《線性代數(shù)》授課教案劉思圓第一章

行列式本章說明與要求:行列式的理論是人們從解線性方程組的需要中建立和發(fā)展起來的，它在線性代數(shù)以及其他數(shù)學(xué)分支上都有著廣泛的應(yīng)用．在本章里我們主要討論下面幾個問題：(1)行列式的定義；(2)行列式的基本性質(zhì)及計算方法；(3)利用行列式求解線性方程組(克萊姆法則)．本章的重點是行列式的計算，要求在理解n階行列式的概念，掌握行列式性質(zhì)的基礎(chǔ)上，熟練正確地計算三階、四階及簡單的n階行列式．計算行列式的基本思路是：按行(列)展開公式，通過降階來計算．但在展開之前往往先利用行列式性質(zhì)通過對行列式的恒等變形，使行列式中出現(xiàn)較多的零和公因式，從而簡化計算．常用的行列式計算方法和技巧有：直接利用定義法，化三角形法，降階法，遞推法，數(shù)學(xué)歸納法，利用已知行列式法．行列式在本章的應(yīng)用是求解線性方程組(克萊姆法則)．要掌握克萊姆法則并注意克萊姆法則應(yīng)用的條件．。本章的重點：行列式性質(zhì)；行列式的計算。。本章的難點：行列式性質(zhì)；高階行列式的計算；克萊姆法則?！?.1

二階與三階行列式行列式的概念起源于解線性方程組，它是從二元與三元線性方程組的解的公式引出來的．因此我們首先討論解方程組的問題．設(shè)有二元線性方程組(1)用加減消元法容易求出未知量x1，x2的值，當(dāng)a11a22–a12a21≠0

時，有(2)這就是一般二元線性方程組的公式解．但這個公式很不好記憶，應(yīng)用時不方便，因此，我們引進(jìn)新的符號來表示(2)這個結(jié)果，這就是行列式的起源．我們稱4個數(shù)組成的符號為二階行列式．它含有兩行，兩列．橫的叫行，縱的叫列．行列式中的數(shù)叫做行列式的元素．從上式知，二階行列式是這樣兩項的代數(shù)和：一個是從左上角到右下角的對角線(又叫行列式的主對角線)上兩個元素的乘積，取正號；另一個是從右上角到左下角的對角線(又叫次對角線)上兩個元素的乘積，取負(fù)號．根據(jù)定義，容易得知(2)中的兩個分子可分別寫成，，如果記，，則當(dāng)D≠0時，方程組(1)的解(2)可以表示成，，

(3)象這樣用行列式來表示解，形式簡便整齊，便于記憶．首先(3)中分母的行列式是從(1)式中的系數(shù)按其原有的相對位置而排成的．分子中的行列式，x1的分子是把系數(shù)行列式中的第1列換成(1)的常數(shù)項得到的，而x2的分子則是把系數(shù)行列式的第2列換成常數(shù)項而得到的．例1

用二階行列式解線性方程組解：這時，，，因此，方程組的解是，，對于三元一次線性方程組(4)作類似的討論，我們引入三階行列式的概念．我們稱符號(5)為三階行列式，它有三行三列，是六項的代數(shù)和．這六項的和也可用對角線法則來記憶：從左上角到右下角三個元素的乘積取正號，從右上角到左下角三個元素的乘積取負(fù)號．例2

