PAGE認(rèn)識三角形（提高）知識講解責(zé)編：杜少波【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.理解三角形及與三角形有關(guān)的概念,掌握它們的文字、符號語言及圖形表述方法．2.理解并能夠證明三角形內(nèi)角和定理；3.掌握并會把三角形按角分類4.掌握并會應(yīng)用三角形三邊之間的關(guān)系．5.理解三角形的高、中線、角平分線的概念，掌握它們的畫法；并能正確應(yīng)用概念解題．【要點(diǎn)梳理】要點(diǎn)一、三角形的定義由不在同一條直線上的三條線段首尾順次相接所組成的圖形叫做三角形．要點(diǎn)詮釋：（1）三角形的基本元素：①三角形的邊：即組成三角形的線段；②三角形的角：即相鄰兩邊所組成的角叫做三角形的內(nèi)角，簡稱三角形的角；③三角形的頂點(diǎn)：即相鄰兩邊的公共端點(diǎn).（2）三角形的定義中的三個(gè)要求：“不在同一條直線上”、“三條線段”、“首尾順次相接”.（3）三角形的表示：三角形用符號“△”表示，頂點(diǎn)為A、B、C的三角形記作“△ABC”，讀作“三角形ABC”，注意單獨(dú)的△沒有意義；△ABC的三邊可以用大寫字母AB、BC、AC來表示，也可以用小寫字母a、b、c來表示，邊BC用a表示，邊AC、AB分別用b、c表示．要點(diǎn)二、三角形的內(nèi)角和三角形內(nèi)角和定理：三角形的內(nèi)角和為180°．要點(diǎn)詮釋：應(yīng)用三角形內(nèi)角和定理可以解決以下三類問題：①在三角形中已知任意兩個(gè)角的度數(shù)可以求出第三個(gè)角的度數(shù)；②已知三角形三個(gè)內(nèi)角的關(guān)系，可以求出其內(nèi)角的度數(shù)；③求一個(gè)三角形中各角之間的關(guān)系．要點(diǎn)三、三角形的分類【高清課堂：與三角形有關(guān)的線段三角形的分類】1.按角分類：要點(diǎn)詮釋：①銳角三角形：三個(gè)內(nèi)角都是銳角的三角形;②鈍角三角形：有一個(gè)內(nèi)角為鈍角的三角形.要點(diǎn)四、三角形的三邊關(guān)系定理：三角形任意兩邊之和大于第三邊.要點(diǎn)詮釋：（1）理論依據(jù)：兩點(diǎn)之間線段最短.（2）三邊關(guān)系的應(yīng)用：判斷三條線段能否組成三角形，若兩條較短的線段長之和大于最長線段的長，則這三條線段可以組成三角形；反之，則不能組成三角形．（3）證明線段之間的不等關(guān)系．要點(diǎn)五、三角形的三條重要線段三角形的高、中線和角平分線是三角形中三條重要的線段，它們提供了重要的線段或角的關(guān)系，為我們以后深入研究三角形的一些特征起著很大的幫助作用，因此，我們需要從不同的角度弄清這三條線段，列表如下：線段名稱三角形的高三角形的中線三角形的角平分線文字語言從三角形的一個(gè)頂點(diǎn)向它的對邊所在的直線作垂線，頂點(diǎn)和垂足之間的線段．三角形中，連接一個(gè)頂點(diǎn)和它對邊中點(diǎn)的線段．三角形一個(gè)內(nèi)角的平分線與它的對邊相交，這個(gè)角的頂點(diǎn)與交點(diǎn)之間的線段．圖形語言作圖語言過點(diǎn)A作AD⊥BC于點(diǎn)D．取BC邊的中點(diǎn)D，連接AD．作∠BAC的平分線AD，交BC于點(diǎn)D．標(biāo)示圖形符號語言1．AD是△ABC的高．2．AD是△ABC中BC邊上的高．3．AD⊥BC于點(diǎn)D．4．∠ADC＝90°，∠ADB＝90°．(或∠ADC＝∠ADB＝90°)1．AD是△ABC的中線．2．AD是△ABC中BC邊上的中線．3．BD＝DC＝BC4．點(diǎn)D是BC邊的中點(diǎn)．1．AD是△ABC的角平分線．2．AD平分∠BAC，交BC于點(diǎn)D．3．∠1＝∠2＝∠BAC．推理語言因?yàn)锳D是△ABC的高，所以AD⊥BC．(或∠ADB＝∠ADC＝90°)因?yàn)锳D是△ABC的中線，所以BD＝DC＝BC．