本文格式為Word版，下載可任意編輯——微積分及經(jīng)濟(jì)學(xué)應(yīng)用

第3章微積分及其經(jīng)濟(jì)學(xué)應(yīng)用

3.1一元函數(shù)和多元函數(shù)

在數(shù)學(xué)上，函數(shù)的定義為：假使在一個(gè)變化過(guò)程中有兩個(gè)變量x和y，對(duì)任意給定的x值，僅存在一個(gè)y值與其對(duì)應(yīng)，則稱y是x的函數(shù)，表示為y?f(x)。

其中x為自變量，y為因變量。由于函數(shù)關(guān)系中僅有一個(gè)自變量，因此該函數(shù)稱為一元函數(shù)。x能夠取得的所有值的集合稱為函數(shù)定義域，y能夠取得的所有值的集合稱為函數(shù)值域。

在對(duì)經(jīng)濟(jì)問(wèn)題的分析過(guò)程中，我們尋常用函數(shù)來(lái)描述經(jīng)濟(jì)變量之間的變化關(guān)系。例如，在商品的供求關(guān)系中，定義某種商品價(jià)格為P，需求量為QD，供給量為QS。那么，需求與價(jià)格的函數(shù)關(guān)系可以表示為：QD?f(P)，QS?g(P)。

然而我們所處的經(jīng)濟(jì)環(huán)境是十分繁雜的，每一個(gè)經(jīng)濟(jì)變量都要受到多種因素的影響。因此，采用一元函數(shù)來(lái)分析經(jīng)濟(jì)問(wèn)題就會(huì)有很大的局限性。所以我們往往采用多元函數(shù)來(lái)研究經(jīng)濟(jì)問(wèn)題。多元函數(shù)是在一個(gè)函數(shù)關(guān)系中函數(shù)值是由多個(gè)變量確定的，用

y?f(x1,x2,?,xn)的形式來(lái)表示，它表示因變量y的值取決于n個(gè)自變量x1,x2,?,xn的大小。

例如在消費(fèi)理論的基本假設(shè)中，每個(gè)消費(fèi)者都同時(shí)對(duì)多種商品有需求，“效用〞取決于所消費(fèi)的各種商品的數(shù)量，效用函數(shù)就可以表示為U?f(x1,x2,?,xn)，其中U表示消費(fèi)者的效用，x1,x2,?,xn是對(duì)n種商品的消費(fèi)量。這個(gè)函數(shù)稱為效用函數(shù)。同樣，生產(chǎn)函數(shù)常表示為y?f(L,K)，y為產(chǎn)出水平，K表示資本，L表示勞動(dòng)力。它說(shuō)明產(chǎn)出水平既取決于勞動(dòng)力又取決于資本。

Q=A*L^alpha*K^beltaA=1;alpha=0.5;belta=0.5;

1

柯布道格拉斯生產(chǎn)函數(shù)1510產(chǎn)值5

00246810勞動(dòng)力05資本10153.2水平曲線

二元函數(shù)z?f(x,y)的水平曲線定義為：f(x,y)?C，C為常數(shù)，它表示曲面上z值為常數(shù)C的點(diǎn)(x,y)連接而成的曲線。

對(duì)于三元函數(shù)M?f(x,y,z)，稱f(x,y,z)?C為水平曲面，它表示M值為常數(shù)C的點(diǎn)(x,y,z)連接而成的曲面。

水平曲線在經(jīng)濟(jì)學(xué)中有重要的應(yīng)用，如生產(chǎn)函數(shù)為y?f(L,K)，其中y為產(chǎn)出，L為勞動(dòng)力，K為資金，如下圖所示第一象限中的點(diǎn)表示正的勞動(dòng)投入和資金投入的所有可能組合，且每一個(gè)點(diǎn)對(duì)應(yīng)一個(gè)y值，所有對(duì)應(yīng)y?5的點(diǎn)（L，K）連接起來(lái)就是一條曲線，這條曲線就是一條水平曲線，經(jīng)濟(jì)學(xué)家將這條水平曲線稱為等產(chǎn)量曲線，實(shí)際上這條曲線是用y?5平面截曲面y?f(L,K)所得曲線在L?K平面的投影。自然這條曲線上所有點(diǎn)對(duì)應(yīng)的y值為5，如下圖中，點(diǎn)A、B、C、D對(duì)應(yīng)的y值皆為5，因此將這條水平線也稱為等值線、等高線，E點(diǎn)則代表產(chǎn)出為10的等產(chǎn)量曲線，F(xiàn)點(diǎn)則代表產(chǎn)出為15的

2

等產(chǎn)量曲線，可見(jiàn)越向右上方向的等產(chǎn)量曲線的產(chǎn)出值越大。

KABEC-Fy?15y?10

--ODy?5L生產(chǎn)函數(shù)的水平曲線

在消費(fèi)理論中，假設(shè)消費(fèi)者只消費(fèi)兩種商品，那么它的效用取決于這兩種商品消費(fèi)量的組合。假使用U表示效用，x1,x2分別表示這兩種商品的消費(fèi)量，那么它的效用函數(shù)就是二元函數(shù)，可以表示為U?U(x1,x2)。平面直角坐標(biāo)系第一象限中的點(diǎn)表示出兩種商品消費(fèi)量的所有可能組合，平面上的每一點(diǎn)對(duì)應(yīng)U(x1,x2)曲面上的一個(gè)值。假使將對(duì)應(yīng)

