練案[58]第二講排列與組合A組基礎鞏固一、單選題1．(2020·山東)6名同學到甲、乙、丙三個場館做志愿者，每名同學只去1個場館，甲場館安排1名，乙場館安排2名，丙場館安排3名，則不同的安排方法共有(C)A．120種 B．90種C．60種 D．30種[解析]甲場館安排1名有Ceq\o\al(1,6)種方法，乙場館安排2名有Ceq\o\al(2,5)種方法，剩余3名去丙場館，故共有Ceq\o\al(1,6)Ceq\o\al(2,5)＝60種安排方法．2．(2023·黑龍江哈爾濱質檢)小張接到5項工作，要在下周一、周二、周三、周四這4天中完成，每天至少完成1項，且周一只能完成其中1項工作，則不同的安排方式有(A)A．180種 B．480種C．90種 D．120種[解析]由題意可知不同的安排方式有Ceq\o\al(1,5)Ceq\o\al(2,4)Aeq\o\al(3,3)＝180種．故選A.3．(2022·廣東聯(lián)考)一生產(chǎn)過程有4道工序，每道工序需要安排一人操作，現(xiàn)從甲、乙、丙等5名工人中安排4人分別操作一道工序，甲無法操作第一道工序，乙只能操作第四道工序，則不同的安排方案共有(B)A．24種 B．36種C．48種 D．72種[解析]第一道工序有Ceq\o\al(1,3)種安排方法，第二、三道工序有3×2＝6種安排方法，第四道工序有2種安排方法，故共有3×6×2＝36種安排方法，選B.4．(2023·湖南永州模擬)甲、乙、丙、丁和戊5名學生進行勞動技術比賽，決出第1名到第5名的名次．甲、乙兩名參賽者去詢問成績，回答者對甲說：“很遺憾，你和乙都沒有得到冠軍”；對乙說：“你當然不會是最差的”，則該5人可能的排名情況種數(shù)為(C)A．18 B．36C．54 D．64[解析]若甲是最后一名，有Ceq\o\al(1,3)Aeq\o\al(3,3)＝18種情況；若甲不是最后一名，有Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(1,2)Aeq\o\al(3,3)＝36種情況，所以共有18＋36＝54種可能的排名情況，故選C.5．(2022·廣東新課改大聯(lián)考、江蘇百校聯(lián)考)某班級8位同學分成A，B，C三組參加暑假研學，且這三組分別由3人、3人、2人組成．若甲、乙兩位同學一定要分在同一組，則不同的分組種數(shù)為(A)A．140 B．160C．80 D．100[解析]甲、乙兩位同學在A組或B組的情況有Ceq\o\al(1,6)Ceq\o\al(3,5)×2＝120種，甲、乙兩位同學在C組的情況有Ceq\o\al(3,6)Ceq\o\al(3,3)＝20種，共計140種．6．(2022·西南四省名校聯(lián)考)一個6位數(shù)的密碼，第1位的數(shù)字為8，其余5個位置，每個數(shù)字都小于3，并且5個數(shù)字之和小于等于3，則滿足條件的密碼個數(shù)為(C)A．49 B．50C．51 D．52[解析]其余5個數(shù)在0,1,2三個數(shù)中任取一個，要5個數(shù)字和小于等于3，則有以下情況：五個0；四個0，一個1或2；三個0，兩個1或一個1一個2；兩個0，三個1.總數(shù)為1＋2Ceq\o\al(1,5)＋Ceq\o\al(2,5)＋Ceq\o\al(2,5)Aeq\o\al(2,2)＋Ceq\o\al(2,5)＝51.故選C.7．(2023·湖北九師聯(lián)盟聯(lián)考)高三(2)班某天安排6節(jié)課，其中語文、數(shù)學、英語、物理、生物、地理各一節(jié)，若要求物理課比生物課先上，語文課與數(shù)學課相鄰，則編排方案共有(C)A．42種 B．96種C．120種 D．144種[解析]將語文、數(shù)學綁定，第一步排物理、生物有Ceq\o\al(2,5)＝10種方案，第二步排其余3個元素有Aeq\o\al(3,3)＝6種方案，第三步排語文、數(shù)學有Aeq\o\al(2,2)＝2種方案，所以編排方案有10×6×2＝120種，故選C.8．(2023·廣西桂林、崇左模擬)安排3名志愿者完成5項不同的工作，每人至少完成1項，每項工作由1人完成，則不同的安排方式共有(B)A．240種 B．150種C．125種 D．120種[解析]把5項工作分成三組，有Ceq\o\al(3,5)Ceq\o\al(1,2)×eq\f(1,2)＋Ceq\o\al(2,5)Ceq\o\al(2,3)×eq\f(1,2)＝10＋15＝25種方法，再把工作分配給三個志愿者有Aeq\o\al(3,3)＝6種方法，由分步乘法計數(shù)原理得共有25×6＝150種方法．