2022-2023學(xué)年安徽省亳州市蒙城二中九年級(jí)（上）期中數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（本大題共10小題，共40分。在每小題列出的選項(xiàng)中，選出符合題目的一項(xiàng)）1．（4分）將拋物線y＝（x+1）2向右平移3個(gè)單位，再向上平移1個(gè)單位，則平移后拋物線的解析式是（）A．y＝（x+4）2+1 B．y＝（x+4）2﹣1 C．y＝（x﹣2）2﹣1 D．y＝（x﹣2）2+12．（4分）若二次函數(shù)y＝（m+1）x2﹣mx+m2﹣2m﹣3的圖象經(jīng)過原點(diǎn)，則m的值必為（）A．﹣1或3 B．﹣1 C．3 D．﹣3或13．（4分）在Rt△ACB中，∠C＝90°，，則sinB的值為（）A． B． C． D．4．（4分）下列計(jì)算錯(cuò)誤的個(gè)數(shù)是（）①sin60°﹣sin30°＝sin30°      ②sin245°+cos245°＝1③（tan60°）2＝              ④tan30°＝A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)5．（4分）若sinα＞cosα，則銳角α的取值范圍是（）A．0°＜α＜45° B．30°＜α＜45° C．45°＜α＜60° D．45°＜α＜90°6．（4分）如圖，AD，BC相交于點(diǎn)O，CD＝2，則△ABO與△DCO的面積之比為（）A．1：2 B．1：4 C．2：1 D．4：17．（4分）如圖，主持人主持節(jié)目時(shí)，站在舞臺(tái)的黃金分割點(diǎn)處最自然得體．如果舞臺(tái)AB的長(zhǎng)為10米，則她至少走多少米才最理想（）A． B． C． D．或8．（4分）為測(cè)量某地溫度變化情況，記錄了一段時(shí)間的溫度．一段時(shí)間內(nèi)，溫度y（單位：℃）（單位：h）的函數(shù)關(guān)系滿足y＝﹣t2+12t+2，當(dāng)4≤t≤8時(shí)，該地區(qū)的最高溫度是（）A．38℃ B．37℃ C．36℃ D．34℃9．（4分）已知，將△ABC沿AD折疊，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)B'落在邊AC上（如圖a），點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為A'，折痕為EF（如圖b），則陰影部分展開后的形狀為（）A．等腰三角形 B．矩形 C．菱形 D．正方形10．（4分）若二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象的頂點(diǎn)在第一象限，且過點(diǎn)（0，1）和（﹣1，0），則s＝a+b+c的值的變化范圍是（）A．0＜s＜1 B．0＜s＜2 C．1＜s＜2 D．﹣1＜s＜2二、填空題（本大題共4小題，共20分）11．（5分）二次函數(shù)y＝x2﹣4x+3，當(dāng)﹣1≤x≤4時(shí)，y的取值范圍為．12．（5分）已知tan（α+15°）＝，則tanα的值為．13．（5分）若二次函數(shù)y＝（m+1）x2+m2﹣9有最小值，且圖象經(jīng)過原點(diǎn)，則m＝．14．（5分）如圖，四邊形ABCD和四邊形AEFG都是正方形，點(diǎn)C、F、G在一條直線上（1）若DM＝1，CM＝2，則正方形AEFG的面積是；（2）直接寫出＝．三、（本大題共2小題，共16分）15．（8分）計(jì)算題（1）；（2）．16．（8分）如圖，圖中的小方格是邊長(zhǎng)為1的正方形，△ABC與△A′B′C′是關(guān)于點(diǎn)O為位似中心的位似圖形（1）畫出位似中心點(diǎn)O；（2）求出△ABC與△A′B′C′的位似比；（3）以點(diǎn)O為位似中心，在圖中畫一個(gè)△A2B2C2，使它與△ABC的位似比等于3：2．四、（本大題共4小題，共16分）17．（8分）如圖，在某居民樓AB樓頂懸掛“大國(guó)點(diǎn)名，沒你不行”的橫幅BC，斜坡DE的坡度i＝1：2.4，DE＝26m，在坡頂E點(diǎn)處測(cè)得居民樓樓頂廣告牌上端C點(diǎn)的仰角為27°（居民樓AB，橫幅BC與斜坡DE的剖面在同一平面內(nèi)），則廣告牌BC的高度約為多少？