利用直觀模型讓數(shù)學學習化難為易——從數(shù)形結(jié)合的數(shù)字化教學案例談起摘要：本文對中日韓等小學數(shù)學教材中有關(guān)數(shù)形結(jié)合與建模內(nèi)容進行分析，結(jié)合數(shù)的認識與計算教學案例闡述如何利用直觀模型幫助學生建立數(shù)感并理解算理，總結(jié)化繁為簡的數(shù)學思想和教學方法，指出了建模教學中應(yīng)用信息技術(shù)的價值和注意事項。關(guān)鍵詞：直觀模型；數(shù)形結(jié)合；小學數(shù)學教學；數(shù)字化教學二百 八208百一二百 八208百一0<6U數(shù)5在小學生的認知結(jié)構(gòu)中，數(shù)和形兩者緊密聯(lián)系、互相依賴、互相促進。數(shù)形結(jié)合可以將抽象的數(shù)學語言與直觀的圖形結(jié)合起來，使代數(shù)問題幾何化或使幾何問題代數(shù)化，為問題的解決提供簡捷、明快的途徑。通過數(shù)與形之間的對應(yīng)和轉(zhuǎn)化來解決數(shù)學問題，它包含以形助數(shù)和以數(shù)解形兩個方面。利用它，可使復(fù)雜問題簡單化，抽象問題具體化。希爾伯特在《直觀幾何》一書中指出，圖形可以幫助學生發(fā)現(xiàn)、描述研究的問題，尋求解決問題的思路，理解和記憶得到的結(jié)果。現(xiàn)代腦科學研究證明，直覺圖象能力的大小和右腦對圖象的感知能力密切相關(guān)。一個對圖象感知能力強的人，他的直覺圖象能力就強，右腦也就更靈活。哈莫爾說：“右腦的圖象思維能力是驚人的，調(diào)動右腦思維的積極性是科學思維的關(guān)鍵所在?！币虼耍谌粘＝虒W中，應(yīng)結(jié)合具體內(nèi)容，有意識地引導(dǎo)學生見數(shù)想形、因形思數(shù)，使數(shù)與形結(jié)合，培養(yǎng)學生數(shù)形相互轉(zhuǎn)化的意識。綜觀國內(nèi)外小學數(shù)學教學（中日韓等教材），滲透數(shù)形結(jié)合思想方法的內(nèi)容比比皆是。小學數(shù)學教科書中涉及的直觀模型主要有小棒模型、方塊模型、計數(shù)器模型、數(shù)線模型、點子圖、分數(shù)墻、方格紙和線段圖等。筆者以這些模型的應(yīng)用為線索，談如何將信息技術(shù)融入小學數(shù)學教學。

一、利用直觀模型理解數(shù)的意義和組成數(shù)感是關(guān)于數(shù)與數(shù)量、數(shù)量關(guān)系、運算結(jié)果估計等方面的感悟。建立數(shù)感，有助于學生理解現(xiàn)實生活中數(shù)的意義，理解或表述具體情境中的數(shù)量關(guān)系?！读x務(wù)教育數(shù)學課程標準（2011年版）》指出，培養(yǎng)學生的數(shù)感是義務(wù)教育階段數(shù)學教育的一項重要目標。只有為學生提供充分的可感知的現(xiàn)實背景，才能使學生真正理解數(shù)的概念。（-）利用小棒圖理解數(shù)的組成從日本的教材來看，他們的小學教師是用小棒圖幫助學生學習數(shù)的組成（如圖1）。*本卻強w。數(shù)字三力、linuilm圖1用小棒圖學習數(shù)的組成

當小棒數(shù)量較多時，用實物小棒來演示顯然比較麻煩。教師借助交互式電子白板，讓學生拖動兩大捆小棒表示2個百，再拖動8根小棒表示8個一，合起來就是208。這些內(nèi)容的教學，如果利用傳統(tǒng)的教學手段，雖然也能夠推導(dǎo)出結(jié)論，但學生興趣不高。改成課件動態(tài)展示進行教學，直觀形象，可以讓學習過程“看得見”，思考過程“看得見”。（二）用直觀模型理解小數(shù)的單位學生在“小數(shù)的意義”的學習中，體會計數(shù)單位的拓展非常重要。在自然數(shù)范圍內(nèi)，“1”是最小的計數(shù)單位，其他計數(shù)單位以“1”為基礎(chǔ)，滿10個就記作一個新的計數(shù)單位，其他計數(shù)單位可以看作“1”的“聚集”，體現(xiàn)在數(shù)位順序表中就是以“1”為基準，從右向左依次計數(shù)單位越來越大，永遠沒有最大的計數(shù)單位。小數(shù)則是以“1”為基礎(chǔ)，是對“1”的“分解”，每次都是平均分成10份，產(chǎn)生新的計數(shù)單位。