令

，，．當(dāng)D≠0時，(4)的解可簡單地表示成，，

(6)它的結(jié)構(gòu)與前面二元一次方程組的解類似．例3

解線性方程組解：，，，．所以，，，．例4

已知，問a，b應(yīng)滿足什么條件？(其中a，b均為實數(shù))．解：，若要a2+b2=0，則a與b須同時等于零．因此，當(dāng)a=0且b=0時給定行列式等于零．為了得到更為一般的線性方程組的求解公式，我們需要引入n階行列式的概念，為此，先介紹排列的有關(guān)知識．思考題：當(dāng)a、b為何值時，行列式．§1.2排列在n階行列式的定義中，要用到排列的某些知識，為此先介紹排列的一些基本知識．定義1由數(shù)碼1，2，…，n組成一個有序數(shù)組稱為一個n級排列．例如，1234是一個4級排列，3412也是一個4級排列，而52341是一個5級排列．由數(shù)碼1，2，3組成的所有3級排列為：123，132，213，231，312，321共有3!=6個．?dāng)?shù)字由小到大的n級排列1234…n稱為自然序排列．定義2在一個n級排列i1i2…in中，如果有較大的數(shù)it排在較小的數(shù)is的前面(is<it)，則稱it與is構(gòu)成一個逆序，一個n級排列中逆序的總數(shù)，稱為這個排列的逆序數(shù)，記作N(i1i2…in)．例如，在4級排列3412中，31，32，41，42，各構(gòu)成一個逆序數(shù)，所以，排列3412的逆序數(shù)為N(3412)=4．同樣可計算排列52341的逆序數(shù)為N(52341)=7．容易看出，自然序排列的逆序數(shù)為0．定義3如果排列i1i2…in的逆序數(shù)N(i1i2…in)是奇數(shù)，則稱此排列為奇排列，逆序數(shù)是偶數(shù)的排列則稱為偶排列．例如，排列3412是偶排列．排列52341是奇排列．自然排列123…n是偶排列．定義4在一個n級排列i1…is…it…in中，如果其中某兩個數(shù)is與it對調(diào)位置，其余各數(shù)位置不變，就得到另一個新的n級排列i1…it…is…in，這樣的變換稱為一個對換，記作(is，it)．如在排列3412中，將4與2對換，得到新的排列3214．并且我們看到：偶排列3412經(jīng)過4與2的對換后，變成了奇排列3214．反之，也可以說奇排列3214經(jīng)過2與4的對換后，變成了偶排列3412．一般地，有以下定理：定理1

任一排列經(jīng)過一次對換后，其奇偶性改變．證明：首先討論對換相鄰兩個數(shù)的情況，該排列為：a1a2…alijb1b2…bmc1c2…cn將相鄰兩個數(shù)i與j作一次對換，則排列變?yōu)閍1a2…aljib1b2…bmc1c2…cn顯然對數(shù)a1，a2，…al，b1，b2，…，bm和c1c2…cn來說，并不改變它們的逆序數(shù)．但當(dāng)i<j時，經(jīng)過i與j的對換后，排列的逆序數(shù)增加1個；當(dāng)i>j時，經(jīng)過i與j的對換后，排列的逆序數(shù)減少1個．所以對換相鄰兩數(shù)后，排列改變了奇偶性．再討論一般情況，設(shè)排列為a1a2…alib1b2…bmjc1c2…cn將i與j作一次對換，則排列變?yōu)閍1a2…aljb1b2…bmic1c2…cn這就是對換不相鄰的兩個數(shù)的情況．但它可以看成是先將i與b1對換，再與b2對換，…，最后與bm的對換，即i與它后面的數(shù)作m次相鄰兩數(shù)的對換變成排列a1a2…alb1b2…bmijc1…cn然后將數(shù)j與它前面的數(shù)i，bm…，b1作m+1次相鄰兩數(shù)的對換而成．而對換不相鄰的數(shù)i與j(中間有m個數(shù))，相當(dāng)于作2m+1次相鄰兩數(shù)的對換．由前面的證明知，排列的奇偶性改變了2m+1次，而2m+1為奇數(shù)，因此，不相鄰的兩數(shù)i，j經(jīng)過對換后的排列與原排列的奇偶性不同．定理2

在所有的n級排列中(n≥2)，奇排列與偶排列的個數(shù)相等，各為個．證明：設(shè)在n!個n級排列中，奇排列共有p個，偶排列共有q個．對這p個奇排列施以同一個對換，如都對換(1，2)，則由定理1知p個奇排列全部變?yōu)榕寂帕校捎谂寂帕幸还仓挥衠個，所以p≤q；同理將全部的偶排列施以同一對換(1，2)，則q個偶排列全部變?yōu)槠媾帕?，于是又有q≤p，所以q=p，即奇排列與偶排列的個數(shù)相等．又由于n級排列共有n!個，所以q+p=n!，．定理3