（結(jié)果精確到0.1，參考數(shù)據(jù)：sin27°≈0.45，cos27°≈0.89，tan27°≈0.51）18．（8分）如圖，在△ABC中，AB＝AC，把∠B折疊，使點(diǎn)B落在AC上的點(diǎn)B′處，記∠CDB′＝α．（1）當(dāng)＝1時(shí)，tanα＝；（2）當(dāng)＝2時(shí)，tanα＝；（3）當(dāng)＝3時(shí)，tanα＝；（4）猜想：當(dāng)＝n時(shí)，tanα＝，并證明你的結(jié)論．19．（10分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)y＝k1x+b與反比例函數(shù)y＝的圖象交于A（1，6）、B（a，3）（1）求一次函數(shù)y＝k1x+b與反比例函數(shù)y＝的解析式；（2）如圖，點(diǎn)D在x軸上，四邊形OBCD中，OB與DC不平行，OB＝DC，CE和反比例函數(shù)的圖象交于點(diǎn)P，當(dāng)四邊形OBCD的面積為18時(shí)，PE：PC的值為．20．（10分）已知：如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，垂足為點(diǎn)H．點(diǎn)D在邊BC上，聯(lián)結(jié)AD，且CE＝CD．（1）求證：△ACE∽△ABD；（2）求證：△ACD的面積是△ACE的面積與△ABD的面積的比例中項(xiàng)．六、（本大題共3小題，共12分）21．（12分）如圖，△ABC中，∠C＝90°，D為邊BC上一動(dòng)點(diǎn)（不與B、C重合），BD和AD的垂直平分線交于點(diǎn)E，ED與AB相交于點(diǎn)F，設(shè)∠BAE＝α．（1）請(qǐng)用含α的代數(shù)式表示∠BED的度數(shù)；（2）求證：△ACB∽△AED；（3）若α＝30°，求的值．22．（12分）已知，如圖，AB∥DC（1）求證：△ABD∽△BDC；（2）若AE平分∠DAB，BF平分∠DBC，且BF＝2AE，S△ABD＝3，求S△BDC．23．（14分）如圖，在矩形ABCD中，AB＝4，P是射線BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作PE⊥AP，射線AE交射線BC于點(diǎn)F，設(shè)BP＝a．（1）當(dāng)點(diǎn)P在線段BC上時(shí)（點(diǎn)P與點(diǎn)B，C都不重合），試用含a的代數(shù)式表示CE；（2）當(dāng)a＝3時(shí)，連接DF，試判斷四邊形APFD的形狀；（3）當(dāng)tan∠PAE＝時(shí)，求a的值．

2022-2023學(xué)年安徽省亳州市蒙城二中九年級(jí)（上）期中數(shù)學(xué)試卷參考答案與試題解析一、選擇題（本大題共10小題，共40分。在每小題列出的選項(xiàng)中，選出符合題目的一項(xiàng)）1．（4分）將拋物線y＝（x+1）2向右平移3個(gè)單位，再向上平移1個(gè)單位，則平移后拋物線的解析式是（）A．y＝（x+4）2+1 B．y＝（x+4）2﹣1 C．y＝（x﹣2）2﹣1 D．y＝（x﹣2）2+1【分析】根據(jù)圖象的平移規(guī)律：左加右減，上加下減，可得答案．【解答】解：將拋物線y＝（x+1）2向右平移2個(gè)單位，再向上平移1個(gè)單位2+8，即y＝（x﹣2）2+5，故選：D．【點(diǎn)評(píng)】主要考查了函數(shù)圖象的平移，要求熟練掌握平移的規(guī)律：左加右減，上加下減．并用規(guī)律求函數(shù)解析式．2．（4分）若二次函數(shù)y＝（m+1）x2﹣mx+m2﹣2m﹣3的圖象經(jīng)過原點(diǎn)，則m的值必為（）A．﹣1或3 B．﹣1 C．3 D．﹣3或1【分析】將原點(diǎn)坐標(biāo)代入二次函數(shù)y＝（m+1）x2﹣mx+m2﹣2m﹣3中即可求出m的值，注意二次函數(shù)的二次項(xiàng)系數(shù)不為零．【解答】解：根據(jù)題意得m2﹣2m﹣2＝0，所以m＝﹣1或m＝8，又因?yàn)槎魏瘮?shù)的二次項(xiàng)系數(shù)不為零，即m+1≠0，所以m＝4．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，解題時(shí)注意分析，注意理解題意．3．