高考風(fēng)向 解三角形；3.在解答題中對正弦定理、余弦定理、面積公式以及三角函數(shù)中恒等變換、誘導(dǎo)公式等學(xué)問點(diǎn)進(jìn)展綜合考察．學(xué)習(xí)要領(lǐng) 定理的意義和作用；2.通過正弦、余弦定理實現(xiàn)三角形中的邊角轉(zhuǎn)換，和三角函數(shù)性質(zhì)相結(jié)合．根底學(xué)問梳理a b c正弦定理：sinA＝sinB＝sinC＝2R，其中R是三角形外接圓的半徑．由正弦定理可以變形：(1)a∶b∶c＝sin_A∶sin_B∶sin_C；(2)a＝2Rsin_A，b＝2Rsin_B，c＝2Rsin_C；a b c(3)sinA＝2R，sinB＝2R，sinC＝2R等形式，解決不同的三角形問題．余弦定理：a2＝b2＋c2－2bccos_A，b2＝a2＋c2－2accos_B，c2＝a2＋b2－2abcos_C．余b2＋c2－a2 a2＋c2－b2 a2＋b2－c2弦定理可以變形：cosA＝

2bc

，cosB＝

2ac

，cosC＝

2ab .S

1 sinC 1 sinA 1acsinB abc 1(a＋b＋c)·r(r是三角形內(nèi)切圓的半徑)，并ABC

2 2 2 4R 2＝ab＝bc＝＝ ＝＝ab＝bc＝＝ ＝在△ABCa、bA時，解的狀況如下：A為銳角 A為鈍角或直角圖形關(guān)系式解的個數(shù)

a＝bsinA一解

bsinA<a<b兩解

a≥b一解

a>b一解[難點(diǎn)正本疑點(diǎn)清源]在三角形中，大角對大邊，大邊對大角；大角的正弦值也較大，正弦值較大的角也較大，即在△ABC中，A>B?a>b?sinA>sinB；tanA+tanB+tanC=tanA·tanB·tanC；在銳角三角形中，cosA<sinB,cosA<sinC·依據(jù)所給條件確定三角形的外形，主要有兩種途徑：化邊為角；(2)化角為邊，并常用正弦(余弦)定理實施邊、角轉(zhuǎn)換．1．在ABCc10A45oC30o，解三角形.思路點(diǎn)撥:先將條件表示在示意圖形上〔如圖，可以確定先用正弦定理求出邊a然后用三角形內(nèi)角和求出角B，最終用正弦定理求出邊b.c

，sinA sinC

csinA10sin45o

10 2，sinC sin30o∴B180o(AC)105o，c又sinBsinC，

csinB 10sin105o 6 2 20sin75o20 5 65 2．sinC sin30o 4總結(jié)升華：正弦定理可以用于解決兩角和一邊求另兩邊和一角的問題；數(shù)形結(jié)合將條件表示在示意圖形上，可以清楚地看出與求之間的關(guān)系，從而恰當(dāng)?shù)剡x擇解答方式.舉一反三：1】在ABCA32.00B81.80a42.9cm，解三角形?！敬鸢浮恳罁?jù)三角形內(nèi)角和定理，C1800(AB)1800(32.0081.80)66.20；basinB42.9sin81.8080.1(cm)；sinA sin32.00casinC42.9sin66.2074.1(cm).sinA sin32.002】在ABCB750C600c5，求aA.A1800(BC)1800(750600)450，a依據(jù)正弦定理

5 ，∴a5 6.sin45o sin60o 33】在ABC中，sinA:sinB:sinC1:2:3，求abca b csinA

sinB

sinCabcsinA:sinB:sinC1:2:3.例2．在ABC中，b 3,B60o,c1，求：a和A，C．思路點(diǎn)撥:〔如圖C，A，最終用正弦定理求出邊a.b c解析：sinB

sinC，∴sinC

csinBb

1sin60o1，3 2〔方法一〕∵0oC180oC30o或C150o，當(dāng)C150o時，BC210o180o〔舍去；當(dāng)C30o時，A90o，∴a b2c22．〔方法二〕∵bcB60oCB，C60o即CC30oA90oa b2c22．總結(jié)升華：正弦定理也可用于解決兩邊及一邊的對角，求其他邊和角的問題。C時，由于sinCsin(1800C)，所以要依據(jù)題意準(zhǔn)確確定角C的范圍，再求出角C.一般依據(jù)大邊對大角或三角形內(nèi)角和進(jìn)展角的取舍.類型二：余弦定理的應(yīng)用：例3．ABC中，AB3、BC 37、AC4，求ABC中的最大角。思路點(diǎn)撥:首先依據(jù)大邊對大角確定要求的角，然后用余弦定理求解.解析：∵三邊中BC 37最大，∴BC其所對角A最大，cosA

