立體幾何垂直總結(jié)1、線線垂直得判斷： 線面垂直得定義：若一直線垂直于一平面，這條直線垂直于平面內(nèi)所有直線。補(bǔ)充：一條直線與兩條平行直線中得一條垂直，也必垂直平行線中得另一條。2、線面垂直得判斷：（1）如果一直線與平面內(nèi)得兩相交直線垂直，這條直線就垂直于這個(gè)平面。（2）如果兩條平行線中得一條垂直于一個(gè)平面，那么另一條也垂直于這個(gè)平面。（3）一直線垂直于兩個(gè)平行平面中得一個(gè)平面，它也垂直于另一個(gè)平面。（4）如果兩個(gè)平面垂直，那么在—個(gè)平面內(nèi)垂直于交線得直線必垂直于另—個(gè)平面。3、面面垂直得判斷：一個(gè)平面經(jīng)過另一個(gè)平面得垂線，這兩個(gè)平面互相垂直。證明線線垂直得常用方法：AEDBC例1、（等腰三角形三線合一）如圖，已知空間四邊形中，，就是得中點(diǎn)。求證：（1）平面CDE;（2）平面平面。AEDBC證明：（1）同理，又∵∴平面（2）由（1）有平面又∵平面，∴平面平面例2、（菱形得對(duì)角線互相垂直、等腰三角形三線合一）已知四棱錐得底面就是菱形．，為得中點(diǎn)．（Ⅰ）求證：∥平面；（Ⅱ）求證：平面平面．例3、(線線、線面垂直相互轉(zhuǎn)化)已知中,面,,求證：面．證明：°又面面又面圖2例4、(直徑所對(duì)得圓周角為直角)如圖2所示，已知垂直于圓O在平面，就是圓O得直徑，就是圓O得圓周上異于、得任意一點(diǎn)，且，點(diǎn)就是線段得中點(diǎn)、求證：平面、圖2證明：∵所在平面，就是得弦，∴、又∵就是得直徑，就是直徑所對(duì)得圓周角，∴、∵平面，平面、∴平面，平面，∴、∵，點(diǎn)就是線段得中點(diǎn)、∴、∵,平面，平面、∴平面、例5、（證明所成角為直角）在如圖所示得幾何體中，四邊形ABCD就是等腰梯形，AB∥CD，∠DAB＝60°，AE⊥BD，CB＝CD＝CF、求證：BD⊥平面AED；證明因?yàn)樗倪呅蜛BCD就是等腰梯形，AB∥CD，∠DAB＝60°，所以∠ADC＝∠BCD＝120°、又CB＝CD，所以∠CDB＝30°，因此∠ADB＝90°，即AD⊥BD、又AE⊥BD，且AE∩AD＝A，AE，AD?平面AED，所以BD⊥平面AED、例6、（勾股定理得逆定理）如圖7－7－5所示，已知直三棱柱ABC—A1B1C1中，△ABC為等腰直角三角形，∠BAC＝90°，且AB＝AA1，D、E、F分別為B1A、C1C、BC得中點(diǎn)．求證：(1)DE∥平面ABC；(2)B1F⊥平面AEF、例7、（三垂線定理）證明：在正方體ABCD－A1B1C1D1中，A1C⊥平面BC1D證明：連結(jié)AC∴AC為A1C在平面AC上得射影練習(xí)；1、如圖在三棱錐P—ABC中，AB＝AC，D為BC得中點(diǎn)，PO⊥平面ABC，垂足O落在線段AD上、證明：AP⊥BC；2、直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC＝BC＝eq\f(1,2)AA1，D就是棱AA1得中點(diǎn)，DC1⊥BD、證明：DC1⊥BC。3．如圖，平行四邊形ABCD中，∠DAB＝60°，AB＝2，AD＝4、將△CBD沿BD折起到△EBD得位置，使平面EBD⊥平面ABD、(1)求證：AB⊥DE；(2)求三棱錐EABD得側(cè)面積．、4、在正三棱柱中，若AB=2，，求點(diǎn)A到平面得距離。