短纖維增強制品成型中纖維取向的閉合近似模型

短纖維增強原材料的強度與纖維的方向密切相關(guān)。注塑成型纖維取向預(yù)測主要依據(jù)的是Advani等建立的取向張量演化方程。短纖維增強復(fù)合材料力學(xué)性能預(yù)測采用的是兩步法:首先利用微力學(xué)模型預(yù)測單一取向復(fù)合材料力學(xué)性能,然后采用取向平均計算任意取向復(fù)合材料力學(xué)性能。在求解張量演化方程和取向平均過程中,都需要用低階張量表示高階張量使方程閉合,即閉合近似問題。對取向模擬中的閉合近似問題,已提出了多種模型,這些模型對纖維取向預(yù)測精度的影響已作了較為深入的研究,然而在材料力學(xué)性能預(yù)測方面則關(guān)注較少。本文采用實驗測得的二階取向張量對這些模型進行分析,以期為力學(xué)性能預(yù)測中閉合近似模型的選取提供理論和實驗依據(jù)。1單調(diào)張量的選取在參考坐標系下,單根短纖維的取向可用纖維軸線與坐標軸和坐標平面的兩個夾角θ和φ來表示。對大量短纖維采用纖維取向分布函數(shù)來描述,定義為:P(θ1<θ<θ1+dθ,φ1<φ<φ1+dφ)=Ψ(θ1,φ1)sinθ1dθdφ(1)纖維取向分布函數(shù)Ψ(θ,φ)表示空間一點上纖維在θ1、θ1+dθ及φ1、φ1+dφ之間取向的概率。由于纖維沿(θ,φ)和(π-θ,φ+π)取向是一樣的,因此,定義在單位球面上的纖維取向分布函數(shù)具有對稱性:Ψ(θ,φ)=Ψ(π-θ,φ+π)(2)同時纖維取向分布函數(shù)滿足歸一化條件:∫S2Ψ(θ,φ)dS=1(3)∫S2Ψ(θ,φ)dS=1(3)采用纖維取向分布函數(shù)模擬成型中的纖維取向計算量過于龐大,Advani等提出用張量來描述纖維取向,定義為單位矢量的并矢與取向分布函數(shù)的乘積沿單位球面上積分:αij=∫S2pipjΨ(θ,φ)dSαijkl=∫S2pipjpkplΨ(θ,φ)dS(4)αij=∫S2pipjΨ(θ,φ)dSαijkl=∫S2pipjpkplΨ(θ,φ)dS(4)式中:pi——單位矢量的第i(i,j,k,l=1,2,3)個分量。pi在積分中可交換次序,取向張量具有對稱性:αij=αjiαijkl=αjikl=αkjil=…(5)由取向分布函數(shù)的歸一性,低階取向張量和高階取向張量之間滿足投影關(guān)系:αij=αijmmαijkl=αijklmm(6)式中,重復(fù)下標隱含著求和。當用取向張量描述短纖維懸浮液中纖維取向狀態(tài)時,二階取向張量演化方程為:DαijDt=-12(ωikαkj-αikωkj)+12λ(˙γikαkj+αik˙γkj-2˙γklαijkl)+2Cl˙γ(δij-3αij)(7)DαijDt=?12(ωikαkj?αikωkj)+12λ(γ˙ikαkj+αikγ˙kj?2γ˙klαijkl)+2Clγ˙(δij?3αij)(7)式中:ωij=uj,i-ui,j;˙γij=uj,i+ui,jγ˙ij=uj,i+ui,j;˙γ=√12˙γij˙γjiγ˙=12γ˙ijγ˙ji?????√;λ=r2e-1r2e+1;re=LD;DDt——物質(zhì)導(dǎo)數(shù);α,ω,˙γ——纖維取向張量、旋度張量和形變率張量;δ——單位張量;u——速度矢量;i,j,k,l——各張量分量下標符號;λ——纖維形狀因子;re——纖維形態(tài)比;C1——纖維相互作用系數(shù),與材料性質(zhì)有關(guān)。2彈性力學(xué)模型短纖維增強復(fù)合材料有效性能預(yù)測一般包括單向復(fù)合材料性能計算和取向平均兩個過程。對單向短纖維復(fù)合材料性能預(yù)測,文獻對現(xiàn)有模型做了分析和比較。本文采用Mori-Tanaka方程作為單向短纖維復(fù)合材料彈性性能計算模型,取向平均過程采用剛度平均。對任意取向的短纖維增強復(fù)合材料,其剛度張量用取向張量和單向短纖維復(fù)合材料彈性張量表示為:ˉCijkl=B1?αijkl+B2?(αij?δkl+αkl?δij)+B3?(αik?δjl+αil?δjk+αjl?δik+αjk?δil)+B4(δij?δkl)+B5(δik?δjl+δil?δjk)(8)式中:B1,B2,B3,B4,B5——與單向短纖維復(fù)合材料彈性張量有關(guān)的常數(shù)。3纖維截面模型求解二階取向張量演化方程采用的閉合近似模型主要如下。3.1不等徑生長模型αLijkl=-135(δijδkl+δikδjl+δijδjk)+17(αijδkl+αikδji+αilδjk+δijαkl+δikαjl+δilαik)(9)線性閉合近似是最早提出的閉合近似模型,該模型滿足四階張量的對稱性和投影特性,適用于完全隨機取向狀態(tài)。3.2次近似模型αQijkl=αijαkl(10)二次近似模型是最簡單的閉合近似模型,但模型不滿足四階取向張量的對稱性和投影特性要求,適用于單向取向狀態(tài)。