AB2AC2BC2

3242(

1，2ABgAC 234 2∵0oA180o， ∴A120o故ABCA120o.總結(jié)升華：1.ABC中，假設(shè)知道三邊的長度或三邊的關(guān)系式，求角的大小，一般用余弦定理；2.用余弦定理時，要留意公式中的邊角位置關(guān)系.舉一反三：1】ABC中a3,b5,c7,求角C.【答案】cosC

a2b2c2

523272

1，2ab 235 2∵0oC180o， ∴C120o2】在ABCA,B,C所對的三邊長分別為a,bc，假設(shè)a:b:c 6:2: 3，求ABC的各角的大?。敬鸢浮吭O(shè)a 6k，b2k，c31k，k06cosB2

31 422 2231 6 20oB180oB45o；A60o；∴C180oAB75o3】在ABC中，假設(shè)a2

b2c2bcA.b2c2a2 1【答案】b2c2a2

bc，∴cosA 2bc 2∵0oA180o， ∴A120o類型三：正、余弦定理的綜合應(yīng)用例4．在ABC中，a2 3，c 6 2，B450，求b及A.思路點(diǎn)撥:畫出示意圖，由其中的邊角位置關(guān)系可以先用余弦定理求邊b，然后連續(xù)用A.解析：⑴由余弦定理得：b2a2c22accosB=(2 3)2( 6 2)222 3( 6 2)cos450=12( 6 2)24 3( =8∴b2 2.A可以利用余弦定理，也可以利用正弦定理：〔法一：余弦定理〕∵cosAb2c2a2(2 2)2( 6 2)2(2 3)21，∴A600.

2bc

22 2( 6 2) 2〔法二：正弦定理〕∵sinAasinB2 3sin450 3b 2 2 2又∵6 22.41.43.8，2 321.83.6ac，即00A900,∴A600.總結(jié)升華：舉一反三：1】在ABC中，b3,c4,A1350B和C.【答案】a2

32

42

234cos135o

2512 2，∴a 2512 26.48sinB

bsinA

3sin135o

0.327由正弦定理得： a a ，A1350B為銳角，∴B1907/.∴C1800(AB)25053/.【變式2在ABC中角A,B,C所對的三邊長分別為a,b,c假設(shè)a2，b2 2，c 6 2A和sinC【答案】依據(jù)余弦定理可得：cosAb2c2a2

8834 32bc

22 2 6 2 2∵0oA180o， ∴A30o ； sinC

a

6 2sin30o2

6 2.4其他應(yīng)用題詳解(6530分)ABCakm，A與B的距離為()A．a(chǎn)kmC. 2akm

B. 3akmD．2akm解析 利用余弦定理解△ABC.易知∠ACB＝120°，在△ACB中由余弦定理 A2＝AC2＋B2－2A·BCcos120＝2a2－2a×－＝3a2，∴AB＝3a.答案 B的速度沿著正北方向的大路行駛，75°BS的距離是()A．2 2kmC．3 3km

B．3 2kmD．2 3km解析 AB＝24

15 ×60＝

BS AB∠ABS＝180°－75°＝105°，所以∠ASB＝45°.由正弦定理知sin30°＝sin45°，所以ABBS＝sin45°sin30°＝3 2.答案 B輪船A和輪船B在中午12時離開海港C，兩艘輪船航行方向的夾角為120°，輪船A的航行速度是25海里/小時，輪船B的航行速度是15海里/小時，下午2時兩船之間的距離是( )A．35海里C．35 3海里

B．35 2海里D．70海里解析設(shè)輪船A、B航行到下午2時時所在的位置分別是E，F(xiàn)，則依題意CE＝25×2＝50，CF＝15×2＝30，且∠ECF＝120°，EF＝CE2＋CF2－2CE·CFcos120°＝502＋302－2×50×30cos120°＝70.答案 D4．(2014·濟(jì)南調(diào)研)ABAB20m的樓A30°B45°AB的高度是() 3 3A．201＋m 3C．20(1＋3)m

B．201＋m 2D．30m解析 如下圖，由可知，四邊形CBMD為正方形，CB＝20m，所以BM＝20mRt△AMD中，DM＝20m，∠ADM＝30°，3∴AM＝DMtan30°＝203∴AB＝AM＋MB＝203