5、如圖所示，在四棱錐P—ABCD中，底面ABCD就是矩形，側(cè)棱PA垂直于底面，E、F分別就是AB、PC得中點(diǎn)，PA＝AD、求證：(1)CD⊥PD；(2)EF⊥平面PCD、、6、如圖7－5－9(1)，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D，E分別為AC，AB得中點(diǎn)，點(diǎn)F為線段CD上得一點(diǎn)，將△ADE沿DE折起到△A1DE得位置，使A1F⊥CD，如圖(2)．(1)求證：DE∥平面A1CB、(2)求證：A1F⊥BE、(3)線段A1B上就是否存在點(diǎn)Q，使A1C⊥平面DEQ？說明理由．立體幾何垂直總結(jié)1、線線垂直得判斷： 線面垂直得定義：若一直線垂直于一平面，這條直線垂直于平面內(nèi)所有直線。補(bǔ)充：一條直線與兩條平行直線中得一條垂直，也必垂直平行線中得另一條。2、線面垂直得判斷：（1）如果一直線與平面內(nèi)得兩相交直線垂直，這條直線就垂直于這個(gè)平面。（2）如果兩條平行線中得一條垂直于一個(gè)平面，那么另一條也垂直于這個(gè)平面。（3）一直線垂直于兩個(gè)平行平面中得一個(gè)平面，它也垂直于另一個(gè)平面。（4）如果兩個(gè)平面垂直，那么在—個(gè)平面內(nèi)垂直于交線得直線必垂直于另—個(gè)平面。3、面面垂直得判斷：一個(gè)平面經(jīng)過另一個(gè)平面得垂線，這兩個(gè)平面互相垂直。證明線線垂直得常用方法：AEDBC例1、（等腰三角形三線合一）如圖，已知空間四邊形中，，就是得中點(diǎn)。求證：（1）平面CDE;（2）平面平面。AEDBC證明：（1）同理，又∵∴平面（2）由（1）有平面又∵平面，∴平面平面例2、（菱形得對(duì)角線互相垂直、等腰三角形三線合一）已知四棱錐得底面就是菱形．，為得中點(diǎn)．（Ⅰ）求證：∥平面；（Ⅱ）求證：平面平面．例3、(線線、線面垂直相互轉(zhuǎn)化)已知中,面,,求證：面．證明：°又面面又面圖2例4、(直徑所對(duì)得圓周角為直角)如圖2所示，已知垂直于圓O在平面，就是圓O得直徑，就是圓O得圓周上異于、得任意一點(diǎn)，且，點(diǎn)就是線段得中點(diǎn)、求證：平面、圖2證明：∵所在平面，就是得弦，∴、又∵就是得直徑，就是直徑所對(duì)得圓周角，∴、∵平面，平面、∴平面，平面，∴、∵，點(diǎn)就是線段得中點(diǎn)、∴、∵,平面，平面、∴平面、例5、（證明所成角為直角）在如圖所示得幾何體中，四邊形ABCD就是等腰梯形，AB∥CD，∠DAB＝60°，AE⊥BD，CB＝CD＝CF、求證：BD⊥平面AED；證明因?yàn)樗倪呅蜛BCD就是等腰梯形，AB∥CD，∠DAB＝60°，所以∠ADC＝∠BCD＝120°、又CB＝CD，所以∠CDB＝30°，因此∠ADB＝90°，即AD⊥BD、又AE⊥BD，且AE∩AD＝A，AE，AD?平面AED，所以BD⊥平面AED、例6、（勾股定理得逆定理）如圖7－7－5所示，已知直三棱柱ABC—A1B1C1中，△ABC為等腰直角三角形，∠BAC＝90°，且AB＝AA1，D、E、F分別為B1A、C1C、BC得中點(diǎn)．求證：(1)DE∥平面ABC；(2)B1F⊥平面AEF、例7、（三垂線定理）證明：在正方體ABCD－A1B1C1D1中，A1C⊥平面BC1D證明：連結(jié)AC∴AC為A1C在平面AC上得射影練習(xí)；1、如圖在三棱錐P—ABC中，AB＝AC，D為BC得中點(diǎn)，PO⊥平面ABC，垂足O落在線段AD上、證明：AP⊥BC；2、直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC＝BC＝eq\f(1,2)AA1，D就是棱AA1得中點(diǎn)，DC1⊥BD、(1)證明：DC1⊥BC；證明由題設(shè)知，三棱柱得側(cè)面為矩形．