課標(biāo)解讀1.會(huì)結(jié)合一元二次函數(shù)的圖象,判斷一元二次方程實(shí)根的存在性及根的個(gè)數(shù).2.了解一元二次不等式的現(xiàn)實(shí)意義.3.能借助一元二次函數(shù)求解一元二次不等式;并能用集合表示一元二次不等式的解集.4.借助一元二次函數(shù)的圖象,了解一元二次不等式與相應(yīng)函數(shù)、方程的聯(lián)系.強(qiáng)基礎(chǔ)固本增分二次函數(shù)與一元二次方程、不等式解集的對(duì)應(yīng)關(guān)系

當(dāng)a<0時(shí),可利用不等式性質(zhì)轉(zhuǎn)化為系數(shù)為正的情況

設(shè)y=ax2+bx+c(a>0),方程ax2+bx+c=0的判別式Δ=b2-4ac.微思考

不等式ax2+bx+c>0(≥0),ax2+bx+c<0(≤0)在R上恒成立的條件分別是什么?提示

(1)不等式ax2+bx+c>0(≥0)對(duì)于一切x∈R恒成立的條件是常用結(jié)論不等式|x|>a(a>0)的解集為(-∞,-a)∪(a,+∞),不等式|x|<a(a>0)的解集為(-a,a).自主診斷題組一

思考辨析(判斷下列結(jié)論是否正確,正確的畫“√”,錯(cuò)誤的畫“×”)1.若不等式ax2+bx+c<0的解集為(x1,x2),則必有a>0.(

)2.若方程ax2+bx+c=0沒(méi)有實(shí)數(shù)根,則不等式ax2+bx+c>0的解集為R.(

)√×√×題組二

雙基自測(cè)

答案

(-4,2]6.

某文具店購(gòu)進(jìn)一批新型臺(tái)燈,每盞的最低售價(jià)為15元,若每盞按最低售價(jià)銷售,每天能賣出45盞,每盞售價(jià)每提高1元,日銷售量將減少3盞,為了使這批臺(tái)燈每天獲得600元以上的銷售收入,則這批臺(tái)燈的銷售單價(jià)x(單位:元)的取值范圍是(

)A.(10,20) B.[15,20)C.(18,20) D.[15,25)答案

B解析

由題意,得x[45-3(x-15)]>600,即x2-30x+200<0,∴(x-10)(x-20)<0,解得10<x<20.又每盞的最低售價(jià)為15元,∴15≤x<20.研考點(diǎn)精準(zhǔn)突破考點(diǎn)一一元二次不等式的解法(多考向探究預(yù)測(cè))考向1不含參數(shù)的一元二次不等式的解法例題解下列不等式:(1)-3x2-2x+8≥0;(2)0<x2-x-2≤4.所以原不等式的解集為{x|-2≤x<-1或2<x≤3}.規(guī)律方法

解一元二次不等式的一般步驟

答案

(-∞,2]∪[3,+∞)考向2含參數(shù)的一元二次不等式的解法例題解不等式ax2-(a+1)x+1<0(a>0).引申探究把本例中的條件“a>0”改為“a∈R”,解不等式.解

二次項(xiàng)系數(shù)含參數(shù)時(shí)分以下情況討論.(1)當(dāng)a=0時(shí),原不等式可化為-x+1<0,∴x>1.(2)當(dāng)a≠0時(shí),原不等式可化為(ax-1)(x-1)<0.(*)規(guī)律方法

求解含參數(shù)一元二次不等式的基本思路解含參數(shù)的一元二次不等式,與解一般的一元二次不等式的基本思路是一致的,但要注意分類討論思想的運(yùn)用.(1)若二次項(xiàng)系數(shù)含有參數(shù),需對(duì)二次項(xiàng)系數(shù)等于0與不等于0進(jìn)行討論,對(duì)于不為0的情況再按大于0或小于0進(jìn)行討論.(2)若不等式對(duì)應(yīng)的一元二次方程根的情況不確定,需對(duì)其判別式Δ進(jìn)行討論.(3)若求出的根中含有參數(shù),則應(yīng)對(duì)兩根的大小進(jìn)行討論.對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練求不等式12x2-ax>a2(a∈R)的解集.考點(diǎn)二簡(jiǎn)單分式不等式的解法規(guī)律方法

分式不等式的求解策略

考點(diǎn)三一元二次不等式恒成立問(wèn)題(多考向探究預(yù)測(cè))考向1在R上的恒成立問(wèn)題題組(1)(2023·江西吉安高三檢測(cè))若關(guān)于x的不等式ax2-2ax-2<0恒成立,則實(shí)數(shù)a的取值范圍為(

)A.[-2,0] B.(-2,0]C.(-2,0) D.(-∞,-2)∪(0,+∞)(2)已知關(guān)于x的不等式kx2-6kx+k+8≥0對(duì)任意x∈R恒成立,則實(shí)數(shù)k的取值范圍是(

)A.[0,1] B.(0,1]C.(-∞,0)∪(1,+∞) D.(-∞,0]∪[1,+∞)答案

(1)B

(2)A規(guī)律方法

一元二次不等式在R上恒成立的條件

考向2在給定區(qū)間上的恒成立問(wèn)題例題(2023·陜西安康模擬)若對(duì)任意的x∈[-1,0],-2x2+4x+2+m≥0恒成立,則實(shí)數(shù)m的取值范圍是(

)A.[4,+∞) B.[2,+∞)C.(-∞,4] D.(-∞,2]答案

A解析

因?yàn)閷?duì)任意的x∈[-1,0],-2x2+4x+2+m≥0恒成立,所以對(duì)任意的x∈

[-1,0],m≥2x2-4x-2恒成立,因?yàn)楫?dāng)x∈[-1,0]時(shí),2x2-4x-2=2(x-1)2-4∈[-2,4],所以規(guī)律方法

一元二次不等式在給定區(qū)間上恒成立問(wèn)題的求解方法(1)若f(x)>0在集合A中恒成立,即集合A是不等式f(x)>0的解集的子集,可以先求解集,再由子集的含義求解參數(shù)的值(或取值范圍);(2)轉(zhuǎn)化為函數(shù)值域問(wèn)題,即若函數(shù)f(x)的值域?yàn)閇m,n],則f(x)≥a恒成立?f(x)min≥a,即m≥a;f(x)≤a恒成立?f(x)max≤a,即n≤a.答案

D考向3給定參數(shù)范圍的恒成立問(wèn)題例題(2023·浙江溫州模擬)已知a∈[-1,1]時(shí),不等式x2+(a-4)x+4-2a>0恒成立,則x的取值范圍為(

)A.(-∞,2)∪(3,+∞) B.(-∞,1)∪(2,+∞)C.(-∞,1)∪(3,+∞) D.(1,3)答案

C解析

a∈[-1,1]時(shí),不等式x2+(a-4)x+4-2a>