故選B.9．(2022·河南十所名校聯(lián)考)6名大學生響應國家號召，到西部邊遠地區(qū)A，B，C三個學校支教，每個學校2人，根據(jù)學校需要及所學的專業(yè)，甲不能到A學校，乙、丙所學專業(yè)相同，不能安排到同一學校，則不同的安排方案有(C)A．24種 B．36種C．48種 D．72種[解析]先將6名同學分成三組有Ceq\o\al(1,4)Ceq\o\al(1,3)＝12種分法，三組大學生分到三所學校有Ceq\o\al(1,2)Aeq\o\al(2,2)＝4種分法，故所求的不同分法有12×4＝48種．選C.10．(2022·黑龍江佳木斯一中模擬)佳木斯市第一中學校為了做好疫情防控工作，組織了6名教師組成志愿服務小組，分配到東門、西門、中門3個樓門進行志愿服務．由于中門學生出入量較大，要求中門志愿者人數(shù)不少于另兩個門志愿者人數(shù)，若每個樓門至少分配1個志愿服務小組，每個志愿服務小組只能在1個樓門進行服務，則不同的分配方法種數(shù)為(A)A．240 B．180C．690 D．150[解析]第一種情況，當中門的志愿者有3人時，其他兩個門有1個門1人，1個門2人，有Ceq\o\al(3,6)Ceq\o\al(2,3)Aeq\o\al(2,2)＝120種，第二種情況，當中門有2人時，其他兩個門也分別是2人，Ceq\o\al(2,6)Ceq\o\al(2,4)Ceq\o\al(2,2)＝90種，第三種情況，當中門有4人時，其他兩個門分別1人，有Ceq\o\al(4,6)Aeq\o\al(2,2)＝30種，所以不同的分配方法種數(shù)是120＋90＋30＝240.故選A.二、多選題11．(原創(chuàng))中華文化源遠流長，博大精深．在2020年春晚中，出現(xiàn)了戲曲、武術、旗袍展示、刺繡、雜技等六種傳統(tǒng)文化．下列說法正確的是(ACD)A．若戲曲排第一，則有Aeq\o\al(5,5)種演出順序B．若戲曲不排第一，旗袍展示不排最后，則有Aeq\o\al(6,6)－2Aeq\o\al(5,5)種演出順序C．若武術與雜技不連排，則有Aeq\o\al(4,4)Aeq\o\al(2,5)種演出順序D．若武術與雜技連排，且武術不排第一，則有(2Ceq\o\al(1,4)＋1)Aeq\o\al(4,4)種演出順序[解析]A顯然正確；對于B：若旗袍展示排第一，有Aeq\o\al(5,5)種演出順序；若旗袍展示不排第一，有Ceq\o\al(1,4)Ceq\o\al(1,4)Aeq\o\al(4,4)種演出順序，所以戲曲不排第一，旗袍展示不排最后，則有Aeq\o\al(5,5)＋Ceq\o\al(1,4)Ceq\o\al(1,4)Aeq\o\al(4,4)(或Aeq\o\al(6,6)－2Aeq\o\al(5,5)＋Aeq\o\al(4,4))種演出順序，B錯；對于C：先排其余四種節(jié)目有Aeq\o\al(4,4)種排法，再用武術、雜技插空，有Aeq\o\al(2,5)種，故有Aeq\o\al(4,4)Aeq\o\al(2,5)種演出順序，C正確；對于D：雜技排第一有Aeq\o\al(4,4)種演出順序，雜技不排第一有Ceq\o\al(1,4)Aeq\o\al(4,4)Aeq\o\al(2,2)種排法，故共有(2Ceq\o\al(1,4)＋1)Aeq\o\al(4,4)種演出順序，D正確．12．(2022·廣東新高考適應性測試)為弘揚我國古代的“六藝文化”，某夏令營主辦單位計劃利用暑期開設“禮”“樂”“射”“御”“書”“數(shù)”六門體驗課程，每周一門，連續(xù)開設六周，則(CD)A．某學生從中選3門，共有30種選法B．課程“射”“御”排在不相鄰兩周，共有240種排法C．課程“禮”“書”“數(shù)”排在相鄰三周，共有144種排法D．課程“樂”不排在第一周，課程“御”不排在最后一周，共有504種排法[解析]6門中選3門共有Ceq\o\al(3,6)＝20種，A錯誤；課程“射”“御”排在不相鄰兩周，共有Aeq\o\al(4,4)Aeq\o\al(2,5)＝480種排法，B錯誤；課程“禮”“書”“數(shù)”排在相鄰三周，共有Aeq\o\al(3,3)Aeq\o\al(4,4)＝144種排法，C正確；課程“樂”不排在第一周，課程“御”不排在最后一周，共有Aeq\o\al(5,5)＋Ceq\o\al(1,4)Ceq\o\al(1,4)Aeq\o\al(4,4)＝504種排法，D正確，故選CD.13．