概率論

與數(shù)理統(tǒng)計(jì)理學(xué)院數(shù)學(xué)系“悟道詩(shī)---嚴(yán)加安”隨機(jī)非隨意，概率破玄機(jī)；無(wú)序隱有序，統(tǒng)計(jì)解迷離．第三章多維隨機(jī)變量及其分布第六節(jié)綜合例題例1：設(shè)二維隨機(jī)變量的聯(lián)合概率密度函數(shù)為求關(guān)于X和Y的邊緣概率密度函數(shù)，并判斷獨(dú)立性．解：先求關(guān)于X的邊緣概率密度函數(shù)即例1：設(shè)二維隨機(jī)變量的聯(lián)合概率密度函數(shù)為求關(guān)于X和Y的邊緣概率密度函數(shù)，并判斷獨(dú)立性．解：再求關(guān)于Y的邊緣概率密度函數(shù)即例1：設(shè)二維隨機(jī)變量的聯(lián)合概率密度函數(shù)為求關(guān)于X和Y的邊緣概率密度函數(shù)，并判斷獨(dú)立性．解：綜上，顯然有對(duì)于任意的所以隨機(jī)變量X與Y相互獨(dú)立.例2：設(shè)的聯(lián)合概率密度函數(shù)為求:(1)X和Y的邊緣概率密度;(2)解：(1)求X的邊緣概率密度當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，例2：設(shè)的聯(lián)合概率密度函數(shù)為求:(1)X和Y的邊緣概率密度;(2)解：所以，關(guān)于X的邊緣概率密度函數(shù)為再求關(guān)于Y的邊緣概率密度當(dāng)時(shí)，當(dāng)或時(shí)，例2：設(shè)的聯(lián)合概率密度函數(shù)為求:(1)X和Y的邊緣概率密度;(2)解：所以，關(guān)于Y的邊緣概率密度函數(shù)為(2)例3：設(shè)的聯(lián)合概率密度函數(shù)為(1)問X與Y是否相互獨(dú)立？(2)求Z=X+2Y的概率密度解：(1)先求兩個(gè)邊緣概率密度函數(shù)fX(x)、

fY(y)；

函數(shù)fZ(z)和分布函數(shù)FZ(z)；(3)求P(Z>4).所以，X服從參數(shù)為1的指數(shù)分布，即綜上，顯然有所以，

X與Y相互獨(dú)立.所以，Y服從區(qū)間[0,1]上的均勻分布，即(2)先求Z=X+2Y的分布函數(shù)FZ(z).當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，所以，Z=X+2Y的分布函數(shù)

FZ(z)為

于是，Z=X+2Y的概率密度函數(shù)

fZ(z)為

(3)利用分布函數(shù)

FZ(z)求P(Z>4).設(shè)某系統(tǒng)S由兩個(gè)子系統(tǒng)S1、S2組成，已知S1、例4：，其中S2的壽命都是服從指數(shù)分布的隨機(jī)變量，分別記為解：試就下面三種不同的方式，求出系統(tǒng)S的壽命L的概率密度函數(shù):(1)串聯(lián)；(2)并聯(lián)；(3)一個(gè)工作，一個(gè)備用．(1)串聯(lián)時(shí)，系統(tǒng)S的壽命由知，的分布函數(shù)為則此時(shí)系統(tǒng)S的壽命L=Xmin的概率密度函數(shù)為

即Xmin服從參數(shù)為的指數(shù)分布.(2)并聯(lián)時(shí)，系統(tǒng)S的壽命由知，的分布函數(shù)為則此時(shí)系統(tǒng)S的壽命L=Xmax的概率密度函數(shù)為

(3)備用時(shí)，兩個(gè)子系統(tǒng)的壽命互不影響，系統(tǒng)S的壽命L=X1+X2，可認(rèn)為X1與X2相互獨(dú)立.由