《外方內圓和外圓內方》教學設計教學內容人教版義務教育教科書數(shù)學六年級上冊第69～70頁例3及相關練習教學目標1.讓學生結合具體情境,認識圓外切正方形、圓內接正方形組合圖形的特征,掌握計算“外方內圓”和“外圓內方”的圖形面積的方法。2.在自主合作學習中,養(yǎng)成獨立與多角度思維的能力。3.滲透傳統(tǒng)文化的教育，通過體驗圖形和生活的聯(lián)系感受數(shù)學的價值，提升學習的興趣。教學重點使學生在解決問題的過程中積累圓與外切正方形、內接正方形組合圖形一般性的問題解決經(jīng)驗。教學難點1.圓內接正方形面積的計算。2.特殊結論一般化的理解和應用。教材分析外方內圓和外圓內方是六年級上冊第五單元學習了圓的面積后安排的一節(jié)探索正方形和圓形組合圖形陰影部分面積問題解決，旨在引導學生經(jīng)歷圓的內接正方形和外切正方形與圓之間部分的面積這一問題解決的全過程，從解決問題的基礎上從特殊、列舉中發(fā)現(xiàn)一般的數(shù)學規(guī)律，引導學生多維思考，克服思維定式，適時滲透中國傳統(tǒng)文化的教育，培養(yǎng)學生靈活應用的意識。學情分析本節(jié)課的內容是學生在學習圓的面積計算方法的基礎上進行學習的,學生對前面知識的掌握程度對本課的學習至關重要。學生具備了計算圓的面積和正方形面積計算的能力，學生要經(jīng)歷解決一個問題的所有步驟:理解現(xiàn)實的問題情境,轉化成要解決的數(shù)學問題,分析問題,從而找到解決問題的方案并解決之,也已經(jīng)完全具備以上的能力。但在學習中外方內圓和外圓內方一般化結論的建模與直觀想象應用還存在一定的困難，尤其是外圓內方中學生無法直接求出圓內接正方形邊長時，利用圓的直徑和半徑添加輔助線的方法將正方形的面積轉化為兩個三角形的面積和或四個小三角形的面積和學生并不是一下子就能找到，需要適時引導學生多位思考找到解題的線索。設計思考1.如何更好的幫助學生建構外方內圓和外圓內方陰影面積一般規(guī)律的模型，本課我利用從生活實物抽象幾何圖形，在動手操作畫、折等操作活動的基礎上通過合作、交流、展示充分的挖掘正方形與圓形的關系的基礎上放手讓學生在如何求出陰影面積問題解決中，收集數(shù)據(jù)、方法、抽象、概括中完成外方內圓和外圓內方陰影面積一般規(guī)律建構與靈活應用。2.如何以學生學習的起點進行深度解讀并創(chuàng)造性的使用教材，培養(yǎng)數(shù)學核心素養(yǎng)。本節(jié)課基于學情分析，外方內圓和外圓內方一般化結論的建模與直觀想象應用還存在一定的困難，于是，將難點分散在各個環(huán)節(jié)中埋伏突破，在課前學講稿中設計了學生畫、折兩個圖形，在畫圖中給學生直徑的支撐，在引入中如何求正方形與圓的面積追問要想計算它們面積必須知道什么條件，在實物抽象出幾何圖形時，充分的交流正方形和圓間的關系，在收集學生獨立思考中求面積的方法中羅列中構建外方內圓和外圓內方陰影面積計算一般規(guī)律的模型，并利用正方形和圓間的關系發(fā)現(xiàn)圓的直徑和半徑輔助將正方形的面積轉化為兩個三角形的面積和或四個小三角形的面積，從而培養(yǎng)學生模型、運算、直觀想象的核心素養(yǎng)以及滲透運用假設、列舉、代入、轉化的數(shù)學思想方法。教學方法自主探究、動手操作。教學用具手提電腦、卡紙圖形模型、課件（ppt和希沃交叉應用）教學過程活動一：創(chuàng)境引入1.智慧的人們巧用已學過的正方形和圓形組合構出了一幅幅精美的器物的圖案，有吃的，用的，處處皆是。在中國古代的建筑中就有這樣的設計，2.追問，（1）你能用學具組合這兩個圖形嗎？指名學生組合張貼黑板上。（2）這樣的幾何圖形是什么圖形，學生回答（3）出示課件并動畫抽出幾何圖形，那就讓我們一起研究并“外圓內方”和“外方內圓”并板書課題。【設計意圖】從實物中抽象出圖形的過程，使學生充分體會圖形的組合與位置關系，理解組合圖形面積的產(chǎn)生。與此同時，激活了原有的關于組合圖形的認識，找到了新知的生長點?；顒佣禾骄啃轮?.出示下圖--------提問：要想計算它們的面積必須借助什么條件？學生回答2.小對子合作交流學習。出示學習要求指名學生讀，（1）同桌說說每個圖形正方形和圓有什么關系，你發(fā)現(xiàn)了什么？（2）請計算它們間陰影部分的面積，并梳理出不同的方法。后同桌合作學習。3.匯報展示匯報交流，指名學生同桌匯報，其他組員進行補充。（1）哪個小組愿意分享你們的想法和做法,預設一：外方內圓：正方形的邊長=圓的直徑，正方形由四個小正方形組成，正方形的面積-圓的面積=陰影部分的面積外圓內方：圓的直徑=正方形的對角線正方形有兩個三角形或四個小三角形組成圓的面積-正方形的面積=陰影部分的面積（2）誰還愿意分享不同的做法和想法？