第七章擬合優(yōu)度檢驗

§7.1擬合優(yōu)度檢驗的一般原理

7.1.1什么是擬合優(yōu)度檢驗

擬合優(yōu)度檢驗（goodnessoffittest）是用來檢驗實際觀測數(shù)與依照某種假設(shè)或模型計算出來的理論數(shù)之間的一致性，以便判斷該假設(shè)或模型是否與觀測數(shù)相配合。擬合優(yōu)度檢驗也會出現(xiàn)Ⅰ型錯誤(棄真)和Ⅱ型錯誤(取偽)。下一張

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該檢驗包括兩種類型:I:檢驗觀測數(shù)與理論數(shù)之間的一致性。II:通過檢驗觀測數(shù)與理論數(shù)之間的一致性來判斷事件之間的獨立性。這兩種類型的問題都是用

2檢驗，但這個

2檢驗與5.1.5所講的

2檢驗是截然不同的，5.1.5的

2檢驗是對一個正態(tài)總體的標準差所作的檢驗。引例：

根據(jù)遺傳學(xué)理論，動物的性別比例是1:1。統(tǒng)計某羊場一年所產(chǎn)的876只羔羊中，有公羔428只，母羔448只。按1:1的性別比例計算，公、母羔均應(yīng)為438只。以A表示實際觀察次數(shù)，T表示理論次數(shù)，可將上述情況列成表7-1。表7-1羔羊性別實際觀察次數(shù)與理論次數(shù)下一張

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7.1.2擬合優(yōu)度檢驗的統(tǒng)計量H0:觀測數(shù)與理論分布一致擬合優(yōu)度檢驗的一般做法是：（1）將觀測值分為k種不同類別。（2）共獲得n個獨立觀測值，第i類觀測值的數(shù)目為Oi.

(3)相互獨立自由組合的情況下，第i類的概率為Pi,，上例中，取得第1類的概率為p1=1/2。下一張

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(4)第i類的期望數(shù)即理論數(shù)為Ti，Ti=npi，上例第1類的理論數(shù)為：T1=876×1/2=438。(5)Oi與Ti進行比較，判斷Oi與Ti之間總的不符合程度是否由于機會所造成的。

為了得到總的不符合程度和相對的不符合程度，以Ti為權(quán)求加權(quán)值，由此得出的統(tǒng)計量為

2:(7.1)下一張

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當ｎ充分大時，該統(tǒng)計量近似服從

２分布，但要求每一組內(nèi)的理論數(shù)都不得小于５，若理論數(shù)小于５時應(yīng)將相鄰組合并，直到等于或大于５。若總體參數(shù)已知，ａ＝０，自由度df＝k-1，若總體參數(shù)未知，需由樣本數(shù)據(jù)做點估計，根據(jù)點估計得出Ｔｉ，自由度df=k-1-a，其中ａ為需要由樣本估計的參數(shù)個數(shù)。當df=1時，（7.1）式應(yīng)做連續(xù)性矯正，矯正的

2為(7.2)下一張

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２的自由度為df=k-1-a（7.3）拒絕域的確定：P{拒絕H0|H0為真}=P{

2>}=

從而得拒絕域為§7.2擬合優(yōu)度檢驗7.2.1一般程序：（１）按§1.2所介紹的方法對數(shù)據(jù)進行分組（對于離散數(shù)據(jù)，組間距通常是１）。（２）根據(jù)總體分布類型和樣本含量ｎ計算理論數(shù)Ｔｉ。，，…，下一張

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（３）有時需用樣本數(shù)據(jù)估計總體參數(shù)。記所估計參數(shù)的個數(shù)為a。（４）分別合并兩個尾區(qū)的理論數(shù)，使之不小于５，合并后的組數(shù)記為ｋ。（５）相應(yīng)于(２)的自由度為ｋ－１，相應(yīng)于(３)的自由度為ｋ－１－ａ。（６）零假設(shè)：因為擬合優(yōu)度

