-PAGE7-奇思妙想之后的解題教學(xué)廣州市第八十七中學(xué)袁忠民【摘要】：解題教學(xué)中的奇思妙解常常為數(shù)學(xué)課堂添彩，但處理不好就華而不實(shí)，流于走馬觀花的形式，或者淪為教師和少數(shù)尖子學(xué)生的獨(dú)角戲.如何對(duì)大多數(shù)學(xué)生都有效？本文對(duì)此提出三點(diǎn)處理建議：①講特殊解法同時(shí)對(duì)比通用解法；②揭示特殊解法中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想；③歸納常用解題方法和技巧.【關(guān)鍵詞】：特解法通法數(shù)學(xué)思想高中數(shù)學(xué)的解題教學(xué)中，有這樣一種現(xiàn)象，一道經(jīng)典題，一個(gè)巧解法，講的時(shí)候很精彩，學(xué)生聽(tīng)的很有趣，但課后一檢查，就發(fā)現(xiàn)多數(shù)學(xué)生好像什么都沒(méi)學(xué)到，收效甚微.如何改進(jìn)解題教學(xué)中的這種問(wèn)題，提高學(xué)習(xí)效果？著名數(shù)學(xué)教育家弗賴(lài)登塔爾指出：“反思是數(shù)學(xué)思維活動(dòng)的核心和動(dòng)力”.因此，解題教學(xué)中應(yīng)當(dāng)通過(guò)問(wèn)題引導(dǎo)，按照“做－比－問(wèn)”的方法，及時(shí)有效地反思總結(jié).針對(duì)一個(gè)題目的巧妙解法，繼續(xù)引導(dǎo)思考：①考點(diǎn)是什么？通法是什么？②巧解法是怎樣想出來(lái)的？關(guān)鍵是那一步？自己為什么沒(méi)想出來(lái)？這個(gè)方法體現(xiàn)什么數(shù)學(xué)思想？③能找到更好的解題途徑嗎？這個(gè)好方法能推廣嗎？正如波利亞所說(shuō)的：“沒(méi)有反思，他們就錯(cuò)過(guò)了解題的一個(gè)重要而有教益的方面.通過(guò)回顧所完成的解答，通過(guò)重新考慮和重新檢查這個(gè)結(jié)果和得出這一結(jié)果的路子，學(xué)生可以鞏固他們的知識(shí)和發(fā)展他們的解題能力”.正所謂“好戲才剛剛開(kāi)始”，在奇思妙解之后，還有大量細(xì)致的、更重要的反思要做.以下結(jié)合一些高考試題，對(duì)奇思妙解之后的解題教學(xué)予以闡述.一、注重通法教學(xué)，發(fā)掘巧妙解法背后的故事通法是針對(duì)特殊解法而言，它可以一法解多題，所以更有一般性.僅僅關(guān)注特殊解法，摒棄通法無(wú)疑舍本逐末，因此，介紹巧妙解法同時(shí)，揭示通法很有必要，理由有三：（1）一些通法本身就能快速解決問(wèn)題例1（2007上海高考理科13）已知為非零實(shí)數(shù)，且，則下列命題成立的是()A、B、C、D、奇思妙想—代入法：令，排除選項(xiàng)A、B、D正解自現(xiàn)C.對(duì)比通法：不等式兩邊同時(shí)乘以（大于零）故，所以C為正解.表面上看，此特解法很快捷，但不可避免的是，它至少要回答這樣的問(wèn)題，為什么其它代入法，如令找不出答案？如果說(shuō)需要在更多的經(jīng)驗(yàn)積累之后才能掌握，那么，本例的通法體現(xiàn)了整式與分式之間的主動(dòng)轉(zhuǎn)換，直指答案，不是更好？更何況，這種處理在不等式性質(zhì)中很常用，應(yīng)當(dāng)知曉.（2）某些通法涉及一般規(guī)律下面兩個(gè)例題分別是等差數(shù)列和等比數(shù)列常見(jiàn)題型，解題思路是多數(shù)師生的基本選擇.例2（2007年高考數(shù)學(xué)陜西卷理科第5題）各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，，則等于（）A、16B、26C、30D、80奇思妙想—特例法：令，依題意，，易解得，從而，此時(shí).正解為C.