任一n級排列i1i2…in都可通過一系列對換與n級自然序排列12…n互變，且所作對換的次數(shù)與這個n級排列有相同的奇偶性．證明：對排列的級數(shù)用數(shù)學(xué)歸納法證之．對于2級排列，結(jié)論顯然成立．假設(shè)對n–1級排列，結(jié)論成立，現(xiàn)在證明對于n級排列，結(jié)論也成立．若in=n，則根據(jù)歸納假設(shè)i1i2…in–1是n–1級排列，可經(jīng)過一系列對換變成12…(n–1)，于是這一系列對換就把i1i2…in變成12…n．若in≠n，則先施行in與n的對換，使之變成i1'i2'…'i'n–1n，這就歸結(jié)成上面的情形．相仿地，12…n也可經(jīng)過一系列對換變成i1i2…in，因此結(jié)論成立．因為12…n是偶排列，由定理1可知，當(dāng)i1i2…in是奇(偶)排列時，必須施行奇(偶)數(shù)次對換方能變成偶排列，所以，所施行對換的次數(shù)與排列i1i2…in具有相同的奇偶性．思考題：1．決定i、j的值，使(1)1245i6j97為奇排列；(2)3972i15j4為偶排列．2．排列n(n–1)(n–2)…321經(jīng)過多少次相鄰兩數(shù)對換變成自然順序排列？§1.3

n階行列式本節(jié)我們從觀察二階、三階行列式的特征入手．引出n階行列式的定義．已知二階與三階行列式分別為其中元素aij的第一個下標(biāo)i表示這個元素位于第i行，稱為行標(biāo)，第二個下標(biāo)j表示此元素位于第j列，稱為列標(biāo)．我們可以從中發(fā)現(xiàn)以下規(guī)律：(1)二階行列式是2！項的代數(shù)和，三階行列式是3！項的代數(shù)和；(2)二階行列式中每一項是兩個元素的乘積，它們分別取自不同的行和不同的列，三階行列式中的每一項是三個元素的乘積，它們也是取自不同的行和不同的列；(3)每一項的符號是：當(dāng)這一項中元素的行標(biāo)是按自然序排列時，如果元素的列標(biāo)為偶排列，則取正號；為奇排列，則取負(fù)號．作為二、三階行列式的推廣我們給出n階行列式的定義．定義1

由排成n行n列的n2個元素aij(i，j=1，2，…，n)組成的符號稱為n階行列式．它是n!項的代數(shù)和，每一項是取自不同行和不同列的n個元素的乘積，各項的符號是：每一項中各元素的行標(biāo)排成自然序排列，如果列標(biāo)的排列為偶排列時，則取正號；為奇排列，則取負(fù)號．于是得＝

(1)其中表示對所有的n級排列j1j2…jn求和．(1)式稱為n階行列式按行標(biāo)自然順序排列的展開式．稱為行列式的一般項．當(dāng)n=2、3時，這樣定義的二階、三階行列式與上面§1.1中用對角線法則定義的是一致的．當(dāng)n=1時，一階行列為|a11|=a11．如當(dāng)n=4時，4階行列式表示4！=24項的代數(shù)和，因為取自不同行、不同列4個元素的乘積恰為4！項．根據(jù)n階行列式的定義，4階行列式為例如a14a23a31a42行標(biāo)排列為1234，元素取自不同的行；列標(biāo)排列為4312，元素取自不同的列，因為N(4312)=5，所以該項取負(fù)號，即–a14a23a31a42是上述行列式中的一項．為了熟悉n階行列式的定義，我們來看下面幾個問題．例1

在5階行列式中，a12a23a35a41a54這一項應(yīng)取什么符號？解：這一項各元素的行標(biāo)是按自然順序排列的，而列標(biāo)的排列為23514．因

N(23514)=4，故這一項應(yīng)取正號．例2

寫出4階行列式中，帶負(fù)號且包含因子a11a23的項．解：包含因子a11a23項的一般形式為按定義，j3可取2或4，j4可取4或2，因此包含因子a11a23的項只能是a11a23a32a44或a11a23a34a42但因

