圖像去噪中稀疏與冗余表達模型的對比研究

0傳統(tǒng)去噪方法圖像是人們獲取信息的重要來源。事實上，圖像存在各種噪聲干擾。在圖像的存儲、轉(zhuǎn)換和傳輸過程中，大多數(shù)圖像會受到設備本身的外部環(huán)境條件的影響，在圖像中會出現(xiàn)隨機、分散或孤立的點，即圖像噪聲。含有噪聲的圖像會給后續(xù)圖像分析,如壓縮、編碼、識別造成不利影響,當然也會影響視覺效果。為抑制噪聲,改善圖像質(zhì)量所進行的處理叫做圖像去噪(或稱降噪)。去噪主要任務是最大可能地將實際信號與噪聲信號分離開,剔除噪聲信號,保留真實信號,以達到還原真實圖像目的。去噪主要是提高圖像的信噪比或峰值信噪比(peaksignalnoiseratio,PSNR)與降低均方誤差(meansquareerror,MSE),突出圖像特征信息的過程。圖像去噪算法遵循的規(guī)則是在去除噪聲的同時能盡可能多地保護圖像的邊緣細節(jié)信息,使得圖像更加真實再現(xiàn)目標場景。因此在圖像處理前期加入降噪或去噪過程,顯得極為重要。現(xiàn)實中噪聲是隨機分布的,如果人為地把它定義成一種模型是不準確的(雖然可從一定程度上減少噪聲)。事實上,噪聲無法完全去除,只能使重現(xiàn)信號盡可能接近原始信號。噪聲還是一個主觀上的感覺,它由不同頻率、不同強度干擾無規(guī)則地組合在一起。在頻域中,根據(jù)信號和噪聲所在頻段不同進行低通、高通濾波或帶通濾波。傳統(tǒng)的圖像去噪方法主要集中在空域或頻域的局部分析,因此在抑制圖像噪聲的同時,損失了圖像細節(jié)信息,使去噪后圖像變模糊。均值濾波、灰度變換、直方圖均衡等方法是比較典型的空域去噪方法?？沼蛑械木禐V波是對每個像素點進行均值處理,對該像素點為中心的小鄰域內(nèi)所有像素點加權和的平均值作為中心像素點濾波后值。該算法簡單易懂,對各種圖像和噪聲類型都能進行處理,由于僅是一種平滑過程,在圖像特征本身不是很平滑的圖片中,處理結(jié)果很不理想。而中值濾波、維納線性濾波等方法大多只使用圖像數(shù)據(jù)中二階統(tǒng)計特性,圖像中重要特征主要通過高階統(tǒng)計特性體現(xiàn),所以這些方法在圖像去噪中都不是很滿意。假定在含噪圖像中,有用信息部分頻率較低,而噪聲頻率較高,實際上此假設條件并不總是成立。一方面,圖像細節(jié)和邊緣等有用信息含有高頻分量;另一方面,噪聲雖然以高頻成分為主,但也含有低頻成分。因此,圖像中的有用信息部分和噪聲往往在頻帶上存在重疊部分,這是造成基于有用信息和噪聲頻率特性差別的傳統(tǒng)去噪方法存在缺陷的根本原因。其他常見的去噪方法有基于馬爾可夫場模型和基于偏微分方程的方法、小波域方法、主成分分量法及幾何尺度分析方法等?；趫D像稀疏性與冗余表達模型的去噪方法,將圖像有用信息部分作為圖像中稀疏成分,而將圖像中的噪聲作為圖像(去除其中稀疏成分后得到)殘差,以此作為圖像去噪處理的基礎[1~3]。任何噪聲可視為真實信號之上加入的干擾,關鍵是如何確定有用和無用成分。稀疏信號定義為:若信號僅有限非零采樣點,而其他采樣點均為零(或接近于零),則稱信號是稀疏的。但是,現(xiàn)實中時域內(nèi)自然圖像信號通常是非稀疏,嚴格稀疏的信號很少,盡管有些位置的值很小,但不一定等于零。于是引入可壓縮信號概念,其定義為:如果某一信號在不丟失任何信息(大部分信息)的條件下通過某種變換可以得到稀疏信號,也就是說信號在某些變換域是稀疏的,則稱之為可壓縮信號。利用可壓縮性去逼近原始信號。稀疏性可用于圖像信號去噪,主要是基于稀疏性以下幾個特征:a)自適應性。稀疏分解不需要先驗圖像信號與噪聲的統(tǒng)計特性,通過信號在過完備庫上分解,用以表示信號基,可自適應地根據(jù)圖像信號本身特點靈活選取。分解的結(jié)果將是一個非常簡潔的表達。b)不相關性。原始真實圖像信號與觀測圖像信號之間的不相關性,以及真實圖像信號元素間有某種內(nèi)在的聯(lián)系,而噪聲分布是孤立、隨機、離散的。c)原子化。借助于原子能量特性,對圖像信號進行稀疏分解。