微積分同步輔導(dǎo)與考研指南由的圖像做出下列函數(shù)的圖像.由的圖像做出下列函數(shù)的圖像.若是以2為周期的周期函數(shù)，且在[-1,1]上有做出在內(nèi)的圖像.設(shè)是在實(shí)數(shù)集R上有意義的偶函數(shù)，且對(duì)任意的∈R，都有，求在上的表達(dá)式，并做出在R上的圖像.習(xí)題1—5某運(yùn)輸公司規(guī)定貨物的運(yùn)輸價(jià)格為：在a公里以內(nèi)，每公里k元，超過(guò)a公里，超出部分每公里元，求運(yùn)價(jià)和里程S之間的函數(shù)關(guān)系.擬建設(shè)一個(gè)容積為v的長(zhǎng)方體水池，設(shè)它的底為正方形，如果池底所用材料單位面積的造價(jià)為四周單位面積造價(jià)的2倍.試將總造價(jià)表示成池底邊長(zhǎng)的函數(shù)，并確定其函數(shù)的定義域.解:設(shè)k為四周單位面積的造價(jià)，底面邊長(zhǎng)的，則容器的高為，則四周的總造價(jià)為，底面的總造價(jià)為，則容器的總造價(jià)為y,設(shè)一個(gè)矩形的面積為A，試將周長(zhǎng)S表示成寬的函數(shù)，并求其定義域.在半徑為r的球內(nèi)嵌入一個(gè)圓柱，試將圓柱的體積表示為其高的函數(shù)，并確定其函數(shù)的定義域.用鐵皮做一個(gè)容積為V的圓柱形罐頭桶，試將它的全面積表示成底面半徑的函數(shù)，并確定此函數(shù)的定義域.按照銀行規(guī)定，某種外幣一年期存款的年利率為4.2﹪，半年期存款的年利率是4.0﹪，每一筆存款到期后銀行自動(dòng)將其轉(zhuǎn)存為同樣期限的存款，設(shè)將總數(shù)為A單位貨幣的該種外幣存入銀行，兩年后取出，問(wèn)存入何種期限的存款能有較多的收益？多多少？某工廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品，年產(chǎn)量為，每臺(tái)售價(jià)為250元，當(dāng)年產(chǎn)量為600臺(tái)以內(nèi)時(shí)，可以全部售完，當(dāng)年產(chǎn)量超過(guò)600臺(tái)時(shí)，經(jīng)廣告宣傳又可再多售出200臺(tái)，每臺(tái)平均廣告費(fèi)20元，生產(chǎn)再多本年就售不出去了，試建立本年的銷(xiāo)售總收入R與產(chǎn)量的函數(shù)關(guān)系.解：①當(dāng)產(chǎn)量在600臺(tái)（含600臺(tái)）以內(nèi)時(shí)，銷(xiāo)售收益為元；②當(dāng)產(chǎn)量超過(guò)600臺(tái)而小于800臺(tái)時(shí)，銷(xiāo)售收益為R=230+20×600=230+1200(元)③當(dāng)產(chǎn)量超過(guò)800臺(tái)時(shí)，銷(xiāo)售收益為R=230×800+20×600=196000元習(xí)題1-6某廠生產(chǎn)錄音機(jī)的成本為每臺(tái)50元，預(yù)計(jì)當(dāng)以每臺(tái)元的價(jià)格賣(mài)出時(shí).消費(fèi)者每月(200-)臺(tái),請(qǐng)將該廠的月利潤(rùn)表達(dá)為價(jià)格的函數(shù).解：銷(xiāo)售收入為(200-),成本為50(200-)月利潤(rùn)為y=(200-)-50(200-)=(200-)(-50)元.當(dāng)某商品價(jià)格為P時(shí)消費(fèi)者對(duì)該商品的月需求量為D(P)=12000-200P.畫(huà)出需求函數(shù)的圖像.將月銷(xiāo)售額（即消費(fèi)者購(gòu)買(mǎi)此商品的支出）表達(dá)為價(jià)格P的函數(shù).畫(huà)出月銷(xiāo)售額的圖像，并解釋其經(jīng)濟(jì)意義.解:(1).需求函數(shù)D(P)=12000-200P,做出函數(shù)圖像如右圖.(2).R(P)=(12000-200P)P.(3)做出月銷(xiāo)售額R(P)的函數(shù)圖像，其意義是銷(xiāo)售價(jià)格為P時(shí)月銷(xiāo)售總金額.某報(bào)紙的發(fā)行量以一定速度增加，三個(gè)月前發(fā)行量為32000份，現(xiàn)在為44000份.PDPDO60兩個(gè)月后的發(fā)行量是多少？解：(1).由題設(shè)知發(fā)行量每月按4000份的增速增加.因此發(fā)行量y與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系為:y=44000+4000t,(2).當(dāng)t=2時(shí)，得:y=52000(份),即兩個(gè)月后發(fā)行量為52000份.某廠生產(chǎn)的手掌游戲機(jī)每臺(tái)可賣(mài)110元，固定成本為7500元，可變成本為每臺(tái)60元.(1).要賣(mài)多少臺(tái)廠家可以收回成本.(2).如果賣(mài)掉100臺(tái)，廠家贏利或者虧損了多少？(3).要獲得1250元利潤(rùn)，需要賣(mài)多少臺(tái)？解：總利潤(rùn)=總收益—總成本（總成本=固定成本+可變成本）,所以L()=110-(7500+60)=50-7500.(1).要使廠家收回成本，利潤(rùn)不能為負(fù)數(shù),，所以出售150臺(tái)就可以收回成本.(2).L(100)=5000-7500=-2500(元),即賣(mài)出100臺(tái)，該廠虧損2500元.(3).令50-7500=1250，解得：=175(臺(tái)).即出售175臺(tái)能獲利1250元.有兩家健身俱樂(lè)部，第一家每月會(huì)費(fèi)300元，每次健身收費(fèi)1元，第二家每月會(huì)費(fèi)200元，每次健身收費(fèi)2元，若只考慮經(jīng)濟(jì)因素，你會(huì)選擇那一家俱樂(lè)部（根據(jù)健身次數(shù)決定）？解：若每月健身次數(shù)為，在第一家會(huì)費(fèi)余額為（300-）元，在第二家會(huì)費(fèi)余額為（200-2）元，，即若每月健身次數(shù)小于100時(shí)，則在第二家余額大于第一家，所以當(dāng)次數(shù)少于100時(shí)選第二家俱樂(lè)部.設(shè)某商品的需求函數(shù)與供給函數(shù)分別是(1).找出均衡價(jià)格，并求出此時(shí)的供給量和需求量；D(p)S(p)D(p)S(p)pOS/D807010(3).何時(shí)供給曲線過(guò)p軸，這一點(diǎn)的經(jīng)濟(jì)意義是什么？（2）做出需求曲線和供給曲線如圖.（3）當(dāng)價(jià)格p=10時(shí)供給曲線過(guò)p軸經(jīng)濟(jì)學(xué)意義是：當(dāng)價(jià)格低于10元時(shí)，供給商停止向市場(chǎng)供應(yīng)商品.某化肥廠生產(chǎn)某產(chǎn)品1000噸，每一噸定價(jià)130元，銷(xiāo)售在700噸以內(nèi)時(shí)，按原價(jià)出售，超過(guò)700噸時(shí)，超過(guò)部分需要打9折出售，試將銷(xiāo)售總收益和總銷(xiāo)售量函數(shù)關(guān)系用數(shù)學(xué)表達(dá)式表出.解：設(shè)銷(xiāo)售量為，總收益為R,某飯店有高級(jí)客房60套，目前租金每天每套200元，則基本客滿，若提高租金，預(yù)計(jì)每套租金提高10元，均有一套客房空出來(lái)，試問(wèn)租金定為多少時(shí)，飯店房租收入最大？收入多少元？這時(shí)飯店空出多少客房？解:設(shè)每間客房每天租金為元，總收入列表分析如下：租金總收入=200R=60×200=200+10R=(60-1)×(200+10)=200+20R=(60-2)×(200+20)=200+30R=(60-3)×(200+30)………… =200+10nR=(60-n)×(200+10n)=-10n2+400n+12000所以總收入R=-10n2+400n+12000,這是一個(gè)二次函數(shù)，二次項(xiàng)系數(shù)a=-10<0，得n=20時(shí)R最大，即價(jià)格定為400元時(shí)，收益最大，最大值是R=16000元，這時(shí)空房20套.總復(fù)習(xí)題一下列各對(duì)函數(shù)中哪些相同？哪些不同？