因?yàn)锳D平分∠BAC，所以∠1＝∠2＝∠BAC．用途舉例1．線段垂直．2．角度相等．1．線段相等．2．面積相等．角度相等．注意事項(xiàng)1．與邊的垂線不同．2．不一定在三角形內(nèi)．—與角的平分線不同．重要特征三角形的三條高(或它們的延長線)交于一點(diǎn)．一個(gè)三角形有三條中線，它們交于三角形內(nèi)一點(diǎn)．一個(gè)三角形有三條角平分線，它們交于三角形內(nèi)一點(diǎn)．【典型例題】類型一、三角形的內(nèi)角和 1．（2016春?定陶縣期末）（1）如圖，在△ABC中，∠B=40°，∠C=80°，AD⊥BC于D，且AE平分∠BAC，求∠EAD的度數(shù)．（2）上題中若∠B=40°，∠C=80°改為∠C＞∠B，其他條件不變，請你求出∠EAD與∠B、∠C之間的數(shù)列關(guān)系？并說明理由．【思路點(diǎn)撥】根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠BAC，求出∠CAE，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠CAD，代入∠EAD=∠CAE﹣∠CAD求出即可．【答案與解析】解：（1）∵∠B=40°，∠C=80°，∴∠BAC=180°﹣∠B﹣∠C=60°，∵AE平分∠BAC，∴∠CAE=∠BAC=30°，∵AD⊥BC，∴∠ADC=90°，∵∠C=80°，∴∠CAD=90°﹣∠C=10°，∴∠EAD=∠CAE﹣∠CAD=30°﹣10°=20°；（2）∵三角形的內(nèi)角和等于180°，∴∠BAC=180°﹣∠B﹣∠C，∵AE平分∠BAC，∴∠CAE=∠BAC=（180°﹣∠B﹣∠C），∵AD⊥BC，∴∠ADC=90°，∴∠CAD=90°﹣∠C，∴∠EAD=∠CAE﹣∠CAD=（180°﹣∠B﹣∠C）﹣（90°﹣∠C）=∠C﹣∠B．【總結(jié)升華】本題考查了三角形內(nèi)角和定理，角平分線性質(zhì)的應(yīng)用，解此題的關(guān)鍵是求出∠CAE和∠CAD的度數(shù)，題目比較典型，求解過程類似．舉一反三：【變式1】三角形中至少有一個(gè)角不小于________度．【答案】60【高清課堂：與三角形有關(guān)的角練習(xí)（3）】【變式2】如圖，AC⊥BC,CD⊥AB,圖中有對互余的角？有對相等的銳角？

【答案】4,2．2.在△ABC中，∠ABC＝∠C，BD是AC邊上的高，∠ABD＝30°，則∠C的度數(shù)是多少?【思路點(diǎn)撥】按△ABC為銳角三角形和鈍角三角形兩種情況，分類討論．【答案與解析】解：分兩種情況討論：（1）當(dāng)△ABC為銳角三角形時(shí)，如圖所示，在△ABD中，∵BD是AC邊上的高(已知)，∴∠ADB＝90°(垂直定義)．又∵∠ABD＝30°(已知)，∴∠A＝180°-∠ADB-∠ABD＝180°-90°-30°＝60°．又∵∠A+∠ABC+∠C＝180°(三角形內(nèi)角和定理)，∴∠ABC+∠C＝120°，又∵∠ABC＝∠C，∴∠C＝60°．(2)當(dāng)△ABC為鈍角三角形時(shí)，如圖所示．在直角△ABD中，∵∠ABD＝30°(已知)，所以∠BAD＝60°．∴∠BAC＝120°．又∵∠BAC+∠ABC+∠C＝180°(三角形內(nèi)角和定理)，∴∠ABC+∠C＝60°．∴∠C＝30°．綜上，∠C的度數(shù)為60°或30°．【總結(jié)升華】在解決無圖的幾何題的過程中，只有正確作出圖形才能解決問題．這就要求解答者必須具備根據(jù)條件作出圖形的能力；要注意考慮圖形的完整性和其他各種可能性，雙解和多解問題也是我們在學(xué)習(xí)過程中應(yīng)該注意的一個(gè)重要環(huán)節(jié)．類型二、三角形的分類3.一個(gè)三角形一個(gè)內(nèi)角的度數(shù)是108°，這個(gè)三角形是（）三角形；一個(gè)三角形最大內(nèi)角小于90°，這個(gè)三角形是（）三角形.