通過形成大小兩類原子,分別提取時域上分布比較長的信息成分與時域比較短的信息成分(信號的細節(jié))。利用過完備原子庫的稀疏性表示圖像,常用的是基于匹配跟蹤(matchingpursuit,MP)算法,實現(xiàn)快速計算,提取有用信息。1稀疏噪聲解釋1.1基于超定完備基的簡單細胞集群稀疏編碼檢測當人在感知外界目標時,在生理與心理上進行著潛意識目標選擇,而不是簡單表現(xiàn)為低頻與高頻信息。相關模型研究表明,在視覺皮層復雜刺激的表達是采用稀疏編碼原則。靈長目動物顳葉視覺皮層和貓視覺皮層的電生理實驗報告表明,稀疏編碼模型很好地描述了初級視覺皮層簡單細胞編碼外界視覺刺激圖像的過程和特征,其編碼方案既符合生物進化普遍能量最小經(jīng)濟策略,又滿足電生理的實驗結(jié)論。這種動態(tài)映射和表達層細胞的發(fā)放特性導致細胞發(fā)放的稀疏分布,它不僅具有群體分布式的特點,而且具有特異性,即具有局域分布性。這種局域性表示圖像某些主要特征分布,揭示圖像結(jié)構信息在皮層神經(jīng)元集群中的分布式表達。它在一定程度上與圖像的獨立成分分析方法等價,但它更符合生物學過程,因為它是一種基于超定基學習算法。學習過程就是生物體根據(jù)外界環(huán)境進行自我調(diào)節(jié)的過程,它的初值不隨機,而具有一定結(jié)構,由先天基因所決定。這兩點是獨立成分分析算法所不具備的。楊謙等人在Poggio等人研究的基礎上進一步指出,哺乳動物紋狀皮層簡單細胞的空間感受野在電生理實驗中被描述為局部、具有朝向和帶通性質(zhì)的信號編碼檢測器,針對圖像產(chǎn)生電發(fā)放的輸出活動呈現(xiàn)稀疏分布的形式。從檢測圖像的物理過程入手,可建立一個基于超定完備基的簡單細胞集群稀疏編碼計算模型,用于圖像編碼表達。Olshausen與Field曾指出,自然場景的線性稀疏編碼產(chǎn)生的特征質(zhì)量與V1簡單細胞區(qū)域的感知相近。1.2圖像的特性vqMallat等人總結(jié)前人研究成果,于1993年提出了信號在過完備原子庫上分解的思想。由于信號稀疏表示的優(yōu)良特性,信號稀疏表示研究很快被從一維信號推廣到作為二維信號的圖像表示研究上,能快速提取圖像有用信息。文獻中指出非負稀疏編碼(non-negativesparsecode,NNSC)是建模哺乳動物初級視覺系統(tǒng)主視皮層V1區(qū)簡單細胞感受野的一種神經(jīng)網(wǎng)絡編碼方法。這種編碼方法是一種神經(jīng)信息處理方法,僅依靠外界自然感知信息的統(tǒng)計特性,是一種自適應的自然圖像統(tǒng)計方法。從數(shù)學的角度而言,它同標準稀疏編碼、獨立分量分析(independentcomponentanalysis,ICA)和非負矩陣因式分解(non-negativematrixfactorization,NMF)一樣,也是對多維數(shù)據(jù)進行線性分解的一種表示方法。它們在某些恰當?shù)臈l件限制下,通過減少編碼元素之間的相關性,在圖像編碼領域已經(jīng)取得了成功的應用。文獻分析了非負矩陣因式分解、VQ(vectorquantization)方法及其對目標選取上的差異。比如在人臉圖像上,VQ發(fā)現(xiàn)整個人臉部分,主成分分量(principalcomponentsanalysis,PCA)獲取特征臉,可能有些是對整個臉的歪曲,而NMF則有根本上的不同,提取的圖像是定位于對人臉較好的視覺認知特征。圖像有效表示的目標是尋找一組基以張成這個圖像空間,使得變換(投影)所得系數(shù)對于整個自然圖像盡可能具有統(tǒng)計無關特性,從某種意義上來說,也就是使得非零或者非接近于零的系數(shù)盡可能少。L2RN空間中,正交基相當多,這種非唯一性極大地滿足了實際問題要求。被選擇出的基集合必須張成這個圖像空間,但希望它們不應該含有冗余(基是線性獨立)。正是由于正交基許多嚴格條件限制,使得正交基展開更簡單,但圖像的稀疏表示不夠理想。