第八節(jié)二項分布、正態(tài)分布及其應(yīng)用【知識梳理】1.條件概率(1)定義:設(shè)A,B為兩個事件,且P(A)>0,稱P(B|A)=______為在______發(fā)生的條件下,______發(fā)生的條件概率.事件A事件B(2)性質(zhì):①條件概率具有一般概率的性質(zhì),即0≤P(B|A)≤1;②如果B,C是兩個互斥事件,則P(B∪C|A)=_______+_______.P(B|A)P(C|A)2.相互獨立事件(1)定義:設(shè)A,B是兩個事件,若P(AB)=_________,則稱事件A與事件B相互獨立.(2)性質(zhì):若事件A與B相互獨立,那么A與___,___與B,與___也都相互獨立.P(A)P(B)3.獨立重復(fù)試驗概率公式在相同條件下重復(fù)做的n次試驗稱為n次獨立重復(fù)試驗,若用Ai(i=1,2,…,n)表示第i次試驗的結(jié)果,則P(A1A2A3…An)=_____________________.P(A1)P(A2)P(A3)…P(An)4.二項分布的定義在n次獨立重復(fù)試驗中,設(shè)事件A發(fā)生的次數(shù)為X,在每次試驗中事件A發(fā)生的概率為p,則P(X=k)=__________,k=0,1,2,…,n.此時稱隨機變量X服從二項分布,記作X～B(n,p),并稱p為成功概率.5.正態(tài)曲線的定義函數(shù)φμ,σ(x)=___________,x∈(-∞,+∞),其中實數(shù)μ和σ(σ>0)為參數(shù),稱φμ,σ(x)的圖象為正態(tài)分布密度曲線,簡稱正態(tài)曲線.6.正態(tài)分布的定義及表示如果對于任何實數(shù)a,b(a<b),隨機變量X滿足P(a<X≤b)=φμ,σ(x)dx,則稱隨機變量X服從正態(tài)分布,記作N(μ,σ2).7.正態(tài)曲線的特點(1)曲線位于x軸的_____,與x軸不相交.(2)曲線是單峰的,它關(guān)于直線_____對稱.(3)曲線在_____處達到峰值(4)曲線與x軸之間的面積為1.上方x=μx=μ(5)當(dāng)σ一定時,曲線的位置由μ確定,曲線隨著μ的變化而沿____平移.(6)當(dāng)μ一定時,曲線的形狀由σ確定.σ越小,曲線越“_____”,表示總體的分布越_____;σ越大,曲線越“_____”,表示總體的分布越_____.x軸瘦高集中矮胖分散8.3σ原則(1)P(μ-σ<X≤μ+σ)=_______.(2)P(μ-2σ<X≤μ+2σ)=_______.(3)P(μ-3σ<X≤μ+3σ)=_______.0.68260.95440.9974【特別提醒】1.“相互獨立”和“事件互斥”的區(qū)別兩事件互斥是指兩事件不可能同時發(fā)生,兩事件相互獨立是一個事件的發(fā)生與否對另一個事件發(fā)生的概率沒有影響,兩個事件相互獨立,不一定互斥.2.掌握常見五個事件的含義(1)A,B中至少有一個發(fā)生的事件為A∪B.(2)A,B都發(fā)生的事件為AB.(3)A,B都不發(fā)生的事件為(4)A,B恰有一個發(fā)生的事件為(5)A,B至多一個發(fā)生的事件為3.二項分布是在獨立重復(fù)試驗中產(chǎn)生的,離開獨立重復(fù)試驗不存在二項分布.4.若X～B(n,p),則當(dāng)k由0增大到n時,P(X=k)先由小到大然后由大到小,且當(dāng)k取不超過(n+1)p的最大整數(shù)時P(X=k)最大.【小題快練】鏈接教材練一練1.(選修2-3P59習(xí)題2.2B組T1改編)甲、乙兩人進行圍棋比賽,比賽采取五局三勝制,無論哪一方先勝出三局則比賽結(jié)束,假定甲每局比賽獲勝的概率均為,則甲以3∶1的比分獲勝的概率為()【解析】選A.前三局中甲獲勝2局,第四局甲勝,則2.(選修2-3P58練習(xí)T1改編)加工某一零件需經(jīng)過三道工序,設(shè)第一、二、三道工序的次品率分別為且各道工序互不影響,則加工出來的零件的次品率為________.【解析】依題意得,加工出來的零件的正品率是因此加工出來的零件的次品率是答案:感悟考題試一試3.(2015·湖北高考)設(shè)X～N(μ1,),Y～N(μ2,),這兩個正態(tài)分布密度曲線如圖所示.下列結(jié)論中正確的是()A.P(Y≥μ2)≥P(Y≥μ1)B.P(X≤σ2)≤P(X≤σ1)C.對任意正數(shù)t,P(X≤t)≥P(Y≤t)D.對任意正數(shù)t,P(X≥t)≥P(Y≥t)【解析】選C.由圖可知μ1<μ2,0<σ1<σ2.選項具體分析結(jié)論A應(yīng)為P(Y≥μ2)<P(Y≥μ1).表示x=μ1,x=μ2右邊曲線與橫軸圍成的面積.錯誤B應(yīng)為P(X≤σ2)>P(X≤σ1).錯誤C對任意正數(shù)t,P(X≤t)≥P(Y≤t)是對的.正確D對任意正數(shù)t,P(X≥t)≥P(Y≥t)與C相反,是錯的.錯誤4.(2015·全國卷Ⅰ)投籃測試中,每人投3次,至少投中2次才能通過測試.已知某同學(xué)每次投籃投中的概率為0.6,且各次投籃是否投中相互獨立,則該同學(xué)通過測試的概率為()A.0.648 B.0.432 C.0.36 D.0.312【解析】選A.根據(jù)獨立重復(fù)試驗公式得,該同學(xué)通過測試的概率為0.62×0.4+0.63=0.648.5.(2016·商丘模擬)有一批種子的發(fā)芽率為0.9,出芽后的幼苗成活率為0.8,在這批種子中,隨機抽取一粒,則這粒種子能成長為幼苗的概率為________.【解析】由題意可得所求概率=0.8×0.9=0.72,即這粒種子能成長為幼苗的概率為0.72.答案:0.726.(2016·哈爾濱模擬)在一次高三數(shù)學(xué)模擬考試中,第22題和23題為選做題,規(guī)定每位考生必須且只需在其中選做一題.設(shè)4名考生選做這兩題的可能性均為,則其中甲、乙兩名學(xué)生選做同一道題的概率為________.【解析】設(shè)事件A表示“甲選做第22題”,事件B表示“乙選做第22題”,則甲、乙兩名學(xué)生選做同一道題的事件為“AB∪”,且事件A,B相互獨立,所以答案:考向一條件概率與正態(tài)分布【典例1】(1)(2016·長春模擬)從1,2,3,4,5中任取2個不同的數(shù),事件A:“取到的2個數(shù)之和為偶數(shù)”,事件B:“取到的2個數(shù)均為偶數(shù)”,則P(B|A)=()(2)(2015·山東高考)已知某批零件的長度誤差(單位:毫米)服從正態(tài)分布N(0,32),從中隨機取一件,其長度誤差落在區(qū)間(3,6)內(nèi)的概率為()A.4.56%B.13.59%C.27.18%D.31.74%(本題源自A版選修2-3P75習(xí)題2.4A組T2)【解題導(dǎo)引】(1)先求出事件A與AB的概率,再由條件概率公式P(B|A)=計算.(2)因為μ=0,σ=3,所以利用正態(tài)曲線對稱性可先計算P(-3<ξ<3),P(-6<ξ<6)的一半,然后求解.【規(guī)范解答】(1)選B.P(A)=P(AB)=由條件概率計算公式,得P(B|A)=【一題多解】解答題(1),還可以用如下方法:

(1)選B.從1,2,3,4,5中任取2個不同的數(shù),取到兩個數(shù)之和為偶數(shù)的事件個數(shù)為n(A)=

取到的兩個數(shù)均為偶數(shù)的事件個數(shù)為n(B)==1,

故所求事件的概率P=(2)選B.由正態(tài)分布的對稱性可得P(0<ξ<3)=×68.26%=34.13%,P(0<ξ<6)=×95.44%=47.72%,

P(3<ξ<6)=47.72%-34.13%=13.59%.

【母題變式】1.把本例題(1)中的事件B:“取到的2個數(shù)均為偶數(shù)”改為“取到的2個數(shù)均為奇數(shù)”,則P(B|A)=________.【解析】事件A=“取到的2個數(shù)之和為偶數(shù)”所包含的基本事件有:(1,3),(1,5),(3,5),(2,4),所以P(A)=事件B:“取到的2個數(shù)均為奇數(shù)”所包含的基本事件有(1,3),(1,5),(3,5),所以P(AB)=,所以P(B|A)=答案:2.把本例題(1)事件A中的“和”變?yōu)椤胺e”,其他條件不變,則P(B|A)=________.【解析】事件A:“取到的2個數(shù)之積為偶數(shù)”所包含的基本事件有:(1,2),(3,2),(4,2),(5,2),(4,1),(4,3),(4,5),所以P(A)=事件B:“取到的2個數(shù)均為偶數(shù)”所包含的基本事件有(2,4),所以P(AB)=所以P(B|A)=答案:【規(guī)律方法】1.條件概率的求法(1)定義法:先求P(A)和P(AB),再由P(B|A)=求P(B|A).(2)基本事件法:借助古典概型概率公式,先求事件A包含的基本事件數(shù)n(A),再求事件AB所包含的基本事件數(shù)n(AB),得P(B|A)=2.正態(tài)分布下兩類常見的概率計算(1)利用正態(tài)分布密度曲線的對稱性研究相關(guān)概率問題,涉及的知識主要是正態(tài)曲線關(guān)于直線x=μ對稱,曲線與x軸之間的面積為1.(2)利用3σ原則求概率問題時,要注意把給出的區(qū)間或范圍與正態(tài)變量的μ,σ進行對比聯(lián)系,確定它們屬于(μ-σ,μ+σ),(μ-2σ,μ+2σ),(μ-3σ,μ+3σ)中的哪一個.【變式訓(xùn)練】1.(2016·唐山模擬)設(shè)隨機變量ξ服從正態(tài)分布N(0,1),若P(ξ>1)=p,則P(-1<ξ<0)=()A.+pB.1-pC.1-2pD.-p【解析】選D.因為隨機變量ξ服從正態(tài)分布N(0,1),所以正態(tài)分布曲線關(guān)于直線x=0對稱,所以P(ξ>0)=P(ξ<0)=,P(ξ>1)=P(ξ<-1)=p,所以P(-1<ξ<0)=P(ξ<0)-P(ξ<-1)=-p.2.(2016·廈門模擬)根據(jù)歷年氣象統(tǒng)計資料,宜都三月份吹東風(fēng)的概率為,下雨的概率為,既吹東風(fēng)又下雨的概率為,則在吹東風(fēng)的條件下下雨的概率為()【解析】選B.設(shè)事件A表示宜都三月份吹東風(fēng),事件B表示三月份下雨,根據(jù)條件概率計算公式可得在吹東風(fēng)的條件下下雨的概率P(B|A)=【加固訓(xùn)練】