對(duì)比通法1：為等比數(shù)列，故，，，成等比，由前3項(xiàng)，，為等比數(shù)列，得.解得（舍）或.所以，，，成等比即就是，，，成等比，顯然，故.正解為C.對(duì)比通法2：設(shè)等比數(shù)列的公比為，顯然，所以由已知得，.兩式相除得方程.即.解得（舍），或，代入.解得.從而.例3（1996全國(guó)高考卷理科12）等差數(shù)列{}的前m項(xiàng)和為30，前2m項(xiàng)和為100，則它的前3m項(xiàng)和為（）A、130B、170C、210D、奇思妙想—特例法：令m＝1，依題意＝30，＋＝100，則＝70，又{}是等差數(shù)列，進(jìn)而＝110，故＝210.正解C.對(duì)比通法1：，，，成等差，即30，70，-100成等差，故-100=110=210.對(duì)比通法2：設(shè).從而得：.同類(lèi)型的題在歷年高考中常見(jiàn)（2007年陜西文科、遼寧文、理等），特例法解法簡(jiǎn)明，巧妙，體現(xiàn)了全稱(chēng)命題正確特稱(chēng)命題一定正確的邏輯思路.相比較而言，通法1涉及的規(guī)律源自課本，可參考人教A必修5課本第68頁(yè)（2007第3版），該習(xí)題對(duì)這種題型的規(guī)律從等差等比兩個(gè)方向做了引申，值得關(guān)注.通法2的解法體現(xiàn)了一般性的思考，運(yùn)用方程思想結(jié)合整體代換方法等常用簡(jiǎn)化運(yùn)算技巧，是必須掌握的基本運(yùn)算能力.通法2的好處還在于，當(dāng)下標(biāo)無(wú)等差或等比規(guī)律時(shí)，也適用，因此解題教學(xué)不能把興趣僅僅停留在就題論題，特解法之后對(duì)比一般通法，能有效建立一般命題和特殊命題之間的雙向溝通[2]，積累豐富的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn).（3）通法普遍聯(lián)系雙基，是基本功例4（2007浙江理12）已知，且，則的值是. （人教A必修4課本第147頁(yè)第8題）.奇思妙想—預(yù)知：顯然，所以.對(duì)比通法：由和聯(lián)立方程組，解得從而.此題特解法，結(jié)合經(jīng)驗(yàn)，依據(jù)直覺(jué)，效率高.但不足之處，中下生往往是“丈二和尚摸不著頭腦”，教師指導(dǎo)時(shí)需指出用此解法的三點(diǎn)思考：①同角關(guān)系式.②勾股數(shù)3，4，5.③范圍內(nèi)，.顯然有了唯一解，其它常見(jiàn)勾股數(shù)如（5，12，13）（7，24，25）等，還有常見(jiàn)正余弦如（）（）等非特殊值，均可參考出題.通法利用聯(lián)立方程組求解，或者先平方再解，都是另有乾坤的方法，學(xué)生必須一一知曉；解方程組是學(xué)生的基本功，許多學(xué)生能列出通法中的方程組，卻解不出答案，指導(dǎo)教師不可不察.二、探究奇思妙解的共性，升華數(shù)學(xué)思想“欲窮千里目，更上一層樓”，站得高才能看得遠(yuǎn)，奇思妙解的發(fā)現(xiàn)過(guò)程，看似靈機(jī)一動(dòng)，實(shí)則有必然性.及時(shí)將靈感上升到數(shù)學(xué)思想高度，養(yǎng)成主動(dòng)運(yùn)用數(shù)學(xué)思想的習(xí)慣.學(xué)會(huì)在更高的視角來(lái)觀察問(wèn)題，經(jīng)過(guò)日積月累的訓(xùn)煉，憑借豐富的聯(lián)想、細(xì)致的觀察，就會(huì)有更多的“靈光閃現(xiàn)”.數(shù)學(xué)教育家弗利德曼認(rèn)為“在學(xué)校課程中，數(shù)學(xué)的思想方法應(yīng)占有中心的地位”.高中數(shù)學(xué)思想常用的大概有八種［1］，以下以其中化歸思想，對(duì)稱(chēng)思想，數(shù)形結(jié)合思想為例，對(duì)巧妙解法升華為數(shù)學(xué)思想的必要性加以詮釋.