2023-2024學(xué)年河北省隆華存瑞中學(xué)高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末調(diào)研模擬試題注意事項1．考生要認真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知雙曲線的左、右焦點分別為，，為坐標(biāo)原點，為雙曲線在第一象限上的點，直線，分別交雙曲線的左，右支于另一點，，若，且，則雙曲線的離心率為（）A. B.3C.2 D.2．已知焦點在軸上的雙曲線的一條漸近線方程為，則該雙曲線的離心率為（）A. B.C.2 D.3．在等比數(shù)列{}中，，，則=（）A.9 B.12C.±9 D.±124．已知直線，，，則m值為（）A. B.C.3 D.105．若，則下列等式一定成立的是（）A. B.C. D.6．雙曲線的左、右焦點分別為、，過點且斜率為的直線與雙曲線的左右兩支分別交于P、Q兩點，若，則雙曲線C的離心率為（）A. B.C. D.7．一盒子里有黑色、紅色、綠色的球各一個，現(xiàn)從中選出一個球.事件選出的球是紅色，事件選出的球是綠色.則事件與事件（）A.是互斥事件，不是對立事件 B.是對立事件，不是互斥事件C.既是互斥事件，也是對立事件 D.既不是互斥事件也不是對立事件8．等差數(shù)列x，，，…的第四項為()A.5 B.6C.7 D.89．若圓上至少有三個點到直線的距離為1，則半徑的取值范圍是（）A. B.C. D.10．在等差數(shù)列中，，則的公差為（）A.1 B.2C.3 D.411．正三棱錐的側(cè)面都是直角三角形，，分別是，的中點，則與平面所成角的余弦值為（）A. B.C. D.12．等比數(shù)列的前項和為，若，則（）A. B.8C.1或 D.或二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知某農(nóng)場某植物高度，且，如果這個農(nóng)場有這種植物10000棵，試估計該農(nóng)場這種植物高度在區(qū)間上的棵數(shù)為______.參考數(shù)據(jù)：若，則，，.14．萬眾矚目的北京冬奧會將于2022年2月4日正式開幕，繼2008年北京奧運會之后，國家體育場（又名鳥巢）將再次承辦奧運會開幕式.在手工課上，王老師帶領(lǐng)同學(xué)們一起制作了一個近似鳥巢的金屬模型，其俯視圖可近似看成是兩個大小不同、扁平程度相同的橢圓.已知大橢圓的長軸長為40cm，短軸長為20cm，小橢圓的短軸長為10cm，則小橢圓的長軸長為________cm.15．已知為等比數(shù)列的前n項和，若，，則_____________.16．已知P為拋物線上的一個動點，設(shè)P到拋物線準(zhǔn)線的距離為d，點，那么的最小值為______三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知橢圓C：的長軸長為4，離心率e是方程的一根（1）求橢圓C的方程；（2）已知O是坐標(biāo)原點，斜率為k的直線l經(jīng)過點，已知直線l與橢圓C相交于點A，B，求面積的最大值18．（12分）有三個條件：①數(shù)列的任意相鄰兩項均不相等，，且數(shù)列為常數(shù)列，②，③，，中，從中任選一個，補充在下面橫線上，并回答問題已知數(shù)列的前n項和為，______，求數(shù)列的通項公式和前n項和19．（12分）如圖，在四棱錐P-ABCD中，PD=2AD=4，PD⊥CD，PD⊥AD，底面ABCD為正方形，M、N、Q分別為AD、PD、BC的中點（1）證明：面PAQ//面MNC；（2）求二面角M-NC-D的余弦值20．（12分）如圖，在四棱錐中，平面，底面為菱形，且，，分別為，的中點（Ⅰ）證明：平面；（Ⅱ）點在棱上，且，證明：平面21．（12分）如圖1，在邊長為2的菱形ABCD中，∠BAD=60°，將△BCD沿對角線BD折起到△BDC′的位置，如圖2所示，并使得平面BDC′⊥平面ABD，E是BD的中點，F(xiàn)A⊥平面ABD，且FA=.圖1圖2（1）求平面FBC′與平面FBA夾角的余弦值；（2）在線段AD上是否存在一點M，使得⊥平面?若存在，求的值；若不存在，說明理由.22．（10分）已知，，分別為三個內(nèi)角,,的對邊，.(Ⅰ)求；(Ⅱ)若=2，的面積為，求，.