第四節(jié)不定積分機動目錄上頁下頁返回結(jié)束換元積分法分部積分法定積分換元積分法分部積分法定積分的計算

第四章整理課件一、定積分的換元積分法

定理1.

設(shè)函數(shù)單值函數(shù)滿足:1)2)在上證:

所證等式兩邊被積函數(shù)都連續(xù),因此積分都存在,且它們的原函數(shù)也存在.是的原函數(shù),因此有則機動目錄上頁下頁返回結(jié)束則整理課件說明:1)當

<

,即區(qū)間換為定理1仍成立.2)必需注意換元必換限

,原函數(shù)中的變量不必代回.3)換元公式也可反過來使用,即或配元配元不換限機動目錄上頁下頁返回結(jié)束整理課件例1.

計算解:

令則∴原式=機動目錄上頁下頁返回結(jié)束且整理課件例2.

計算解:

令則∴原式=機動目錄上頁下頁返回結(jié)束且整理課件例3.證:(1)若(2)若偶倍奇零機動目錄上頁下頁返回結(jié)束整理課件二、定積分的分部積分法

定理2.

則證:機動目錄上頁下頁返回結(jié)束整理課件例4.

計算解:原式=機動目錄上頁下頁返回結(jié)束整理課件例5.

證明證:令

n

為偶數(shù)

n

為奇數(shù)則令則機動目錄上頁下頁返回結(jié)束整理課件由此得遞推公式于是而故所證結(jié)論成立.機動目錄上頁下頁返回結(jié)束整理課件三、廣義積分簡介

(1)無窮區(qū)間上的廣義積分引例.

曲線和直線及

x軸所圍成的開口曲邊梯形的面積可記作其含義可理解為機動目錄上頁下頁返回結(jié)束整理課件定義1.

設(shè)若存在,則稱此極限為

f(x)在上的廣義積分,記作這時稱廣義積分收斂

;如果上述極限不存在,就稱廣義積分發(fā)散

.類似地,若則定義機動目錄上頁下頁返回結(jié)束整理課件則定義(c

為任意取定的常數(shù))只要有一個極限不存在,就稱發(fā)散.機動目錄上頁下頁返回結(jié)束整理課件引入記號則有類似牛–萊公式的計算表達式:機動目錄上頁下頁返回結(jié)束整理課件例1.

計算廣義積分解:機動目錄上頁下頁返回結(jié)束思考:分析:原積分發(fā)散!注意:

對廣義積分,只有在收斂的條件下才能使用“偶倍奇零”的性質(zhì),否則會出現(xiàn)錯誤.整理課件例2.

證明廣義積分證:當p=1時有當p≠1時有當p>1時收斂;p≤1

時發(fā)散.因此,當p>1

時,廣義積分收斂,其值為當p≤1

時,廣義積分發(fā)散.機動目錄上頁下頁返回結(jié)束整理課件例3.

計算廣義積分解:機動目錄上頁下頁返回結(jié)束整理課件(2)無界函數(shù)的廣義積分引例:曲線所圍成的與

x軸,y

軸和直線開口曲邊梯形的面積可記作其含義可理解為機動目錄上頁下頁返回結(jié)束整理課件定義2.

設(shè)而在點a

的右鄰域內(nèi)無界,存在,這時稱廣義積分收斂;如果上述極限不存在,就稱廣義積分發(fā)散.類似地,若而在b

的左鄰域內(nèi)無界,若極限數(shù)f(x)在[a,b]上的廣義積分,記作則定義機動目錄上頁下頁返回結(jié)束則稱此極限為函整理課件而在點

c

的無界函數(shù)的廣義積分又稱作瑕積分，無界點常稱鄰域內(nèi)無界,為瑕點(奇點).機動目錄上頁下頁返回結(jié)束則定義整理課件注意:

若瑕點的計算表達式:則也有類似牛–萊公式的若

b

為瑕點,則若a

為瑕點,則若a,b

都為瑕點,則則可相消嗎?機動目錄上頁下頁返回結(jié)束整理課件下述解法是否正確:,∴積分收斂例4.

計算廣義積分解:

顯然瑕點為

a,所以原式機動目錄上頁下頁返回結(jié)束例5.

討論廣義積分的收斂性.解:所以廣義積分發(fā)散.整理課件例6.證明廣義積分證:當

q=1時,當

q<1時收斂;q