第6章：控制系統(tǒng)計算機輔助設(shè)計控制系統(tǒng)計算機輔助設(shè)計（CAD）即在給定的被控對象數(shù)學(xué)模型及系統(tǒng)性能指標(biāo)條件下，設(shè)計能夠達到給定性能指標(biāo)要求的控制器，也就是確定控制器的結(jié)構(gòu)和參數(shù)。6.1PID控制器的設(shè)計

本節(jié)主要介紹PID控制器的Ziegler-Nichols經(jīng)驗整定方法的MATLAB設(shè)計方法。6.1.1PID控制基本原理

PID控制器的連續(xù)表達式或者連續(xù)PID的傳遞函數(shù)模型為：或在設(shè)計上為了避免微分運算，通常一個超前的一階環(huán)節(jié)去近似微分環(huán)節(jié)，此時PID控制器如下所示：5.1.2比例（P）控制及性能分析比例控制器的傳遞函數(shù)為：某單位反饋系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為：=1、4、10、50時的單位階躍響應(yīng)曲線為：

從圖中可以看出，隨著比例系數(shù)的增加，閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差減小、上升時間縮短、調(diào)節(jié)次數(shù)增大，最大超調(diào)量增大，而且閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差無法消除。6.1.3比例積分（PI）控制及性能分析PI控制器的傳遞函數(shù)為或已知某單位反饋系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為：如果采用比例積分（PI）控制器進行調(diào)節(jié)，比例系數(shù)分別為：積分系數(shù)=0.2,0.8,1.4,2.0,5時的單位階躍響應(yīng)曲線從圖中可以看出，隨著積分系數(shù)的增大（或者說積分時間常數(shù)的減?。?，閉環(huán)系統(tǒng)響應(yīng)速度加快，調(diào)節(jié)次數(shù)增加、最大超調(diào)量增大，穩(wěn)定性變差。同時由于積分環(huán)節(jié)的存在，閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)為零。6.1.4比例微分（PD）控制及性能分析PD控制器傳遞函數(shù)為：

或已知某單位反饋系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為：如果采用比例微分（PD）控制器進行調(diào)節(jié),取=0.2,1.5,3.2,10時的單位階躍響應(yīng)曲線如下圖所示從圖中可以看出，隨著微分系數(shù)的增大，閉環(huán)系統(tǒng)上升時間減小、響應(yīng)速度加快，同時比例微分控制無法消除穩(wěn)態(tài)誤差。6.1.5PID控制器的設(shè)計1Ziegler-Nichols整定方法Ziegler（齊格勒）和Nichols（尼克爾斯）于1942提出了PID參數(shù)的經(jīng)驗整定公式。其適用對象為帶有延遲環(huán)節(jié)的一節(jié)慣性環(huán)節(jié)，即：PID參數(shù)的Ziegler-Nichols經(jīng)驗整定公式Ziegler-Nichols整定的時域分析方法根據(jù)給定對象時域響應(yīng)來確定PID控制器的參數(shù)。在已知被控對象數(shù)學(xué)模型或通過實驗獲取被控對象的單位階躍響應(yīng)，如果單位階躍響應(yīng)曲線看起來近似一條S形曲線，則可用Ziegler-Nichols經(jīng)驗整定公式，否則，該公式不適用。

使用Ziegler-Nichols整定公式時的注意事項：如果被控對象不含有純延遲環(huán)節(jié)，就不能夠通過Ziegler-Nichols時域整定公式進行PID參數(shù)的整定，此時可求取被控對象的頻裕響應(yīng)數(shù)據(jù)。如果被控對象含有純延遲環(huán)節(jié)，可通過pade命令將純延遲環(huán)節(jié)近似為一個四階傳遞函數(shù)模型。其中Kc為被控對象幅值裕度，wc為截止頻率（或剪切頻率）。

