高等數(shù)學(xué)期末復(fù)習(xí)函數(shù)的性質(zhì)：有界性單調(diào)性奇偶性周期性例：y=sinxx∈[-1,2]非奇非偶函數(shù)例：y=sinxx∈[-1,1]奇函數(shù)【注意】奇偶性是相對(duì)于定義域而言的。判斷奇偶性時(shí)定義域必須關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱。復(fù)合函數(shù)例.復(fù)合的條件是什么？例：

設(shè)

求例.解:它是由以下幾個(gè)函數(shù)復(fù)合而成:復(fù)合函數(shù)的分解P29(3.8)例1(消去零因子法)例2(無(wú)窮小因子分出法)P29(3.7/3.10/3.9)例1

函數(shù)的連續(xù)性

定義1.設(shè)f(x)在x0的某鄰域U(x0)內(nèi)有定義.則稱f(x)在x0連續(xù),x0稱為f(x)的連續(xù)點(diǎn).包含的條件：①

f(x)在x0處有定義；②f(x)在x0的極限存在；③f(x)在x0的極限值等于f(x)在x0的函數(shù)值。例例f(x)在x=0連續(xù).問a為何值時(shí),函數(shù)f(x)在x0處連續(xù)就一定在在x0處有極限嗎？連續(xù)與極限的關(guān)系√函數(shù)f(x)在x0處有極限就一定在在x0處連續(xù)嗎？×初等函數(shù)的連續(xù)性基本初等函數(shù)在定義區(qū)間內(nèi)連續(xù)連續(xù)函數(shù)經(jīng)四則運(yùn)算仍連續(xù)連續(xù)函數(shù)的復(fù)合函數(shù)連續(xù)一切初等函數(shù)在定義區(qū)間內(nèi)連續(xù)例如,的連續(xù)區(qū)間為(端點(diǎn)為單側(cè)連續(xù))注意1.初等函數(shù)僅在其定義區(qū)間內(nèi)連續(xù),在其定義域內(nèi)不一定連續(xù);例如,這些孤立點(diǎn)的鄰域內(nèi)沒有定義.在0點(diǎn)的鄰域內(nèi)沒有定義.注意2.初等函數(shù)求極限的方法代入法.一、導(dǎo)數(shù)的定義定義1.設(shè)函數(shù)在點(diǎn)存在,并稱此極限為記作:則稱函數(shù)若的某鄰域內(nèi)有定義,在點(diǎn)處可導(dǎo),在點(diǎn)的導(dǎo)數(shù).等價(jià)形式：如果改寫成：定理.函數(shù)在點(diǎn)且可導(dǎo)的充分必要條件是應(yīng)用情境：主要用于分段函數(shù)在分段點(diǎn)處的可導(dǎo)性判斷。例二、隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)若由方程可確定y是x的函數(shù),由表示的函數(shù),稱為顯函數(shù).例如,可確定顯函數(shù)可確定y是x的函數(shù),但此隱函數(shù)不能顯化.函數(shù)為隱函數(shù)

.則稱此隱函數(shù)求導(dǎo)方法:兩邊對(duì)

x求導(dǎo)(含導(dǎo)數(shù)的方程)三、對(duì)數(shù)求導(dǎo)法觀察函數(shù)方法:先在方程兩邊取對(duì)數(shù),然后利用隱函數(shù)的求導(dǎo)方法求出導(dǎo)數(shù).——目的是利用對(duì)數(shù)的性質(zhì)簡(jiǎn)化求導(dǎo)運(yùn)算。--------對(duì)數(shù)求導(dǎo)法適用范圍:課本例例解等式兩邊取對(duì)數(shù)得極限連續(xù)導(dǎo)數(shù)極限、連續(xù)與可導(dǎo)的關(guān)系定理如果函數(shù)

及

都在點(diǎn)

具有導(dǎo)數(shù)，則(1)(2)(3)

微分P68(3.4)二、L’Hospital法則未定式利用這一法則，可以直接求這兩種等其它類型的未定式的極限?；疚炊ㄊ降臉O限，也可間接求出函數(shù)之商的極限導(dǎo)數(shù)之商的極限

轉(zhuǎn)化(或型)本小節(jié)研究:洛必達(dá)法則1、存在(或?yàn)?定理1.型未定式(洛必達(dá)法則)推論.定理1中換為例1.求2、型未定式存在(或?yàn)椤?定理2.(洛必達(dá)法則)內(nèi)容小結(jié)洛必達(dá)法則令取對(duì)數(shù)三、單調(diào)性與極值步驟:例解2、函數(shù)的最值(1).求駐點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn);(2).求區(qū)間端點(diǎn)及駐點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn)的函數(shù)值,比較大小,那個(gè)大那個(gè)就是最大值,那個(gè)小那個(gè)就是最小值;注意:如果區(qū)間內(nèi)只有一個(gè)極值,則這個(gè)極值就是最值.(最大值或最小值)例解得駐點(diǎn)這些點(diǎn)處的函數(shù)值為：比較以上各點(diǎn)處的函數(shù)值即可。步驟:一元積分學(xué)微分不定積分定積分極限導(dǎo)數(shù)積分上限函數(shù)一、不定積分不定積分的定義：不定積分的計(jì)算方法換元法湊微分法三角代換法根式代換不定積分法有理函數(shù)積分法例求解說明當(dāng)被積函數(shù)是三角函數(shù)相乘時(shí)，拆開奇次項(xiàng)去湊微分.湊微分法：例求解說明當(dāng)被積函數(shù)是三角函數(shù)相乘時(shí)，如果是偶次項(xiàng)，需要進(jìn)行降階處理。三角代換法：三角代換的目的是化掉根式.一般規(guī)律如下：當(dāng)被積函數(shù)中含有可令可令可令注意：所作代換的單調(diào)性。對(duì)三角代換而言，掌握著取單調(diào)區(qū)間即可。例求解令例求（三角代換很繁瑣）解令倒代換法：當(dāng)分母的階較高時(shí),可采用倒代換例求解令根式代換：當(dāng)被積函數(shù)含有兩種或兩種以上的根式時(shí)，可采用令（其中為各根指數(shù)的最小公倍數(shù)）例求解令分部積分公式選擇u、v

的有效方法:ILAET選擇法I----反三角函數(shù)；L----對(duì)數(shù)函數(shù)；A----冪函數(shù)；E----指數(shù)函數(shù)；T----三角函數(shù)；哪個(gè)在前哪個(gè)選作u.反、對(duì)、冪、指、三角排序在后者優(yōu)先進(jìn)入積分號(hào)分部積分法一些特殊的極限應(yīng)用例1：例2：例3：二元函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)的幾何意義:是曲線在點(diǎn)M0處的切線對(duì)x

軸的斜率.在點(diǎn)M0處的切線斜率.是曲線對(duì)y軸的一元復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則一、多元復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的鏈?zhǔn)椒▌t4.3.1多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則4.3.1、多元復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則定理3.

若函數(shù)處有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),則復(fù)合函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)，推廣:設(shè)下面所涉及的函數(shù)都可微.1)中間變量是一元函數(shù)的情形.例如,2