幾何非線性有限元方法1引言非線性的來源材料非線性大應(yīng)變，大位移，大旋轉(zhuǎn)如果一個結(jié)構(gòu)承受大的變形，它改變的幾何構(gòu)形可導(dǎo)致非線性行為。在輕微的橫向載荷下，桿的端部是極度柔性的，當(dāng)載荷增加時，桿的幾何形狀改變（變彎曲）并減少了力臂（由于載荷移動），從而導(dǎo)致桿的剛度在較高載荷下不斷增大。幾何非線性問題：

板、殼等薄壁結(jié)構(gòu)在一定載荷作用下，盡管應(yīng)變很小，甚至未超過彈性極限，但是位移較大。這時必須考慮變形對平衡的影響，即平衡條件必須建立在變形后的位形上，同時應(yīng)變表達(dá)式應(yīng)包括位移的二次項---平衡方程和幾何條件都是非線性的；金屬成型材料在受載時都可能出現(xiàn)很大的應(yīng)變，這時除了采用非線性的平衡方程和幾何關(guān)系外，還需要引入相應(yīng)的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系。1引言1.物體運動的物質(zhì)描述2.格林和阿爾曼西應(yīng)變3.歐拉、拉格朗日和克希荷夫應(yīng)力4.大變形時平衡方程和虛位移原理5.大變形本構(gòu)關(guān)系6.彈性大變形問題的有限元法7.彈性分支點穩(wěn)定問題有限元分析8.物質(zhì)描述大變形增量問題的T.L、U.L法2內(nèi)容3.1物體運動的物質(zhì)描述-拉格朗日描述t=0的坐標(biāo)為

，t時刻位置為

，質(zhì)點運動可表為

對物體t時刻位置和變形的刻劃稱為構(gòu)形或位形，如圖示。

描述運動的參照基準(zhǔn)稱為參考位形，以初始位形作參考位形的描述稱為物質(zhì)描述或拉格朗日描述，稱為物質(zhì)坐標(biāo)。3.1物體運動的物質(zhì)描述-變形梯度

物體現(xiàn)時坐標(biāo)

對物質(zhì)坐標(biāo)

的偏導(dǎo)數(shù)稱為變形梯度，是非對稱的二階張量。

現(xiàn)時位形兩鄰點的距離為3.1物體運動的物質(zhì)描述-變形梯度

因此可以將變形梯度視作一種線性變換，它將參考位形中的線元

變換為現(xiàn)時位形中的線元

，這變換中既有伸縮，也有轉(zhuǎn)動。變形梯度在大變形分析中很重要。

初始位形兩鄰點的距離為物體運動和變形是單值和連續(xù)的，也即在任一時刻，和是一一對應(yīng)的，那么在參考位形的任意點Jacobi行列式J不為零。也即變形梯度可逆Ricci可由Ricci置換符號的定義和行列式的性質(zhì)證明Ricci符號3.1物體運動的物質(zhì)描述-體積及面積變換公式設(shè)圖示初始位形微元體體積為dV0，三線元為運動變形后，現(xiàn)時位形三線元為現(xiàn)時位形初始位形3.1物體運動的物質(zhì)描述-體積及面積變換公式因此，現(xiàn)時位形的體積可表為體積變換公式3.1物體運動的物質(zhì)描述-體積及面積變換公式

仿體積的變換公式又因變形前體積又因所以同理，變形后體積所以3.1物體運動的物質(zhì)描述-體積及面積變換公式3.1物體運動的物質(zhì)描述-體積及面積變換公式面積變換公式3.2Green和Almansi應(yīng)變張量設(shè)初始和現(xiàn)時位形中P、Q兩點的距離分別為3.4Green和Almansi應(yīng)變張量格林應(yīng)變張量阿爾曼西應(yīng)變張量格林應(yīng)變張量用初始位形定義，也即用變形前的坐標(biāo)定義它是lagrange坐標(biāo)的函數(shù)。阿爾曼西應(yīng)變張量用現(xiàn)時位形定義，它是Euler坐標(biāo)的函數(shù)。用變形前坐標(biāo)表示用變形后坐標(biāo)表示研究變形前后線段尺度的變化可以獲得變形的度量－應(yīng)變3.4Green和Almansi應(yīng)變張量Green和Almansi應(yīng)變張量關(guān)系