例題6-5：已知被控對象數(shù)學(xué)模型為：試?yán)肸iegler－Nichols經(jīng)驗整定公式，分別計算P、PI、PID控制器參數(shù)，并進行階躍響應(yīng)仿真?！纠}】已知某被控對象傳遞函數(shù)為:試?yán)肸iegler-Nichols經(jīng)驗整定公式分別設(shè)計P、PI、PID控制器，并求其單位階躍響應(yīng)曲線。解：設(shè)計上述P、PI、PID控制器的 MALTAB命令如下：num=10;den=conv([10],conv([0.011],[0.0251]));G=tf(num,den);s=tf('s');[Gm,Pm,Wcg,Wcp]=margin(G);%計算頻域響應(yīng)參數(shù)，增益裕量Gm和剪切頻率WcpTc=2*pi/Wcp;%計算剪切頻率對應(yīng)的時間周期Tc%P控制器PKp=0.5*Gm;%頻率響應(yīng)整定法計算P控制器sys1=feedback(PKp*G,1,-1);step(sys1,'k-')%繪制閉環(huán)階躍響應(yīng)曲線holdongtext('P'),pause%PI控制器PIKp=0.4*Gm;%頻率響應(yīng)整定法計算PI控制器PITi=0.8*Tc;PIGc=PIKp*(1+1/(PITi*s));sys2=feedback(PIGc*G,1,-1);step(sys2,'b:'),holdon%繪制閉環(huán)階躍響應(yīng)曲線gtext('PI'),pause%PID控制器PIDKp=0.6*Gm;%頻率響應(yīng)整定法計算PID控制器PIDTi=0.5*Tc;PIDTd=0.12*Tc;PIDGc=PIDKp*(1+1/(PIDTi*s)+PIDTd*s);%/((PIDTd/10)*s+1)sys3=feedback(PIDGc*G,1,-1)step(sys3,'g--'),holdon%繪制閉環(huán)階躍響應(yīng)曲線，線形為綠色虛線gtext('PID')title('P、PI、PID控制單位階躍響應(yīng)')xlabel('時間'),ylabel('幅值')由上述命令可得P、PI、PID控制器作用下，系統(tǒng)的階躍響應(yīng)曲線如下圖所示。6.2串聯(lián)超前校正器設(shè)計利用超前網(wǎng)絡(luò)進行串聯(lián)校正的基本原理，是利用超前網(wǎng)絡(luò)的相角超前特性。根據(jù)超前網(wǎng)絡(luò)的頻率特性，將其產(chǎn)生最大相角的交接頻率選擇待校正系統(tǒng)的截止頻率的兩旁，并適當(dāng)選擇參數(shù)就可以使校正系統(tǒng)的截止頻率和相角裕度滿足設(shè)計要求，從而改善閉環(huán)系統(tǒng)的動態(tài)性能。6.2.1超前校正網(wǎng)絡(luò)的基本特性

超前校正網(wǎng)絡(luò)的等效RC電路如下圖所示，其傳遞函數(shù)為：進行串聯(lián)校正時，系統(tǒng)的開環(huán)增益要下降倍，因此需要增加一個開環(huán)增益為的放大器補償超前校正網(wǎng)絡(luò)引入代理的增益下降。所以實際使用中帶增益補償?shù)某靶ＵW(wǎng)絡(luò)傳遞函數(shù)為：根據(jù)上式可繪制其對數(shù)頻率特性曲線。取a=1.5、2.0、2.5三個值，取T=0.2可得串聯(lián)超前校正網(wǎng)絡(luò)的頻率特性如下圖所示。為了充分發(fā)揮超前網(wǎng)絡(luò)相角補償?shù)淖饔?，?yīng)調(diào)節(jié)參數(shù)a和T將串聯(lián)超前校正器最大超前角頻率設(shè)置校正后系統(tǒng)的期望剪切頻率附近。校正器產(chǎn)生相角的最大超前角頻率為

并求得最大超前角：在最大超前角時，對應(yīng)的對數(shù)幅頻值為：第一步：根據(jù)系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差要求，求出系統(tǒng)開環(huán)增益。第二步：根據(jù)求得的開環(huán)增益，借助margin命令繪制系統(tǒng)的繪制系統(tǒng)校正前的Bode圖，并計算校正前系統(tǒng)的增益裕量Gm，相位裕量Pm和剪切頻率Wc1。檢驗這些指標(biāo)是否符合要求。如果不符合則進行下一步。第三步：計算要增加的最大相角超前量，即：6.2.2串聯(lián)超前校正器的Bode圖設(shè)計P0是校正后期望的相位裕量，Pm是校正前的相位裕量，5～10度是為了補償校正后剪切頻率的移動帶來的原系統(tǒng)相位的滯后。第四步：再由最大相位超前量計算超前校正網(wǎng)絡(luò)的即：第五步：確定系統(tǒng)校正后的剪切頻率。串聯(lián)了超前校正網(wǎng)絡(luò)以后的對數(shù)幅頻特性曲線相當(dāng)于是校正前系統(tǒng)對數(shù)幅頻特性值加上一個的數(shù)值（對應(yīng)的校正后幅頻特性曲線上移），串聯(lián)超前校正網(wǎng)絡(luò)以后的相頻特性曲線相當(dāng)于是校正前系統(tǒng)相頻特性值加上一個（對應(yīng)的校正后相頻特性曲線上移）。因此校正后的剪切頻率應(yīng)選在系統(tǒng)校正前幅值為

示意圖如下求校正后系統(tǒng)剪切頻率，可以采用MATLAB中的插值函數(shù)yi=spline(x,y,xi)來計算。Spline函數(shù)基本用法是：在yi=spline(x,y,xi)中，y與x是滿足某函數(shù)關(guān)系y＝f（x）的對應(yīng)向量，即x＝[x1,x2,……xn]，y＝[y1,y2,……yn]?，F(xiàn)已知xi為區(qū)間[x1,xn]中某數(shù)值，利用函數(shù)yi=spline(x,y,xi)可求得對應(yīng)xi的y值yi。