在數(shù)位順序表中，仍以“1”為基礎(chǔ)，從左向右，計數(shù)單位依次越來越小，永遠沒有最小的計數(shù)單位。教學時，教師通過利用多媒體課件動態(tài)演示，讓學生看到對“1”的“分解”過程，進而直觀地看到單位“越分越小”的過程。為了加深學生對知識的理解，教師還通過課件動態(tài)演示，展現(xiàn)由1到0.1、0.01、0.001的過程，讓學生直觀地看到小數(shù)是不斷分解的過程（如圖2）。1 0.1 0.01 0.001圖2認識小數(shù)的計數(shù)單位再反向演示10個0.001是0.01,10個0.01是0.1,10個0.1是1,讓學生直觀感受相鄰單位之間的十進關(guān)系，理解小數(shù)是十進制計數(shù)法向相反方向延伸的結(jié)果（如圖3）。10.010.001圖3體會相鄰計數(shù)單位之間的關(guān)系10.010.001（三）借助數(shù)線模型理解小數(shù)的“稠密性”為了讓學生感受小數(shù)的“稠密性”，教師通過課件動態(tài)演示，讓學生找到0.1、0.01、1.4、1.44等小數(shù)在數(shù)線上的位置。應(yīng)用信息技術(shù)開展這一課例的教學，其便捷性和直觀性是傳統(tǒng)教學很難比擬的（如圖4）。圖4體會小數(shù)的“稠密性'（四）借助分數(shù)墻理解等值分數(shù)分數(shù)墻也是一個非常好的直觀模型。教師利用分數(shù)墻可以幫助學生理解分數(shù)單位之間的關(guān)系（如圖5）。圖5中，墻上每塊“磚”上的分數(shù)，表示這塊“磚”的長度；最長的是1,最短的是1/8。如果把相同長度的“磚”涂上相同的顏色，不同長度的“磚”的顏色又各不相同，那么顏色就可以幫助學習者區(qū)別“磚”的長短。搭起這堵“數(shù)墻”不僅方便，而且美觀。上課時，教師可以通過課件演示讓學生找到1與萬相等的分數(shù)，借助模型教學培養(yǎng)學生的單位意識和數(shù)感。教師先引導(dǎo)學生觀察，由土到土，由土到-1，由』到』分數(shù)單位及分數(shù)單位的個數(shù)是如6 2 8何變化。引導(dǎo)學生發(fā)現(xiàn)：1個1=2個土=3個』=41 2 4 6個百。1通過教師的課件演示，學生發(fā)現(xiàn)：萬是把一個長方形平均分成2份中的1份，奇是把一個長方形平均分成4份中的2份，孑是把一個長方形6平均分成6份中的3份，g是把一個長方形平均8分成8份中的4份。教師利用“分數(shù)墻”讓學生直觀地看到，由土到*，分子、分母同時乘上2,就是每一份再平均分成2小份，所以全部是4小份，分子也就從1份變成了2份。同樣的道理，由*到分子、分母同時乘上4,就是每一份再平8均分成4小份，所以全部是8小份，分子也就從1份變成了4份。二、利用直觀模型理解算理和算法算理是四則運算的理論依據(jù)，它由數(shù)學概念、運算定律、運算性質(zhì)等構(gòu)成。運算法則是四則運算的基本程序和方法。運算是基于法則進行的，而法則又要滿足運算定律。所以，算理為法則提供了理論依據(jù)，法則又使算理可操作化。（一）借助方塊模型理解三位數(shù)加減法算理方塊圖結(jié)構(gòu)整齊，便于操作，既可以通過學具操作進行自主探究，又可以通過課件演示化靜為動。韓國小學數(shù)學教材中，就經(jīng)常出現(xiàn)用小方塊模型幫助學生理解三位數(shù)減三位數(shù)計算算理的例子（如圖6）。圖6利用方塊模型理解算理上述案例中的計算過程，如果用實物模型來展示，學生看不到整個計算過程。如果利用信息技術(shù)來展示，就可以使計算過程“留痕”，讓學生看到整個計算過程，看到計算結(jié)果是怎么來的，真正讓學生做到“知其然又知其所以然”。（二）借助分數(shù)墻理解一個數(shù)除以分數(shù)的算理分數(shù)除法的難點就是算理的理解。為什么除以一個數(shù)等于乘這個數(shù)的倒數(shù)？教師可利用“分數(shù)墻”幫助學生理解“4-號=4x2”。在課件的輔助下，教師分兩步引導(dǎo)學生思考。第一步，“一個一個”數(shù)，結(jié)合課件演示，1數(shù)出4里面一共有8個萬（如圖7）。第二步，“一1組一組”數(shù)，1里面有2個萬，2里面有4個111—,3里面有6個云，4里面有8個云。