因為每組正交基只對圖像某一種特性有效,而不能對其他特性有效,所以使得人們放寬正交基的某些嚴格條件限制以獲得更好的圖像表示,自然地想到用框架(超完備基)表示圖像。1.3基于圖像稀疏分解的匹配跟蹤算法異于傳統(tǒng)的圖像去噪,基于圖像稀疏分解的圖像去噪方法先從圖像中提取出圖像的稀疏成分,然后利用圖像的稀疏成分重建圖像,即得去噪聲后的圖像。根據(jù)Donoho壓縮感知與去噪理論:f(k)=s(k)+n(k),f(k)為觀測信號,s(k)為無噪聲的原始信號,n(k)是噪聲信號。人的視覺感知系統(tǒng)通過對外界刺激產(chǎn)生感受野,進行特征提取,并將其表達為視覺細胞活動狀態(tài)。假設圖像為I(x,y),采用Olshausen等人提出的信息編碼的模型描述,可得其中:I(x,y)是原始圖像像素值;αi(x,y)是特征基向量;φi是隨機組合系數(shù),對應簡單細胞的活動狀態(tài)。由φi構成測量矩陣,Baraniuk和Candès等人認為,φi可在一定條件下重構。Donoho等人從定性與定量的角度給出φi滿足三個特征:a)測量矩陣的列向量必須滿足一定的線性獨立性;b)測量矩陣列向量體現(xiàn)某種類似噪聲的獨立隨機性;c)滿足稀疏度的解亦滿足L1范數(shù)最小的向量。因為特征基對應著局部時域和頻域特征,當圖像在某一頻率和方向上有最明顯的特征時,與之對應的神經(jīng)元會有最大響應(φi=1),而其他神經(jīng)元不響應(φi=0)。因此,將圖像投影到基向量張成的特征子空間上,只有小部分神經(jīng)元同時處于活躍狀態(tài),產(chǎn)生對該幅圖像的稀疏表示。由最小重構誤差和圖像數(shù)據(jù)稀疏性可得代價函數(shù):其中:λ是正常量,決定第二項與第一項的相關性;σ是尺度因子,求取代價函數(shù)最小化。其中:bi=∑x,yφi(x,y)I(x,y),Cij=∑x,yφi(x,y)φj(x,y)。φ學習更新準則為其中:I(xm,yn)=∑iαiφi(xm,yn)是重建后的圖像,η是學習率。基于圖像稀疏分解的匹配跟蹤算法是從過完備原子庫中選擇與圖像內(nèi)積最大的原子向量,即提取最為有用的信息,通過不斷更新,提出的有用信息越多,圖像殘差就越小。由此可見,基于稀疏特性去噪實際上是尋找觀測信號與原始信號最小差值,從而得到原信號的最佳恢復。對分解出的稀疏圖像信號重構,即可實現(xiàn)去噪。為表達重構問題,定義向量P范數(shù),當P為零時,得到向量零范數(shù),代表X中非零項個數(shù)。當信號X稀疏時,求解方程組Y=AX的問題轉(zhuǎn)換為求最小零范數(shù)問題。求解中需要列出X中所有非零項位置各種可能的線性組合,才能獲取最優(yōu)解,這是一個NP難問題。Chen等人利用稀疏分解問題,通過求解優(yōu)化問題等同解來代替零范數(shù)時的解。當問題變成了一個解凸優(yōu)化問題時,可以化簡為線性規(guī)劃問題。Candès等人提出了一種含有少量先驗知識,并在求解結(jié)果中加入適當期望的特性,在凸集上交替投影可快速求解出線性規(guī)劃問題。Cormode等人提出利用分組測試和隨機子集選取來估計稀疏信號的非零系數(shù)的位置和取值,使信號重構更快。Gilbert等人在2006年4月提出了鏈式追蹤(chainingpursuit,CP)方法來恢復信號,適用于稀疏度較大時。針對零范數(shù)最小提出的貪婪追蹤算法,通過每次迭代時選擇一個局部最優(yōu)解來逐步逼近原始信號,如OMP算法(orthogonalmatchingpursuit)、正則化正交匹配追蹤(regularizedorthogonalmatchingpursuit,ROMP)、最優(yōu)正交匹配追蹤(optimizedorthogonalmatchingpursuit,OOMP)、稀疏自適應匹配追蹤(sparsityadaptivematchingpursuit,SAMP);針對范數(shù)最小提出的線性規(guī)劃最優(yōu)化算法———凸松弛法,這類方法通過將非凸問題轉(zhuǎn)換為凸問題求解找到信號的逼近。