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】由雙曲線的定義可設(shè)，，由平面幾何知識可得四邊形為平行四邊形，三角形，用余弦定理，可得，的方程，再由離心率公式可得所求值【詳解】由雙曲線的定義可得，由，可得，，結(jié)合雙曲線性質(zhì)可以得到，而，結(jié)合四邊形對角線平分，可得四邊形為平行四邊形，結(jié)合，故，對三角形，用余弦定理，得到，結(jié)合，可得，，，代入上式子中，得到，即，結(jié)合離心率滿足，即可得出，故選：D【點睛】本題考查求雙曲線的離心率，熟記雙曲線的簡單性質(zhì)即可，屬于常考題型.2、D【解析】由題意，化簡即可得出雙曲線的離心率【詳解】解：由題意，.故選：D3、D【解析】根據(jù)題意，設(shè)等比數(shù)列的公比為，由等比數(shù)列的性質(zhì)求出，再求出【詳解】根據(jù)題意，設(shè)等比數(shù)列的公比為，若，，則，變形可得，則，故選：4、C【解析】根據(jù)兩直線垂直的充要條件得到方程，解得即可；【詳解】解：因為，且，所以，解得；故選：C5、D【解析】利用復(fù)數(shù)除法運算和復(fù)數(shù)相等可用表示出，進而得到之間關(guān)系.【詳解】，，，則.故選：D.6、C【解析】由，且，可得，再結(jié)合，可得，進而在△中，由余弦定理可得到齊次方程，求出即可.【詳解】由題意，可得，因為，所以，又，所以，在△中，，即，由余弦定理，可得，整理得，則，即，解得，因為，所以.故選：C.【點睛】方法點睛：本題考查求雙曲線的離心率，屬于中檔題.雙曲線離心率的求法：（1）由條件直接求出（或或），或者尋找（或或）所滿足的關(guān)系，利用求解；（2）根據(jù)條件列出的齊次方程，利用轉(zhuǎn)化為關(guān)于的方程，解方程即可，注意根據(jù)對所得解進行取舍.7、A【解析】根據(jù)事件的關(guān)系進行判斷即可.【詳解】由題意可知，事件與為互斥事件，但事件不是必然事件，所以，事件與事件是互斥事件，不是對立事件.故選：A.【點睛】本題考查事件關(guān)系的判斷，考查互斥事件和對立事件概率的理解，屬于基礎(chǔ)題.8、A【解析】根據(jù)等差數(shù)列的定義求出x，求出公差，即可求出第四項.【詳解】由題可知，等差數(shù)列公差d＝(x＋2)－x＝2，故3x＋6＝x＋2＋2，故x＝－1，故第四項為－1＋(4－1)×2＝5.故選：A.9、B【解析】先求出圓心到直線的距離為，由此可知當(dāng)圓的半徑為時，圓上恰有三點到直線的距離為，當(dāng)圓的半徑時，圓上恰有四個點到直線的距離為，故半徑的取值范圍是，即可求出答案.【詳解】由已知條件得的圓心坐標(biāo)為，圓心到直線為，∵圓上至少有三個點到直線的距離為1，∴圓的半徑的取值范圍是，即，即半徑的取值范圍是.故選：.10、A【解析】根據(jù)等差數(shù)列性質(zhì)可得方程組，求得公差.【詳解】等差數(shù)列中,,，由通項公式可得解得故選：A11、C【解析】以P為原點，PA為x軸，PB為y軸，PC為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出PB與平面PEF所成角的正弦值.【詳解】∵正三棱錐的側(cè)面都是直角三角形，E，F(xiàn)分別是AB，BC的中點，∴以P為原點，PA為x軸，PB為y軸，PC為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，，，，，，，，設(shè)平面PEF的法向量，則，取，得，設(shè)PB與平面PEF所成角為，則，∴PB與平面PEF所成角的正弦值為.故選：C.12、C【解析】根據(jù)等比數(shù)列的前項和公式及等比數(shù)列通項公式即可求解.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，則因為，所以，即，解得或，所以或.故選：C.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、1359【解析】由已知求得，則，結(jié)合已知求得，乘以10000得答案【詳解】解：由，得，又，，則，估計該農(nóng)場這種植物高度在區(qū)間，上的棵數(shù)為故答案為：135914、20【解析】求出大橢圓的離心率等于小橢圓的離心率，然后求解小橢圓的長軸長【詳解】在大橢圓中，，，則，.因為兩橢圓扁平程度相同，所以離心率相等，所以在小橢圓中，，結(jié)合，得，所以小橢圓的長軸長為20.故填：20.【點睛】本題考查橢圓的簡單性質(zhì)的應(yīng)用，對橢圓相似則離心率相等這一基礎(chǔ)知識的考查15、30【解析】根據(jù)等比數(shù)列性質(zhì)得，，也成等比，即可求得結(jié)果.