（4分）在Rt△ACB中，∠C＝90°，，則sinB的值為（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義進(jìn)行計(jì)算即可．【解答】解：設(shè)Rt△ACB中，∠C＝90°、∠B、b、c，由于tanA＝＝2，可設(shè)a＝3k，b＝k，c＝＝5k，∴sinB＝＝，故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查互余兩角三角函數(shù)之間的關(guān)系，掌握銳角三角函數(shù)的定義是正確解答的關(guān)鍵．4．（4分）下列計(jì)算錯(cuò)誤的個(gè)數(shù)是（）①sin60°﹣sin30°＝sin30°      ②sin245°+cos245°＝1③（tan60°）2＝              ④tan30°＝A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【分析】根據(jù)特殊銳角的三角函數(shù)值分別計(jì)算等式的左右兩邊，據(jù)此即可對(duì)每個(gè)等式作出判斷．【解答】解：①sin60°﹣sin30°＝﹣，sin30°＝；②sin245°+cos245°＝（）2+（）2＝+＝1；③（tan60°）2＝（）2＝3，錯(cuò)誤；④tan30°＝，＝＝，錯(cuò)誤；故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查特殊銳角的三角函數(shù)值，解題的關(guān)鍵是熟記特殊銳角的三角函數(shù)值．5．（4分）若sinα＞cosα，則銳角α的取值范圍是（）A．0°＜α＜45° B．30°＜α＜45° C．45°＜α＜60° D．45°＜α＜90°【分析】利用cosα＝sin（90°﹣α），載根據(jù)銳角三角函數(shù)的增減性，即可求出α的取值范圍．【解答】解：∵cosα＝sin（90°﹣α），sinα＞cosα，∴sinα＞sin（90°﹣α），∴α＞90°﹣α，∴α＞45°，又∵α為銳角，∴45°＜x＜90°，故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查同角的三角函數(shù)之間的關(guān)系，掌握銳角三角函數(shù)的增減性是正確解答的關(guān)鍵．6．（4分）如圖，AD，BC相交于點(diǎn)O，CD＝2，則△ABO與△DCO的面積之比為（）A．1：2 B．1：4 C．2：1 D．4：1【分析】根據(jù)相似三角形的判定與性質(zhì)即可求出答案．【解答】解：∵AB∥CD，∴△AOB∽△DOC，∵，∴，故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查相似三角形，解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用相似三角形的性質(zhì)與判定，本題屬于基礎(chǔ)題型．7．（4分）如圖，主持人主持節(jié)目時(shí)，站在舞臺(tái)的黃金分割點(diǎn)處最自然得體．如果舞臺(tái)AB的長(zhǎng)為10米，則她至少走多少米才最理想（）A． B． C． D．或【分析】設(shè)C點(diǎn)為AB的黃金分割點(diǎn)，利用黃金分割的定義，當(dāng)AC＞BC時(shí)，AC＝5﹣5；當(dāng)AC＜BC時(shí)，BC＝5﹣5，則AC＝15﹣5，從而確定她至少走的路程．【解答】解：設(shè)C點(diǎn)為AB的黃金分割點(diǎn)，當(dāng)AC＞BC時(shí)，AC＝×10＝5；當(dāng)AC＜BC時(shí)，BC＝×10＝6，則AC＝10﹣（5，因?yàn)?﹣5﹣（15﹣5﹣20＝10（，所以她至少走（15﹣3）米才最理想．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了黃金分割：把線段AB分成兩條線段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中項(xiàng)（即AB：AC＝AC：BC），叫做把線段AB黃金分割，點(diǎn)C叫做線段AB的黃金分割點(diǎn)．其中AC＝AB≈0.618AB，并且線段AB的黃金分割點(diǎn)有兩個(gè)．8．（4分）為測(cè)量某地溫度變化情況，記錄了一段時(shí)間的溫度．