第二章第1講1第二章連續(xù)系統(tǒng)的時域分析系統(tǒng)的數學模型微分方程的經典解法零輸入響應沖激響應卷積積分與零狀態(tài)響應第二章第1講2§1微分算子及其特性定義則：對于算子方程：其含義是：第二章第1講3微分算子的主要特性微分算子不是代數方程，而是算子記法的微積分方程。式中算子與變量不是相乘，而是一種變換。Ｐ多項式的算子可以像代數量那樣進行乘法運算，也可以像代數式那樣進行因式分解的運算。算子方程兩邊的公共因子一般不允許消去。如：但：但在某種情況下公共因子可以消去，如：但簡單的如：但第二章第1講4微分算子的主要特性轉移算子：H(p)把激勵和響應聯(lián)系起來，故它可以完整地描述系統(tǒng)。即：若：，則系統(tǒng)的自然頻率(特征根)：的根為系統(tǒng)的自然頻率或特征根。算子阻抗：對電感：Lp——算子阻抗對電容：

——算子阻抗引入了算子阻抗后，網絡的微分方程可以通過電路分析課程的分析方法列出。如網孔法、節(jié)點法、疊加定理、戴維南定理等。第二章第1講5例1列出電路的微分方程，變量為

i2。解：網孔方程為：故，微分方程為：第二章第1講6例2求如圖所示電路的轉移算子：解：用節(jié)點方程可求得：第二章第1講7§2微分方程的經典解法全響應＝齊次解(自由響應)＋特解(強迫響應)齊次解：寫出特征方程，求出特征根（自然頻率或固有頻率）。根據特征根的特點，齊次解有不同的形式。一般形式（無重根）：特解：根據輸入信號的形式有對應特解的形式，用待定系數法確定。在輸入信號為直流和正弦信號時，特解就是穩(wěn)態(tài)解。用初始值確定積分常數。一般情況下，n階方程有n個常數，可用個n初始值確定。為特征根第二章第1講8例1描述某線性非時變系統(tǒng)的方程為試求：當時的全解。解：(1)求齊次解，特征根為：(2)求特解：設特解為：將上式代入原微分方程，得：即：比較系數可得：解之：全解的通解為：將初始條件代入上式，得：自由響應強迫響應故，全解為：第二章第1講9全響應=零輸入響應+零狀態(tài)響應零輸入響應的求法與齊次解一樣為特征根由初始值確定零狀態(tài)響應的求法與求非齊次方程一樣為特征根由零狀態(tài)初始值確定第二章第1講10例2描述某線性非時變系統(tǒng)的方程為試求：當時的零輸入響應和零狀態(tài)響應。解：(1)零輸入響應，特征根為：(2)零狀態(tài)響應：特解求法同例1，將初始條件代入上式，得：代入初始值，得解得第二章第1講11齊次微分方程：D(p)r(t)=0，特征方程：D(p)=0零輸入響應的一般形式設系統(tǒng)為零輸入e(t)=0時，即D(p)r(t)=0若無重根：若有K階重根，即：

第二章第1講12例3已知系統(tǒng)的轉移算子，初始條件為,試求系統(tǒng)的零輸入響應rzi(t)。并畫出草圖。解：令得：代入初值得：解得：故：第二章第1講13例4已知系統(tǒng)的轉移算子，初始條件為,試求系統(tǒng)的零輸入響應rzi(t)。并畫出草圖。解：令得：代入初值得：解得：第二章第1講14關于初始狀態(tài)的討論0－狀態(tài)和0＋狀態(tài)0－狀態(tài)稱為零輸入時的初始狀態(tài)。即初始值是由系統(tǒng)的儲能產生的；0＋狀態(tài)稱為加入輸入后的初始狀態(tài)。即初始值不僅有系統(tǒng)的儲能，還受激勵的影響。各種響應用初始值確定積分常數的區(qū)別在經典法求全響應的積分常數時，用的是0＋狀態(tài)初始值。在求系統(tǒng)零輸入響應時，用的是0－狀態(tài)初始值。在求系統(tǒng)零狀態(tài)響應時，用的是0＋狀態(tài)初始值，這時的零狀態(tài)是指0－狀態(tài)為零。第二章第1講15關于初始狀態(tài)的討論從0－狀態(tài)到0＋狀態(tài)的躍變當系統(tǒng)已經用微分方程表示時，系統(tǒng)的初始值從0－狀態(tài)到

0＋狀態(tài)有沒有跳變決定于微分方程右端自由項是否包含(t)及其各階導數。如果包含有(t)及其各階導數，說明相應的0－狀態(tài)到0＋狀態(tài)發(fā)生了跳變。0＋狀態(tài)的確定已知0－狀態(tài)求0＋狀態(tài)的值，可用沖激函數匹配法。見有關參考資料。求0＋狀態(tài)的值還可以用拉普拉斯變換中的初值定理求出，見第5章內容。第二章第1講16課堂練習題2-