【詳解】由等比數(shù)列的性質(zhì)可知，，，構(gòu)成首項為10，公比為1的等比數(shù)列，所以【點睛】本題考查等比數(shù)列性質(zhì)，考查基本求解能力，屬基礎(chǔ)題.16、5【解析】由拋物線的定義可得，所以，由圖可知當(dāng)三點共線時，取得最小值，從而可求得結(jié)果【詳解】拋物線的焦點，準(zhǔn)線為，如圖，過作垂直準(zhǔn)線于點，則，所以，由圖可知當(dāng)三點共線時，取得最小值，即最小值為,,所以的最小值為5，故答案為：5三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）.【解析】（1）待定系數(shù)法求橢圓的方程；（2）設(shè)直線的方程為，，，用“設(shè)而不求法”表示出三角形OAB的面積.令轉(zhuǎn)化為關(guān)于t的函數(shù)，利用函數(shù)求最值.【詳解】（1）依題意得：，∴.方程的根為或.∵橢圓的離心率，∴，∴∴∴橢圓方程為.（2）設(shè)直線的方程為，，由，得，則，點到直線的距離為，.令，則..∵在單調(diào)遞增，∴時.有最小值3.此時有最大值.∴面積的最大值為.18、；【解析】選①，由數(shù)列為常數(shù)列可得，由此可求，根據(jù)任意相鄰兩項均不相等可得，由此證明數(shù)列為等比數(shù)列，并求出數(shù)列的通項公式，利用分組求和法求數(shù)列的前n項和為，選②由取可求，再取與原式相減可得，由此證明數(shù)列為等比數(shù)列，并求出數(shù)列的通項公式，利用分組求和法求數(shù)列的前n項和為，選③由取與原式相減可得，取可求，由此可得，故，由此證明數(shù)列為等比數(shù)列，并求出數(shù)列的通項公式，利用分組求和法求數(shù)列的前n項和為，【詳解】解：選①：因為，數(shù)列為常數(shù)列，所以，解得或，又因為數(shù)列的任意相鄰兩項均不相等，且，所以數(shù)列為2，-1，2，-1，2，-1……，所以，即，所以，又，所以是以為首項，公比為-1的等比數(shù)列，所以，即；所以選②：因為，易知，，所以兩式相減可得，即，以下過程與①相同；選③：由，可得，又，時，，所以，因為，所以也滿足上式，所以，即，以下過程與①相同19、（1）證明過程見解析（2）【解析】（1）由線線平行證明線面平行；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量進行求解二面角的余弦值.【小問1詳解】因為M，N是DA，PD的中點，所以MN//AP，因為平面PAQ，平面PAQ，所以MN//平面PAQ因為四邊形ABCD為正方形，且Q為BC中點，所以MA//CQ，且MA=CQ，所以四邊形MAQC為平行四邊形，所以CM//AQ，因為平面PAQ，平面PAQ，所以MC//平面PAQ，因為，所以面PAQ//面MNC【小問2詳解】因為PD⊥CD，PD⊥AD，AD⊥CD故以D為坐標(biāo)原點，DA所在直線為x軸，DC所在直線為y軸，DP所在直線為z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，設(shè)平面NMC的法向量為，則，令得：，所以，平面NDC的法向量為，則，設(shè)二面角M-NC-D的大小為，顯然為銳角，則20、（Ⅰ）證明見解析（Ⅱ）證明見解析【解析】（Ⅰ）證明和得到平面.（Ⅱ）根據(jù)相似得到證明平面.【詳解】（Ⅰ）如圖，連接.∵底面為菱形，且，∴三角形正三角形.∵為的中點，∴.又∵平面，平面，∴.∵，平面，∴平面.（Ⅱ）連接交于點，連接.∵為的中點，∴在底面中，，∴.∴，∴在三角形中，.又∵平面，平面，∴平面.【點睛】本題考查了線面垂直和線面平行，意在考查學(xué)生的空間想象能力和推斷能力.21、（1）（2）不存在，理由見解析【解析】（1）利用垂直關(guān)系，以點為原點，建立空間直角坐標(biāo)系，分別求平面和平面的法向量和，利用公式，即可求解；（2）若滿足條件，，利用向量的坐標(biāo)表示，判斷是否存在點滿足.【小問1詳解】∵，E為BD的中點∴CE⊥BD，又∵平面⊥平面ABD，平面平面，⊥平面，∴⊥平面ABD，如圖以E原點，分別以EB、AE、EC′所在直線為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則B(1，0，0)，A(0，-，0)，D(-1，0，0)，F(xiàn)(0，-，2)，(0，0，)，∴=(-1，-，2)，=(-1，0，)，=(1，，0)，設(shè)平面的法向量為=(x，y，z)，則，取z=1，得平面的一個法向量=(，1，1)，設(shè)平面FBA的法向量為=(