預設二：計算陰影部分面積。展示匯報同桌交流梳理不同的計算方法，學生提問：我們小組匯報完畢，你們有什么補充或疑問？預設外方內圓計算方法：正方形的面積-圓的面積=陰影部分的面積長方形的面積-半圓的面積=上面陰影部分的面積1/4正方形的面積-1/4圓的面積=1個陰影的面積×4=陰影部分的面積預設外圓內方的計算方法：圓的面積-正方形的面積1/2圓的面積-三角形的面積圓的面積-4個小三角形的面積過渡：你們匯報的太精彩了，誰愿意把你們的計算梳理在表格中，4.梳理填表，觀察數(shù)據(jù)，得出結論（1）其中選取半徑是1、r進行假設舉例外方內圓的面積計算，收集下表中，觀察數(shù)據(jù)，得出結論。半徑m正方形面積m2圓面積m2陰影部分的面積m2S正:S圓r=1(2×1)×(2×1)=4或4×12=43.14×12==3.144-3.14=0.864：πr（r×2）×(r×2)=4r23.14×r2=3.14r24r2-3.14r2==0.86r24：π觀察得出：外方內圓的陰影面積為0.86r2(2)追問：它們的面積比呢？此時填表得出面積比始終是4：π(3)梳理外圓內方半徑是1、r假設舉例計算于下表半徑m正方形面積m2圓面積m2陰影面積的面積m2S正:S圓1(2×1)×1×2÷2=2或(2×1)×1=21×1÷2×4=23.14×12==3.143.14-2=1.142：πr（r×2）×r=2r23.14×r2=3.14r23.14r2-2r2=1.14r22：π觀察得出：外方內圓的陰影面積為1.14r2追問：在外圓內方中，你們怎么計算正方形的面積，還有別的方法嗎？（4）追問：它們的面積比？此時填表得出面積比始終是π：2（5）用代入法進行驗證。將你們用測量方法計算的帶入規(guī)律中，驗證規(guī)律。5.請四人小組在AP上操作并想一想當半徑是r時。（1）S外正：S圓：S內正=？（2）S大正方形：S小正方=？并說出為什么？【設計意圖】在學生課前的自主獨立思考預習基礎上，課堂進行同桌合作交流學習，互相學習借鑒彼此的方法后，分層次的匯報每個組合圖形兩個圖形間的關系、求陰影面積的方法，在學生匯報中梳理數(shù)據(jù)填入統(tǒng)計表中，將學生的想法在表格中呈現(xiàn)，學生很容易的在觀察中發(fā)現(xiàn)規(guī)律，得出結論。培養(yǎng)學生抽象、模型、運算、直觀想象的核心素養(yǎng)以及滲透運用假設、列舉、代入的數(shù)學思想方法。6.小結：同學們真了不起，在獨立思考、合作交流中解決問題并運用了假設法、轉化法和代入法的數(shù)學思想方法解決問題，可是不知你們是否能學以致用。活動三：鞏固應用1.半徑是10分米，黃色部分面積是多少？2.下圖是一面我國唐代外圓內方的銅鏡。銅鏡的直徑是24cm。外面的圓與內部的正方形之間的面積是多少？后追問：是不是只有已知半徑和直徑才能計算它們的面積？（拓寬學生思路，還可以已知圓的周長，正方形的邊長等）3.(1)你能很快計算下面圖形陰影部分的面積嗎？如果有好辦法的直接進行計算，沒有好辦法的借助平板中的圖形動動手在計算。A展示轉化圖形B說出計算方法C下面圖形陰影部分的面積和它們一樣大嗎？為什么？引導學生明白以上5種不同類型的組合圖形通過平移或旋轉都可以轉化成外方內圓直接利用規(guī)律進行計算，豐富學生的圖形的直觀想象。（2）正方形的邊長都是12dm.下圖每一個圖形的陰影面積一樣嗎？為什么？指明學生說出理由?；顒铀模赫n后延伸4.正方形的邊長是10厘米，求陰影部分的面積5.正方形的邊長為4cm,求陰影部分面積?；顒游澹阂曨l總結外圓內方和外方內圓不僅在數(shù)學中有學問，在生活中處處有學問。中國自古就有天圓地方之說，外圓內方，是前人流傳下來的大智慧，隱含著低調做人、高調做事的準則?！爸菆A行方”被古人當做境界極高的人生道德和智慧。教育學家黃炎培老先生贈給其子一句話，“和若春風，肅若秋霜；取象于錢，外圓內方”。同時也告訴我們大家做人要“外圓內方”。即內要方正，方為做人之本；外要圓通，圓為處世之。這是人生哲學，可奉為圭臬。在人的品質培養(yǎng)、氣質修養(yǎng)、人性、處事技巧、交際技巧等方面，如果能夠恰當?shù)陌盐铡胺健迸c“圓”，就能使人生更快樂，事業(yè)更成功?！驹O計意圖】分層次設計練習，引導學生在練習中靈活的應用所學規(guī)律，并通過豐富的題型訓練學生思維的寬度和廣度及培養(yǎng)學生應用意識。并應用教育學家的話語，引導學生學會為人處世。板書設計外方內圓外圓內方圓的直徑=正方形的邊長圓的直徑=正方形的對角線假設法