因為校正后期望剪切頻率Wc2發(fā)生在超前校正網(wǎng)絡(luò)最大超前角頻率Wm，因此可得：

進因可得超前校正器傳遞函數(shù)；第六步：求超前校正器傳遞函數(shù)中的T第七步：在系統(tǒng)中串聯(lián)一個增益為a的放大器，可補償超前校正器引入帶來的增益損失，則超前校正網(wǎng)絡(luò)可寫成：第八步：根據(jù)校正后系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)繪制系統(tǒng)的bode圖，驗證系統(tǒng)性能指標(biāo)。其中校正后系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為：第九步：繪制閉環(huán)系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)曲線，觀察系統(tǒng)性能。例題已知某單位負反饋系統(tǒng)被控對象的傳遞函數(shù)為；

設(shè)計一個超前校正網(wǎng)絡(luò)使系統(tǒng)滿足如下要求：（1）單位斜坡輸入作用下，系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差小于0.001；（2）校正后系統(tǒng)的相位裕量Pm范圍是：40°～50°解：首先求取滿足穩(wěn)態(tài)誤差要求的開環(huán)增益：對于I型系統(tǒng)在單位斜坡信號作用下系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差為：用下面繪制MATLAB命令繪制系統(tǒng)bode圖并求取其頻域指標(biāo)。s=tf('s')%生成拉普拉斯變量sG=1000/(s*(2*s+1)*(0.02*s+1));%生成開環(huán)傳遞函數(shù)margin(G)%繪制Bode圖，計算并顯示出增益裕量Gm及其穿越頻率wg。相位裕量Pm及其剪切頻率wcgrid所以可得到系統(tǒng)開環(huán)增益K≥1000。取K＝1000。此時可得被控對象開環(huán)傳遞函數(shù)為：由圖5-14看出，系統(tǒng)幅值裕量Gm＝-5.93dB,相角裕量Pm＝-3.93度。不滿足系統(tǒng)性能要求。可進行如下設(shè)計：s=tf('s')%生成拉普拉斯變量sG=1000/(s*(0.2*s+1)*(0.002*s+1));%生成開環(huán)傳遞函數(shù)%第三步，求超前校正器傳遞函數(shù),根據(jù)已知條件Pm范圍為40-50度，取校正后系統(tǒng)相位裕度Pm＝45度。[mag,phase,w]=bode(G);%獲得對數(shù)頻率特性上每個頻率w對應(yīng)的對數(shù)幅值及相位角。[Gm,Pm]=margin(G);%計算開環(huán)傳遞函數(shù)的幅值裕度和相角裕度QWPm=45;%校正后期望相角裕量FIm=QWPm-Pm+5%計算最大相位超前FIm=FIm*pi/180;%將角度表示的最大相位超前轉(zhuǎn)換為弧度。alfa=(1+sin(FIm))/(1-sin(FIm));%計算校正器的alfaadb=20*log10(mag);%計算開環(huán)傳遞函數(shù)對應(yīng)不同頻率的對數(shù)幅值am=10*log10(alfa);%計算對應(yīng)校正后期望剪切頻率處的開環(huán)傳遞函數(shù)的對數(shù)幅值。wc2=spline(adb,w,-am);%利用線性插值函數(shù)求取對應(yīng)am幅值處的頻率（剪切頻率wc2）T=1/(wc2*sqrt(alfa));%求超前校正器的時間常數(shù)Talfat=alfa*T;Gc=tf([alfa*T1],[T1]);%求帶增益損失補償?shù)男Ｕ鱾鬟f函數(shù)%第四步，求校正后系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)，并繪制Bode圖，Gh=Gc*G;figure(2)margin(Gh)%繪制校正后系統(tǒng)Bode圖grid%求取校正后閉環(huán)系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)sysb=feedback(Gh,1,-1);figure(3)step(sysb)gridtitle('校正后閉環(huán)系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)')xlabel('時間')ylabel('幅值')由上述命令可得校正后系統(tǒng)的bode圖如上圖所示。從圖中可以看出，系統(tǒng)的幅值裕量Gm=15.3dB，相角裕量Pm=42.6度,滿足設(shè)計要求。閉環(huán)系統(tǒng)能構(gòu)穩(wěn)定。同時可得閉環(huán)系統(tǒng)單位負反饋階躍響應(yīng)曲線如圖5-16所示?？梢婇]環(huán)系統(tǒng)性能良好，滿足設(shè)計要求。6.3滯后校正器的設(shè)計6.3.1滯后校正網(wǎng)絡(luò)的基本特性

滯后校正網(wǎng)絡(luò)的等效RC電路如圖所示，其傳遞函數(shù)為：式中:<1，

通常稱為滯后網(wǎng)絡(luò)的分度系數(shù)，表示滯后深度。取T＝1，＝0.25，0.5，0.75三個值來觀察滯后校正網(wǎng)絡(luò)的對數(shù)頻率特性曲線,命令如下：s=tf('s');T=1;forbeta=0.25:0.25:0.75num=[beta*T1];den=[T,1];Gc=tf(num,d