2024屆贛湘粵三省六校數(shù)學(xué)高二上期末經(jīng)典試題注意事項1．考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請務(wù)必將自己的姓名、準考證號用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請認真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準考證號與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應(yīng)選項的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．若不等式在上有解，則的最小值是（）A.0 B.-2C. D.2．下列函數(shù)是偶函數(shù)且在上是減函數(shù)的是A. B.C. D.3．若復(fù)數(shù)滿足，則復(fù)數(shù)對應(yīng)的點的軌跡圍成圖形的面積等于（）A. B.C. D.4．已知空間中四點，，，，則點D到平面ABC的距離為（）A. B.C. D.05．已知三棱錐O-ABC，點M，N分別為AB，OC的中點，且，用表示，則等于（）A. B.C. D.6．某程序框圖如圖所示，該程序運行后輸出的k的值是A.3 B.4C.5 D.67．圓截直線所得弦的最短長度為（）A.2 B.C. D.48．已知直線與拋物線C：相交于A，B兩點，O為坐標原點，，的斜率分別為，，則（）A. B.C. D.9．函數(shù)有兩個不同的零點，則實數(shù)的取值范圍是（）A. B.C. D.10．若橢圓的弦恰好被點平分，則所在的直線方程為（）A. B.C. D.11．已知直線與圓交于兩點，過分別作的垂線與軸交于兩點，則A.2 B.3C. D.412．已知向量，，且與互相垂直，則k的值是（）.A.1 B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．定義在R上的函數(shù)滿足，其中為自然對數(shù)的底數(shù)，，則滿足的a的取值范圍是__________.14．若方程表示焦點在y軸上的雙曲線，則實數(shù)k的取值范圍是______15．已知直線l：和圓C：，過直線l上一點P作圓C的一條切線，切點為A，則的最小值為______16．從某校隨機抽取某次數(shù)學(xué)考試100分以上（含100分，滿分150分）的學(xué)生成績，將他們的分數(shù)數(shù)據(jù)繪制成如圖所示頻率分布直方圖．若共抽取了100名學(xué)生的成績，則分數(shù)在內(nèi)的人數(shù)為___________三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）設(shè)等差數(shù)列的前項和為（1）求的通項公式；（2）求數(shù)列的前項和18．（12分）在等差數(shù)列{an}中，a3＋a4＝15，a2a5＝54，公差d<0.(1)求數(shù)列{an}的通項公式an；(2)求數(shù)列的前n項和Sn的最大值及相應(yīng)的n值19．（12分）已知拋物線C：（）的焦點為F，原點O關(guān)于點F的對稱點為Q，點關(guān)于點Q的對稱點，也在拋物線C上（1）求p的值；（2）設(shè)直線l交拋物線C于不同兩點A、B，直線、與拋物線C的另一個交點分別為M、N，，，且，求直線l的橫截距的最大值.20．（12分）已知數(shù)列的前n項積，數(shù)列為等差數(shù)列，且，（1）求與的通項公式；（2）若，求數(shù)列的前n項和21．（12分）某種機械設(shè)備隨著使用年限的增加，它的使用功能逐漸減退，使用價值逐年減少，通常把它使用價值逐年減少的“量”換算成費用，稱之為“失效費”．某種機械設(shè)備的使用年限（單位：年）與失效費（單位：萬元）的統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下表所示：使用年限（單位：年）1234567失效費（單位：萬元）2.903.303.604.404.805.205.90（1）由上表數(shù)據(jù)可知，可用線性回歸模型擬合與關(guān)系．請用相關(guān)系數(shù)加以說明；（精確到0.01）（2）求出關(guān)于的線性回歸方程，并估算該種機械設(shè)備使用8年的失效費參考公式：相關(guān)系數(shù)線性回歸方程中斜率和截距最小二乘估計計算公式：，參考數(shù)據(jù)：，，22．（10分）如下圖，已知點是離心率為的橢圓：上的一點，斜率為的直線交橢圓于、兩點，且、、三點互不重合（1）求橢圓的方程；（2）求證：直線，的斜率之和為定值

