df譜分辨率的影響因素分析

在數(shù)字數(shù)據(jù)處理中，通常考慮使用dft分析信號的頻率。然而，由于dft包含的存儲周期和數(shù)據(jù)長度的限制，dft譜失真，分析結果不正確。本文從分析譜失真的原因出發(fā)，探討了dft在分析信號的正確率法中應考慮的問題。1序列加窗變換dft用DFT分析連續(xù)時間信號的基本步驟如圖1所示.當連續(xù)時間信號轉(zhuǎn)換為一個序列時,需要加入抗混頻濾波器以消除混頻的影響,或者將它減小到最低程度.即要滿足采樣定理的要求.需要用w(n)乘以x(n),也就是加窗處理,這是DFT要求信號有限長的必然結果.由于后面全部是針對正弦信號DFT分析的討論,因而以后都假設抗混頻濾波和采樣已經(jīng)完成,而且其影響可忽略不計.由傅立葉變換理論可知,任何信號都可以由多個頻率的正弦信號合成,因而以后雖然以正弦信號為例,但是所討論的大部分問題還是具有普遍性.從圖1可以看出,對序列x(n)進行DFT變換,有兩次需要作出選擇,一是窗函數(shù)w(n)的選取,包括窗函數(shù)類型和窗函數(shù)長度;二是DFT點數(shù)的選取.2窗函數(shù)對dft分析結果的影響2.1復指數(shù)法求解眾所周知,DFT實質(zhì)是對序列的DTFT譜在頻域從0頻率開始的等間隔離散,那么DFT分析結果的準確與否首先取決于DTFT譜是否準確.因此,首先分析窗函數(shù)對序列DTFT譜的影響.取兩個正弦分量組成的信號,即s(t)=A0cos(Ω0t+θ0)+A1cos(Ω1t+θ1)(-∞<t<+∞).(1)假定采樣是理想的,沒有混頻和量化誤差,這樣可得到的離散時間信號為x(n)=A0cos(ω0n+θ0)+A1cos(ω1n+θ1)(-∞<n<+∞).(2)式中ω0=Ω0T,ω1=Ω1T,T為采樣間隔.加窗后的序列為v(n)=A0w(n)cos(ω0n+θ0)+A1w(n)cos(ω1n+θ1)(-∞<n<+∞).(3)為得到v(n)的傅立葉變換,將式(3)利用復指數(shù)展開有v(n)=A02w(n)ejθ0ejω0n+A02w(n)e?jθ0e?jω0n+A12w(n)ejθ1ejω1n+A12w(n)e?jθ1e?jω1n.(4)v(n)=A02w(n)ejθ0ejω0n+A02w(n)e-jθ0e-jω0n+A12w(n)ejθ1ejω1n+A12w(n)e-jθ1e-jω1n.(4)由式(4)及傅立葉變換的頻率平移性質(zhì)可得到加窗后序列的傅立葉變換,其中設w(n)的傅立葉變換為W(ejω):V(ejω)=A02ejθ0W(ej(ω?ω0))+A02e?jθ0W(ej(ω+ω0))+A12ejθ1W(ej(ω?ω1))+A12e?jθ1W(ej(ω+ω1)).(5)V(ejω)=A02ejθ0W(ej(ω-ω0))+A02e-jθ0W(ej(ω+ω0))+A12ejθ1W(ej(ω-ω1))+A12e-jθ1W(ej(ω+ω1)).(5)由式(5)可以看出,加窗后信號的傅立葉變換為±ω0和±ω1處窗函數(shù)傅立葉變換的疊加.2.2沖激展譜密度的加窗研究以Ω0=2π×31.25,Ω1=2π×62.50,θ0=θ1=0,信號幅度參數(shù)A0=1,A1=0.001為例.如果不加窗,理論上無限長序列x(n)的頻譜應是在±ω0和±ω1的沖激函數(shù).但加窗后,幅度譜發(fā)生改變.