解:第(1)、(2)組中兩個(gè)函數(shù)是相同的；第(3)、(4)組中兩個(gè)函數(shù)都是因?yàn)槎x域不同，所以是不同的函數(shù).下列函數(shù)中哪些是偶函數(shù)？哪些是奇函數(shù)？哪些是非奇非偶函數(shù)？解：（1）和（2）是奇函數(shù)，（3）和（4）為非奇非偶函數(shù).下列函數(shù)中哪些是周期函數(shù)？寫(xiě)出周期函數(shù)的周期.解：（3）不是周期函數(shù)，其它都是周期函數(shù)，并且周期都是π.指出下列函數(shù)的復(fù)合過(guò)程：求下列函數(shù)的定義域:解下列各題：設(shè)是R上的奇函數(shù)，..利用的圖像做出下列函數(shù)的圖像:(1);(2);(3).解:(1)將圖像上每一個(gè)點(diǎn)的縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的即可得到的圖像;(2)將圖像上每一個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的,縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的2倍，即可得到的圖像;(3)將的圖像沿軸翻折得到的圖像，再將的圖像向上平行移動(dòng)1個(gè)單位，即可得到的圖像.收音機(jī)每臺(tái)售價(jià)為90元，成本為60元，廠商為鼓勵(lì)銷(xiāo)售商大量采購(gòu)，決定凡是訂購(gòu)量超過(guò)100臺(tái)以上的，每多訂購(gòu)100臺(tái)售價(jià)就降低1元，但最低為75元；將每臺(tái)的實(shí)際售價(jià)p表示為訂購(gòu)量的函數(shù).將廠方獲得的利潤(rùn)L表示為訂購(gòu)量的函數(shù).某一個(gè)商行訂購(gòu)1000臺(tái)，廠方可獲多少利潤(rùn)？（價(jià)格降到75元時(shí)訂購(gòu)量不能超過(guò)1600臺(tái)）,..一種汽車(chē)出廠價(jià)45000元，使用后它的價(jià)值按年降價(jià)率的標(biāo)準(zhǔn)貶值，試求此車(chē)的價(jià)值y（元）與使用時(shí)間t（年）的函數(shù)關(guān)系.某大樓有50間辦公室要出租，若定價(jià)每間每月租金120元?jiǎng)t可全部租出，租出的辦公室每月需要由房主負(fù)擔(dān)維修費(fèi)10元，若每月租金每提高5元，將空出一間辦公室，試求房主所獲得利潤(rùn)與閑置辦公室間數(shù)的函數(shù)關(guān)系，并確定每間每月租金多少時(shí)才能得到最大利潤(rùn)？這時(shí)利潤(rùn)是多少？解：租出的辦公室間數(shù)和每間月租金列表如下：租出的辦公室間數(shù)每間月租金5012050-1120+550-2120+2×550-3120+3×5……50-120+×5每印一本雜志的成本為1.22元，每售出一本雜志僅能得1.20元收入，但是銷(xiāo)售額超過(guò)15000本時(shí)還能取得超過(guò)部分收入的作為廣告費(fèi)收入，試問(wèn)應(yīng)至少銷(xiāo)售多少本雜志才能保本？銷(xiāo)售量達(dá)到多少時(shí)才能獲得利潤(rùn)1000元？解：設(shè)銷(xiāo)售量為，顯然要想保本必須>15000,所以利潤(rùn)函數(shù)是:y=(1.20-1.22)×15000+(-15000)×10﹪=0.1-1800,令y=0得：=18000,即至少銷(xiāo)售18000本才可以保本.令y=1000得0.1-1800=1000所以=28000,即銷(xiāo)售28000本才可以獲利1000元.考研真題精選:（90，01）設(shè)函數(shù)（B）A.偶函數(shù)B.無(wú)界函數(shù)C.周期函數(shù) D.單調(diào)函數(shù)解：本題主要考察函數(shù)的四個(gè)基本性質(zhì).即單調(diào)性、奇偶性、周期性、有界性.由于（92,02）的定義域是（2000，數(shù)一）設(shè)函數(shù).（04年）函數(shù)A.A.(-1,0)B.(0,1)C.(1,2) D.(2,3)極限與連續(xù)內(nèi)容提要：數(shù)列的極限：數(shù)列極限的定義：收斂數(shù)列與發(fā)散數(shù)列、收斂數(shù)列的性質(zhì)（極限的唯一性、收斂數(shù)列的有界性、收斂數(shù)列的保號(hào)性、收斂數(shù)列與其子數(shù)列的關(guān)系），數(shù)列極限的四則運(yùn)算法則、夾逼定理、數(shù)列收斂定理（單調(diào)有界數(shù)列一定收斂）.函數(shù)的極限：自變量趨于有限值時(shí)函數(shù)的極限：..極限存在的充要條件：.自變量趨于無(wú)窮大時(shí)函數(shù)的極限：..函數(shù)極限的性質(zhì)：函數(shù)極限的唯一性定理；函數(shù)極限的局部有界性定理；函數(shù)極限的局部保號(hào)性定理；函數(shù)極限的夾逼定理.無(wú)窮大和無(wú)窮小:無(wú)窮小的定義:此定義可簡(jiǎn)寫(xiě)為：.有極限的變量和無(wú)窮小的關(guān)系：時(shí)的無(wú)窮小量.無(wú)窮小具有的性質(zhì)：有限個(gè)無(wú)窮小的和還是無(wú)窮??；無(wú)窮小與有界變量的乘積仍為無(wú)窮小，常量與無(wú)窮小的積是無(wú)窮小；有限個(gè)無(wú)窮小的積是無(wú)窮小.無(wú)窮大的定義:無(wú)窮大與無(wú)窮小的關(guān)系：在自變量的同一變化過(guò)程中，如果為無(wú)窮小量，則為無(wú)窮大量.極限運(yùn)算法則：.（復(fù)合函數(shù)求極限法則）：則有：.極限存在準(zhǔn)則：（1）.極限存在準(zhǔn)則：.準(zhǔn)則2：?jiǎn)握{(diào)有界數(shù)列一定有極限.(2).兩個(gè)重要極限：(3).連續(xù)復(fù)利問(wèn)題：設(shè)一筆貸款(稱為本金)，年利率為r，則k年后本息和為（n為每年計(jì)息期數(shù)）如果每年計(jì)息期數(shù)也即是每時(shí)每刻都計(jì)算復(fù)利（稱為連續(xù)復(fù)利），則k年后本息和為：.無(wú)窮小的比較：設(shè)α、β為在同一自變量變化過(guò)程中的無(wú)窮小，α≠0,常用的幾個(gè)等價(jià)無(wú)窮?。汉瘮?shù)的連續(xù)性：（1）.函數(shù)在一點(diǎn)處連續(xù)的定義：根據(jù)定義，在處連續(xù)必須滿足下面三個(gè)條件：在處有定義，即有確定的函數(shù)值；在處的極限存在，即；.左連續(xù)、右連續(xù)的定義：如果滿足:，那么稱在處左連續(xù)（右連續(xù)）.在區(qū)間[a，b]上連續(xù)的定義：如果在(a，b)內(nèi)每一點(diǎn)都連續(xù)，且在=a處右連續(xù)，在=b處左連續(xù)，那么稱在[a，b]上連續(xù).函數(shù)的間斷點(diǎn)：的不連續(xù)點(diǎn)稱為函數(shù)的間斷點(diǎn)，在處有以下三種情況之一，為的間斷點(diǎn)：間斷點(diǎn)的分類(lèi)：第一類(lèi)間斷點(diǎn)：為間斷點(diǎn)，但是在處左、右極限都存在且相等的，這樣的間斷點(diǎn)稱為第一類(lèi)間斷點(diǎn).第一類(lèi)間斷點(diǎn)又分為可去間斷點(diǎn)和不可去間斷點(diǎn).可去間斷點(diǎn)里面有在處無(wú)定義，但是存在，這種間斷點(diǎn)可以通過(guò)補(bǔ)充定義使其連續(xù)；另一種間斷點(diǎn)是在處有定義，也存在但是，這種間斷點(diǎn)可以通過(guò)改變函數(shù)值使其連續(xù).不可去間斷點(diǎn)是指左、右極限存在且不相等的情形，這種間斷點(diǎn)又叫跳躍間斷點(diǎn).第二類(lèi)間斷點(diǎn)：震蕩間斷、無(wú)窮間斷點(diǎn)都是屬于第二類(lèi)間斷點(diǎn).（2）.初等函數(shù)的連續(xù)性：函數(shù)的和、差、積、商的連續(xù)：設(shè)、在處連續(xù)，則.反函數(shù)的連續(xù)性：如果在處連續(xù)，則其反函數(shù)在處也連續(xù).復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性：