由于D為AA1得中點(diǎn)，故DC＝DC1、又AC＝eq\f(1,2)AA1，可得DCeq\o\al(2,1)＋DC2＝CCeq\o\al(2,1)，所以DC1⊥DC、又DC1⊥BD，DC∩BD＝D，所以DC1⊥平面BCD、因?yàn)锽C?平面BCD，所以DC1⊥BC、3．如圖，平行四邊形ABCD中，∠DAB＝60°，AB＝2，AD＝4、將△CBD沿BD折起到△EBD得位置，使平面EBD⊥平面ABD、(1)求證：AB⊥DE；(2)求三棱錐EABD得側(cè)面積．(1)證明：在△ABD中，∵AB＝2，AD＝4，∠DAB＝60°，設(shè)F為AD邊得中點(diǎn)，連接FB，∴△ABF為等邊三角形，∠AFB＝60°，又DF＝BF＝2，∴△BFD為等腰三角形．∴∠FDB＝30°，故∠ABD＝90°、∴AB⊥BD、又平面EBD⊥平面ABD，平面EBD∩平面ABD＝BD，AB?平面ABD，∴AB⊥平面EBD、∵DE?平面EBD，∴AB⊥DE、(2)【解析】由(1)知AB⊥BD，∵CD∥AB，∴CD⊥BD，從而DE⊥BD、在Rt△DBE中，∵DB＝2eq\r(3)，DE＝DC＝AB＝2，∴S△DBE＝eq\f(1,2)DB·DE＝2eq\r(3)、∵AB⊥平面EBD，BE?平面EBD，∴AB⊥BE、∵BE＝BC＝AD＝4，∴S△ABE＝eq\f(1,2)AB·BE＝4、∵DE⊥BD，平面EBD⊥平面ABD，∴ED⊥平面ABD、而AD?平面ABD，∴ED⊥AD，∴S△ADE＝eq\f(1,2)AD·DE＝4、綜上，三棱錐EABD得側(cè)面積S＝8＋2eq\r(3)、4、在正三棱柱中，若AB=2，，求點(diǎn)A到平面得距離。6如圖所示，在四棱錐P—ABCD中，底面ABCD就是矩形，側(cè)棱PA垂直于底面，E、F分別就是AB、PC得中點(diǎn)，PA＝AD、求證：(1)CD⊥PD；(2)EF⊥平面PCD、證明(1)∵PA⊥底面ABCD，∴CD⊥PA、又矩形ABCD中，CD⊥AD，且AD∩PA＝A，∴CD⊥平面PAD，∴CD⊥PD、(2)取PD得中點(diǎn)G，連接AG，F(xiàn)G、又∵G、F分別就是PD、PC得中點(diǎn)，∴GF綊eq\f(1,2)CD，∴GF綊AE，∴四邊形AEFG就是平行四邊形，∴AG∥EF、∵PA＝AD，G就是PD得中點(diǎn)，∴AG⊥PD，∴EF⊥PD，∵CD⊥平面PAD，AG平面PAD、∴CD⊥AG、∴EF⊥CD、∵PD∩CD＝D，∴EF⊥平面PCD、6、如圖7－5－9(1)，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D，E分別為AC，AB得中點(diǎn)，點(diǎn)F為線段CD上得一點(diǎn)，將△ADE沿DE折起到△A1DE得位置，使A1F⊥CD，如圖(2)．(1)求證：DE∥平面A1CB、(2)求證：A1F⊥BE、(3)線段A1B上就是否存在點(diǎn)Q，使A1C⊥平面DEQ？說明理由．【規(guī)范解答】(1)因?yàn)镈，E分別為AC，AB得中點(diǎn)，所以DE∥BC、2分又因?yàn)镈E?平面A1CB，所以DE∥平面A1CB、4分(2)由已知得AC⊥BC且DE∥BC，所以DE⊥AC、所以DE⊥A1D，DE⊥CD、所以DE⊥平面A1DC、6分又A1F?平面A1DC，所以DE⊥A1F、又因?yàn)锳1F⊥CD，CD∩DE＝D，所以A1F⊥平面BCDE，又