2檢驗不是針對總體參數(shù)做檢驗的，因而零假設(shè)不需提出具體參數(shù)值，只需判斷觀測數(shù)是否符合理論數(shù)或某一理論分布。它的零假設(shè)是觀測數(shù)與理論數(shù)相符合，可形象化記為Ｈｏ：Ｏ－Ｔ＝０。（７）按（7.1）或（7.2）式計算出

2值并與

2臨界值做比較，當

2＞

2ａ時拒絕Ｈｏ；當

2＜

2ａ時接受Ｈｏ

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7.2.2對二項分布的檢驗１．總體參數(shù)已知例7.1

純合的黃圓豌豆與綠皺豌豆雜交，Ｆ１代自交，第二代分離數(shù)目如下：下一張

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Y_R_Y_rryyR_yyrr總計(黃圓)(黃皺)(綠圓)(綠皺)31510110832556問是否符合自由組合（獨立分配）率？解

當性狀相互獨立時，根據(jù)孟德爾獨立分配律，Ｆ２代的表型可由二項分布給出，記顯性性狀出現(xiàn)的概率為，＝３／４，因一種表型是由一對等位基因決定的，本例為兩對基因的自由組合，故ｎ＝２。根據(jù)二項展開式可以得出理論分離比為：將以上數(shù)據(jù)列成下表

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Y_R_Y_rryyR_yyrr實際觀測數(shù)31510110832理論頻率9/163/163/161/16理論數(shù)T312.75104.25104.2534.75O-T2.25-3.253.75-2.75(O-T)25.062510.562514.06257.56250.0160.1010.1350.218X2=0.016+0.101+0.135+0.218=0.470Y_R_:Y_rr:yyR_:yyrr=6/16:3/16:3/16:1/16理論數(shù)Ｔｉ均大于５，不需要合并Ｈ０：Ｏ－Ｔ＝０，α＝0.05因為計算理論數(shù)時參數(shù)＝3/4是已知的，并不需要用樣本數(shù)去估計，因此ａ＝０，自由度df＝４－１＝３。

23，0.05＝７.８１５，

2＜

2０.０５，Ｐ＞０.０５

結(jié)論是接受Ｈ０，符合９：３：３：１的分離比。由于df＝３，不需要矯正。當df＝１時一定要做矯正，否則甚至?xí)玫较喾唇Y(jié)論，見下例。例7.2用正常翅的野生型果蠅（νg＋νg＋）與殘翅（νg

νg

）的果蠅雜交，Ｆ１代均表現(xiàn)正常翅（νg＋νg）。Ｆ１代自交（νg＋νg×νg＋νg

），所得Ｆ２代中包括３１１個正常翅（νg＋νg＋和νg＋νg）和８１個殘翅（νg

νg

）。問這一分離比是否符合孟德爾３：１的理論比。下一張

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解計算過程見以下兩表下一張

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正常翅殘翅總數(shù)實際觀測數(shù)31181392理論數(shù)29498392O-T(未加矯正)17-17（O-T）2289289(O-T)2/T0.9832.949X2=0.983+2.949=3.932H0:O-T=0,a=0.05,df=1,x20.05=3.841,x2>x20.05，p<0.05結(jié)論：正常翅與殘翅的分離比不符合3：1下面計算矯正后的

2正常翅殘翅|O-T|-0.516.516.5(|O-T|-0.5)2272.25272.250.9262.778X2=0.926+2.778=3.704,X2<X20.05,p>0.05結(jié)論：可以認為正常翅與殘翅的分離比例符合3：1從上述結(jié)果可以看出，矯正后的

2比矯正前的低，若未加矯正，就已經(jīng)接受Ｈ０，矯正后的

2更低，不會影響結(jié)論，可以不加矯正。若未矯正時

2＞

2α，一定要計算矯正的

2。２．總體參數(shù)未知調(diào)查到幼兒園接小孩的家長性別，以１０人為一組，記錄每組女性人數(shù)，共得到１００組數(shù)據(jù)，列在表７-１中的第２列。問女性家長人數(shù)是否符合二項分布。根據(jù)常識，人群中男女性人數(shù)應(yīng)各占一半，但是去幼兒園接小孩的家長中男女性是否各占一半并不一定。因此二項分布的參數(shù)