N(1324)=1為奇數(shù)N(1342)=2為偶數(shù)所以此項只能是–a11a23a32a44．例3

計算行列式解

這是一個四階行列式，按行列式的定義，它應(yīng)有4!=24項．但只有以下四項adeh，adfg，bceh，bcfg不為零．與這四項相對應(yīng)得列標(biāo)的4級排列分別為1234，1243，2134和2143，而N(1234)=0，N(1243)=1，N(2134)=1和N(2143)=2，所以第一項和第四項應(yīng)取正號，第二項和第三項應(yīng)取負(fù)號，即=adeh–adfg–bceh+bcfg例4

計算上三角形行列式其中aii≠０

(i=1，2，…，n)．解：由n階行列式的定義，應(yīng)有n!項，其一般項為但由于D中有許多元素為零，只需求出上述一切項中不為零的項即可．在D中，第n行元素除ann外，其余均為０．所以jn=n；在第n–1行中，除an–1n–1和an–1n外，其余元素都是零，因而jn–1只取n–1、n這兩個可能，又由于ann、an–1n位于同一列，而jn=n．所以只有jn–1=n–1．這樣逐步往上推，不難看出，在展開式中只有a11a22…ann一項不等于零．而這項的列標(biāo)所組成的排列的逆序數(shù)是N(12…n)=0故取正號．因此，由行列式的定義有=a11a22…ann即上三角形行列式的值等于主對角線上各元素的乘積．同理可求得下三角形行列式=a11a22…ann特別地，對角形行列式=a11a22…ann上(下)三角形行列式及對角形行列式的值，均等于主對角線上元素的乘積．例5

計算行列式解

這個行列式除了a1na2n–1…an1這一項外，其余項均為零，現(xiàn)在來看這一項的符號，列標(biāo)的n級排列為n(n–1)…21，N(n(n–1)…21)=(n–1)+(n–2)+…+2+1=，所以=同理可計算出==由行列式的定義，行列式中的每一項都是取自不同的行不同的列的n個元素的乘積，所以可得出：如果行列式有一行(列)的元素全為0，則該行列式等于0．在n階行列式中，為了決定每一項的正負(fù)號，我們把n個元素的行標(biāo)排成自然序排列，即．事實上，數(shù)的乘法是滿足交換律的，因而這n個元素的次序是可以任意寫的，一般地，n階行列式的項可以寫成(2)其中i1i2…in，j1j2…jn是兩個n階排列，它的符號由下面的定理來決定．定理1

n階行列式的一般項可以寫成(3)其中i1i2…in，j1j2…jn都是n級排列．證明：若根據(jù)n階行列式的定義來決定(2)的符號，就要把這n個元素重新排一下，使得它們的行標(biāo)成自然順序，也就是排成(4)于是它的符號是現(xiàn)在來證明(1)與(3)是一致的．我們知道從(2)變到(4)可經(jīng)過一系列元素的對換來實現(xiàn)．每作一次對換，元素的行標(biāo)與列標(biāo)所組成的排列i1i2…in，j1j2…jn就同時作一次對換，也就是N(i1i2…in)與N(j1j2…jn)同時改變奇偶性，因而它的和N(i1i2…in)+N(j1j2…jn)的奇偶性不改變．這就是說，對(2)作一次元素的對換不改變(3)的值，因此在一系列對換之后有這就證明了(1)與(3)是一致的．例如，a21a32a14a43是4階行列式中一項，它和符號應(yīng)為(–1)N(2314)+N(1243)=(–1)2+1=–1．如按行標(biāo)排成自然順序，就是a14a21a32a43，因而它的符號是(–1)N(4123)=(–1)3=–1同樣，由數(shù)的乘法的交換律，我們也可以把行列式的一般項中元素的列標(biāo)排成自然順序123…n，而此時相應(yīng)的行標(biāo)的n級排列為i1i2…in，則行列式定義又可敘述為．思考題：1．如果n階行列式所有元素變號，問行列式的值如何變化？2．由行列式的定義計算f(x)=中x4與x3的系數(shù)，并說明理由．§1.4行列式的性質(zhì)當(dāng)行列式的階數(shù)較高時，直接根據(jù)定義計算n階行列式的值是困難的，本節(jié)將介紹行列式的性質(zhì)，以便用這些性質(zhì)把復(fù)雜的行列式轉(zhuǎn)化為較簡單的行列式(如上三角形行列式等)來計算．將行列式D的行列互換后得到的行列式稱為行列式D的轉(zhuǎn)置行列式，記作DT，即若，