一段時(shí)間內(nèi)，溫度y（單位：℃）（單位：h）的函數(shù)關(guān)系滿足y＝﹣t2+12t+2，當(dāng)4≤t≤8時(shí)，該地區(qū)的最高溫度是（）A．38℃ B．37℃ C．36℃ D．34℃【分析】將溫度y與時(shí)間t的函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)＝﹣t2+12t+2寫成頂點(diǎn)式，按照二次函數(shù)的性質(zhì)可得答案．【解答】解：∵y＝﹣t2+12t+2＝﹣（t2﹣12t+36）+38＝﹣（t﹣6）2+38，∴當(dāng)t＝6時(shí)，溫度y有最大值．∴當(dāng)4≤t≤8時(shí)，該地區(qū)的最高溫度是38℃．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次函數(shù)在實(shí)際問題中的應(yīng)用，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．9．（4分）已知，將△ABC沿AD折疊，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)B'落在邊AC上（如圖a），點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為A'，折痕為EF（如圖b），則陰影部分展開后的形狀為（）A．等腰三角形 B．矩形 C．菱形 D．正方形【分析】依據(jù)折疊的性質(zhì)即可得到AA'與EE'互相平分，AA'⊥EE'，進(jìn)而得出四邊形AEA'E'是菱形．【解答】解：陰影部分展開后如圖所示，由折疊可得，∠AFE＝∠A'FE＝90°，EF＝E'F，∴AA'與EE'互相平分，AA'⊥EE'，∴四邊形AEA'E'是菱形，故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了折疊問題以及菱形的判定，關(guān)鍵是掌握：對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形（或?qū)蔷€互相垂直平分的四邊形是菱形）．10．（4分）若二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象的頂點(diǎn)在第一象限，且過點(diǎn)（0，1）和（﹣1，0），則s＝a+b+c的值的變化范圍是（）A．0＜s＜1 B．0＜s＜2 C．1＜s＜2 D．﹣1＜s＜2【分析】代入兩點(diǎn)的坐標(biāo)可得出c＝1、a＝b﹣1，進(jìn)而可得出s＝2b，由拋物線的頂點(diǎn)在第一象限可得出﹣＞0且a＜0，解之可得出b＞0，再根據(jù)b＝a+1、a＜0，即可得出0＜s＜2，此題得解．【解答】解：將點(diǎn)（0，1）和（﹣62+bx+c，，解得：，∴s＝a+b+c＝4b．∵二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象的頂點(diǎn)在第一象限，∴對(duì)稱軸x＝﹣＞6且a＜0，∴b＞0．又∵b＝a+2，a＜0，∴2b＝4a+2＜2，∴3＜s＜2．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)以及二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，利用二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征找出s＝2b是解題的關(guān)鍵．二、填空題（本大題共4小題，共20分）11．（5分）二次函數(shù)y＝x2﹣4x+3，當(dāng)﹣1≤x≤4時(shí)，y的取值范圍為﹣1≤y≤8．【分析】先把函數(shù)化成頂點(diǎn)式y(tǒng)＝（x﹣2）2﹣1，求出二次函數(shù)的最小值，再求出當(dāng)x＝﹣1和x＝4對(duì)應(yīng)的y值，最后求出最大值和最小值即可．【解答】解：∵二次函數(shù)解析式為y＝x2﹣4x+2＝（x﹣2）2﹣3，∴當(dāng)x＝2時(shí)，y有最小值﹣1，當(dāng)x＝﹣3時(shí)，y＝（﹣1）2﹣5×（﹣1）+3＝8+4+3＝7；當(dāng)x＝4時(shí)，y＝42﹣4×4+7＝16﹣16+3＝3；∴當(dāng)﹣2≤x≤4時(shí)，y的取值范圍為﹣1≤y≤3，故答案為：﹣1≤y≤8．