質(zhì)點的位移向量也同樣可用初始位形和現(xiàn)時位形定義上式對lagrange坐標(biāo)或?qū)uler坐標(biāo)求偏導(dǎo)位移對坐標(biāo)（）的偏導(dǎo)數(shù)，稱為位移梯度張量。初始坐標(biāo)的函數(shù)現(xiàn)時坐標(biāo)的函數(shù)3.4Green和Almansi應(yīng)變張量初始坐標(biāo)的函數(shù)現(xiàn)時坐標(biāo)的函數(shù)

由此公式可見，兩種應(yīng)變張量都是對稱的。

將位移梯度張量代入兩種應(yīng)變的表達(dá)式，可得用位移梯度張量表示的應(yīng)變公式如下3.4Green和Almansi應(yīng)變張量3.4Green和Almansi應(yīng)變張量

當(dāng)位移梯度很小時，位移梯度分量的乘積項是高階小量，可以不區(qū)分初始位形和現(xiàn)時位形，將高階項略去后，即可得到無限小應(yīng)變張量柯西應(yīng)變-工程應(yīng)變在大變形問題中，是用從變形后的物體內(nèi)截取的微元體來建立平衡方程及與之相等效的虛功原理的。因此首先在變形后的物體內(nèi)截取出的微元體上定義應(yīng)力張量，稱為Euler應(yīng)力張量，；此應(yīng)力張量有明確的含義，即代表真實的應(yīng)力張量。是現(xiàn)時位形和變形相關(guān)的真實應(yīng)力。由四面體的平衡，可將面的應(yīng)力，用表示3.5

應(yīng)力張量-Euler應(yīng)力張量邊界靜力平衡條件然而在分析過程中，必須聯(lián)系應(yīng)力與應(yīng)變。如果應(yīng)變是用變形前的坐標(biāo)（初始位形）表示的Green應(yīng)變張量，那么，還需定義與之相對應(yīng)的，即關(guān)于變形前位形的應(yīng)力張量。3.5應(yīng)力張量-

Lagrange應(yīng)力張量、Kirchhoff應(yīng)力張量（名義應(yīng)力張量）對于變形后的位形（現(xiàn)時位形），有Euler應(yīng)力張量對于變形前的位形（初始位形），可以定義名義應(yīng)力

?Kirchhoff規(guī)定:第二類Piola-Kirchhoff應(yīng)力張量Lagrange規(guī)定Lagrange應(yīng)力張量3.5應(yīng)力張量-

Lagrange應(yīng)力張量、Kirchhoff應(yīng)力張量（名義應(yīng)力張量）利用初始和現(xiàn)時位形中物質(zhì)面元間的關(guān)系(變形前后)，得3.5應(yīng)力張量-

Lagrange應(yīng)力張量與Euler應(yīng)力張量關(guān)系上式左乘Lagrange規(guī)定邊界靜力平衡條件3.5應(yīng)力張量-

Lagrange應(yīng)力張量與Euler應(yīng)力張量關(guān)系Kirchhoff規(guī)定:Kirchhoff應(yīng)力張量與Lagrange應(yīng)力張量關(guān)系根據(jù)Lagrange應(yīng)力張量與Euler應(yīng)力張量關(guān)系Lagrange規(guī)定:3.5應(yīng)力張量-

Lagrange應(yīng)力張量與Euler應(yīng)力張量關(guān)系根據(jù)Lagrange應(yīng)力張量與Euler應(yīng)力張量關(guān)系Kirchhoff應(yīng)力張量與Euler應(yīng)力張量關(guān)系？3.5應(yīng)力張量關(guān)系克希荷夫應(yīng)力張量在空間固定坐標(biāo)下，是一個不隨剛體轉(zhuǎn)動而變的客觀張量。歐拉應(yīng)力不是?？讼：煞驊?yīng)力張量和Green應(yīng)變張量構(gòu)成描述材料本構(gòu)關(guān)系的一個適當(dāng)?shù)拇钆湟虼?，雖然二階