設(shè)函數(shù).基本初等函數(shù)、初等函數(shù)的連續(xù)性：基本初等函數(shù)在其定義域內(nèi)是連續(xù)的；初等函數(shù)在其定義區(qū)間內(nèi)是連續(xù)的，這時(shí)我們強(qiáng)調(diào)：初等函數(shù)連續(xù)性不能說(shuō)成在定義域內(nèi)連續(xù)，只能說(shuō)是在定義區(qū)間內(nèi)處連續(xù).舉例說(shuō)明如下：閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)：最大值和最小值定理：閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)一定有最大值和最小值；有界性定理：閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)一定有界；零點(diǎn)存在定理：設(shè)在[a，b]上連續(xù)，且則在(a，b)內(nèi)至少存在一點(diǎn)，使得.介值定理：設(shè)在[a，b]上連續(xù)，,無(wú)論C是取在A、B間的一個(gè)怎樣的值，在(a，b)內(nèi)至少存在一個(gè)點(diǎn)，使得.介值定理的推論：設(shè)在[a，b]上連續(xù)，M為在[a，b]上的最大值，m為在

[a，b]上的最小值，無(wú)論C是取在M、m間的一個(gè)怎樣的值，在(a，b)內(nèi)至少存在一個(gè)點(diǎn)，使得.典型例題解析：求下列數(shù)列的極限：求下列函數(shù)的極限：設(shè)a>0，b>0,且

.解：求，需要先求的表達(dá)式，再根據(jù)函數(shù)的連續(xù)性.,證明:本章習(xí)題全解習(xí)題2—1觀察下列數(shù)列變化趨勢(shì).判斷那些數(shù)列有極限，如果有極限，寫(xiě)出它們的極限:才能使與極限之差的絕對(duì)值小于0.0001？分別取怎樣的N,才能使n>N時(shí)成立？并利用極限定義證明此數(shù)列極限為1.用極限定義考查下列結(jié)論是否正確，為什么？利用極限性質(zhì)判別下列結(jié)論是否正確，為什么？利用數(shù)列的證明下列極限:.習(xí)題2—2用極限的定義證明：;利用極限定義證明:提示：因?yàn)椤?,所以不妨設(shè)1<<2..證明yOyO.函數(shù)在=0處的左右極限是否存在？函數(shù)在=0處的極限是否存在？為什么？函數(shù)在=1處的極限是否存在？為什么？..習(xí)題2—3根據(jù)定義證明：.,為的無(wú)窮小.利用有界量乘以無(wú)窮小量依然是無(wú)窮小量求下列極限：.結(jié)合下圖說(shuō)明，習(xí)題2—4填空題：；.求下列極限：求下列極限：求下列極限：.習(xí)題2—5求下列極限：求下列極限利用極限存在準(zhǔn)則證明：；某公司計(jì)劃發(fā)行公司債券，規(guī)定以年利率6.5﹪的連續(xù)復(fù)利計(jì)算利息，10年后每份債券一次償還本息1000元，問(wèn)發(fā)行時(shí)每份債券的價(jià)格應(yīng)定為多少？，習(xí)題2—6當(dāng)→0時(shí)，下列各個(gè)函數(shù)都是無(wú)窮小，試確定哪些是的高階無(wú)窮小？同階無(wú)窮??？等價(jià)無(wú)窮??？證明當(dāng)時(shí)有：利用等價(jià)無(wú)窮小的性質(zhì)求下列極限:證明無(wú)窮小的等價(jià)關(guān)系具有下列性質(zhì):習(xí)題2—7研究下列函數(shù)的連續(xù)性，并畫(huà)出函數(shù)的圖像：解：函數(shù)在

而∴函數(shù)在處不連續(xù)，在處連續(xù)；∴函數(shù)圖形在處連續(xù)..確定常數(shù)a，b使下列函數(shù)連續(xù)：下列函數(shù)在指出的點(diǎn)處間斷，說(shuō)明這些間斷點(diǎn)屬于哪一類(lèi)型，如果為可去間斷點(diǎn)，則補(bǔ)充或者改變函數(shù)的定義使函數(shù)連續(xù)...求下列函數(shù)的極限：討論函數(shù)的連續(xù)性，若有間斷點(diǎn)判斷其類(lèi)型.習(xí)題2—8試證下列方程在指定區(qū)間內(nèi)至少有一個(gè)實(shí)數(shù)根:設(shè)在區(qū)間[a，b]上連續(xù)，且，證明在(a，b)內(nèi)必存在一點(diǎn)，使,其中m，n為自然數(shù).設(shè)函數(shù)在區(qū)間[0，2a]上連續(xù),且,證明在[0,a]上至少存在一點(diǎn),使.一個(gè)登山運(yùn)動(dòng)員從早晨7:00開(kāi)始攀登某座山峰，在下午7:00到達(dá)山頂，第二天早晨再?gòu)纳巾斞刂废律?，下?:00到達(dá)山腳，試?yán)媒橹刀ɡ碚f(shuō)明，這個(gè)運(yùn)動(dòng)員必在這兩天的某個(gè)相同時(shí)刻經(jīng)過(guò)登山路線的同一地點(diǎn).解:設(shè)每一天運(yùn)動(dòng)員從早上出發(fā)經(jīng)小時(shí)時(shí)所走距離為，則是連續(xù)函數(shù).根據(jù)介值定理推論.第一天上山，第二天下山：，兩式相加，從運(yùn)動(dòng)員上山到運(yùn)動(dòng)員下山在下午13:00時(shí)經(jīng)過(guò)同一地點(diǎn)，這一點(diǎn)就是到水平面距離為最高處一半的點(diǎn)處.總復(fù)習(xí)題在“充分”，“必要”和“充分必要”三者中選擇一個(gè)正確的填在下列空白內(nèi)：(1)數(shù)列有界是數(shù)列收斂的必要條件，數(shù)列收斂是數(shù)列有界的充分條件.(2)在處的某一去心鄰域內(nèi)有界是存在的必要條件，存在是在的某一鄰域內(nèi)有界的充分條件.(3)在處的某一去心鄰域內(nèi)無(wú)界是的必要條件，是在的某一去心鄰域內(nèi)無(wú)界的充分條件.(4)時(shí)的右極限以及左極限都存在且相等是存在的充分必要條件.求下列極限：確定下列各式中a,b的值:p、q取得何值為無(wú)窮小量？p、q取得何值為無(wú)窮大量？當(dāng)時(shí)，下列無(wú)窮小與相比是什么階無(wú)窮小？利用夾逼定理證明：.利用單調(diào)有界必有極限準(zhǔn)則證明下列數(shù)列的極限存在，并求極限：求下列函數(shù)的間斷點(diǎn)并確定所屬類(lèi)型，如果是可去間斷點(diǎn)則補(bǔ)充定義使其連續(xù).討論下列函數(shù)的連續(xù)性，若存在間斷點(diǎn)判斷其類(lèi)型：證明：若和都在[a，b]上連續(xù)，且,則存在點(diǎn).一片森林現(xiàn)有木材a,若以年增長(zhǎng)率1.2％均勻增長(zhǎng).問(wèn)t年時(shí)，這片森林木材有多少？國(guó)家向某企業(yè)投資2萬(wàn)元，這家企業(yè)將投資作為抵押品向銀行貸款，得到相當(dāng)于抵押品80％的貸款，該企業(yè)將這筆貸款再次進(jìn)行投資，并且又將投資作為抵押品向銀行貸款，得到相當(dāng)于新抵押品價(jià)格的80％的貸款，該企業(yè)又將新貸款再投資…，這樣貸款—投資—再貸款—再投資，如此反復(fù)擴(kuò)大投資.問(wèn)其實(shí)際效果相當(dāng)于國(guó)家投資多少萬(wàn)元所產(chǎn)生的直接效果？解：國(guó)家投資=20000元.第一次貸款=20000×0.8=16000元.第二次貸款=20000×0.8第三次貸款=20000×0.8……第n次貸款=20000×0.8n次共有資金如此無(wú)限擴(kuò)大下去，利用資金總額即實(shí)際相當(dāng)于國(guó)家投資10萬(wàn)元考研真題精選求極限問(wèn)題：（90.數(shù)四，3分）求極限.（91.數(shù)四，5分）求極限（92.數(shù)四，5分）.（94.數(shù)四，5分）.（2000.數(shù)四，3分）若a>0,b>0均為常數(shù)，則.（2003.數(shù)四，4分）.（2003.數(shù)四，8分）.（2005.數(shù)四，8分）.（2005.數(shù)四，8分）.（2008.數(shù)四，10分）..結(jié)論：通過(guò)以上10個(gè)題目，我們可以看出考研題目中求極限的問(wèn)題，經(jīng)常利用羅比達(dá)法則和等價(jià)無(wú)窮小的關(guān)系，特別是等價(jià)無(wú)窮小的幾個(gè)等價(jià)式子要熟記.在利用等價(jià)無(wú)窮小的關(guān)系式時(shí)，乘積和商的形式才可以用，和與差的式子不能使用.有關(guān)函數(shù)的連續(xù)性以及間斷點(diǎn)問(wèn)題：（1987.數(shù)四，2分）下列函數(shù)在其定義域內(nèi)連續(xù)的是（A）（98.數(shù)四，3分）(04.數(shù)四，4分)