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)和二次函數(shù)的最值，能把函數(shù)化成頂點(diǎn)式和求出當(dāng)x＝﹣1和x＝4對(duì)應(yīng)的y值是解此題的關(guān)鍵．12．（5分）已知tan（α+15°）＝，則tanα的值為1．【分析】首先確定α的度數(shù)，然后再利用三角函數(shù)值求答案．【解答】解：∵tan60°＝，∴α+15°＝60°，解得：α＝45°，∴tanα＝1，故答案為：2．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了特殊角的三角函數(shù)值，關(guān)鍵是掌握tan60°＝，tan45°＝1．13．（5分）若二次函數(shù)y＝（m+1）x2+m2﹣9有最小值，且圖象經(jīng)過原點(diǎn)，則m＝3．【分析】根據(jù)二次函數(shù)的最值問題得到m+1＞0，而拋物線過原點(diǎn)，則m2﹣9＝0，然后解不等式和方程即可得到滿足條件的m的值．【解答】解：∵二次函數(shù)y＝（m+1）x2+m6﹣9有最小值，且圖象經(jīng)過原點(diǎn)，∴m+1＞2且m2﹣9＝5，∴m＝3．故答案為3．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次函數(shù)的最值：二次函數(shù)y＝ax2+bx+c，當(dāng)a＞0時(shí)，拋物線在對(duì)稱軸左側(cè)，y隨x的增大而減少；在對(duì)稱軸右側(cè)，y隨x的增大而增大，因?yàn)閳D象有最低點(diǎn)，所以函數(shù)有最小值，當(dāng)x＝時(shí)，y＝．（2）當(dāng)a＜0時(shí)，拋物線在對(duì)稱軸左側(cè)，y隨x的增大而增大；在對(duì)稱軸右側(cè)，y隨x的增大而減少，因?yàn)閳D象有最高點(diǎn)，所以函數(shù)有最大值，當(dāng)x＝時(shí)，y＝．14．（5分）如圖，四邊形ABCD和四邊形AEFG都是正方形，點(diǎn)C、F、G在一條直線上（1）若DM＝1，CM＝2，則正方形AEFG的面積是；（2）直接寫出＝．【分析】（1）由正方形的性質(zhì)得AD＝CD，AG＝FG，∠D＝∠G＝90°，則∠ACM＝∠DAC＝∠GFA＝∠GAF＝45°，所以∠CFM＝∠ACM，而∠CMF＝∠AMC，所以△CMF∽△AMC，得＝，由DM＝1，CM＝2，得AD＝3，則AM＝＝，所以FM＝＝，即可求得AF＝AM﹣FM＝，則2AG2＝AF2＝，所以S正方形AEFG＝AG2＝，于是得到問題的答案；（2）由AE＝FE，AB＝CB，∠AEF＝∠ABC＝90°，得∠EAF＝∠EFA＝∠BAC＝∠BCA＝45°，則∠FAC＝∠EAB＝45°﹣∠CAE，AF＝＝AE，AC＝＝AB，所以＝＝，則△AFC∽△AEB，所以＝＝，于是得到問題的答案．【解答】解：（1）∵四邊形ABCD和四邊形AEFG都是正方形，∴AD＝CD，AG＝FG，∴∠ACM＝∠DAC＝∠GFA＝∠GAF＝45°，∵∠CFM＝∠GFA＝45°，∴∠CFM＝∠ACM，∵∠CMF＝∠AMC，∴△CMF∽△AMC，∴＝，∵DM＝1，CM＝2，∴AD＝CD＝DM+CM＝6+2＝3，∴AM＝＝＝，∴FM＝＝＝，∴AF＝AM﹣FM＝﹣＝，∵AG6+FG2＝2AG5＝AF2＝＝，∴S正方形AEFG＝AG4＝×＝，故答案為：．（2）∵AE＝FE，AB＝CB，∴∠EAF＝∠EFA＝∠BAC＝∠BCA＝45°，∴∠FAC＝∠EAB＝45°﹣∠CAE，∵AF＝＝＝AE＝＝AB，∴＝＝，∴△AFC∽△AEB，∴＝＝，故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】此題重點(diǎn)考查正方形的性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)，證明△CMF∽△AMC及△AFC∽△AEB是解題的關(guān)鍵．三、（本大題共2小題，共16分）15．（8分）計(jì)算題（1）；（2）．【分析】（1）將特殊角的三角函數(shù)值代入計(jì)算即可；（2）將特殊角的三角函數(shù)值代入，計(jì)算二次根式、負(fù)整數(shù)次冪，化簡(jiǎn)絕對(duì)值，最后進(jìn)行加減計(jì)算即可．