(2023·遼寧模擬)某中學為提升學生勞動意識和社會實踐能力，利用周末進社區(qū)義務勞動，高三一共6個班，其中只有1班有2個勞動模范，本次義務勞動一共20個名額，勞動模范必須參加并不占名額，每個班都必須有人參加，則下列說法正確的是(BD)A．若1班不再分配名額，則共有Ceq\o\al(4,20)種分配方法B．若1班有除勞動模范之外學生參加，則共有Ceq\o\al(5,19)種分配方法C．若每個班至少3人參加，則共有90種分配方法D．若每個班至少3人參加，則共有126種分配方法[解析]對于A，若1班不再分配名額，則20個名額分配到5個班級，每個班級至少1個，根據(jù)插空法，有Ceq\o\al(4,19)種分配方法，故A錯誤；對于B，若1班有除勞動模范之外學生參加，則20個名額分配到6個班級，每個班級至少1個，根據(jù)插空法，有Ceq\o\al(5,19)種分配方法，故B正確；對于C、D，若每個班至少3人參加，相當于16個名額被占用，還有4個名額需要分到6個班級，分5類：①4個名額到一個班，有6種；②一個班3個名額，一個班1個名額，有Aeq\o\al(2,6)＝30種；③兩個班都是2個名額，有Ceq\o\al(2,6)＝15種；④兩個班1個名額，一個班2個名額，有Ceq\o\al(1,6)Ceq\o\al(2,5)＝60；⑤四個班都是1個名額，有Ceq\o\al(4,6)＝15種，則共有126種，故C錯誤，D正確．故選BD.三、填空題14．(2022·河南五市聯(lián)考)用0、1、2、3、4、5這六個數(shù)字組成一個無重復數(shù)字的五位數(shù)，百位和個位必須是奇數(shù)的數(shù)有_108__個．[解析]第一步安排個位和百位上數(shù)字有Aeq\o\al(2,3)＝6種方案，第二步安排萬位上數(shù)字有Aeq\o\al(1,3)＝3種方案，第三步安排十位，千位上數(shù)字有Aeq\o\al(2,3)＝6種方案，所以符合題意的數(shù)有6×3×6＝108個．15．(2023·山西長治聯(lián)考)安排A，B，C，D，E，F(xiàn)共6名義工照顧甲，乙，丙三位老人，每兩位義工照顧一位老人，考慮到義工與老人住址距離問題，義工A不安排照顧老人甲，義工B不安排照顧老人乙，則安排方法共有_42__種(請用數(shù)字作答)．[解析]義工A照顧老人乙，有Ceq\o\al(1,4)Ceq\o\al(2,4)＝24種，義工A不照顧老人乙，有Ceq\o\al(2,4)Ceq\o\al(2,3)＝18種，∴共有24＋18＝42種安排方法．B組能力提升1．(2023·貴州遵義新高考協(xié)作體質檢)現(xiàn)有甲、乙、丙、丁四位同學要與兩位老師站成一排合影留念，則甲同學不站兩端且兩位老師必須相鄰的站法有(B)A．72種 B．144種C．288種 D．576種[解析]教師排兩端有Ceq\o\al(1,2)Aeq\o\al(2,2)Ceq\o\al(1,3)Aeq\o\al(3,3)＝72種排法，教師不排兩端有Aeq\o\al(2,3)Aeq\o\al(3,3)Aeq\o\al(2,2)＝72種排法．故共有72＋72＝144種排法．選B.2．(2022·江西重點中學聯(lián)考)某校有5名大學生打算前往觀看冰球、速滑、花滑三場比賽，每場比賽至少有1名學生且至多2名學生前往，則甲同學不去觀看冰球比賽的方案種數(shù)有(C)A．48 B．54C．60 D．72[解析]將5名大學生分為三組，第一組1個人，第二組2個人，第三組2個人，共有eq\f(C\o\al(2,5)·C\o\al(2,3)·C\o\al(1,1),A\o\al(2,2))＝15種方法；由于甲不去看冰球比賽，故甲所在的組只有2種選擇，剩下的2組任意選，所以有2Aeq\o\al(2,2)＝4種方法；按照分步乘法計數(shù)原理，共有4×15＝60種方法．故選C.3．(2023·安徽卓越縣中聯(lián)盟聯(lián)考)如圖，“天宮空間站”是我國自主建設的大型空間站，其基本結構包括天和核心艙、問天實驗艙和夢天實驗艙三個部分．假設有6名航天員(4男2女)在天宮空間站開展實驗，其中天和核心艙安排4人，問天實驗艙與夢天實驗艙各安排1人，且兩名女航天員不在一個艙內(nèi)，則不同的安排方案種數(shù)為(B)A．14 B．18C．30 D．36[解析]2名女航天員在問天實驗艙與夢天實驗艙有Aeq\o\al(2,2)＝2種方案，有1名女航天員在天和核心艙有Ceq\o\al(1,2)Ceq