1.如圖,EFGH是以點O為圓心,半徑為1的圓的內(nèi)接正方形.將一顆豆子隨機地扔到該圓內(nèi),用A表示事件“豆子落在正方形EFGH內(nèi)”,B表示事件“豆子落在扇形OHE(陰影部分)內(nèi)”,則P(B|A)=________.【解析】由題意可得，事件A發(fā)生的概率P(A)=事件AB表示“豆子落在△EOH內(nèi)”，則P(AB)=故答案:2.(2016·貴陽模擬)袋中有5個球,其中3個白球,2個黑球,現(xiàn)不放回地每次抽取1個球,則在第一次取到白球的條件下,第二次取到白球的概率為__________.【解析】方法一:記第二次取到白球為事件B,

則P(B)=方法二:第一次取到白球為事件A,第二次取到白球為事件B,則P(B|A)=

答案:3.設(shè)隨機變量ξ服從正態(tài)分布N(μ,σ2),函數(shù)f(x)=x2+4x+ξ沒有零點的概率是,則μ等于_______.【解析】根據(jù)題意,函數(shù)f(x)=x2+4x+ξ沒有零點時,Δ=16-4ξ<0,即ξ>4,根據(jù)正態(tài)曲線的對稱性,當(dāng)函數(shù)f(x)=x2+4x+ξ沒有零點的概率是時,μ=4.

答案:4

【典例2】(1)(2016·黃岡模擬)位于直角坐標(biāo)系原點的一個質(zhì)點P按下面規(guī)則移動:質(zhì)點每次移動一個單位,移動的方向向左或向右,并且向左移動的概率為,向右移動的概率為,則質(zhì)點P移動五次后位于點(1,0)的概率是()(2)一款擊鼓小游戲的規(guī)則如下:每盤游戲都需要擊鼓三次,每次擊鼓要么出現(xiàn)一次音樂,要么不出現(xiàn)音樂;每盤游戲擊鼓三次后,出現(xiàn)一次音樂獲得10分,出現(xiàn)兩次音樂獲得20分,出現(xiàn)三次音樂獲得100分,沒有出現(xiàn)音樂則扣除200分(即獲得-200分).設(shè)每次擊鼓出現(xiàn)音樂的概率為,且各次擊鼓出現(xiàn)音樂相互獨立.①設(shè)每盤游戲獲得的分數(shù)為X,求X的分布列;②玩三盤游戲,至少有一盤出現(xiàn)音樂的概率是多少?【解題導(dǎo)引】(1)移動5次可轉(zhuǎn)化為5次獨立重復(fù)試驗,并將其中一個方向作為成功概率進行求解.(2)①將P(X=-200),P(X=10),P(X=20),P(X=100)轉(zhuǎn)化為二項分布,利用二項分布列求解.②先求出現(xiàn)音樂的概率,再根據(jù)對立事件的概率公式求解.【規(guī)范解答】(1)選D.由題意得,質(zhì)點P移動五次后位于點(1,0),則這五次移動中必有某兩次向左移動,另三次向右移動,因此所求的概率等于

(2)①X的可能取值有-200,10,20,100.根據(jù)題意,有P(X=-200)=P(X=10)=P(X=20)=P(X=100)=所以X的分布列為②由①知:每盤游戲出現(xiàn)音樂的概率是則玩三盤游戲,至少有一盤出現(xiàn)音樂的概率是P1=1-X-2001020100P【規(guī)律方法】1.獨立重復(fù)試驗的實質(zhì)及應(yīng)用獨立重復(fù)試驗的實質(zhì)是相互獨立事件的特例,應(yīng)用獨立重復(fù)試驗公式可以簡化求概率的過程.2.判斷某概率模型是否服從二項分布Pn(X=k)=pk(1-p)n-k的三個條件(1)在一次試驗中某事件