（2008.數(shù)四,4分）.導(dǎo)數(shù)、微分、邊際與彈性內(nèi)容提要：導(dǎo)數(shù)概念：函數(shù)在一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)的定義：存在則稱此極限為在處的導(dǎo)數(shù)，記為；即：.單側(cè)導(dǎo)數(shù)：函數(shù)在處可導(dǎo)的充要條件是：在處的左、右導(dǎo)數(shù)存在且相等.函數(shù)在區(qū)間（a,b）內(nèi)可導(dǎo)的定義：如果在區(qū)間（a,b）內(nèi)每一點(diǎn)處都可導(dǎo)，稱在區(qū)間（a,b）內(nèi)可導(dǎo).如果在區(qū)間（a,b）內(nèi)每一點(diǎn)處都可導(dǎo)，且在處右可導(dǎo)，在處左可導(dǎo)，就稱在區(qū)間[a,b]上可導(dǎo).函數(shù)的可導(dǎo)性與連續(xù)性之間的關(guān)系：如果函數(shù)在處可導(dǎo)，則在處一定連續(xù)，其逆命題不真.所以函數(shù)連續(xù)是可導(dǎo)的必要不充分條件.求導(dǎo)法則與基本初等函數(shù)的求導(dǎo)公式：求導(dǎo)法則：可導(dǎo)函數(shù)的和、差、積、商仍為可導(dǎo)函數(shù).：...反函數(shù)求導(dǎo)法則：如果單調(diào)可導(dǎo)，且，則他的反函數(shù)在對(duì)應(yīng)區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，并有:.也就是說(shuō)：反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于直接函數(shù)導(dǎo)數(shù)的倒數(shù).復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則：若函數(shù)可導(dǎo)，函數(shù)在處可導(dǎo)，則復(fù)合函數(shù)在處可導(dǎo)且，簡(jiǎn)寫(xiě)為：.簡(jiǎn)言之，復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于外函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與內(nèi)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的積，這個(gè)法則也叫做鏈?zhǔn)椒▌t.基本初等函數(shù)的求導(dǎo)公式：這里不在一一寫(xiě)出基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式，但是要求熟練掌握并靈活應(yīng)用.導(dǎo)數(shù)的幾何意義：函數(shù)在在幾何上表示曲線在點(diǎn)處的切線的斜率.高階導(dǎo)數(shù)：一階導(dǎo)數(shù)：;二階導(dǎo)數(shù)：如果叫…………n階導(dǎo)數(shù)：如果的(n-1)階導(dǎo)數(shù)仍然可導(dǎo)，則(n-1)階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)叫隱函數(shù)以及由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：在多元函數(shù)的微分中要介紹，這里不再?gòu)?fù)習(xí).由參數(shù)方程確定的函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)和二階導(dǎo)數(shù)：.函數(shù)的微分：(1).函數(shù)，其中A是不依賴于的常數(shù)，的高階無(wú)窮小，稱(2).可導(dǎo)與可微之間的關(guān)系：函數(shù)在處可微的充要條件是在處可導(dǎo).(3).函數(shù)在處微分的幾何意義：表示曲線在處當(dāng)自變量取得改變量時(shí)圖像上的點(diǎn)的縱坐標(biāo)的改變量，而函數(shù)的微分在幾何上表示曲線在處的切線上點(diǎn)的縱坐標(biāo)的改變量.(4).基本初等函數(shù)的微分公式以及微分法則：(5).復(fù)合函數(shù)的微分法：設(shè)，則:

.邊際與彈性：邊際：邊際函數(shù)的定義：設(shè)在處可導(dǎo)，則稱為的邊際函數(shù)，在處的值叫邊際函數(shù)值，即當(dāng)時(shí)，改變一個(gè)單位，改變個(gè)單位.有了邊際函數(shù)的定義，在經(jīng)濟(jì)學(xué)中常見(jiàn)的邊際函數(shù)就好理解了.邊際成本：C=C(Q)為成本函數(shù)，叫邊際成本函數(shù)，當(dāng)時(shí)叫做邊際成本值，即當(dāng)Q在處改變一個(gè)單位時(shí)，總成本改變了個(gè)單位.邊際平均成本.邊際收益：設(shè)函數(shù)為總收益函數(shù)，,由于R(Q)=PQ,,叫總收益函數(shù)在處的邊際收益值，即當(dāng)Q在處改變一個(gè)單位時(shí)，總收益改變了個(gè)單位.邊際利潤(rùn)：叫邊際利潤(rùn)函數(shù)，即,叫總利潤(rùn)函數(shù)在處的邊際利潤(rùn)值，即當(dāng)Q在處改變一個(gè)單位時(shí)，總利潤(rùn)改變了個(gè)單位.邊際需求：叫邊際需求函數(shù)，即.即當(dāng)P在處改變一個(gè)單位時(shí)，需求量改變個(gè)單位.彈性：彈性函數(shù)的定義：設(shè)函數(shù)在處可導(dǎo)，函數(shù)的相對(duì)改變量與自變量的相對(duì)改變量之比，稱為函數(shù)從兩點(diǎn)間的平均相對(duì)變化率，或稱為兩點(diǎn)間的彈性，當(dāng)時(shí)，的極限為處的相對(duì)變化率，也就是相對(duì)導(dǎo)數(shù)或稱彈性，記為或，即.對(duì)一般的，如果可導(dǎo)，且,則有:

是的函數(shù)，稱為的彈性函數(shù)(簡(jiǎn)稱彈性)表示在處,當(dāng)產(chǎn)生1％的改變時(shí),近似的改變％(應(yīng)用中略去近似二字).經(jīng)濟(jì)學(xué)中常見(jiàn)的彈性函數(shù)：需求的價(jià)格彈性：設(shè)需求函數(shù)是Q=Q(p)表示當(dāng)p在處產(chǎn)生1％的改變時(shí)，需求量改變了％％,需求彈性總用正值表示，所以要加絕對(duì)值符號(hào)稱為.幾種特殊的價(jià)格彈性：η=0，這是完全沒(méi)有彈性的商品，其需求量不發(fā)生變化.η為無(wú)窮大，表明商品在一定條件下有多少可以賣(mài)掉多少，然而當(dāng)價(jià)格稍微提高一點(diǎn)，就可能一個(gè)也賣(mài)不出去.η<1，表示是缺乏彈性的商品，即需求量變化的幅度小于價(jià)格變化的幅度；如某商品的價(jià)格在處上漲（下跌）1％，需求量減少（增加）的百分?jǐn)?shù)小于1％.η>1，表示是富有彈性的商品，即需求量變化的幅度大于價(jià)格變化的幅度；如某商品的價(jià)格在處上漲（下跌）1％，需求量減少（增加）的百分?jǐn)?shù)大于1％.η=1，表示是單位彈性商品，即價(jià)格變化幅度等于需求的變化幅度.需求彈性與總收益（市場(chǎng)銷(xiāo)售總額）的關(guān)系：設(shè)總收益函數(shù)R=PQ=Pf(P)邊際總收益：.下面對(duì)上式進(jìn)行分析：當(dāng)η<1時(shí)，需求量變化的幅度小于價(jià)格變化的幅度；此時(shí)>0,R增加.即價(jià)格上漲（下跌），總收益增加（減少）.當(dāng)η>1時(shí)，需求量變化的幅度大于價(jià)格變化的幅度；此時(shí)<0,R減少，即價(jià)格上漲（下跌）總收益減少（增加）.當(dāng)η=1時(shí)，需求量變化幅度等于價(jià)格的變化幅度，此時(shí)=0,R取得最大值.這個(gè)分析可以用下圖表示：ηη=1η<1η>1ηoR供給彈性：設(shè)供給函數(shù)，為供給彈性.收益彈性：設(shè)總收益函數(shù)R=R(p)，為收益彈性.典型例子解析：利用定義求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：判定在=0處是否可導(dǎo).解：求出函數(shù)在=0處的左右導(dǎo)數(shù)，進(jìn)行比較即可.設(shè)求a,b使得在=0,=1處可導(dǎo).解:根據(jù)函數(shù)可導(dǎo)與連續(xù)間的關(guān)系來(lái)確定a，b的值，由于在=0處可導(dǎo)，可導(dǎo)必然連續(xù)、連續(xù)一定極限存在.設(shè)解：利用導(dǎo)數(shù)定義以及等價(jià)無(wú)窮小的關(guān)系可以求得，不過(guò)需要對(duì)原式極限先進(jìn)行變形，再用導(dǎo)數(shù)定義.求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：.再利用復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則求導(dǎo)，設(shè)是由函數(shù)方程求以及在(0,0)處的法線方程以及切線方程.解：所給方程為隱式方程，求需要先對(duì)方程兩邊求導(dǎo)數(shù)，方程兩邊求導(dǎo)數(shù)得：計(jì)算由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)和二階導(dǎo)數(shù).解：兩個(gè)方程對(duì)t分別求導(dǎo)：設(shè)是由函數(shù)方程解:求微分，我們先求,方程兩邊同時(shí)對(duì)求導(dǎo)：.某工廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品，固定成本20000元，每生產(chǎn)一個(gè)單位產(chǎn)品，成本增加100元，已知總收益R是年產(chǎn)量Q的函數(shù)：?jiǎn)柲晟a(chǎn)多少產(chǎn)品時(shí)，總利潤(rùn)最大？此時(shí)總利潤(rùn)是多少？解：求利潤(rùn)函數(shù)需要有總收益、總成本函數(shù)，這里R(Q)已知，總成本函數(shù)C=C(Q)=20000+100Q,從而利潤(rùn)函數(shù)是:即當(dāng)年產(chǎn)量是300單位時(shí)總利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)是25000元.設(shè)某商品需求函數(shù)為，求:（1）需求彈性函數(shù)；（2）當(dāng)p=6,12,24時(shí)的需求彈性，并說(shuō)明其經(jīng)濟(jì)意義.從經(jīng)濟(jì)意義上講：當(dāng)在p=6處價(jià)格上漲（下跌）1％，需求量減少（增加）0.5％；p=12處價(jià)格上漲（下跌）1％，需求量減少（增加）1％，當(dāng)在p=24處價(jià)格上漲（下跌）1％，需求量減少（增加）2％.設(shè)某商品的需求函數(shù)為,(1)求需求彈性函數(shù)；（2）求p=6時(shí)的需求彈性，說(shuō)明其經(jīng)濟(jì)意義；（3）在p=6時(shí)若價(jià)格上漲1％，總收益是增加還是減少？將變化百分之幾？其經(jīng)濟(jì)意義是：當(dāng)價(jià)格在p=6處上漲(下降)1％，需求量將減少（增加）0.33％.這種商品缺乏彈性，因此當(dāng)P=6時(shí)價(jià)格上漲1％，總收益增加0.33％.某商品的需求函數(shù)為,當(dāng)P=4時(shí)的邊際需求，并說(shuō)明其經(jīng)濟(jì)意義.當(dāng)p=4時(shí)的需求彈性，并說(shuō)明其經(jīng)濟(jì)意義.當(dāng)p=4時(shí)若價(jià)格P上漲1％，總收益是增加還是減少？將變化百分之幾？當(dāng)p=6時(shí)若價(jià)格P上漲1％，總收益是增加還是減少？將變化百分之幾？當(dāng)P為何值時(shí)，總收益最大？,其經(jīng)濟(jì)意義是：當(dāng)價(jià)格從p=4上漲(或下跌)1個(gè)單位，需求減少(或增加)8個(gè)單位.,其經(jīng)濟(jì)意義是：當(dāng)價(jià)格從p=4上漲（下降）1％，需求減少（增加）0.54％.,當(dāng)價(jià)格從p=4上漲1％，總收益增加0.46％.，其經(jīng)濟(jì)意義：當(dāng)p從p=6上漲（下降）1％，需求減少（增加）1.8％.經(jīng)濟(jì)意義是：當(dāng)價(jià)格p從p=6上漲1％，總收益減少0.85％.本章習(xí)題全解：習(xí)題3—1現(xiàn)有一根細(xì)棒位于軸的閉區(qū)間[0,2]處，對(duì)于棒上任意一點(diǎn)，細(xì)棒分布在[0,]上的質(zhì)量為m(),用導(dǎo)數(shù)表示在點(diǎn)處的線密度（對(duì)均勻棒，單位長(zhǎng)度的質(zhì)量叫該棒的線密度）.解：①讓在處取得增量，從而質(zhì)量的增量為Δm=m-m.②平均質(zhì)量.③在處的質(zhì)量的變化率.當(dāng)物體的溫度高于周?chē)橘|(zhì)的溫度時(shí)，物體就不斷冷卻，若物體的溫度T與時(shí)間t的關(guān)系為T(mén)=f(t),用導(dǎo)數(shù)確定該物體在時(shí)刻t時(shí)冷卻速度.解：①溫度變化的增量.②平均變化速度.③溫度的瞬時(shí)變化速度就是物體在時(shí)刻t的冷卻速度.質(zhì)量為1g的某種金屬?gòu)募訜岬絋所吸收的熱量為Q=f(T),它從T升溫到

(T+ΔT)所需的熱量為ΔQ，稱為這種金屬?gòu)腡升溫到(T+ΔT)的平均比熱，用導(dǎo)數(shù)表示該金屬在T時(shí)的比熱.設(shè)，試按定義求下列各題中均假定存在，按照導(dǎo)數(shù)定義求下列極限，指出A表示什么？答：全部正確.求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：設(shè)函數(shù)可導(dǎo).且..如果為偶函數(shù)，且存在，證明=0.求曲線y=sin上點(diǎn)處切線方程和法線方程.求過(guò)點(diǎn)(2,0)的一條直線，使它與曲線相切.解：設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)是，切線方程是，解之得：.所以所求直線方程為：.討論下列函數(shù)在指定點(diǎn)處的連續(xù)性與可導(dǎo)性.設(shè)函數(shù)已知處連續(xù)，且.設(shè)函數(shù)解：根據(jù)連續(xù)性：設(shè)，其中在處連續(xù)，求.證明：雙曲線上任意一點(diǎn)處的切線與兩坐標(biāo)軸構(gòu)成的三角形的面積等于.習(xí)題3—2推導(dǎo)余切函數(shù)以及余割函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式：求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：求下列函數(shù)在給定點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)：求曲線的切線方程，使該切線平行于直線.求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：設(shè)函數(shù)可導(dǎo)，且，試求函數(shù)的導(dǎo)數(shù).設(shè)是可導(dǎo)函數(shù)，>0,求下列導(dǎo)數(shù)：求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：習(xí)題3—3求下列函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)：求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)值：試從.設(shè)f(u)二階可導(dǎo)，求.驗(yàn)證函數(shù)滿足關(guān)系式：.驗(yàn)證函數(shù)滿足關(guān)系式：.求下列函數(shù)的n階導(dǎo)數(shù)：求下列函數(shù)所指定階的導(dǎo)數(shù).；習(xí)題3—4求由下列方程所確定的隱函數(shù)y的導(dǎo)數(shù).；求由方程所確定的隱函數(shù)y在=0處的導(dǎo)數(shù).求由下列方程所確定的隱函數(shù)y的二階導(dǎo)數(shù).用對(duì)數(shù)求導(dǎo)法求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：寫(xiě)出下列曲線在所給參數(shù)值對(duì)應(yīng)的點(diǎn)處的切線方程和法線方程：在t=0處；求下列參數(shù)方程所確定的函數(shù)的一階、二階導(dǎo)數(shù)：習(xí)題3—5設(shè)函數(shù)，計(jì)算分別等于-0.1，0.01時(shí)的增量及微分.設(shè)函數(shù)的圖形如下,試在下面右邊(a),(b),(c),(d)四個(gè)圖形中分別標(biāo)出在處的、以及-，并說(shuō)明正負(fù).(a)圖中>0,>0,->0；(b)圖中>0,>0,-<0；(c)圖中<0,<0,-<0；(d)圖中<0,<0,->0.yyOyOyyOOΔy-dyΔyΔyΔyΔydydydydyΔy-dyΔy-dyΔy-dy(a)(b)(c)(d)求下列函數(shù)的微分dy：將適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)填入下列括號(hào)內(nèi)，使等式成立:(1).d（）=3d;(2).d（）=5d(3).d（）=sin2d;(3).d（）=d(5).d（）=;(6).d（）=.(7).d（）=;(8).d()=.用微分法求方程+y=arctan(-y)確定的函數(shù)的微分與導(dǎo)數(shù).解：方程兩邊對(duì)求導(dǎo)數(shù)：用微分法求參數(shù)方程確定的函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)和二階導(dǎo)數(shù).利用微分求近似值:當(dāng)||很小時(shí)，證明下列近似公式：設(shè)扇形的圓心角，半徑R=100cm,如果R不變，α減少，問(wèn)扇形面積大約改變多少？如果α不變，R增加1cm，問(wèn)扇形面積大約改變多少？解：扇形面積公式,一個(gè)正方體棱長(zhǎng)=10m，如果棱長(zhǎng)增加0.1m，求此正方體體積增加的精確值和近似值.解：正方體體積增加的精確值增加的近似值習(xí)題3—6求下列函數(shù)的邊際函數(shù)與彈性函數(shù)：設(shè)某商品的總收益R關(guān)于銷(xiāo)售量Q的函數(shù)為,求：銷(xiāo)售量為Q時(shí)總收入的邊際收入；銷(xiāo)售量Q=50個(gè)時(shí)總收入的邊際收入；銷(xiāo)售量Q=100個(gè)時(shí)總收入對(duì)Q的彈性.解：（1）;（2）；（3）某化工廠日產(chǎn)能力最高為1000噸，每日產(chǎn)品的總成本C(單位：元)是每日產(chǎn)量的函數(shù)