【解答】解：（1）＝＝＝；（2）＝＝＝＝＝4．【點(diǎn)評(píng)】本題考查特殊角三角函數(shù)的混合運(yùn)算、二次根式的性質(zhì)、負(fù)整數(shù)次冪、去絕對(duì)值等，掌握特殊角的三角函數(shù)值是解題的關(guān)鍵．16．（8分）如圖，圖中的小方格是邊長(zhǎng)為1的正方形，△ABC與△A′B′C′是關(guān)于點(diǎn)O為位似中心的位似圖形（1）畫出位似中心點(diǎn)O；（2）求出△ABC與△A′B′C′的位似比；（3）以點(diǎn)O為位似中心，在圖中畫一個(gè)△A2B2C2，使它與△ABC的位似比等于3：2．【分析】（1）位似圖形對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線所在的直線經(jīng)過位似中心，如圖，直線AA′、BB′的交點(diǎn)就是位似中心O；（2）△ABC與△A′B′C′的位似比等于AB與A′B′的比，也等于AB與A′B′在水平線上的投影比，即位似比為3：6＝1：2；（3）要畫△A2B2C2，先確定點(diǎn)A2的位置，因?yàn)椤鰽2B2C2與△ABC的位似比等于1.5，因此OA2＝1.5OA，所以O(shè)A2＝9．再過點(diǎn)A2畫A2B2∥AB交OB′于B2，過點(diǎn)A2畫A2C2∥AC交OC′于C2．【解答】解：（1）如圖所示，點(diǎn)O即為所求；（2）△ABC與△A′B′C′的位似比等于＝＝；（3）如圖所示，△A2B2C2即為所求．【點(diǎn)評(píng)】本題考查位似圖形的意義及作圖能力．畫位似圖形的一般步驟為：①確定位似中心，②分別連接并延長(zhǎng)位似中心和能代表原圖的關(guān)鍵點(diǎn)；③根據(jù)相似比，確定能代表所作的位似圖形的關(guān)鍵點(diǎn)；順次連接上述各點(diǎn)，得到放大或縮小的圖形．四、（本大題共4小題，共16分）17．（8分）如圖，在某居民樓AB樓頂懸掛“大國(guó)點(diǎn)名，沒你不行”的橫幅BC，斜坡DE的坡度i＝1：2.4，DE＝26m，在坡頂E點(diǎn)處測(cè)得居民樓樓頂廣告牌上端C點(diǎn)的仰角為27°（居民樓AB，橫幅BC與斜坡DE的剖面在同一平面內(nèi)），則廣告牌BC的高度約為多少？（結(jié)果精確到0.1，參考數(shù)據(jù)：sin27°≈0.45，cos27°≈0.89，tan27°≈0.51）【分析】作EF⊥AB于F，作DG⊥EF于G，則GF＝AD＝30m，AF＝DG，∠CEF＝27°，求出AF＝DG＝10m，EG＝24m，則EF＝EG+GF＝54m，由三角函數(shù)定義求出CF≈27.54m，則AC＝37.54m，證出△ABD是等腰直角三角形，則AB＝AD＝30m，求出BC即可．【解答】解：作EF⊥AB于F，作DG⊥EF于G則GF＝AD＝30m，AF＝DG，∵山坡DE的坡度i＝＝，∴EG＝2.4DG，∵DE＝26m，DE3+EG2＝DE2，∴AF＝DG＝10m，EG＝24m，∴EF＝EG+GF＝54（m），在Rt△CEF中，tan∠CEF＝，∴CF≈6.51×54＝27.54（m），∴AC＝AF+CF＝10+27.54＝37.54（m），又∵∠ADB＝45°，∠A＝90°，∴△ABD是等腰直角三角形，∴AB＝AD＝30m，∴BC＝AC﹣AB＝37.54﹣30≈7.5（m）；答廣告牌BC的高度約為8.5米．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了中心投影：中心投影的光線特點(diǎn)是從一點(diǎn)出發(fā)的投射線．物體與投影面平行時(shí)的投影是放大（即位似變換）的關(guān)系．18．（8分）如圖，在△ABC中，AB＝AC，把∠B折疊，使點(diǎn)B落在AC上的點(diǎn)B′處，記∠CDB′＝α．（1）當(dāng)＝1時(shí)，tanα＝；（2）當(dāng)＝2時(shí)，tanα＝；（3）當(dāng)＝3時(shí)，tanα＝；（4）猜想：當(dāng)＝n時(shí)，tanα＝，并證明你的結(jié)論．