未知，需由樣本數(shù)據(jù)估計。

＝0.59

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展開二項式（0.41＋0.59）10得到表７-１的第４列理論頻率p(

ｉ)，根據(jù)Ｔｉ＝Ｎｐ（

ｉ

）求出理論數(shù)，列在第５列。第５列的前４個數(shù)都小于５，應(yīng)當合并，合并后的值為6.25。最后的2個數(shù)也都小于5，合并后仍小于5，所以將最后3個數(shù)合并，合并后的值為15.17。相應(yīng)的觀測數(shù)也應(yīng)做類似的合并。合并后的ｋ＝6。參數(shù)是用樣本數(shù)據(jù)估計的，因而ａ＝1，自由度df＝6-1-1＝4。

從附表６中查出和

２4，0.05＝9.488，

４2<

２4，0.05，ｐ＞０．０５．接受Ｈ０：Ｏ－Ｔ＝０的假設(shè)。

結(jié)論是女性家長人數(shù)符合二項分布。下一張

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7.2.3對正態(tài)性的檢驗表7-2給出了1000個調(diào)查數(shù)據(jù)，表的第1列為組限，第2列為實際觀測數(shù)，總體平均數(shù)μ和總體方差σ2是未知的，觀測數(shù)的正態(tài)性看上去是很好的，兩頭少，中間多，兩側(cè)基本對稱。為了得到正態(tài)性的確切判斷必須進行嚴格的檢驗。下一張

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根據(jù)7.2.1所介紹的一般程序首先對數(shù)據(jù)進行分組，實際上表7-2已經(jīng)分好，共分10組，10個組依次編碼為0~9，稱為編碼變量（codedvariable），記為Vi,由編碼變量及觀測數(shù)可以計算出編碼變量的平均數(shù)和標準差sv(見表7-2的下半部)。第4列為Vi的組界。下面以和sv(作為正態(tài)分布的兩個參數(shù)計算每一組界的標準化值（u），并計算出累積概率（u

）。為什么要以組界為上限計算累積概率呢？在這里有必要做一些解釋。在例1.2中講過繪制直方圖時是以組界為分界的，在兩個組界內(nèi)包含這一組所有可能的值，例如第1組的組限是3.92~3.96，它的實際值x1可能是3.915≤x1＜3.965的那些值，而第2組的實際值x2可能是3.965≤x2＜4.015的那些值。為了求得某一區(qū)間內(nèi)的曲線下面積，根據(jù)3.4.3給出的關(guān)系：P(u1＜V＜u2)=便可求出每一區(qū)間的概率值，再乘以觀測總數(shù)n，而得到理論數(shù)Ti。如第一組的理論數(shù)T1=1000（0.0157）=15.7，第二組的理論數(shù)T2=1000（0.0568-0.0157）=41.1。依次類推。得到理論數(shù)后，代入（7.1）式得到

2=29.2總體的兩個參數(shù)μ和σ分別是由和sv估計的，因此自由度df=10-1-2=7,從附表6中查出χ27，0.05=14.067，χ27＞χ27，0.05即p＜0.05。因此拒絕H0:O-T=0的假設(shè)。該分布不符合正態(tài)分布。下一張

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7.2.4其他類型問題的檢驗上面僅舉出了對二項分布和正態(tài)分布的檢驗，對于其他類型的分布，如泊松分布、Γ分布等都可以用類似方法做檢驗。有時理論數(shù)是由某一模型或某一理論得到的，也同樣可以使用χ2某檢驗推斷實際觀測數(shù)與理論數(shù)之間的擬合程度。方法大同小異，這里不再一一舉例了。下一張

