20212022學(xué)年山西省山西大學(xué)附屬中學(xué)高二下學(xué)期3月（總第二次）模塊診斷數(shù)學(xué)試題一、單選題1．(x－y)n的二項(xiàng)展開(kāi)式中，第m項(xiàng)的系數(shù)是（

）A． B．C． D．(－1)m－1【答案】D【分析】【詳解】(x－y)n的二項(xiàng)展開(kāi)式中第m項(xiàng)為Tm＝C(－y)m－1xn－m＋1，所以系數(shù)為C(－1)m－1.2．核糖核酸(縮寫為RNA)，存在于生物細(xì)胞以及部分病毒、類病毒中的遺傳信息載體，RNA由核糖核苷酸經(jīng)磷酸二酯鍵縮合而成長(zhǎng)鏈狀分子，長(zhǎng)鏈中每一個(gè)位置上都被一種稱為堿基的化學(xué)成分所占據(jù)，RNA的堿基主要有4種，分別用A，C，G，U表示．在一個(gè)RNA分子中，各種堿基能夠以任意次序出現(xiàn)，假設(shè)某一RNA分子由100個(gè)堿基組成，則不同的RNA分子的種數(shù)為(

)A． B． C． D．【答案】B【分析】利用分步乘法計(jì)數(shù)原理即可求解.【詳解】由100個(gè)堿基組成的長(zhǎng)鏈共有100個(gè)位置，從A，C，G，U中任選1個(gè)依次填入這100個(gè)位置中，每個(gè)位置都有4種填充方法，根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，可得不同的RNA分子的種數(shù)為．故選：B3．把三張游園票分給10個(gè)人中的3人，分法有（

）A．種 B．種C．種 D．30種【答案】B【分析】【詳解】三張票沒(méi)區(qū)別，從10人中選3人，即C.4．若＝18，則m等于（

）A．9 B．8 C．7 D．6【答案】D【分析】【詳解】由A＝m(m－1)(m－2)(m－3)＝18·，得m－3＝3，m＝6.5．拋擲一枚硬幣，規(guī)定正面向上得1分，反面向上得－1分，則得分X的均值為（

）A．0 B． C．1 D．－1【答案】A【分析】利用隨機(jī)變量的均值的定義即得.【詳解】因?yàn)镻(X＝1)＝，P(X＝－1)＝，所以由均值的定義得E(X)＝1×＋(－1)×＝0．故選：A.6．一射手對(duì)同一目標(biāo)獨(dú)立地進(jìn)行次射擊，已知至少命中一次的概率為，則此射手的命中率是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】設(shè)射擊一次命中的概率為，根據(jù)條件得到求解即可.【詳解】一射手對(duì)同一目標(biāo)獨(dú)立地進(jìn)行次射擊，射擊一次命中的概率為，根據(jù)已知至少命中一次的概率為，，所以，即，則此射手的命中率是.故選：B.7．甲、乙、丙、丁、戊5名黨員參加“黨史知識(shí)競(jìng)賽”，決出第一名到第五名的名次（無(wú)并列名次），已知甲排第三，乙不是第一，丙不是第五．據(jù)此推測(cè)5人的名次排列情況共有（