U0的點(diǎn)連起來(lái)就表示在效用水平為U0的狀況下的一條水平曲線。經(jīng)濟(jì)學(xué)上將這條水平曲

線稱為無(wú)差異曲線或等效用曲線。

3.3極限

1.極限的定義

數(shù)列極限的定義：在數(shù)列?an?中，任取??0，假使存在N，使得當(dāng)n?N時(shí)，an?A??，則稱當(dāng)n趨于無(wú)窮大時(shí)，A為an的極限。表示為：

liman?A或者a?A(n??)。nn??在數(shù)列?an?中，an與n一一對(duì)應(yīng)，因此可以將an視為定義域?yàn)檎麛?shù)n的函數(shù)

an?f(n)。因此對(duì)數(shù)列極限的定義進(jìn)行推廣，就可以得到函數(shù)f(x)當(dāng)x??和x?x0

3

極限的定義。

函數(shù)極限的定義

當(dāng)x??時(shí)函數(shù)極限的定義：任取??0，存在X，使得當(dāng)x?X時(shí)，

f(x)?A或者f(x)?A??，那么常數(shù)A為當(dāng)x??時(shí)f(x)的極限，記為limx??f(x)?A(x??)。

當(dāng)x?x0時(shí)函數(shù)極限的定義：任取??0，存在??0，使得當(dāng)0?x?x0??時(shí)，limf(x)?A或者f(x)?A??，那么常數(shù)A為當(dāng)x?x0時(shí)f(x)的極限，記為x?x0f(x)?A(x?x0)。

2.左極限與右極限

?當(dāng)x從x0的左側(cè)（即小于x0的方向）趨向于x0（記為x?x0），若此時(shí)f(x)有極

?f(x)?A或者f(x)?A(x?x?)。限A，則稱A為當(dāng)x?x0時(shí)的左極限。記為xlim0?x?0?當(dāng)x從x0的右側(cè)（即大于x0的方向）趨向于x0（記為x?x0），若此時(shí)f(x)有極

?f(x)?A或者f(x)?A(x?x?)。限A，則稱A為當(dāng)x?x0時(shí)的右極限。記為xlim0?x?03.極限的運(yùn)算法則

limf(x)?A，limg(x)?B，且A，B有限則定理：假使x?xx?x00lim[f(x)?g(x)]?limf(x)?limg(x)?A?B(1)x?xx?xx?x000lim[f(x)g(x)]?limf(x)?limg(x)?AB(2)x?xx?xx?x000limcf(x)?climf(x)(3)x?xx?x00lim[f(x)]?[limf(x)](4)x?xx?x00nn4.兩個(gè)重要的極限

(1)limsinxxx?0?1，(2)lim(1?x??1x)x?e

3.4連續(xù)復(fù)利

連續(xù)復(fù)利的計(jì)算，是函數(shù)極限在經(jīng)濟(jì)學(xué)的經(jīng)典應(yīng)用。假設(shè)一個(gè)人將a元存入銀行，銀

4

行年利率為r，若利息按復(fù)利計(jì)息，每年計(jì)算一次，則年底時(shí)他的存款總額為a(1?r)。

假使銀行改為半年計(jì)算一次利息，年利率不變，則半年的利率為存款總額應(yīng)為a(1?r2)元。

rn)元。

rn)元。對(duì)其求

nn2r2，則年底時(shí)，他的

當(dāng)銀行每年計(jì)息n次，可以推得，年底時(shí)存款總額應(yīng)為a(1?當(dāng)銀行在年內(nèi)連續(xù)計(jì)息時(shí)，即n??時(shí)，年底存款總額為lima(1?n??極限可以得到：

lima(1?n??rn)?alim[(1?n??nrnn)r]?a[lim(1?n??rrnnrr)r]?ae

因此，在連續(xù)計(jì)息的狀況下，年底時(shí)這個(gè)人的存款的余額為aer元。

我們可以將其推廣到存款多年的狀況，在連續(xù)計(jì)息時(shí)，其次年年底的存款余額為

ae?e?aerr2r元，則可以得出t年末的存款余額為aetr元。

因此，連續(xù)復(fù)利時(shí)，本金為a元，年利率為r，則t年末的資金余額為：FV?aetr元。

同樣可以得到，t年末的資金a元，在連續(xù)復(fù)利的狀況下，貼現(xiàn)值為：PV?ae?tr。

3.5一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

1.一元函數(shù)導(dǎo)數(shù)的定義：設(shè)y?f(x)為定義在集合D上的一元函數(shù)，x0?D，

則函數(shù)在x0點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)定義為：

dydxx?x0?limf(x)?f(x0)x?x0x?x0或f(x0)?