例如,基追蹤算法(basispursuit,BP)、梯度投影稀疏重構(gradientprojectionforsparsereconstruction,GPSR)等。組合算法中要求信號的采樣支持通過分組測試快速重建。凸松弛法重構信號所需的觀測次數(shù)最少,但往往計算負擔很重;貪婪追蹤算法在運行時間和采樣效率上都位于另兩類算法之間。2在圖像稀疏描述和圖像去噪方面的應用1994年Mallat等人提出了圖像稀疏分解的MP方法,實現(xiàn)圖像的稀疏性分解。對于含有噪聲的圖像,通過稀疏分解能尋找到最能匹配原始圖像的有用信息而去除冗余信息,該方法的不足之處在于選出的原子可能是已經(jīng)入選的原子。接著研究者提出了正交匹配追蹤算法,與MP不同之處在于,它是一個正交投影,將所選的原子利用Gram-Schmidt正交化方法進行正交化處理,再將信號在這些正交原子構成的空間上投影,得到信號在各個已選原子上的分量和殘余分量,然后用相同方法分解殘余分量。研究表明,OMP算法可以作為逼近方法找到全局最優(yōu)解,而且收斂速度比MP算法更快。Chert等人提出了基追蹤算法,它是信號稀疏表示領域的一種新方法。它尋求從完備的函數(shù)集合中得到信號的最稀疏的表示,即用盡可能少的基精確地表示原信號,從而獲得信號的內(nèi)在本質(zhì)特性?；粉櫡椒ú捎帽硎鞠到y(tǒng)的范數(shù)作為信號稀疏性度量,通過最小化,利用范數(shù)將信號稀疏表示問題定義為一類有約束的極值問題,進而轉(zhuǎn)換成線性規(guī)劃問題進行求解,但BP算法速度慢。1996年,Olshausen等人在《Nature》上發(fā)表的文章,在生物視覺的初級過程中找到過完備稀疏表達證據(jù),從另一個側(cè)面推動圖像稀疏分解的研究進展。在稀疏編碼方法中,數(shù)據(jù)特征僅依賴于數(shù)據(jù)的統(tǒng)計特性;而小波變換很大程度上依賴于某一確定的抽象數(shù)學特性,且此特性和自然數(shù)據(jù)統(tǒng)計特性幾乎沒有關系。所以基于稀疏編碼的特征提取方法要優(yōu)于小波方法。在自然圖像統(tǒng)計中,用稀疏編碼方法實現(xiàn)圖像特征提取及消除圖像中的高斯噪聲,此方法與ICA技術非常類似。尚麗等人用實驗證明采用稀疏編碼去提取自然圖像數(shù)據(jù)時,稀疏編碼方法能有效提取自然圖像特征。稀疏編碼收縮法去噪效果優(yōu)于任何低通濾波方法。求取最大似然估計的方法,文獻給出了三種概率密度模型與參數(shù)估計,即一般稀疏密度模型和非常稀疏密度模型、廣義拉普拉斯密度模型。算法中采用廣義拉普拉斯密度模型,其密度函數(shù)為。對s的極大似然估計為LiShang等人提出非負矩陣的稀疏編碼形式壓縮算法。2006年尹忠科等人提出了基于稀疏分解的圖像去噪方法,先對含有噪聲的圖像進行稀疏分解,不斷減小殘差部分,當達到設定要求時,利用分解所得圖像的稀疏成分重建圖像,則重建的圖像即為去除噪聲后的圖像。稀疏分解采用MP算法,過完備庫采用非對稱原子庫。文獻提出類似于二維圖像框架的三維數(shù)據(jù)組,在轉(zhuǎn)換為三維組后壓縮轉(zhuǎn)換譜。在減弱噪聲的同時,協(xié)同濾波揭示最小細節(jié)信息,保留最為本質(zhì)的個體塊的特征。在原子構成的冗余字典中,Aharon等人找到一個合適的字典解決了對自然場景稀疏表達的困難,采用K-SVD能較好地處理灰度圖像噪聲;2008年Ji等人利用Bayesian方法對其進行了改進;2009年Wright等人將稀疏表達用在人臉的表達上,排除噪聲,較好地保留了臉部的本質(zhì)信息。3稀疏去除噪聲的分類3.1有冗余非零值利用稀疏與冗余表達模型對全局圖像降噪,首先考慮以下一些變量優(yōu)化問題:其中:閾值ε與噪聲的能量緊密相關,上述問題求解表達理想、干凈,因此,輸出為。從隨機觀點,假設輸入非零值,對最小均值誤差逼近,取得較為穩(wěn)定的去噪效果。