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】將題設(shè)條件轉(zhuǎn)化為在上有解,然后求出的最大值即可得解.【詳解】不等式在上有解,即為在上有解,設(shè),則在上單調(diào)遞減,所以,所以,即,故選:D.【點睛】本題主要考查二次不等式能成立問題,可以選擇分離參數(shù)轉(zhuǎn)化為最值問題,也可以進行分情況討論.2、C【解析】根據(jù)題意，依次分析選項中函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性，綜合即可得答案【詳解】根據(jù)題意，依次分析選項：對于A，為一次函數(shù)，不是偶函數(shù)，不符合題意；對于B，，，為奇函數(shù)，不是偶函數(shù)，不符合題意；對于C，，為二次函數(shù)，是偶函數(shù)且在上是減函數(shù)，符合題意；對于D，，，為奇函數(shù)，不是偶函數(shù)，不符合題意；故選C【點睛】本題考查函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性的判定，關(guān)鍵是掌握常見函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性，屬于基礎(chǔ)題3、D【解析】利用復(fù)數(shù)的幾何意義，即可判斷軌跡圖形，再求面積.【詳解】復(fù)數(shù)滿足，表示復(fù)數(shù)對應(yīng)的點的軌跡是以點為圓心，半徑為3的圓，所以圍成圖形的面積等于.故選：D4、C【解析】根據(jù)題意，求得平面的一個法向量，結(jié)合距離公式，即可求解.【詳解】由題意，空間中四點，，，，可得，設(shè)平面的法向量為，則，令，可得，所以，所以點D到平面ABC的距離為.故選：C.5、D【解析】根據(jù)空間向量的加法、減法和數(shù)乘運算可得結(jié)果.【詳解】.故選：D6、B【解析】循環(huán)體第一次運行后；第二次運行后；第三次運行后，第四次運行后；循環(huán)結(jié)束，輸出值為4，答案選B考點：程序框圖的功能7、A【解析】由題知直線過定點，且在圓內(nèi)，進而求解最值即可.【詳解】解：將直線化為，所以聯(lián)立方程得所以直線過定點將化為標準方程得，即圓心為，半徑為，由于，所以點在圓內(nèi)，所以點與圓圓心間的距離為，所以圓截直線所得弦的最短長度為故選：A8、C【解析】設(shè)，，由消得：，又，由韋達定理代入計算即可得答案.【詳解】設(shè)，，由消得：，所以，故.故選：C【點睛】本題主要考查了直線與拋物線的位置關(guān)系，直線的斜率公式，考查了轉(zhuǎn)化與化歸的思想，考查了學(xué)生的運算求解能力.9、B【解析】方程有兩個根，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的單調(diào)性與極值【詳解】函數(shù)定義域是，有兩個零點，即有兩個不等實根，即有兩個不等實根設(shè)，則，時，，遞減，時，，遞增，極小值＝，而時，，時，，所以故選：B10、D【解析】判斷點M與橢圓的位置關(guān)系，再借助點差法求出直線AB的斜率即可計算作答.【詳解】顯然點橢圓內(nèi)，設(shè)點，依題意，，兩式相減得：，而弦恰好被點平分，即，則直線AB的斜率，直線AB：，即，所以所在的直線方程為.故選：D11、D【解析】由題意，圓心到直線的距離，∴，∵直線∴直線的傾斜角為，∵過分別作的垂線與軸交于兩點，∴，故選D.12、D【解析】利用向量的數(shù)量積為0可求的值.【詳解】因與互相垂直，故，故即，故.