）種A．5 B．8 C．14 D．21【答案】C【分析】按乙排第五和不是第五分類討論．【詳解】乙排在第五的情況有：，乙不在第五的方法有，共有，故選：C．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查排列組合的綜合應(yīng)用，解題關(guān)鍵是確定完成事件的方法：是先分類還是先分步：分類后每一類再分步．然后結(jié)合計(jì)數(shù)原理求解．8．若（），則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)賦值法分別令、，然后可得.【詳解】令，則，再令，則，∴.故選：B.9．12名同學(xué)合影，站成前排4人后排8人，現(xiàn)攝影師要從后排8人中抽2人調(diào)整到前排，若其他人的相對(duì)順序不變，則不同調(diào)整方法的總數(shù)是A． B． C． D．【答案】C【詳解】試題分析：第一步從后排8人中選2人有種方法，第二步6人前排排列，先排列選出的2人有種方法，再排列其余4人只有1種方法，因此所有的方法總數(shù)的種數(shù)是【解析】排列組合點(diǎn)評(píng)：此類題目的求解一般遵循先選擇后排列，結(jié)合分步計(jì)數(shù)原理的方法10．北京2022年冬奧會(huì)吉祥物“冰墩墩”和冬殘奧會(huì)吉祥物“雪容融”一亮相，好評(píng)不斷，這是一次中國(guó)文化與奧林匹克精神的完美結(jié)合，是一次現(xiàn)代設(shè)計(jì)理念的傳承與突破.為了宣傳2022年北京冬奧會(huì)和冬殘奧會(huì)，某學(xué)校決定派小明和小李等名志愿者將兩個(gè)吉祥物安裝在學(xué)校的體育廣場(chǎng)，若小明和小李必須安裝同一個(gè)吉祥物，且每個(gè)吉祥物都至少由兩名志愿者安裝，則不同的安裝方案種數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】分為三人組中包含小明和小李和不包含小明和小李兩類，分別計(jì)算方案種數(shù)即可得結(jié)果.【詳解】由題意可知應(yīng)將志愿者分為三人組和兩人組，當(dāng)三人組中包含小明和小李時(shí)，安裝方案有種；當(dāng)三人組中不包含小明和小李時(shí)，安裝方案有種，共計(jì)有種，故選：A.11．已知2×1010＋a(0≤a<11)能被11整除，則實(shí)數(shù)a的值為（

）A．7 B．8 C．9 D．10【答案】C【分析】根據(jù)二項(xiàng)式定理將多項(xiàng)式進(jìn)行展開(kāi)，利用整除的性質(zhì)即可得到結(jié)論.【詳解】，∵能被11整除，∴要使能被11整除，則能被11整除，∵，∴，則，解得，故選：C.12．將底面各邊邊長(zhǎng)均不相等的四棱錐S﹣ABCD的每一個(gè)面都染上一種顏色，并使有公共邊的兩個(gè)面異色，現(xiàn)有5種顏色可供使用，則不同的染色方法有（