上述形式要求對字典A有較為適宜的選擇,在近年來引起很多學者關注。小波系數(shù)的稀疏性已被用于壓縮,還有很多提升空間,更多學者現(xiàn)在較為關注冗余表達,獲得漂移不變性,不管邊緣與否,在降噪中都同樣對待。在Curvelets、Contourlets、Wedgelets、Bandelets等轉(zhuǎn)換中,字典去噪效果要優(yōu)于小波壓縮?；粉櫺问绞峭ㄟ^觀察典型圖像稀疏表達幅度,發(fā)現(xiàn)不同尺度與方向。3.2在快速實現(xiàn)匹配追蹤的情況下,現(xiàn)代對于復雜問題的解決方法在確定樹稀疏性去噪,利用圖像中特定結(jié)構提取原子,構成圖像有用信息,對提取出的稀疏部分進行重建;而圖像中的噪聲沒有結(jié)構,不能用原子來表示。當原子模型及其參數(shù)與待分解的圖像信號的有用部分結(jié)構完全匹配時,即能最優(yōu)表示圖像信息。圖像信號的噪聲可由人為定義的高斯、均值、椒鹽等噪聲混合構成,為綜合去除這些噪聲,人們希望建立兩個甚至多個基函數(shù)之上的圖像信號表示,其結(jié)果應該比用任何一種單一的基函數(shù)效果要好。采用超完備的冗余函數(shù)庫取代基函數(shù),稱之為冗余字典,字典中的元素被稱為原子。原子庫的選擇應盡可能好地符合被逼近的圖像信號結(jié)構,其構成可沒有限制,從原子庫中找到具有最佳組合的M項原子來表示一個信號,被稱為信號的稀疏逼近。Mallat等人提出的應用過完備冗余原子庫對信號進行稀疏分解,并加入了匹配追蹤算法,提出利用匹配追蹤算法實現(xiàn)圖像稀疏分解。Chen等人在此基礎之上提出求解大尺度優(yōu)化問題為代表的基追蹤,BP求解時遇到了運算和選取合適參數(shù)的困難。MP算法雖然收斂速度較BP快,但不具備全局最優(yōu)性,且計算復雜度仍然很大。然而,由于字典的規(guī)模巨大,匹配追蹤的速度非常緩慢,如何快速實現(xiàn)匹配追蹤是當前學者研究的一個熱點問題。將圖像分解在完備正交基上,基的數(shù)目為圖像長與寬的乘積,基在圖像所組成的空間中稀疏分布,而在分解后的圖像能量分散在不同基上。能量分布的分散導致用基組合表示圖像時,為使得圖像能稀疏表示,基的構建必須使得基在圖像所構成的空間中足夠稀疏。原子庫的過完備性決定稀疏分解過程的計算復雜度,同時也決定稀疏分解結(jié)果的簡潔性和稀疏性。文獻提出用分子的概念表示各個子字典,樹葉子對應原始字典的原子,其他節(jié)點用分子表示,在不影響算法速度的同時提高搜索準確度。樹型匹配追蹤(treematchingpursuit,TMP)算法是2005年由La和Do提出的,該方法針對BP、MP和OMP方法沒有考慮信號的多尺度分解時稀疏信號在各子帶位置的關系,利用稀疏系數(shù)的樹型結(jié)構,進一步提升了重構信號精度和求解速度。文獻提出了基于跳躍字典的超完備稀疏表示方法和基于自適應分割定義域的超完備稀疏表示方法,分別用于重建帶有周期和方波特征的信號,以及帶有周期和沖擊特征的信號。通過設計跳躍字典,自動識別間斷點稀疏表示帶有周期和方波特征的信號;對帶有周期和沖擊信號,利用動態(tài)規(guī)劃,先將定義域自適應地分割成正則性較好的一些區(qū)域;然后對每個區(qū)域利用超完備基下的基追蹤算法進行稀疏表示求解。文獻提出了一種誘導性塔式分解算法,首先將原子庫逐層劃分,得到一個樹狀層次結(jié)構的原子庫,然后在迭代過程中利用劃分所得樹狀結(jié)構有目的、有導向性地指引信號分解方向,從而加快信號分解速度,極大降低算法計算復雜度。與經(jīng)典的匹配追蹤算法相比,該算法在同等稀疏度且逼近誤差接近的情況下,計算量大約降低為MP算法的1/40,計算時間降低為MP算法的1/100左右。噪聲對冗余字典分解影響的研究表明,如果分解的結(jié)果足夠稀疏,那么可以在噪聲中重建原始信號。利用上文提到原子庫構建字典,文獻通過學習的方式獲取字典并將其應用于圖像去噪,結(jié)合Bayesian方法處理,獲得簡單有效的去噪算法,取得較高的峰值信噪比。