一共是“4個2”,列式是4x2（如圖8）。生有了直觀、可靠的“形”的支撐，為多樣化的方法打下良好的基礎(chǔ)。在計算14x12的口算時，三年級下冊教材呈現(xiàn)了三種常見的方法（如圖9）。1411111111111113131313131313131313131314141414141414141414141414141414166161616161616161616161616161616161616161616161一個一個數(shù)4小日學校舉行隊列表演，一共有12行，每行有14人。我用右面的點子圖表示隊列。120????000000000???oooooeoooo*教師引導(dǎo)學生得出：4-1.=4x2。2上面的推導(dǎo)過程，通過分數(shù)單位的個數(shù)，引導(dǎo)學生數(shù)形結(jié)合，用圖形語言刻畫運算過程，可幫助學生直觀理解四則運算的算理。教師組織學生參與“圈一圈”的活動，“幾個幾”的圖象便躍然紙上，有利于學生表象的建立，使問題的數(shù)量關(guān)系更易于理解，使抽象的算理具體化。（三）用點子圖幫助學生理解小數(shù)除以整數(shù)的算理“點子圖”激發(fā)學生嘗試和操作的欲望，學oooooooooooo0有多少人參加隊列表演？圈一圈，算一算。二|佃6x2oooooooooooooooooooooooooooooooooooo10*10=100io*i[=4010X2=202崩二8I00+40+20+8=168圖9借助點子圖理解算理14*10=1402=282=16&筆者研讀新加坡的教材后發(fā)現(xiàn)，該國也是用點子圖幫助學生理解算理，例如用其演示7.75-5的計算過程一一直觀、形象，很有借鑒價值。教學時，教師也可以通過演示Flash動畫，讓學生在動態(tài)變化中看到計數(shù)單位不斷分解過程。三、信息技術(shù)運用中應(yīng)注意的問題與常規(guī)教學手段相比，運用信息技術(shù)輔助教學，能較好地處理好大與小、遠與近、動與靜、快與慢、整與散、虛與實、局部與整體的關(guān)系，為小學數(shù)學學科的抽象性和邏輯性與小學生思維的具體形象性之間架起橋梁，有利于提高教學效率。但在應(yīng)用信息技術(shù)方面也出現(xiàn)了不少問題，甚至有些已走入誤區(qū)。主要表現(xiàn)在以下幾個方面。（一）信息技術(shù)使用要"有度”以上述的小棒模型、方塊模型、數(shù)線模型、分數(shù)墻為例來講。一年級，主要通過小棒模型和方塊模型幫助學生進行數(shù)的認識，剛開始應(yīng)該讓學生動手操作，從而形成幾個“十”和幾個“一”的表象。在學生形成清晰的表象之后，教師才可以通過課件的演示輔助學生理解數(shù)冊組成知識。二年級，數(shù)線模型剛開始可以通過學生用的尺子來認識數(shù)的排列順序，再逐漸過渡到數(shù)線模型。數(shù)線模型的應(yīng)用不僅使抽象的“數(shù)”直觀形象化，而且也有助于學生理解運算，使運算直觀形象化：“加法”就是在數(shù)線上繼續(xù)向右“數(shù)”，或者看作是向右平移若干個單位；“減法”就是在數(shù)線上先找到“被減數(shù)”，然后再向左“數(shù)”，或者看作是向左平移若干個單位；“乘法”就是在數(shù)線上幾個幾個地向右“數(shù)”，或者把一“線段”拉長幾倍；“除法”就是在數(shù)線上先找到“被除數(shù)”，然后向左幾個幾個地“數(shù)”，如果恰好數(shù)到“0”，即“除盡”，數(shù)了幾次，商就是幾。當不能恰好數(shù)到“0”，就產(chǎn)生了“余數(shù)”。等學生到了四年級學習小數(shù)的意義時，教師可以通過課件的直觀演示，讓學生理解小數(shù)是不斷“細分”的過程。在三年級初步認識分數(shù)時，教師可以讓學生制作分數(shù)墻。等學生到了五年級，教師可以通過紙質(zhì)版的分數(shù)墻讓學生認識真分數(shù)、假分數(shù)，比較分數(shù)的大小，理解分數(shù)計算的算理。但當分數(shù)單位很小時，紙質(zhì)版的分數(shù)墻就不好用了，這個時候就可以發(fā)揮信息技術(shù)的優(yōu)勢，通過課件的動態(tài)演示來幫助學生理解算理。（二）信息技術(shù)使用要“有情”教師是情緒管理者，機器是冰冷的，