3.3隨機取向+單向取向αHijkl=(1-f)αLijkl+fαQijkl(11)混合近似模型采用加權(quán)系數(shù)f(0≤f≤1)對完全隨機取向和單向取向兩種情況進行了加權(quán)平均,對單一取向f=1,對完全隨機取向f=0,對任意取向:f=32αijαji-12或f=1-27det(αij)(12)(12)式左邊為A型混合近似(HybridA),右邊為B型混合近似(HybridB)。實踐證明,混合近似模型過高地估計了纖維的取向程度。3.4篩選并求解非物理行為的模型正交閉合近似模型假設(shè)四階張量αijkl在二階張量αij主軸坐標系下是正交的,即含有奇數(shù)個同一下標的分量為0。由取向張量的對稱性和取向張量的投影關(guān)系,正交四階張量ˉαijkl中的ˉα1111,ˉα2222,ˉα3333,ˉα1122,ˉα1133和ˉα2233六個未知分量中只有三個是獨立的。設(shè)二階張量αij的主值為α1≥α2≥α3,其中只有兩個獨立主值。選取ˉα1111,ˉα2222,ˉα3333為四階張量三個獨立未知分量,并表示為二階取向張量主值的函數(shù):ˉαiiii=fi(α1,α2)(13)式中i=1,2,3,重復(fù)指標不求和。Cintra等考慮單向取向、平面隨機取向和三維隨機取向三種特殊取向狀態(tài),采用線性插值給出了正交線性閉合近似模型(ORL):ˉαiiii=Ci1+Ci2α1+Ci3α2(14)ORL模型是最簡單的正交閉合近似模型,與流場形式無關(guān),對大部分流場可以得到穩(wěn)定的纖維取向解,但求解的精度較低。為了給出更為精確的正交閉合近似模型,Cintra選取了一組簡單流場,并取λ=1和Cl=0.01,利用有限差分法求解纖維取向分布函數(shù)的數(shù)值解,利用最小二乘法得到了二階正交擬合近似模型(ORF):ˉαiiii=Ci1+Ci2α1+Ci3α21+Ci4α2+Ci5α22+Ci6α1α2(15)ORF模型在求解低纖維相互作用系數(shù)(CI<0.001)剪切流場時出現(xiàn)了非物理的振蕩解。Chuang等在ORF模型選取流場的基礎(chǔ)上又添加了兩個流場,并取λ=1和Cl=0.0001,擬合得到了改進的二階正交擬合近似模型(ORW)和三階正交擬合近似模型(ORW3)。3.5階取向張量不變量ijk的函數(shù)Chuang等基于二階取向張量不變量,以完全對稱的形式用二階張量近似四階張量,在典型流場和較寬的纖維相互作用系數(shù)范圍內(nèi),采用最小二乘法擬合得到了基于不變量的擬合閉合近似模型(IBOF)。αijkl=β1S(δijδkl)+β2S(αijαkl)+β3S(αijαkl)+β4S(δijαkmαml)+β5S(αijαkmαml)+β6S(αimαmjαkmαnl)(16)式中:βi(i=1～6)是二階取向張量不變量的函數(shù);S是對稱符號,如S(δijδkl)表示為:S(δijδkl)=124(δijδkl+δjiδkl+??(共24項))(17)基于不變量的擬合近似模型不需要進行張量的坐標變換,在纖維取向預(yù)測精度方面與基于特征值的正交閉合近似相當,同時克服了自然閉合近似的奇異性問題。4截面近似具有流動方向上的可擴張性為了評價閉合近似模型對注塑成型短纖維復(fù)合材料力學(xué)性能的影響,采用注塑成型制備了平板試樣,模具采用平縫式澆口,以便得到均勻的纖維取向分布。材料為聚丙烯添加30%玻璃纖維。為了測量制品中的纖維取向,垂直于流動方向截取試樣,拋光打磨后用氫氟酸腐蝕,然后用偏光顯微鏡(OLYMPUSBX61,日本)觀察試樣,得到Fig.1纖維截面照片,其中黑色部分為基體,白色部分為纖維截面。觀察發(fā)現(xiàn),沿厚度方向制品具有分層取向結(jié)構(gòu):在表層,纖維截面近似為圓型,纖維主要沿流動方向取向;在芯層,纖維截面有圓形和明顯的橢圓,因此芯層纖維取向程度較低。由于芯層所占比例較小(約整個厚度的1/4),因此在測量時忽略這種影響,沿厚度方向作均勻處理。利用編制的圖像處理程序檢測出橢圓輪廓,實驗得到二階取向張量為:αij=[0.72460.0410.01160.0410.24730.01430.01160.01430.0281]Tab.1給出了不同閉合近似模型采用取向平均法得到的有效彈性模量和實驗結(jié)果。Tab.2給出了復(fù)合材料各組分性能。對比實驗與計算結(jié)果發(fā)現(xiàn),改進后的正交擬合近似模型(ORW、RW3)無論是流動方向或是垂直流動方向上,都給出了較好的預(yù)測結(jié)果,這與擬合過程中所選用的取向狀態(tài)較多有關(guān)?；诓蛔兞康臄M合近似模型(IBOF)和正交擬合近似模型(ORF)都給出了可以接受的預(yù)測結(jié)果。正交線性閉合近似模型(ORL)由于只選擇了三種特殊取向狀態(tài)做線性插值,預(yù)測精度較差,尤其是流動方向上誤差達到了17.8%。線性閉合近似模型在流動方向上預(yù)測結(jié)果比實驗值小,而垂直流動方向上預(yù)測值比實驗值大,這是因為試樣在流動方向上具有較高的纖維取向度。二次閉合近似模型的預(yù)測結(jié)果與實驗值相差最大,在流動方向上誤差在30%以上,這是因為由于中心層的存在,整個試樣厚度方向上纖維定向程度遠低于單一取向。值得注意的是,在流動模擬中廣泛應(yīng)用的混合閉合近似模型(Hyb