然而,由于其字典缺乏平移不變性,去噪后的圖像主觀質(zhì)量較差。由高斯函數(shù)和墨西哥草帽小波母函數(shù)得到的混合冗余字典能夠有效捕獲圖像背景和各向異性成分(邊緣和紋理)。文獻將字典通過聚類實現(xiàn)分層樹狀結(jié)構表示,結(jié)合正交匹配追蹤算法實現(xiàn)圖像稀疏表示,提高圖像表示的稀疏性,降低算法的復雜度;并依據(jù)噪聲能量閾值,通過多次迭代實現(xiàn)圖像去噪。采用混合字典方式,設定噪聲能量作為閾值,通過簡單迭代就能取得很好的效果,去噪算法簡單,易于實現(xiàn)。如果能在此基礎上進一步優(yōu)化字典結(jié)構,提高原子對圖像的表達能力,減小字典噪聲對圖像的影響,效果將更為顯著?；诔陚渥值涞膱D像稀疏表示是一種新的圖像表示理論,利用超完備字典的冗余性可以有效地捕捉圖像各種結(jié)構特征,從而有效表示圖像。當前稀疏表示理論研究主要集中在稀疏分解和字典構造算法兩方面。文獻提出一種新的超完備字典構造算法,即K-LMS算法,該算法由K-均值聚類算法泛化獲得,可用于超完備字典的自適應更新,以實現(xiàn)圖像有效表示,通過閾值處理的方法實現(xiàn)圖像去噪。3.3小波變換去噪原理近年來,小波理論得到非常迅速發(fā)展,小波分析具備良好的時頻特性,用小波變換將含噪信號變換到小波域,對分解后的各層系數(shù)模大于或小于設定閾值的系數(shù)分別進行處理,然后利用處理后的稀疏小波系數(shù)重構出消噪后的圖像。常用的閾值函數(shù)有硬閾值和軟閾值函數(shù)。硬閾值函數(shù)能較好地保留圖像邊緣等局部特征,產(chǎn)生偽吉布斯效應導致視覺失真;而軟閾值處理相對較平滑,卻可能造成邊緣模糊等現(xiàn)象,為此人們又提出了半軟(混合)閾值函數(shù)。在利用小波變換降噪中主要考慮小波的以下特性:a)低熵性,小波系數(shù)稀疏分布,圖像變換到小波域后熵低,使得信號和噪聲所在頻帶得到統(tǒng)計意義上的分離;b)多分辨率特性,采用多分辨率方法,能較好地刻畫信號的非平穩(wěn)性,如邊緣、尖峰、斷點等,可在不同分辨率下根據(jù)信號和噪聲分布去噪;c)基函數(shù)選擇靈活,根據(jù)信號特點與降噪要求選擇多帶小波以及小波母函數(shù);d)去相關性,噪聲在變化后有白化趨勢,小波系數(shù)稀疏,通常信號對應少量大的小波系數(shù),而噪聲對應大量小的小波系數(shù)。在小波變換域中能十分有效地把信號與噪聲區(qū)別開來,小波域優(yōu)于時域。小波去噪基本方法是將含噪信號進行多尺度小波變換,從時域變換到小波域,然后在各尺度下盡可能提取有用信號的小波系數(shù),去除屬于噪聲的小波系數(shù),用小波逆變換重構信號;建立稀疏表示的小波去噪模型,將小波去噪的問題轉(zhuǎn)換為一個最優(yōu)化問題,并通過求解該問題,得到不含噪聲的小波系數(shù),恢復小波系數(shù)的稀疏性,最終去除噪聲。其流程如圖1所示。M通道小波變換去噪算法,利用小波變換模極大值和噪聲的小波變換模極大值隨著尺度S的增大,具有不同的特性,設計成多通道濾波器結(jié)構,對每個子帶再重新進行M尺度的細分。不同于傳統(tǒng)的二進小波對頻帶劃分,而是對信號在不同尺度下的變換,分解到不同的頻帶上。在離散小波變換空間中,對圖像局部特征在不同尺度上降噪處理,可避免傳統(tǒng)方法對圖像局部的處理泛化到整幅圖像,從而提高降噪后圖像重建質(zhì)量。傳統(tǒng)算法對小波系數(shù)的提取,僅是在逐點處理,未用到小波系數(shù)整體結(jié)構特性。結(jié)合稀疏性,在得到小波系數(shù)后選擇隨機矩陣,且滿足一致不確定性原理特性,利用稀疏估計小波系數(shù)得到不含噪小波系數(shù),再進行小波逆變換。通過在多個初始迭代點上多次使用傳統(tǒng)數(shù)值優(yōu)化方法求取全局最優(yōu)。