3(m)．3＋20 3＝201＋答案 A

(m)．3π5．(2013·天津卷)在△ABC中，∠ABC＝4，AB＝2，BC＝3sin∠BAC＝( )A.B.10 10A.B.10 5C.3 10C.10

D. 55解析 由余弦定理AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcos∠ABC＝( 2)2＋32－2×252 sin∠ABC

3×22×3×2＝5，所以AC＝5，再由正弦定理：sin∠BAC＝ AC ·BC＝ 5 ＝23 1010.答案 C6．(2014·滁州調(diào)研)線段AB外有一點(diǎn)C，∠ABC＝60°，AB＝200km，汽車以80km/h的速度由A向B行駛，同時摩托車以50km/h的速度由B向C行駛，則運(yùn)動開頭多少h后，兩車的距離最小( )69A.43 B．1C.4370 D．2C.43解析thADBE，則AD＝80t，BE＝50t.由于AB＝200，所以BD＝200－80t，問題就是求DE最小時t的值．由余弦定理，得DE2＝BD2＋BE2－2BD·BEcos60°＝(200－80t)2＋2500t2－(200－80t)·50t＝12900t2－42000t＋40000.70t＝43時，DE最?。鸢?C(3515分)A，B10km，B，C20km，現(xiàn)測得∠ABC＝120°，則A、C兩地的距離為 km.解析 如右圖所示，由余弦定理可得：AC2＝100＋400－2×10×20×cos120°＝700，∴AC＝10 7(km)．答案 10 7以下圖，一艘船上午9：30在A處測得燈塔S在它的北偏東30°處，之連續(xù)沿正北方向勻速航行，上午10：00到達(dá)B處，此時又測得燈塔S在它的北偏東75°處，且與它相距82nmile.此船的航速是 nmile/h.解析 設(shè)航速為vnmile/h1在△ABS中，AB＝2v，BS＝8 2，∠BSA＝45°，18 2 2v由正弦定理得：sin30°＝sin45°，∴v＝32(nmile/h)．答案 32ABCCB置D，測得∠BDC＝45°，則塔AB的高是 米．解析在△BCD中，CD＝10，∠BDC＝45°，∠BCD＝15°＋90°＝105°，BC CD∠DBC＝30°，sin45°＝sin30°，CDsin45°BC＝sin30° ＝10 ABRt△ABC中，tan60°＝BC，AB＝BCtan60°＝10 6(米)．答案 10 6(31030分)10．(2014·臺州模擬)15°的看臺的某一列的正前方，從這一列的第一排和最終一排測得旗桿頂部的仰106米(如下圖)，旗桿底部50秒，升旗手應(yīng)以多大的速度勻速升旗？解 在△BCD中，∠BDC＝45°，∠CBD＝30°，CD＝10 6，由正弦定理，CDsin45°得BC＝sin30° ＝20 3.3 AB在Rt△ABC中A＝BCsin60°＝20 3×2＝30米)所以升旗速度v＝t＝3050＝0.6(米/秒)．11.、B5(3＋3)海里的兩個觀測點(diǎn)，現(xiàn)位A45°，B60°DB點(diǎn)60°B203C點(diǎn)的救援船馬上前往營救，其航行速度30海里/D點(diǎn)需要多長時間？解 由題意，知AB＝5(3＋3)海里，∠DBA＝90°－60°＝30°，∠DAB＝90°－45°＝45°，∴∠ADB＝180°－(45°＋30°)＝105°.在△DAB中，由正弦定理，得DB ABsinsin∠DAB＝∠ADB，sinAB·sin∠DAB 53＋3·sin45°DB＝

sin∠ADB

＝ sin105°53＋3·sin45°＝sin45°cos60°＋cos45°sin60°5 3 3＋1＝3＋12

＝10 )．又∠DBC＝∠DBA＋∠ABC＝30°＋(90°－60°)＝60°，BC＝20 在△DBC中，由余弦定理，得CD2＝BD2＋BC2－2BD·BC·cos∠DBC1＝300＋1200－2×10 3×20 3×2＝900.CD＝30(海里)，30故需要的時間t＝30＝1(小時)，D1小時．12.(2013·江蘇卷)如圖，游客從某旅游景區(qū)的景點(diǎn)A處下山至C處有兩種路徑．一種是從AC，另一種是先從AB，然后從BC.AAC50