求當(dāng)日產(chǎn)量為100噸時(shí)的邊際成本；求當(dāng)日產(chǎn)量為100噸時(shí)的平均單位成本.某商品的價(jià)格P關(guān)于需求量Q的函數(shù)為,求：總收益函數(shù)、平均收益函數(shù)和邊際收益函數(shù)；當(dāng)Q=20個(gè)單位時(shí)的總收益、平均收益和邊際收益.某廠生產(chǎn)Q單位(單位：百件)產(chǎn)品的總成本C(單位：千元)是產(chǎn)量的函數(shù),如果每百件產(chǎn)品銷(xiāo)售價(jià)格為4萬(wàn)元，試寫(xiě)出利潤(rùn)函數(shù)以及邊際利潤(rùn)為零時(shí)的每周產(chǎn)量.解：總利潤(rùn)函數(shù),,

令.即邊際利潤(rùn)為零時(shí)的每周產(chǎn)量是1400件設(shè)巧克力糖每周的需求量Q(單位：kg)是價(jià)格P(單位：元)的函數(shù),求當(dāng)P=10元時(shí)，巧克力糖邊際需求量并說(shuō)明經(jīng)濟(jì)意義.證明：若都可導(dǎo)，則：設(shè)某商品的需求函數(shù),求：需求彈性函數(shù)P=3,5,6時(shí)的需求彈性，并說(shuō)明其經(jīng)濟(jì)意義.其經(jīng)濟(jì)意義：當(dāng)價(jià)格從P=3上漲（下跌）1％時(shí)，需求量減少（增加）0.6％.其經(jīng)濟(jì)意義：當(dāng)價(jià)格從P=5上漲（下跌）1％時(shí)，需求量減少（增加）1％.其經(jīng)濟(jì)意義：當(dāng)價(jià)格從P=6上漲（下跌）1％時(shí)，需求量減少（增加）1.2％.設(shè)某商品的需求函數(shù)Q=100-5P,其中Q,P分別表示需求量和價(jià)格.試分別求出需求彈性大于1，等于1的商品價(jià)格的取值范圍.某商品需求函數(shù)為,求需求彈性函數(shù)；求P=6時(shí)的需求彈性；在P=6時(shí)若價(jià)格上漲1％，總收益是增加還是減少？將變化百分之幾？即當(dāng)價(jià)格從P=6上漲1％，總收益是增加0.67％.設(shè)某商品的供給函數(shù)Q=4+5P，求供給彈性函數(shù)以及P=2時(shí)的供給彈性.設(shè)某商品的需求函數(shù)Q=Q(P),收益函數(shù)R=PQ,其中P為商品價(jià)格，Q為需求量(產(chǎn)量)，Q(P)為單調(diào)減少函數(shù)，如果當(dāng)價(jià)格為對(duì)應(yīng)產(chǎn)量為時(shí)，邊際收益，收益對(duì)價(jià)格的邊際收益為,需求對(duì)價(jià)格的彈性為，求和.某企業(yè)生產(chǎn)一種商品，年需求量是價(jià)格P的線性函數(shù).其中a,b均為正數(shù)，試求：需求彈性；需求彈性等于1時(shí)的價(jià)格.總復(fù)習(xí)題三在“充分”、“必要”和“充分必要”三者中選擇一個(gè)正確的填入下列空格中：在處可導(dǎo)是在處連續(xù)的充分條件，在處連續(xù)是在處可導(dǎo)的必要條件.在處的左導(dǎo)數(shù)以及右導(dǎo)數(shù)都存在且相等是在處可導(dǎo)的

充分必要條件.在處可導(dǎo)是在處可微的充分必要條件.設(shè)可導(dǎo)且下列各個(gè)極限均存在，則（A,C,D）成立.設(shè),求：確定a,b的值，使得在處可導(dǎo).設(shè)函數(shù)在=0處可導(dǎo)，且，又對(duì)任意有,求.求下列函數(shù)的，判斷是否存在.當(dāng)λ為何值時(shí).可使函數(shù)在處(1)連續(xù)但不可導(dǎo).(2)既連續(xù)又可導(dǎo).求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)和微分：設(shè)確定函數(shù)，已知求.解：方程兩邊同時(shí)對(duì)求導(dǎo)：解：方程兩邊同時(shí)對(duì)求導(dǎo)：求下列函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù):求下列由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)以及二階導(dǎo)數(shù).求曲線上一點(diǎn)坐標(biāo)，使在該點(diǎn)處的曲線的切線平行于直線.求下列函數(shù)的n階導(dǎo)數(shù):利用函數(shù)的微分代替函數(shù)的增量求的近似值.設(shè)某商品的成本函數(shù)和收入函數(shù)分別是，其中表示產(chǎn)品的產(chǎn)量，求：邊際成本函數(shù)、邊際收益函數(shù)、邊際利潤(rùn)函數(shù)；在生產(chǎn)并銷(xiāo)售25單位產(chǎn)品，第26個(gè)單位產(chǎn)品會(huì)有多少利潤(rùn)？某商品的需求量Q是價(jià)格P的函數(shù),求：當(dāng)P=6的邊際需求，并說(shuō)明其經(jīng)濟(jì)意義；當(dāng)P=6的需求彈性，并說(shuō)明其經(jīng)濟(jì)意義；當(dāng)P=6時(shí)，若價(jià)格下降2％，總收益變化百分之幾？是增加還是減少？其經(jīng)濟(jì)意義：當(dāng)價(jià)格從P=6上漲(或下跌)1％，需求量減少(或增加)1.85％.由于，商品時(shí)富有彈性商品，價(jià)格下降，總收益增加.若從P=6下降2％，總收益增加1.692％.考研真題精選(92.數(shù)四，3分)設(shè)(93,數(shù)四，3分)已知.（94，3分）設(shè)方程確定y是的函數(shù)，則.解：方程兩邊同時(shí)求導(dǎo)，得：(94,數(shù)四，7分)設(shè)函數(shù),證明：.(96,數(shù)四，3分)設(shè)方程確定的函數(shù)，則.解：方程兩邊同時(shí)取對(duì)數(shù)：(97,數(shù)四,3分)設(shè).(2003,數(shù)四,4分)設(shè)函數(shù)（A）A．充分必要條件；B．必要但不充分條件；C．充分但不必要條件；D．既不充分也不必要條件.(2003,數(shù)四,4分)已知曲線則表示為.解：由題意知：曲線在軸的切點(diǎn)處的切線斜率為0，，(2004,數(shù)三,四)（D）A.至少存在一點(diǎn).B.至少存在一點(diǎn).D.至少存在一點(diǎn).D.至少存在一點(diǎn).解：（A）對(duì)的理由：由題意可知，由極限的保號(hào)性知，在a的某一個(gè)右鄰域內(nèi)的任意點(diǎn)（B）正確的理由與（A）類(lèi)似；（C）對(duì)的理由：將看成在[a,b]內(nèi)的連續(xù)函數(shù)，則由零點(diǎn)定理，故選(D).（2004,數(shù)四,4分）設(shè).(2005,數(shù)四，4分)當(dāng)a取下列哪個(gè)值時(shí)，函數(shù)恰有兩個(gè)零點(diǎn)(B).(A).2,(B).4,(C).6(D).8(2006,數(shù)三,四,4分)設(shè)函數(shù)（C）(2008,數(shù)四,4分)已知函數(shù)點(diǎn)處的切線方程為.(92,數(shù)四,3分)設(shè)某商品的需求函數(shù)為,其中P、Q分別表示價(jià)格和需求量，如果商品需求彈性的絕對(duì)值大于1，則商品價(jià)格的取值范圍是（10，20）.解:由得：P>10，由需求函數(shù)>0得：10<P<20，故應(yīng)該填（10,20）.(95,數(shù)四，6分)設(shè)某產(chǎn)品的需求函數(shù)為Q=Q(P),收益函數(shù)R=PQ，其中P、Q為價(jià)格和需求量（產(chǎn)量），Q(P)為單調(diào)減少函數(shù)，如果當(dāng)價(jià)格為,對(duì)應(yīng)產(chǎn)量為時(shí)，邊際收益，收益對(duì)價(jià)格的邊際效應(yīng)，需求對(duì)價(jià)格的彈性.解:由收益函數(shù)R=PQ對(duì)Q求導(dǎo)有：(2002,數(shù)四,7分)設(shè)某商品需求量Q是價(jià)格P的單調(diào)減少函數(shù):Q=Q(P),其需求彈性設(shè)R為總收益函數(shù)，證明;求P=6時(shí)，總收益對(duì)價(jià)格的彈性，并說(shuō)明其經(jīng)濟(jì)意義.解：（1）R(P)=PQ(P),兩邊對(duì)P求導(dǎo)得：其經(jīng)濟(jì)意義：當(dāng)價(jià)格P從P=6上漲1﹪，總收益增加0.54﹪.(2004,數(shù)四，9分)設(shè)某商品的需求函數(shù)Q=100-5P，其中價(jià)格Q為需求量.(1).求需求量對(duì)價(jià)格的彈性；(2).推導(dǎo)，降價(jià)反而會(huì)使收益增加.解:綜合選出的題目看出：考生在復(fù)習(xí)中要把邊際與彈性在經(jīng)濟(jì)中的應(yīng)用作為重點(diǎn)進(jìn)行復(fù)習(xí).中值定理及導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用內(nèi)容提要：中值定理：羅爾中值定理：設(shè)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)，在開(kāi)區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，且，則在(a,b)內(nèi)至少存在一點(diǎn)，使.羅爾中值定理的幾何意義:如果曲線弧的方程是，除端點(diǎn)A、B外處處具有不垂直于軸的切線，且兩個(gè)端點(diǎn)A和B處的縱坐標(biāo)相等，那么曲線弧上至少存在一點(diǎn)C，在該點(diǎn)處曲線的切線平行于軸，如下圖（1）.對(duì)羅爾中值定理的條件作如下說(shuō)明：定理的條件缺一不可；定理的條件是充分但不必要條件.拉格朗日中值定理：設(shè)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)，在開(kāi)區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，則在(a,b)內(nèi)至少存在一點(diǎn)，使這個(gè)式子也叫拉格朗日中值公式.拉格朗日中值公式的另外兩種形式：由于a<<b,0<-b<b-a,,