3.4在圖像圖像去噪方面的應用由一維小波基張成的二維小波僅能沿三個方向進行分解,這樣的限制使其沒有充分利用圖像的幾何特性,不能真正達到稀疏表示。針對這一問題,提出具有各向異性特點的多尺度幾何分析的多維信號處理理論。在二維信號中,所謂各向異性,即在信號分解過程中,所使用基支撐區(qū)間是長條形,而不是二維小波的正方形。這樣在圖像邊緣方向上可捕獲更多奇異點,從而完成二維信號稀疏表示。以多尺度幾何分析(multi-scalegeometricanalysis,MGA)為基礎,利用幾個較大的稀疏系數(shù)來逼近原始圖像信號。目前,針對不同的應用范圍,提出了一系列的稀疏表示理論,如Ridgelets、Curvelets、Contourlets、Brushelt、Wedgelet、Beamlet以及Bandelets變換等。分析發(fā)現(xiàn)Curvelets和Contourlets變換都是冗余變換,而Pennec等人提出的Bandelets變換是一種非冗余變換。Bandelets變換中,對于被加性高斯白噪聲污染的圖像,在同樣的噪聲級,優(yōu)于正交小波硬閾值去噪方法,視覺效果更好,且較好地保持了圖像邊緣。Ridgelet(脊波)是基于人眼視覺系統(tǒng)特性,根據(jù)圖像幾何結(jié)構特征提出的一種多尺度脊波字典構造方法。采用一系列脊波函數(shù)疊加形式來表示,脊波變換可對線狀奇異特征進行稀疏表示,因此可被廣泛應用于圖像去噪。在單尺度脊波變換的基礎上發(fā)展起來的曲線波變換Curvelet,也是對曲線奇異的物體的一種非自適應稀疏表示。Starck等人采用數(shù)字曲線波變換進行圖像去噪,得到了非常好的效果。在Curvelet轉(zhuǎn)換中使用Ridgelet變換作為其中一步,第二代曲線波變換完全擺脫了對脊波變換的依賴,改進了Starck等人所提出的Curvelet變換,去除了環(huán)繞現(xiàn)象,并將硬閾值去噪法和基于子帶相關的圖像去噪法相結(jié)合,在去除噪聲的同時保護圖像邊緣特征。Contourlet是從離散域構造出發(fā),并研究了連續(xù)域的收斂性。利用不可分濾波器組,可提供一種離散域的多分辨和多方向的表達方式。劉盛鵬等人提出一種基于數(shù)學形態(tài)學的Contourlet變換域圖像降噪方法。首先對輸入含噪圖像進行多尺度、多方向的Contourlet稀疏變換,然后利用數(shù)學形態(tài)學算子在Contourlet域?qū)Ω哳l系數(shù)進行處理,去除圖像中具有較小支撐域的噪聲,有效保留具有連續(xù)支撐域的圖像邊緣信息,最后通過Contourlet反變換得到預降噪圖像。文獻針對盲分離初始化問題提出一種基于Curvelet稀疏表示的圖像盲分離初始化方法。該初始化方法能避免盲分離算法在收斂時陷入局部最小,加快收斂,并提高分離精度。文獻提出了具有平移不變性的低冗余度解析輪廓波變換。在該變換中圓對稱濾波器組首先將圖像分解為多個不同分辨率的細節(jié)子帶和一個低頻子帶,再對細節(jié)子帶進行希爾伯特變換,形成二維解析信號,最后用方向濾波器組對二維解析信號進行分解,實現(xiàn)具有平移不變性多尺度多方向的解析輪廓波變換。解析輪廓波變換基函數(shù)的實部和虛部與Gabor小波的實部和虛部類似,符合人眼視覺特性,使得解析輪廓波變換在圖像去噪和壓縮傳感方面具有明顯優(yōu)勢。正交Bandelets域經(jīng)四叉樹分割的每一子塊系數(shù)建模為廣義高斯分布,基于Bayesian框架,推導出自適應逐子塊局部閾值的計算公式,找出其參數(shù)分布的最佳范圍,提出圖像Bandelets域的逐子塊閾值去噪算法。由于充分利用圖像的局部統(tǒng)計信息,對自然圖像去噪的視覺效果和評價指標都好于其他基于閾值去噪算法。第二代Bandelets能充分利用圖像內(nèi)在的幾何正則性,自適應獲得圖像的最優(yōu)表示;多層閾值符合小波多尺度域的系數(shù)統(tǒng)計特性;維納濾波能去除閾值去噪帶來的紋理效應。