則．反之，行列式D也是行列式DT的轉(zhuǎn)置行列式，即行列式D與行列式DT互為轉(zhuǎn)置行列式．性質(zhì)１行列式D與它的轉(zhuǎn)置行列式DT的值相等．證：行列式D中的元素aij(i，j=1，2，…，n)在DT中位于第j行第i列上，也就是說它的行標(biāo)是j，列標(biāo)是i，因此，將行列式DT按列自然序排列展開，得這正是行列式D按行自然序排列的展開式．所以D=DT．這一性質(zhì)表明，行列式中的行、列的地位是對稱的，即對于“行”成立的性質(zhì)，對“列”也同樣成立，反之亦然．性質(zhì)２交換行列式的兩行(列)，行列式變號．證：設(shè)行列式將第i行與第s行(1≤i＜s≤n)互換后，得到行列式顯然，乘積在行列式D和D1中，都是取自不同行、不同列的n個元素的乘積，根據(jù)§3定理１，對于行列式D，這一項的符號由決定；而對行列式D1，這一項的符號由決定．而排列1…i…s…n與排列1…s…i…n的奇偶性相反，所以=–即D1中的每一項都是D中的對應(yīng)項的相反數(shù)，所以D=–D1．例１

計算行列式解：將第一、二行互換，第三、五行互換，得將第一、五列互換，得推論若行列式有兩行(列)的對應(yīng)元素相同，則此行列式的值等于零．證：將行列式D中對應(yīng)元素相同的兩行互換，結(jié)果仍是D，但由性質(zhì)２有D=–D，所以D=0．性質(zhì)３行列式某一行(列)所有元素的公因子可以提到行列式符號的外面．即證：由行列式的定義有左端＝＝＝右端．此性質(zhì)也可表述為：用數(shù)k乘行列式的某一行(列)的所有元素，等于用數(shù)k乘此行列式．推論：如果行列式中有兩行(列)的對應(yīng)元素成比例，則此行列式的值等于零．證：由性質(zhì)３和性質(zhì)２的推論即可得到．性質(zhì)４如果行列式的某一行(列)的各元素都是兩個數(shù)的和，則此行列式等于兩個相應(yīng)的行列式的和，即證：左端＝＝＝＝右端．性質(zhì)5

把行列式的某一行(列)的所有元素乘以數(shù)k加到另一行(列)的相應(yīng)元素上，行列式的值不變．即i行×k加到第s行證：由性質(zhì)４右端=+=k０+=左端作為行列式性質(zhì)的應(yīng)用，我們來看下面幾個例子．例2

計算行列式解：這個行列式的特點是各行４個數(shù)的和都是６，我們把第２、３、４各列同時加到第１列，把公因子提出，然后把第１行×(–1)加到第２、３、４行上就成為三角形行列式．具體計算如下：例3

計算行列式解：例4

試證明：證：把２、３列同時加到第４列上去，則得例5計算n+1階行列式解：將D的第２列、第３列、…、第n+1列全加到第１列上，然后從第１列提取公因子得×(–a1)×(–a2)……×(–an)==例6

解方程解法一：所以方程的解為x1=0，x2=1，…，xn–2=n–3，xn–1=n–2．解法二：根據(jù)性質(zhì)２的推論，若行列式有兩行的元素相同，行列式等于零．而所給行列式的第１行的元素全是１，第２行，第３行，…第n行的元素只有對角線上的元素不是１，其余均為１．因此令對角線上的某個元素為１，則行列式必等于零．于是得到1–x=12–x=1…(n–2)–x=1(n–1)–x=1有一成立時原行列式的值為零．所以方程的解為x1=0，x2，=1，…，xn–2=n–3，xn–1=n–2．例7

計算n階行列式解：將第1行乘以(–1)分別加到第２、