（1）化歸思想--緣來(lái)是你轉(zhuǎn)化與化歸是數(shù)學(xué)思想方法的靈魂，是最基本的思想方法，是高考重點(diǎn)考查的數(shù)學(xué)思想之一.例5（人教A版選修2-2第89頁(yè)）證明：.奇思妙想—化歸：原式等價(jià)于，顯然成立，所以原式得證.在解方程、解不等式中常見(jiàn)分式化整式，分母有理化，此解法逆向思維分子有理化，整式化分式，巧妙得證.此解法好在合理轉(zhuǎn)化，開(kāi)拓思維，學(xué)生掌握的不再是單向的分母有理化，而是根據(jù)解題需要的自覺(jué)選擇.例6求的值．奇思妙想—化歸：構(gòu)造三角形ABC，A＝200，B＝400，C＝1200，對(duì)應(yīng)邊分別為，由余弦定理,結(jié)合正弦定理得：.所以原式＝°＝＝＝.一道大題，邊角轉(zhuǎn)化，類(lèi)比聯(lián)想余弦定理，困難迎刃而解，陌生的題目變得熟悉了，也變得有趣了.化繁為簡(jiǎn)，化未知為已知，化陌生為熟悉，化歸思想的重要性不言而喻.（2）對(duì)稱(chēng)思想--最美的想法數(shù)學(xué)的美無(wú)處不在，對(duì)稱(chēng)美是一種直觀的美，也最容易被學(xué)生理解和掌握.人教A版理科選修4-5不等式選講專(zhuān)題介紹了柯西不等式，排序不等式等內(nèi)容，其中的結(jié)論充分體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對(duì)稱(chēng)美，令人嘆服.對(duì)稱(chēng)的結(jié)構(gòu)除了給人美感，還能用對(duì)稱(chēng)思想解題，很多題型，恰當(dāng)運(yùn)用對(duì)稱(chēng)思想解題都很快捷.例7若，且，則的最小值是.奇思妙想—對(duì)稱(chēng)：顯然因?yàn)闂l件和結(jié)論中的完全對(duì)稱(chēng)，故令，代入得正解.這是不等式的最值問(wèn)題，也是個(gè)熱門(mén)考點(diǎn)，對(duì)稱(chēng)思想在解這類(lèi)小題中大有用武之地.例8如果函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，那么.奇思妙想—對(duì)稱(chēng)：用對(duì)稱(chēng)性顯然. 對(duì)稱(chēng)性解法充分運(yùn)用了圖形的軸對(duì)稱(chēng)特點(diǎn)，化一般為特殊，化變量為常量，問(wèn)題得到簡(jiǎn)化.（3）數(shù)形結(jié)合--看圖說(shuō)話著名數(shù)學(xué)家華羅庚認(rèn)為：“數(shù)缺形時(shí)少直覺(jué)，形少數(shù)時(shí)難入微，數(shù)形結(jié)合百般好，割裂分離萬(wàn)事休”[5].解析幾何是講數(shù)形結(jié)合的典范，解答解析幾何題，首要的就是結(jié)合圖形，能否快速準(zhǔn)確的想象出、做出需要的曲線草圖，直接決定了解題水平高低和解題速度快慢.除了解析幾何，其它內(nèi)容如函數(shù)、向量、三角、復(fù)數(shù)等等，數(shù)形結(jié)合思想無(wú)處不在.例9過(guò)拋物線y＝4x的焦點(diǎn)，作直線與此拋物線相交于兩點(diǎn)P和Q，那么線段PQ中點(diǎn)的軌跡方程是（）A、B、C、D、奇思妙想—數(shù)形結(jié)合：由已知可知軌跡曲線的頂點(diǎn)為(1，0)，開(kāi)口向右，由此排除答案A、C、D，所以選B.例10（2006浙江）設(shè)向量a,b,c滿(mǎn)足a+b+c=0，，，若，則的值是.奇思妙想—數(shù)形結(jié)合：如圖由a+b+c=0結(jié)合可知向量a,b,c構(gòu)成如圖直角三角形ABC（其中=a，=b，=c），顯然=，又因即，故如圖平行四邊形ABCD為正方形，由，,故＝4.三、橫向聯(lián)系，歸納解題技巧有些特殊解法更多的體現(xiàn)的是數(shù)學(xué)解題的技巧和靈活性，將它們集中起來(lái)，整理成筆記，時(shí)常翻閱，逐漸成為解題經(jīng)驗(yàn)，是很有效的做法.