X與Y不相關，但由X與Y不相關，不一定能推出X與Y獨立.下頁例4．設（X，Y）服從二維正態(tài)分布，求X，Y的相關系數(shù)。解：X，Y的聯(lián)合密度f(x,y)及邊緣密度fX(x),fY(y)如下：

從而說明二維正態(tài)分布隨機變量X、Y相互獨立ρ=0，即X、Y相互獨立與不相關是等價的。下頁例5．(X,Y)的概率密度如下,試證X與Y既不相關也不相互獨立。因fX(x)fY(y)≠f(x,y)，故X與Y不相互獨立。證明：(1)因為同樣E（Y）=0于是ρXY=0，所以

X與Y不相關。(2)下頁§4.5矩和協(xié)方差矩陣設X是隨機變量，若k=1,2,…存在，稱它為X的k階原點矩.k=1,2,…存在，若稱它為X的k階中心矩.

顯然，期望是X的一階原點矩，方差是X的二階中心矩.下頁協(xié)方差Cov(X,Y)是X和Y的二階混合中心矩.稱它為X和Y的k+L階混合（原點）矩.若存在，稱它為X和Y的k+L階混合中心矩.設X和Y是隨機變量，若k,L=1,2,…存在，可見，下頁協(xié)方差矩陣的定義

將二維隨機變量（X1,X2）的四個二階中心矩排成矩陣的形式:稱此矩陣為（X1,X2）的協(xié)方差矩陣.這是一個對稱矩陣下頁類似