;有限增值公式:設(shè)使得：或者.拉格朗日中值定理的幾何意義:如果曲線弧的方程是，除端點(diǎn)A、B外處處具有不垂直于軸的切線，那么曲線弧上至少存在一點(diǎn)C，在該點(diǎn)處曲線的切線平行于弦AB，如下圖（2）.ooyABCAByOC圖（1）圖（2）abab對(duì)拉格朗日中值定理的條件作如下說(shuō)明：定理的條件缺一不可；定理的條件是充分但不必要條件.討論：證明拉格朗日中值定理充分條件時(shí)所引進(jìn)的輔助函數(shù)：(1).一般講，常用的輔助函數(shù)為滿足羅爾中值定理的三個(gè)條件，這里從幾何上講，這個(gè)輔助函數(shù)就是弦AB上對(duì)應(yīng)橫坐標(biāo)為的點(diǎn)N和曲線弧上對(duì)應(yīng)橫坐標(biāo)為的點(diǎn)M兩點(diǎn)所成的有向線段的數(shù)量，如下圖(3).(2).如果將曲線弧向下平移，使得點(diǎn)與A’重合,(3).可從要證的式子AAB’yO圖（4）abMNf(b)-f(a)M’N’AByOC圖（3）abMNf(b)-f(a)A’B柯西中值定理：注意：柯西中值定理中曲線弧是由參數(shù)方程給出，證明中引入的輔助函數(shù)為:

ABABYOC圖（5）f()f(b)f(a)羅比達(dá)法則：設(shè)（1）（2）在a的某鄰域，（3），則這里取極限的條件是相同的，可以是等，這就是也可以是.注意：（1）利用羅比達(dá)法則，就是解決未定式的極限；（2）在利用羅比達(dá)法則求極限時(shí)，特別要注意商的分子、分母必須滿足定理中的三個(gè)條件；（3）另外有導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用：（1）.函數(shù)單調(diào)性的判定：（2）函數(shù)的極值：極值存在的必要條件：設(shè)判定極值的充分條件：利用一階導(dǎo)數(shù)的符號(hào)來(lái)判定為第一充分條件；利用二階導(dǎo)數(shù)的符號(hào)來(lái)判定為第二充分條件.（3）曲線的凹凸與拐點(diǎn)：設(shè)函數(shù)在區(qū)間I內(nèi)具有二階導(dǎo)數(shù)，如果在I內(nèi)，那么曲線在I內(nèi)是凹弧；如果在I內(nèi)，那么曲線在I內(nèi)是凸弧.拐點(diǎn)：連續(xù)曲線上凹弧和凸弧的分界點(diǎn)稱為拐點(diǎn).注意：拐點(diǎn)的定義中，曲線弧是連續(xù)的，“連續(xù)”二字不能丟.（4）函數(shù)圖像的描繪：會(huì)判定函數(shù)的單調(diào)性，會(huì)求函數(shù)的極值，會(huì)判定函數(shù)的凹凸及會(huì)求函數(shù)的拐點(diǎn)，這樣就可以描繪函數(shù)的圖形，另外還要會(huì)確定函數(shù)的漸近線.函數(shù)的最值的求法：我們知道閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)一定有最大值和最小值，如果要求最值，先求函數(shù)在閉區(qū)間上的一切駐點(diǎn)，再求函數(shù)在駐點(diǎn)、一階導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)、兩個(gè)端點(diǎn)處的函數(shù)值，然后將這些值進(jìn)行比較，哪個(gè)最大那個(gè)就是最大值，哪個(gè)最小那個(gè)就是最小值.如果閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有唯一駐點(diǎn)，可以肯定這個(gè)駐點(diǎn)一定是最值點(diǎn).導(dǎo)數(shù)在經(jīng)濟(jì)學(xué)中的應(yīng)用：在經(jīng)濟(jì)學(xué)中我們可以求最大銷(xiāo)售量、最大收益、最大利潤(rùn)、最大稅收以及經(jīng)濟(jì)批量等問(wèn)題.泰勒公式：要求學(xué)生了解泰勒公式的內(nèi)涵即可.泰勒中值定理：如果函數(shù)的某個(gè)開(kāi)區(qū)間(a,b)內(nèi)具有直到(n+1)階導(dǎo)數(shù)，則當(dāng)在(a,b)內(nèi)時(shí)，這里式子叫泰勒公式.有了泰勒公式我們就可以把一些較為復(fù)雜的函數(shù)轉(zhuǎn)化成多項(xiàng)式函數(shù)進(jìn)行研究，把問(wèn)題簡(jiǎn)單化.典型例子解析:列舉一個(gè)函數(shù)滿足在[a,b]上連續(xù)，在(a,b)內(nèi)除一點(diǎn)外處處可導(dǎo)，但在(a,b)內(nèi)不存在，使

驗(yàn)證函數(shù)上滿足羅爾定理的條件，并求相應(yīng)的中間值.解：初等函數(shù)上連續(xù)、可導(dǎo)，

，由此可知上滿足羅爾定理的條件,若方程證明方程：

必有一個(gè)小于的正根.證明方程只有一個(gè)根.設(shè)在[0,a]上連續(xù)，(0,a)內(nèi)可導(dǎo)，且,證明存在一點(diǎn)，使：在區(qū)間[a,b]上對(duì)二次多項(xiàng)式，驗(yàn)證拉格朗日中值定理的正確性，并求出中值公式中的，最后做出幾何解釋.解：因?yàn)槭嵌囗?xiàng)式函數(shù)，所以在[a,b]上連續(xù)，(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，在[a,b]上滿足拉格朗日中值定理的條件，.幾何解釋?zhuān)涸O(shè)[a,b]上的二次拋物線為，它在區(qū)間[a,b]中點(diǎn)處的切線平行于連接曲線兩端點(diǎn)的弦.設(shè)，證明在(a,b)內(nèi)至少存在一點(diǎn)，使得：證明：在[a,b]上考慮函數(shù)：由拉格朗日中值定理，，使得，于是得到：設(shè).，有由于因而單調(diào)減少，由于設(shè)函數(shù)在[a,b]上連續(xù)，

對(duì)函數(shù)求下列極限：驗(yàn)證極限存在，但是不能由羅比達(dá)法則得出，為什么？討論函數(shù)在處的連續(xù)性.關(guān)于函數(shù)的單調(diào)性、極值、凹凸性及拐點(diǎn)，還可以通過(guò)作圖來(lái)掌握.作出函數(shù)的圖像.解:（1）函數(shù)的定義域?yàn)椋跃哂兴綕u近線鉛直漸近線.（2），令不存在的點(diǎn)；（3）用將定義域分割為幾個(gè)區(qū)間