常見(jiàn)的如：“1”的妙用；弦切互化；分割補(bǔ)形；高（距離）不離積（面積或體積）；整體代換等等.G?波利亞指出數(shù)學(xué)中“有益的思考方式，應(yīng)有的思維習(xí)慣“應(yīng)當(dāng)放在教學(xué)的首位.因此，總結(jié)常用的方法技巧，也是奇思妙解之后的重要任務(wù)之一，例如“1”的妙用和分割補(bǔ)形在解題方法中就很突出，也很有趣，值得歸納.（1）常數(shù)“1”的妙用在三角函數(shù)中，“1”的活用諸如很常見(jiàn)，在對(duì)數(shù)、指數(shù)性質(zhì)中還有1＝等等.例11（2004湖南文17）已知求的值.奇思妙想—“1”的妙用：由，，所以＝＝＝＝.例12若，且，則的最小值是.奇思妙想—“1”的妙用：＝＝＝≥.當(dāng)且僅當(dāng)；；時(shí)，即時(shí)等號(hào)成立.對(duì)比柯西不等式解法，此解法應(yīng)用基本不等式，很有趣，也很啟發(fā)思維.通過(guò)這種不同知識(shí)點(diǎn)之間的橫向聯(lián)系、類(lèi)比，有利于學(xué)生鍛煉靈巧思維，拓寬視野，形成四通八達(dá)的數(shù)學(xué)知識(shí)網(wǎng)絡(luò).有了發(fā)達(dá)的、立體式的知識(shí)網(wǎng)，解題時(shí)方能融會(huì)貫通.（2）“能割善補(bǔ)”--巧奪天工分割補(bǔ)形是解決幾何問(wèn)題常用的方法，巧妙地利用割補(bǔ)法，可以將不規(guī)則的圖形轉(zhuǎn)化為規(guī)則的圖形，可以使問(wèn)題得到簡(jiǎn)化，達(dá)到快速解題目的.例13（2003廣東12題全國(guó)文、理12題）一個(gè)四面體的所有棱長(zhǎng)都為,四個(gè)頂點(diǎn)在同一球面上,則此球的表面積為（）A、B、C、D、奇思妙想—分割補(bǔ)形：構(gòu)造棱長(zhǎng)為1的正方體，選相對(duì)面的兩條不平行對(duì)角線（如圖ABCD）共四個(gè)頂點(diǎn)，顯然為正四面體，且棱長(zhǎng)恰為，此正方體和正四面體的外接球是同一個(gè)，故外接球直徑即是正方體的體對(duì)角線故外接球的表面積.對(duì)比解法：設(shè)正四面體P-ABC的外接球球心為O，外接球半徑為R，顯然O在底面ABC的高PO1上,O1在正△ABC中AB的高CD上，已知正四面體棱長(zhǎng)為，如圖，解各直角三角形得：，，,在Rt△中,,即，解得，故.解方程的方法對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)要求很高，不但要從外接球的復(fù)雜圖形中，分化出正四面體，結(jié)合空間想象，估計(jì)球心的位置，還要很強(qiáng)的運(yùn)算能力，一般中下學(xué)生做不到這種水平，所以本題放在了當(dāng)年選擇題的最后一個(gè).比較起來(lái)，補(bǔ)形為正方體的解法快捷無(wú)比，構(gòu)思巧妙，又有課本知識(shí)的背景，歸納為常用技巧很值得.結(jié)論“臺(tái)上一分鐘，臺(tái)下十年功”.解題方法的教學(xué)，在奇思妙想之后還有很多功夫.實(shí)踐證明，正是因?yàn)槠綍r(shí)解題不怕麻煩，正因?yàn)橛衅綍r(shí)有意識(shí)的“刨根問(wèn)底”，考場(chǎng)上才能避免“小題大做”，快速而準(zhǔn)確.因此，介紹巧妙解法同時(shí)，趁著學(xué)生的積極性，及時(shí)做一下提煉升華，引申拓展，多問(wèn)幾個(gè)為什么，落腳在通法的鞏固，落腳在數(shù)學(xué)思想，落腳在常用方法上，就可以充分發(fā)揮試題的作用，提高講解的效率，有效地解決特解法通性不足，解法局限的問(wèn)題，起到事半功倍的效果.這樣一來(lái)，解題方法的教學(xué)不再是就題論題，而是更有價(jià)值的知識(shí)小結(jié)、能力提升；學(xué)生不再