以加矩形窗和Blackman窗為例,窗譜和加窗后的幅度譜見圖2至圖5.從圖中可以看出,加窗后,一方面,序列v(n)的幅度譜在±ω0和±ω1處的沖激展寬成窗譜的形狀,從而使譜的分辨率降低;另一方面,合成幅度譜是在這些頻率點上的窗譜的疊加,也就是說,±ω0和±ω1處的譜能互相影響,從而形成譜泄漏.另外在窗長度一定的條件下,通過對比可以看出,分辨率主要受窗譜W(ejω)的主瓣寬度影響,主瓣越寬,加窗后的幅度譜在±ω0和±ω1處也就越寬,從而相鄰頻率點處的譜值就越難以分辨.另一方面,窗譜W(ejω)的主瓣與旁瓣的相對幅度越小,則加窗后的幅度譜在±ω0和±ω1處的譜之間的相互影響越小,也就是泄漏越小.表1是一些常見窗函數(shù)的性質(zhì).2.3譜的分辨率和信號長度以Ω0=2π×31.25,Ω1=2π×35,A0=1,A1=0.5,T=2ms,θ0=θ1=0為例.如圖6、圖7所示,窗長度對譜的分辨率有直接的影響,這說明,頻譜的頻率分辨率主要由數(shù)據(jù)長度(或窗長度)決定,分辨率為1/(NT),N為窗長度,T為采樣間隔.因此要想獲得高的頻譜分辨率,必須要有足夠的信號長度.3dft值對dft譜采樣的影響3.1fft譜線的變化已知道,加窗序列v(n)的DFT給出的是V(jω)在N個等間隔的離散頻域頻率ωk=2πk/N,k=0,1,…,N-1處的樣本.這等效于在連續(xù)時間域頻率Ωk=2πk/(NT),k=0,1,…,N-1.但是,DFT引入的譜采樣有時能導致錯誤的結果.以圖3采用的序列為例,其DTFT譜如圖3所示,其加矩形窗后的不同點數(shù)的FFT幅度譜見圖8和圖9:圖8的DFT具有很理想的形狀,只在信號的正弦分量處有很高的譜線,而在其他處沒有譜線,這是假象一.圖9是補0后的128點FFT譜,明顯在別的頻率處也有譜線.事實上,64點FFT譜可以認為是對128點FFT譜再次譜采樣得到的.之所以出現(xiàn)圖8這種情況,是因為對于圖8這種參數(shù)選擇,傅立葉變換在DFT的采樣頻率處除有限幾個點外都為0.實際上,圖8和圖9都可以從圖3采樣得到,但圖9更接近圖3.這說明,增加DFT變換點數(shù),能使DFT譜更接近DTFT譜.實際上,要完全表示一個長度為N的序列,由DFT理論可知,N點DFT(或FFT)就足夠了.但是,簡單查看N點DFT可能導致錯誤解釋.此時,一般可用補0的方法將頻譜過采樣,使其充分細化,最后能得到精確的信號的離散時間連續(xù)傅立葉頻譜.這也是圖9比圖8更接近圖3的原因.但是,增加DFT變換點數(shù)不能改變譜分辨率.3.2譜峰對應的頻率以Ω0=2π×30,Ω1=2π×70,A0=1,A1=0.5,T=2ms,θ0=θ1=0,加64點矩形窗為例.從圖11可以得到,譜峰對應的頻率為31.25Hz,大小29.996;而圖10對應的譜峰頻率為30Hz,大小31.127.可見DFT譜的譜峰無論是頻率還是大小都與DTFT譜的譜峰有所不同,這是假象二.假象二是DFT中峰的位置與傅立葉變換中真正譜峰的位置不一定吻合.真正的譜峰可以在譜樣本之間,造成認識上的差距.只有當DFT譜采樣時正好采樣到真正譜峰頻率處,此時的譜峰才能正確反映信號的頻率位置及大小.4dft或fft-tt-ct分析通過本文的分析可以看到,在用DFT分析信號的頻譜時,有兩個問題很重要.一是窗的選擇.窗長度決定了DFT譜的源DTFT譜的分辨率.只有高分辨率的DTFT譜才可能有高分辨率的DFT譜.而窗類型在窗長度一定的情況