【分析】（1）由等腰直角三角形的性質(zhì)得出∠B＝∠C＝45°，由折疊的性質(zhì)得出∠B＝∠DB'E＝45°，BE＝B'E，證出∠AB'E＝∠B'DC＝α，設(shè)AE＝a，AB'＝n，得出BE＝2n﹣a，由勾股定理a2+n2＝（2n﹣a）2，求出n＝a，由銳角三角函數(shù)的定義可得出答案；（2）方法同（1）可求出n＝a，得出AB'＝a，由銳角三角函數(shù)的定義可得出答案；（3）同理可求出n＝a，得出AB'＝a，由銳角三角函數(shù)的定義可得出答案；（4）設(shè)AB＝AC＝（n+1）x，則AB′＝nx，設(shè)AE＝a，則B′E＝BE＝[（a+1）x﹣a]，由勾股定理得出a2+（nx）2＝[（n+1）x﹣a]2，求出a＝，由銳角三角函數(shù)的定義可得出答案．【解答】解：（1）∵AB＝AC，∠BAC＝90°，∴∠B＝∠C＝45°，∵把∠B折疊，使點(diǎn)B落在AC上的點(diǎn)B′處，∴∠B＝∠DB'E＝45°，BE＝B'E，∴∠AB'E+∠DB'C＝135°，∵∠B'DC+∠DB'C＝135°，∴∠AB'E＝∠B'DC＝α，∵＝1，∴AB＝AC＝2AB'，設(shè)AE＝a，AB'＝n，∴BE＝3n﹣a，∴B'E＝2n﹣a，∵AE2+AB'6＝EB'2，∴a2+n3＝（2n﹣a）2，∴n＝a，∴tanα＝tan∠AB'E＝＝；故答案為：；（2）∵＝2，∴，同理設(shè)AE＝a，AB'＝2n，∴BE＝B'E＝8n﹣a，∴a2+（2n）4＝（3n﹣a）2，∴n＝a，∴AB'＝a，∴tanα＝tan∠AB'E＝＝＝，故答案為：；（3）∵＝8，∴，同理設(shè)AE＝a，AB'＝6n，∴BE＝B'E＝4n﹣a，∴a2+（2n）2＝（4n﹣a）2，∴n＝a，∴AB'＝a，∴tanα＝tan∠AB'E＝＝＝，故答案為：．（4）；理由如下：當(dāng)＝n時(shí)，設(shè)AB＝AC＝（n+1）x，則AB′＝nx，設(shè)AE＝a，則B′E＝BE＝[（n+6）x﹣a]，∴a2+（nx）2＝[（n+6）x﹣a]2，∴a＝x，∴tanα＝tan∠AB'E＝＝．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題屬于三角形綜合題，考查了勾股定理，折疊的性質(zhì)，解直角三角形，等腰直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握方程的思想方法是解題的關(guān)鍵．19．（10分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)y＝k1x+b與反比例函數(shù)y＝的圖象交于A（1，6）、B（a，3）（1）求一次函數(shù)y＝k1x+b與反比例函數(shù)y＝的解析式；（2）如圖，點(diǎn)D在x軸上，四邊形OBCD中，OB與DC不平行，OB＝DC，CE和反比例函數(shù)的圖象交于點(diǎn)P，當(dāng)四邊形OBCD的面積為18時(shí)4，PE：PC的值為2：1．【分析】（1）首先把A點(diǎn)坐標(biāo)代入反比例函數(shù)的解析式中，求得k2的值，知道反比例函數(shù)的解析式后把B點(diǎn)代入求出a的值，最后求出一次函數(shù)解析式的k1的值，（2）設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（m，n），易得C（m，3），CE＝3，BC＝m﹣2，OD＝m+2，利用梯形的面積是18列方程，可求得m的值，從而求得點(diǎn)C和P的坐標(biāo)，根據(jù)線段的長(zhǎng)度關(guān)系可知BC＝4，PC＝2PE．【解答】解：（1）將點(diǎn)A（1，6）代入2＝6，∴反比例函數(shù)的解析式為y＝，把點(diǎn)B（a，3）代入，∴B（3，3），把A（1，5），3）代入y＝k1x+b得，解得，∴一次函數(shù)的解析式為y＝﹣3x+6（2）當(dāng)S梯形OBCD＝18時(shí)，PC＝2PE．設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（m，n），∵BC∥OD，CE⊥OD，B（2，∴C（m，8），BC＝m﹣2．∴S梯形OBCD＝，即18＝．∴m＝4，∴C（6，3），∴BC＝8﹣2＝4，又∵mn＝2，m＝6，∴n＝1，即PE＝．∴PC＝2PE，∴PE：PC＝8：2，故答案為4，6：2．