Wedgelet是Donoho研究如何從噪聲數(shù)據(jù)中恢復原始圖像的問題中提出來的一種方向信息檢測水平模型,這類模型中的邊緣具有Holder正則性。Donoho利用計算調(diào)和分析的思想,給出了一種新的具有方向性、局部性和尺度性的超完備原子集合Wedgelet。該集合為水平模型中的物體提供了一種近似最優(yōu)的表示方法,逼近精度可達M-2。這是一個自適應方法,主要用于檢測含噪圖像中線性奇異性信息。小波分析能成功對范圍廣泛的函數(shù)類稀疏表示,尤其對點奇異函數(shù)更能表現(xiàn)出最優(yōu)非線性逼近能力。但對于含線奇異、面奇異的二維或高維函數(shù),逼近效果則減弱。脊波框架的構造不需要利用Meyer小波特有的封閉特性,使得框架的構造條件遠比正交脊波寬松,幾乎各種正交小波基都可被用來構造此框架。脊波框架構造過程的靈活性和脊波特有的線性結(jié)構,脊波變換核心經(jīng)過Radon變換把線狀奇異性變換成點狀奇異性。小波變換能有效地處理在Radon域的點狀奇異性,其本質(zhì)是通過對小波基函數(shù)添加一個表征方向的參數(shù)得到,所以脊波除具有小波的局部時頻分析能力,還具有很強的方向選擇和辨識能力,能有效表示圖像中具有方向性的奇異特征。3.5稀疏編碼分析由于稀疏編碼與ICA有緊密聯(lián)系,ICA變換將隨機變量分解為多個相互間盡可能獨立的分量的組合,而分量之間盡可能獨立等價于各個分量的非高斯性最強。采用ICA處理含有噪聲的圖像數(shù)據(jù),可加強分量的非高斯性,在使用最大似然估計時有利于減小估計誤差。噪聲圖像經(jīng)過ICA變換,得到多個非高斯性最大化的獨立分量,然后對各個獨立分量進行最大似然估計,得到獨立分量,再經(jīng)過ICA逆變換得到去噪后的圖像。ICA是把圖像視為一系列最大不相關基圖組成,把含噪圖像分解成一系列在一定準則下的最大不相關基圖,通過準則選擇一定量基圖重構圖像。ICA是基于高階統(tǒng)計量,研究信號間的獨立關系;而PCA著重于二階統(tǒng)計量,研究信號間相關性,通過稀疏編碼提取圖像特征,并用于圖像去噪。Hyvarien等人認為多信號的獨立分量是稀疏的,可以在ICA域中去除噪聲,而且稀疏編碼收縮方法對于非高斯信號被高斯信號污染的去噪處理非常有效。圖2給出了PCA與ICA的對比。1997年,Olshausen等人又提出了一種超完備基的稀疏編碼算法。Bell等人把ICA用于自然圖像分析,并且得出一個重要結(jié)論:ICA實際上就是一種特殊的稀疏編碼。Hyvarinen等人用稀疏編碼方法進行去噪時,在ICA域中,收縮函數(shù)根據(jù)某閾值判別數(shù)據(jù)是否為噪聲,并對去除高斯噪音有著很好的效果;Haritopoulos等人利用基于非線性獨立分量分析的自組織神經(jīng)網(wǎng)絡進行去噪處理;Han等人也應用稀疏編碼的方法,在ICA域?qū)Σ此稍肼晥D像進行處理,達到了較好的效果。文獻采用從原圖中隨機提取子圖形成樣本數(shù)據(jù)集,對產(chǎn)生的數(shù)據(jù)樣本集進行變換實現(xiàn)去噪。對輸入圖像數(shù)據(jù)進行ICA分析,從數(shù)據(jù)間的高階統(tǒng)計相關性角度出發(fā),提取圖像內(nèi)部特征,有效利用了輸入數(shù)據(jù)在統(tǒng)計關系上的本質(zhì)特征。ICA方法本質(zhì)上屬于信息論的方法,可分為兩類:一類算法歸結(jié)為優(yōu)化一組相關的代價函數(shù),涉及到大量的復雜矩陣運算問題;另一類是基于隨機梯度算法的自適應算法,實現(xiàn)可以應用到神經(jīng)網(wǎng)絡等非線性并行計算工具,但算法收斂速度較慢。Haritopoulos等人提出了自組織非線性獨立成分分量的圖像去噪方法。由于自然圖像信號大部分自身即具備典型的稀疏統(tǒng)計特性,即服從超高斯分布。研究表明,在圖像去噪中,當ICA均為非高斯分布,或者僅有一個獨立分量為高斯分布時,該方法有效。只要找到獨立的投影方向,這些方向上的獨立成分就