故選：D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】設(shè)，求出其導(dǎo)數(shù)結(jié)合條件得出在上單調(diào)遞減，將問題轉(zhuǎn)化為求解，由的單調(diào)性可得答案.【詳解】設(shè)，則由，則所以在上單調(diào)遞減.又由，即，即，所以故答案為：14、【解析】由題可得，即求.【詳解】因為方程表示焦點在軸上的雙曲線，則，解得.故答案為：.15、1【解析】求出圓C的圓心坐標、半徑，再借助圓的切線性質(zhì)及勾股定理列式計算作答.【詳解】圓C：，圓心為，半徑，點C到直線l的距離，由圓的切線性質(zhì)知：，當(dāng)且僅當(dāng)，即點P是過點C作直線l的垂線的垂足時取“=”，所以的最小值為1故答案為：116、30【解析】根據(jù)頻率分布直方圖中所以小矩形面積和為1，可得a值，根據(jù)總?cè)藬?shù)和頻率，即可得答案.【詳解】因為頻率分布直方圖中所以小矩形面積和為1，所以，解得，所以分數(shù)在內(nèi)的人數(shù)為.故答案為：30三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）.【解析】（1）根據(jù)等差數(shù)列前n項和求和公式求出首項和公差，進而求出通項公式；（2）結(jié)合（1）求出，再令得出數(shù)列的正數(shù)項和負數(shù)項，進而結(jié)合等差數(shù)列求和公式求得答案.【小問1詳解】設(shè)等差數(shù)列的首項和公差分別為和，∴，解得：所以.【小問2詳解】，所以.當(dāng)；當(dāng)，當(dāng)，時，，當(dāng)時，.綜上：.18、（1）；（2）當(dāng)或11時，最大值為55.【解析】（1）根據(jù)等差數(shù)列的通項公式得方程組，解這個方程組得公差和首項，從而得數(shù)列的通項公式n.（2）等差數(shù)列的前項和是關(guān)于的二次式，將這個二次式配方即可得最大值.【詳解】（1）由題設(shè)，故（舍，此時）或.故，故.（2）由（1）可得，因為，對稱方程為，故當(dāng)或時，取最大值，此時最大值為.19、（1）；（2）最大橫截距為.【解析】（1）首先寫出的坐標，根據(jù)對稱關(guān)系求出的坐標，帶入即可求出.（2）設(shè)直線l的方程為，帶入拋物線方程利用韋達定理，計算出直線l的橫截距的表達式從而求出其最大值.【詳解】（1）由題知，，故，代入C的方程得，∴；（2）設(shè)直線l的方程為，與拋物線C：聯(lián)立得，由題知，可設(shè)方程兩根為，，則，，（*）由得，∴，，又點M在拋物線C上，∴，化簡得，由題知M，A為不同兩點，故，，即，同理可得，∴，將（*）式代入得，即，將其代入解得，∴在時取得最大值，即直線l的最大橫截距為.20、（1），.（2）.【解析】（1）由已知得，，兩式相除得，由已知得，求得數(shù)列的公差為，由等差數(shù)列的通項公式可求得；（2）運用錯位相減法可求得.【小問1詳解】解：因為數(shù)列的前n項積，所以，所以，兩式相除得，因為數(shù)列為等差數(shù)列，且，，所以，即，所以數(shù)列的公差為，所以，所以，【小問2詳解】解：由（1）得，所以，，所以，所以.21、（1）答案見解析；（2）；失效費為6.3萬元【解析】（1）根據(jù)相關(guān)系數(shù)公式計算出相關(guān)系數(shù)可得結(jié)果；（2）根據(jù)公式求出和可得關(guān)于的線性回歸方程，再代入可求出結(jié)果.【詳解】（1）由題意，知，，∴結(jié)合參考數(shù)據(jù)知：因為與的相關(guān)系數(shù)近似為0.99，所以與的線性相關(guān)程度相當(dāng)大，從而可以用線性回歸模型擬合與的關(guān)系（2）∵，∴∴關(guān)于的線性回歸方程為，將代入線性回歸方程得萬元，∴估算該種機械設(shè)備使用8年的失效費為6.3萬元22、（1）；（2）證明見解析.【解析】（1）根據(jù)離心率為可得，把代入方程可得，又，解方程組即可求得方程；（2）設(shè)直線的方程為，整理方程組，求得，及參數(shù)的范圍，由斜率公式表示出，結(jié)合直線方程和韋達定理整理即可得到定值.試題解析：（1）由題意，可得，代入得，又，解得，，所以橢圓的方程為.（2）證明：設(shè)直線的方程為，又，，三