(-1,1),.（4）列表在各個(gè)區(qū)間上討論函數(shù)的單調(diào)性、極值、曲線的凹凸性及拐點(diǎn)如下：(-∞,-2)-2(-2,-1)-1(-1,1)1(1,+∞)↘凸拐點(diǎn)↘凹極小值↗凹不存在↘凹———0+不存在——0+++不存在+（5）函數(shù)和兩個(gè)坐標(biāo)軸的交點(diǎn)是原點(diǎn)(0,0).Oy1Oy1設(shè)生產(chǎn)某產(chǎn)品每日固定成本為10000元，可變成本與產(chǎn)品的產(chǎn)量(單位：噸)的立方成正比，又知當(dāng)日產(chǎn)量為20噸，總成本為10040元，問(wèn)日產(chǎn)量是多少噸時(shí)，才能使每噸成本最低？解：依題意總成本函數(shù)得：，于是，平均成本，，由題意函數(shù)一定有最小值，所以該點(diǎn)一定是最小值點(diǎn)，即日產(chǎn)量為100噸時(shí)，每噸成本最低.某廠試制一種電冰箱，總成本函數(shù)為(單位：百元),已知需求函數(shù)為(p為每臺(tái)電冰箱的價(jià)格，單位：百元).問(wèn)生產(chǎn)多少臺(tái)時(shí)利潤(rùn)最大？此時(shí)每臺(tái)電冰箱的價(jià)格是多少？解：由需求函數(shù)得：，由于為唯一極值點(diǎn)，根據(jù)題意函數(shù)一定有最大值。所以這個(gè)極值點(diǎn)一定是最大值點(diǎn)，即產(chǎn)量近似為30臺(tái)時(shí)利潤(rùn)最大，此時(shí)價(jià)格.所以生產(chǎn)30臺(tái)時(shí)，利潤(rùn)最大，此時(shí)每臺(tái)價(jià)格為1500元.本章習(xí)題全解習(xí)題4—1驗(yàn)證下列各題，確定的值：對(duì)函數(shù).對(duì)函數(shù)對(duì)函數(shù).證明下列不等式：（1）當(dāng)a>b>0時(shí)，.（2）當(dāng)a>b>0時(shí)，.（1）當(dāng)a>b>0時(shí)，.（2）當(dāng)a>b>0時(shí)，.（3）（4）當(dāng)..證明恒等式.證明方程有且僅有一個(gè)正實(shí)根.不求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，判斷方程的實(shí)數(shù)根的個(gè)數(shù).解：依題意方程有四個(gè)根，而函數(shù)在R上連續(xù)、可導(dǎo)，所以一定有三個(gè)極值點(diǎn)，即有三個(gè)根，函數(shù)也是多項(xiàng)式函數(shù)，在R內(nèi)連續(xù)可導(dǎo)，其圖像和軸有三個(gè)交點(diǎn)，一定有兩個(gè)極值點(diǎn)，也就是有兩個(gè)根.若函數(shù)在內(nèi)滿足關(guān)系式.習(xí)題4—2用羅比達(dá)法則求下列各極限：驗(yàn)證極限存在但不能用羅比達(dá)法則求出.習(xí)題4—3確定下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間：內(nèi)列表討論函數(shù)的單調(diào)性：(-∞,-1)-1(-1,3)3(3,+∞)+——0+y↗極大值17↘極小值-101↗所以函數(shù)的單調(diào)增加區(qū)間為(-∞,-1)、(3,+∞)，單調(diào)減少區(qū)間為(-1,3).列表表示函數(shù)的單調(diào)區(qū)間：(-∞,-2)-2(-2,0)0(0,+∞)+0—0+↗極大值↘極小值0↗函數(shù)單調(diào)增加區(qū)間是(-∞,-2)、(0,+∞)，單調(diào)減少區(qū)間是(-2,0).列表討論如下：1(1,+∞)+0—0+↗極大值↘極小值↗∴、(1,+∞)為函數(shù)的單調(diào)增加區(qū)間，為函數(shù)單調(diào)減少區(qū)間.∴為函數(shù)的單調(diào)增加區(qū)間，

（k∈Z）為函數(shù)單調(diào)減少區(qū)間.證明下列不等式：討論下列方程根的情況：求下列函數(shù)的極值：1—0+↘極小值y=4↗即.(也可以利用)注：（1）在求函數(shù)極值時(shí)，首先考慮用第二充分條件（即使用二階導(dǎo)數(shù)的符號(hào)）來(lái)判斷，若，再考慮用第一充分條件（即一階導(dǎo)數(shù)的符號(hào)）來(lái)判斷，這樣可能簡(jiǎn)便一些；（2）在討論函數(shù)的極值時(shí)，不要忘記討論一階導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn).求下列曲線的凹凸區(qū)間和拐點(diǎn)：2—0+凸拐點(diǎn)(2,-10)凹2—0+凸拐點(diǎn)凹-1(-1,1)1—0+0—凸拐點(diǎn)凹拐點(diǎn)凸注：有的教材稱函數(shù)的凹凸，有的教材函數(shù)圖像的凹凸，這兩種叫法都可以.利用函數(shù)圖形的凹凸性證明下列不等式：解下列各題：描繪下列函數(shù)圖像：-2(-2,-1)-1(-1,1)1—0++0+++0—0+↘凹極小值y=-24↗凹拐點(diǎn)

(-1,-13)↘凸拐點(diǎn)

(1,3)↗凹無(wú)水平、鉛直、斜漸近線.畫(huà)出函數(shù)圖像如右圖1：(-∞,)-101——0++0———0++0——0+↘凸拐點(diǎn)

↘凹極小值

↗凹拐點(diǎn)↗凸極大值

↘凸拐點(diǎn)

↘凹描出函數(shù)圖像如圖2：-1++0——+0——0+↗凹拐點(diǎn)

↗凸極大值

↘凸拐點(diǎn)↘凹描出函數(shù)圖像如圖3-10———0++0—++↘凹拐點(diǎn)(-1,0)↘凸↘凹極小值

↗凹描出函數(shù)圖像如上圖4：注：在求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、極值、函數(shù)的凹凸、拐點(diǎn)及函數(shù)圖形的漸近線時(shí)，只要認(rèn)真地描繪一兩個(gè)函數(shù)的圖像，問(wèn)題就可以解決，這樣可以節(jié)省很多時(shí)間.習(xí)題4—4求下列函數(shù)的最大值和最小值：討論下列函數(shù)的最大值、最小值：求下列經(jīng)濟(jì)問(wèn)題中的最大值和最小值：（1）假設(shè)某種商品的需求量Q是單價(jià)P的函數(shù)Q=12000-80P,商品的總成本C是需求量的函數(shù)C=25000+50Q,每單位商品需納稅2，試求使銷(xiāo)售利潤(rùn)最大的商品價(jià)格及最大利潤(rùn).解:總收入函數(shù)成本函數(shù)C(P)=25000+50(12000-80P),納稅:T(P)=2Q=24000-160P（2）設(shè)價(jià)格函數(shù);（3）某工廠生產(chǎn)某種商品，其中銷(xiāo)售量為100萬(wàn)件，分N批生產(chǎn)，每一批生產(chǎn)需要增加準(zhǔn)備費(fèi)1000元，而每件商品的一年庫(kù)存量為0.05元，如果年銷(xiāo)售率是均勻的，且上批銷(xiāo)售完后立即生產(chǎn)出下一批（此時(shí)商品庫(kù)存量的平均值是商品批量的一半），問(wèn)N為何值時(shí)，才能使生產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi)與庫(kù)存費(fèi)兩項(xiàng)之和最小？（4）設(shè)某企業(yè)在生產(chǎn)一種產(chǎn)品件時(shí)的總收益總成本函數(shù)：，問(wèn)政府對(duì)每件商品征收稅費(fèi)為多少時(shí)在企業(yè)獲取最大利潤(rùn)情況下，總稅額最大？解:（1）設(shè)每件產(chǎn)品征收稅費(fèi)t個(gè)貨幣單位，總稅費(fèi)為（2）取得最大利潤(rùn)時(shí)的稅收：（5）設(shè)生產(chǎn)某商品的總成本為，問(wèn)產(chǎn)量為多少時(shí)每件產(chǎn)品的平均成本最低？注：在應(yīng)用問(wèn)題中，求函數(shù)的最值，如果函數(shù)在定義區(qū)間內(nèi)有唯一的駐點(diǎn)，且根據(jù)實(shí)際意義函數(shù)最值一定存在，可以肯定駐點(diǎn)一定是極值點(diǎn)、也可以肯定極值點(diǎn)一定為所求的最值點(diǎn).習(xí)題4—5按照的乘冪展開(kāi)多項(xiàng)式：應(yīng)用麥克勞林公式按照的冪展開(kāi)函數(shù)：.解：求函數(shù)的二階麥克勞林公式.求函數(shù)的n階麥克勞林公式.應(yīng)用三階泰勒公式計(jì)算下列各函數(shù)的近似值，并估計(jì)誤差：總復(fù)習(xí)題四求下列極限：證明下列不等式：討論下列方程的根：用中值定理證明下列各題：求下列函數(shù)的極值和最值：寫(xiě)出處的n階泰勒公式（n>3）.其中求下列經(jīng)濟(jì)應(yīng)用問(wèn)題的最大值、最小值：（1）某商場(chǎng)一年內(nèi)要分批