【答案】鈍角；銳角舉一反三：【變式】一個(gè)三角形的兩邊長為5cm和4cm，第三邊的長度跟其中一條邊等長，則圍成這個(gè)三角形至少需要（）cm長的繩子，最多需要（）cm長繩子（接頭忽略不計(jì)）.【思路點(diǎn)撥】對于所給邊長要分類討論：當(dāng)與4cm的邊等長時(shí)，需要繩子的長度最短；當(dāng)與5cm的邊等長時(shí)，需要繩子的長度最長.【答案】13；14類型三、三角形的三邊關(guān)系4.（2014?甘肅模擬）已知a，b，c是三角形的三邊長，化簡|a-b-c|+|b-c-a|+|c-a-b|；若a=5，b=4，c=3，求這個(gè)式子的值．【思路點(diǎn)撥】根據(jù)三角形的三邊關(guān)系判斷出a-b-c，b-c-a及c-a-b的符號，再根據(jù)絕對值的性質(zhì)化簡，然后將a=5，b=4，c=3代入即可．【答案與解析】解：∵a、b、c是三角形的三邊長，∴a-b-c＜0，b-c-a＜0，c-a-b＜0，∴原式=-a+b+c-b+a+c-c+a+b=a+b+c當(dāng)a=5，b=4，c=3時(shí)，原式=5+4+3=12．【總結(jié)升華】本題考查的是三角形的三邊關(guān)系，熟知三角形任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊是解答此題的關(guān)鍵．舉一反三：【變式】三角形的三邊長為2，x-3，4，且都為整數(shù)，則共能組成個(gè)不同的三角形.當(dāng)x為時(shí)，所組成的三角形周長最大.【答案】三；8(由三角形兩邊之和大于第三邊，可得5<x<9，因?yàn)閤為整數(shù)，故x可取6，7，8；當(dāng)x=8時(shí)，組成的三角形周長最大為11).5.如圖，O是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，連接OB和OC．(1)你能說明OB+OC＜AB+AC的理由嗎?(2)若AB＝5，AC＝6，BC＝7，你能寫出OB+OC的取值范圍嗎?【答案與解析】解：(1)如圖，延長BO交AC于點(diǎn)E，根據(jù)三角形的三邊關(guān)系可以得到，在△ABE中，AB+AE＞BE；在△EOC中，OE+EC＞OC，兩不等式相加，得AB+AE+OE+EC＞BE+OC．由圖可知，AE+EC＝AC，BE＝OB+OE．所以AB+AC+OE＞OB+OC+OE，即OB+OC＜AB+AC．(2)因?yàn)镺B+OC＞BC，所以O(shè)B+OC＞7．又因?yàn)镺B+OC＜AB+AC，所以O(shè)B+OC＜11，所以7＜OB+OC＜11．【總結(jié)升華】充分利用三角形三邊關(guān)系的性質(zhì)進(jìn)行解題．舉一反三：【變式】若五條線段的長分別是1cm、2cm、3cm、4cm、5cm,則以其中三條線段為邊可構(gòu)成______個(gè)三角形.【答案】3.類型四、三角形中的重要線段6.在△ABC中，AB＝AC，AC邊上的中線BD把△ABC的周長分為12cm和15cm兩部分，求三角形的各邊長．【思路點(diǎn)撥】因?yàn)橹芯€BD的端點(diǎn)D是AC邊的中點(diǎn)，所以AD＝CD，造成兩部分不等的原因是BC邊與AB、AC邊不等，故應(yīng)分類討論．【答案與解析】解：如圖(1)，設(shè)AB＝x，AD＝CD＝．(1)若AB+AD＝12，即，所以x＝8，即AB＝AC＝8，則CD＝4．故BC＝15-4＝11．此時(shí)AB+AC＞BC，所以三邊長為8，8，11．(2)如圖(2)，若AB+AD＝15，即，所以x＝10．即AB＝AC＝10，則CD＝5．故BC＝12-5＝7．顯然此時(shí)三角形存在，所以三邊長為10，10，7．綜上所述此三角形的三邊長分別為8，8，11或10，10，7．【總結(jié)升華】BD把△ABC的周長分為12cm和15cm兩部分，哪部分是12cm，哪部分是15cm，問題中沒有交代，因此，必須進(jìn)行分類