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問題的知識(shí)點(diǎn)，此題綜合考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的性質(zhì)，此題難度稍大，綜合性比較強(qiáng)，注意反比例函數(shù)上的點(diǎn)的特點(diǎn)和利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式的方法．要靈活的利用梯形的面積公式來求得相關(guān)的線段的長(zhǎng)度，從而確定關(guān)鍵點(diǎn)的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵．20．（10分）已知：如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，垂足為點(diǎn)H．點(diǎn)D在邊BC上，聯(lián)結(jié)AD，且CE＝CD．（1）求證：△ACE∽△ABD；（2）求證：△ACD的面積是△ACE的面積與△ABD的面積的比例中項(xiàng)．【分析】（1）根據(jù)同角的余角相等得到∠ACH＝∠CBH，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠CED＝∠CDE，進(jìn)而得到∠AEC＝∠ADB，根據(jù)相似三角形的判定定理證明結(jié)論；（2）過點(diǎn)B作BG∥AC交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到＝，根據(jù)相似三角形的面積公式計(jì)算，證明結(jié)論．【解答】證明：（1）∵AC⊥BC，CH⊥AB，∴∠ACB＝∠AHC＝90°，∴∠ACH＝∠CBH，∵CE＝CD，∴∠CED＝∠CDE，∴∠AEC＝∠ADB，∴△ACE∽△ABD；（2）過點(diǎn)B作BG∥AC交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，∴∠CAD＝∠G，∵△ACE∽△ABD，∴＝，∠CAD＝∠BAD，∴∠BAD＝∠G，∴AB＝BG，∵BG∥AC，∴△ADC∽△GDB，∴＝，∴＝，∴＝，∴△ACD的面積是△ACE的面積與△ABD的面積的比例中項(xiàng)．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是相似三角形的判定和性質(zhì)、掌握相似三角形的判定定理和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．六、（本大題共3小題，共12分）21．（12分）如圖，△ABC中，∠C＝90°，D為邊BC上一動(dòng)點(diǎn)（不與B、C重合），BD和AD的垂直平分線交于點(diǎn)E，ED與AB相交于點(diǎn)F，設(shè)∠BAE＝α．（1）請(qǐng)用含α的代數(shù)式表示∠BED的度數(shù)；（2）求證：△ACB∽△AED；（3）若α＝30°，求的值．【分析】（1）由線段垂直平分線的性質(zhì)可得出AE＝DE，DE＝BE，由等腰三角形的性質(zhì)得出結(jié)論；（2）證出∠C＝∠AED＝90°，由相似三角形的判定可得出結(jié)論；（3）設(shè)EF＝x，由直角三角形的性質(zhì)及等腰三角形的性質(zhì)可得出AE＝x，CD＝x，則可得出答案．【解答】（1）解：∵BD和AD的垂直平分線交于點(diǎn)E，∴AE＝DE，DE＝BE，∴AE＝BE，∴∠EBA＝∠EAB＝α，∵∠C＝90°，AC＝BC，∴∠ABC＝45°，∴∠DBE＝45°+α，∴∠BDE＝∠DBE＝45°+α，∴∠BED＝180°﹣2∠DBE＝90°﹣2α；（2）證明：∵AC＝BC，∠C＝90°，∴∠5+∠DAB＝∠CAB＝∠ABC＝45°，∵BD和AD的垂直平分線交于點(diǎn)E，∴AE＝ED＝BE，∴∠1＝∠2，∠8+∠CBA＝∠EDB，∴∠CAB+∠2＝∠1+∠CBA，即∠EDB＝∠CAE，∵∠EDB+∠CDE＝180°，∴∠CAE+∠CDE＝180°，∵∠CAE+∠C+∠CDE+∠A ED＝360°，∴∠C+∠AED＝180°，∵∠C＝90°，∴∠AED＝90°，∴∠C＝∠AED＝90°，∵AC：BC＝AE：ED＝3，∴△ACB∽△AED；（3）解：當(dāng)α＝30°時(shí)，∠BED＝90°﹣60°＝30°，∴∠AED＝∠AEB﹣∠BED＝120°﹣30°＝90°，∵AE＝ED，∴∠ADE＝∠AED＝45°，∵DE＝BE，∴∠BDE＝∠BED＝75°，∴∠ADC＝180°﹣∠AD