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§7.3獨立性檢驗7.3.1列聯(lián)表χ2檢驗列聯(lián)表（contingencytable）χ2檢驗是另一類型的χ2檢驗，可以用它檢驗事件的獨立性或者說檢驗處理之間的差異顯著性。下面舉例說明列聯(lián)表χ2檢驗的一般原理。例7.3表7-3是不同給藥方式與給藥效果表。給藥方式有效（A）無效（）總數(shù)有效率口服（B）58409859.2%注射（）64319567.4%總數(shù)12271193問:口服給藥與注射給藥的效果有無差異?處理這類問題時，一般做法如下：考慮樣本中的各處理之間是否有關(guān)聯(lián)，根據(jù)它們之間無關(guān)聯(lián)的假設(shè)計算理論數(shù)，在一定的自由度下對顯著性水平α作推斷，若拒絕無關(guān)聯(lián)的假設(shè)，則說明不同處理之間有關(guān)聯(lián)，不同處理產(chǎn)生不同效果，或者說處理之間的差異是顯著的。這種檢驗也稱為獨立性檢驗（independencetest）。表7-3稱為2×2列聯(lián)表（2×2contingencytable）。2×2列聯(lián)表的χ2檢驗一般需經(jīng)以下各步：下一張

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（1）提出零假設(shè)：認為有效或無效與給藥方是無關(guān)聯(lián)。實際觀測的結(jié)果與在兩者之間并無關(guān)聯(lián)的前提下，從理論上推導(dǎo)出的理論數(shù)之間無差異。即H0:O-T=0。（2）根據(jù)概率乘法法則（見2.1.5），若事件A和事件B是相互獨立的，或者說它們之間并無關(guān)聯(lián)，這是事件A和事件B同時出現(xiàn)的概率等于它們分別出現(xiàn)是概率的乘積P(AB)=P(A)P(B)例7.3的零假設(shè)是給藥方式與給藥效果之間無關(guān)聯(lián)，則口服與有效同時出現(xiàn)的理論頻率應(yīng)為口服的頻率與有效的頻率的乘積，P(AB)=P(A)P(B)=其理論數(shù)T1由理論頻率乘以總數(shù)得出，T1=（193）==61.15。同樣可以計算出另外3種情況的理論數(shù)。（3）如吻合度檢驗?zāi)菢佑嬎?/p>

2值，若

2＜

2α，則觀測數(shù)與理論數(shù)是一致的，給藥方式與給藥效果間無關(guān)聯(lián)的假設(shè)可以成立。若

2>

α2，則觀測數(shù)與理論數(shù)不一致，說明給藥方式與給藥效果間是有關(guān)聯(lián)的，不同的給藥方式產(chǎn)生不同的效果。下一張

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（4）確定自由度:2×2列聯(lián)表的自由度是（r-1）（c-1）或者寫成（行-1）（列-1）。因為每一行的各理論數(shù)受該行總數(shù)的約束，每一列的各理論數(shù)受該列總數(shù)的約束，所以總的自由度只有（r-1）（c-1）。2×2列聯(lián)表的χ2檢驗與吻合度檢驗一樣，理論數(shù)不得小于5，當理論數(shù)小于5時，應(yīng)使用另外的方法計算（見7.3.2）。

下面計算例7.3的χ2并作推斷。首先計算各格的理論數(shù)，從表7-4總可以看出，任何一格的理論數(shù)等于這格所在的行總數(shù)乘以這格所在的列總數(shù)，再除以總數(shù)。在實際計算時，算出T1以后，可以用列總數(shù)減去T1得T3，用行總數(shù)減去T1得T2，列總數(shù)減去T2得T4。有效無效總數(shù)口服O1=58O2=40T1==61.95T2==36.0598注射O3=64O4=3195T3==60.05T4==34.95總數(shù)12271193表7-422列聯(lián)表理論數(shù)的計算

χ2===0.252+0.433+0.260+0.446=1.391H0:O-T=0，a=0.05,df==1下一張

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結(jié)論是用口服方式給藥與注射方式給藥的效果沒有顯著不同。因為已經(jīng)接受H0，不必再矯正。雖然在生物學(xué)問題中，經(jīng)常遇到的是2×2列聯(lián)表，但有時還會遇到行數(shù)與列數(shù)都大于2的情況，這是稱為r×c列聯(lián)表（r×ccontingencytable),其理論數(shù)的計算仍為：例7.4用40Kr+N2，40Kr，25Kr的γ射線照射“天津一號”大麥。將處理后的種子做根尖壓片