）A．420種 B．360種 C．480種 D．320種【答案】A【解析】利用分布乘法計(jì)數(shù)原理，先涂底面，再涂側(cè)面，即可求出.【詳解】解：先染底面，有種，再染四個(gè)側(cè)面，當(dāng)側(cè)面用四種顏色時(shí)，則有種，當(dāng)側(cè)面用三種顏色時(shí)，則有種，當(dāng)側(cè)面用兩種顏色時(shí)，則有種共有種，共有種不同的染色方法．故選：A．二、填空題13．設(shè)隨機(jī)變量的方差，則的值為_(kāi)____．【答案】4【分析】利用方差的運(yùn)算性質(zhì)即可求解【詳解】.故答案為：14．將5位同學(xué)分別保送到北京大學(xué)，上海交通大學(xué)，清華大學(xué)這3所大學(xué)就讀，每所大學(xué)至少保送1人，則不同的保送方法共有______種【答案】150【分析】每所大學(xué)至少保送一人，可以分類來(lái)解，當(dāng)5名學(xué)生分成2，2，1時(shí)，當(dāng)5名學(xué)生分成3，1，1時(shí)，根據(jù)分類計(jì)數(shù)原理得到結(jié)果．【詳解】當(dāng)5名學(xué)生分成2，2，1或3，1，1兩種形式，當(dāng)5名學(xué)生分成2，2，1時(shí)，共有種結(jié)果，當(dāng)5名學(xué)生分成3，1，1時(shí)，共有種結(jié)果，根據(jù)分類計(jì)數(shù)原理知共有種.故答案為：150．【點(diǎn)睛】本題考查了分組分配問(wèn)題，關(guān)鍵是如何分組，屬于中檔題．15．設(shè)隨機(jī)變量的分布列為，則___________.【答案】【分析】由分布列的性質(zhì)列式求解，再根據(jù)的含義代入概率公式求解.【詳解】由題意，，所以，得，所以.故答案為：16．某市生態(tài)環(huán)境局舉辦“六·五世界環(huán)境日”宣傳活動(dòng)，進(jìn)行現(xiàn)場(chǎng)抽獎(jiǎng).抽獎(jiǎng)規(guī)則是：盒中裝有10張大小相同的精美卡片，卡片上分別印有“環(huán)保會(huì)徽”或“綠色環(huán)保標(biāo)志”圖案.參加者每次從盒中抽取卡片2張，若抽到2張都是“綠色環(huán)保標(biāo)志”卡即可獲獎(jiǎng).已知從盒中抽到2張都不是“綠色環(huán)保標(biāo)志”卡的概率是.現(xiàn)有甲、乙、丙、丁四人依次抽獎(jiǎng)，抽后放回，另一人再抽，用表示獲獎(jiǎng)的人數(shù)，那么______.【答案】【分析】設(shè)設(shè)盒中裝有10張大小相同的精美卡片，其中印有“環(huán)保會(huì)徽”圖案的有n張，則印有“綠色環(huán)保標(biāo)志圖案的有張，根據(jù)從盒中抽到2張都不是“綠色環(huán)保標(biāo)志”卡的概率是建立方程解出n，求出獲獎(jiǎng)概率，進(jìn)而根據(jù)二項(xiàng)分布的期望和方差公式求得答案.【詳解】設(shè)盒中裝有10張大小相同的精美卡片，其中印有“環(huán)保會(huì)徽”圖案的有n張，則印有“綠色環(huán)保標(biāo)志圖案的有張，由題意得，解得，所以參加者每次從盒中抽取卡片2張，獲獎(jiǎng)概率，所以獲獎(jiǎng)的人數(shù)，所以.故答案為：.三、解答題17．已知的展開(kāi)式中，第4項(xiàng)的系數(shù)與倒數(shù)第4項(xiàng)的系數(shù)之比為．(1)求的值；(2)將展開(kāi)式中所有項(xiàng)重新排列，求有理項(xiàng)不相鄰的概率．【答案】(1)7；(2)﹒【分析】(1)求二項(xiàng)式展開(kāi)式的通項(xiàng)，根據(jù)第4項(xiàng)的系數(shù)與倒數(shù)第4項(xiàng)的系數(shù)之比為列出關(guān)于m的方程，解方程即可求得m；(2)根據(jù)通項(xiàng)求出有理項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)，根據(jù)插空法即可求概率.【詳解】(1)展開(kāi)式的通項(xiàng)為，∴展開(kāi)式中第4項(xiàng)的系數(shù)為，倒數(shù)第4項(xiàng)的系數(shù)為，，即．(2)展開(kāi)式共有8項(xiàng)，由(1)可得當(dāng)為整數(shù)，即時(shí)為有理項(xiàng)，共4項(xiàng)，∴由插空法可得有理項(xiàng)不相鄰的概率為．18．設(shè)是公比不為的等比數(shù)列，為，的等差中項(xiàng)，．（Ⅰ）求的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.【分析】（Ⅰ）設(shè)公比為，由題意可得，解得，可得；（Ⅱ）根據(jù)以及，可得，可得.【詳解】解：（Ⅰ）設(shè)的公比為．因?yàn)闉椋牡炔钪许?xiàng)，所以，即，又因?yàn)?，所以，即，因?yàn)椋裕裕á颍┯桑á瘢┑盟允且詾槭醉?xiàng)，為公比的等比數(shù)列，所以．19．已知函數(shù)．（Ⅰ）求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（Ⅱ）求函數(shù)在區(qū)間上的最大值和最小值．【答案】(Ⅰ)；（Ⅱ）最大值1；最小值.【詳解】試題分析：（Ⅰ）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，先求斜率，再代入切線方程公式中即可；（Ⅱ）設(shè)，求，根據(jù)確定函數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)單調(diào)性求函數(shù)的最大值為，從而可以知道恒成立，所以函數(shù)是單調(diào)遞減函數(shù)，再根據(jù)單調(diào)性求最值.試題解析：（Ⅰ）因?yàn)?，所?又因?yàn)椋郧€在點(diǎn)處的切線方程為.（Ⅱ）設(shè)，則.當(dāng)時(shí)，，所以在區(qū)間上單調(diào)遞減.所以對(duì)任意有，即.所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減.因此在區(qū)間上的最大值為，最小值為.【名師點(diǎn)睛】這道導(dǎo)數(shù)題并不難，比一般意義上的壓軸題要簡(jiǎn)單很多，第二問(wèn)比較有特點(diǎn)的是需要兩次求導(dǎo)數(shù)，因?yàn)橥ㄟ^(guò)不能直接判斷函數(shù)的單調(diào)性，所以需要再求一次導(dǎo)數(shù)，設(shè)，再求，一般這時(shí)就可求得函數(shù)的零點(diǎn)，或是()恒成立，這樣就能知道函數(shù)的單調(diào)性，再根據(jù)單調(diào)性求其最值，從而判斷的單調(diào)性，最后求得結(jié)果.20．已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，滿足，．(1)求證：數(shù)列是等比數(shù)列，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．【答案】(1)證明見(jiàn)解析，；(2).【分析】（1）由得到，即可得到，從而得證，即可求出的通項(xiàng)公式，從而得到的通項(xiàng)公式；（2）由（1）可得，再利用錯(cuò)位相減法求和即得解.【詳解】(1)證明：由，，當(dāng)時(shí)，可得，解得，當(dāng)時(shí)，，又，兩式相減得，所以，所以，即，則數(shù)列是以為首項(xiàng)，公比為的等比數(shù)列；所以，所以.(2)解：由（1）可得，所以，所以，，所以，整理得.21．某校為緩解高三學(xué)生壓力，舉辦了一場(chǎng)趣味運(yùn)動(dòng)會(huì)，其中有一個(gè)項(xiàng)目為籃球定點(diǎn)投籃，比賽分為初賽和復(fù)賽．初賽規(guī)則為：每人最多投3次，每次投籃的結(jié)果相互獨(dú)立．在處每投進(jìn)一球得3分，在處每投進(jìn)一球得2分，否則得0分．將學(xué)生得分逐次累加并用表示，如果的值不低于3分就判定為通過(guò)初賽，立即停止投籃，否則應(yīng)繼續(xù)投籃，直到投完三次為止．現(xiàn)有兩種投籃方案：方案1：先在處投一球，以后都在處投；方案2：都在處投籃；已知甲同學(xué)在處投籃的命中率為，在處投籃的命中率為．(1)若甲同學(xué)選擇方案1，求他初賽結(jié)束后所得總分的分布列和數(shù)學(xué)期望；(2)你認(rèn)為甲同學(xué)選擇哪種方案通過(guò)初賽的可能性更大？說(shuō)明理由．【答案】(1)分布列見(jiàn)解析，；(2)甲同學(xué)選擇方案2通過(guò)初賽的可能性更大，理由見(jiàn)解析.【分析】（1）判斷隨機(jī)變量的所有可能值，求出的分布列，代入期望公式計(jì)算即可；（2）由分布列可得甲同學(xué)選擇方案1通過(guò)測(cè)試的概率為，再計(jì)算甲同學(xué)選擇方案2通過(guò)測(cè)試的概率為，比較大小即可.【詳解】(1)設(shè)甲同學(xué)在處投中為事件，投不中為事件,在處第次投中為事件，第第次投不中為事件，由已知，，則，,的取值為0，2，3，4．則，，，，的分布列為：0234的數(shù)學(xué)期望為：．(2)甲同學(xué)選擇方案1通過(guò)初賽的概率為，選擇方案2通過(guò)初賽的概率為，則，，∵，∴甲同學(xué)選擇方案2通過(guò)初賽的可能性更大．22．已知函數(shù)為的導(dǎo)函數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，求的極值；（2）當(dāng)時(shí)，恒成立，求的取值范圍．【答案】（1）極小值，無(wú)極大值；（2）.、【分析】（1）先求出，再次求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)判斷的單調(diào)性，求出的極值；（2）用分離參數(shù)法轉(zhuǎn)化為，令，利用導(dǎo)數(shù)，根據(jù)單調(diào)性求出的最小值，即可求出m的范圍.【詳解】解：（1）當(dāng)時(shí)，令令，解得，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增．

所以時(shí)，取得極小值，

無(wú)極大值．

（2）由得：．因，所以．

令，則令