專題26：立體幾何中的最值問(wèn)題<<<專題綜述>>><<<專題綜述>>>立體幾何主要研究空間中點(diǎn)、線、面之間的位置關(guān)系,與空間圖形有關(guān)的線段、角、距離、面積、體積等最值問(wèn)題常常在近幾年高考中出現(xiàn)，立體幾何中的最值問(wèn)題一般涉及到距離、面積、體積、角度等四個(gè)方面,此類問(wèn)題多以規(guī)則幾何體為載體,涉及到幾何體的結(jié)構(gòu)特征以及空間線面關(guān)系的邏輯推理，空間角與距離的求解等，求此類問(wèn)題一般是直接法和函數(shù)法。<<<專題探究>>><<<專題探究>>>題型題型一：與線段有關(guān)的最值問(wèn)題立體幾何中與線段最值有關(guān)的問(wèn)題，一般都是轉(zhuǎn)化為某一變量的函數(shù)，若是求兩線段和的最值問(wèn)題，往往轉(zhuǎn)化為平面圖形的直線段最短問(wèn)題來(lái)處理.例1(2023·安徽省十校聯(lián)考)在側(cè)棱長(zhǎng)為2，底面邊長(zhǎng)為2的正三棱錐P-ABC中,E,F分別為AB,BC的中點(diǎn),M,N分別為PE和平面PAF上的動(dòng)點(diǎn)，則【思路點(diǎn)撥】想方設(shè)法把BM+MN【規(guī)范解析】取AC中點(diǎn)H，連接EH交AF于點(diǎn)O，證得EO⊥面PAO要使BM+MN的值最小，即求MN最小可得MN⊥平面PAF，可得MN又可證明MN//EO，再把平面POE繞PE旋轉(zhuǎn)，與面PABN’O’是N又可證得∠P因?yàn)镋H=12BC=1,EO=所以PA所以sin∠OPE=12，即所以∠BPN'=45°+30°=75°，可得故答案為：3+1練1(2022·河北省高考模擬題)如圖，正方體ABCD-A1B1C1D1棱長(zhǎng)為1，【思路點(diǎn)撥】將△ADA1與矩形A1DCB【規(guī)范解析】將平面A1B1CD連接AC，與A1D的交點(diǎn)即為點(diǎn)P，此時(shí)PA+PC取最小值為在△ADC中,∠AC=AD題型二：與面積題型二：與面積有關(guān)的最值問(wèn)題根據(jù)問(wèn)題分析截面圖形的形狀與幾何體的位置關(guān)系，從性質(zhì)和數(shù)量關(guān)系著手解決問(wèn)題。例2(2020·河北省高考模擬題)已知長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1的高為2，兩個(gè)底面均為邊長(zhǎng)為1的正方形，過(guò)BD1作平面α分別交棱AA【思路點(diǎn)撥】一種方法是由于幾何體的對(duì)稱性,通過(guò)極端情況來(lái)處理;另一種方法求平行四邊形BFD【規(guī)范解析】法一：根據(jù)題意作圖，如圖①所示，過(guò)點(diǎn)F作FH⊥BD1交BD1于H因?yàn)殚L(zhǎng)方體對(duì)面平行，所以截面BFD1當(dāng)h取最小值時(shí)四邊形BFD易知h的最小值為直線CC1與直線易知當(dāng)F為CC1的中點(diǎn)時(shí),h取得最小值,hmin=故四邊形BFD1E法二(射影面積法)：設(shè)平面BFD1E與底面ABCD過(guò)D1作D1H⊥l交l于H.連接DH，則∠根據(jù)射影面積公式SBFD1則當(dāng)cosθ最大時(shí)，SBFD1E又DH最長(zhǎng)為DB=2，所以cosθ最大值為22，因?yàn)镾ABCD=1故答案為：2練2(2022·浙江省聯(lián)考題)如圖，AC是圓O的直徑，PA與圓O所在的平面垂直且PA=AC=2，B為圓周上不與點(diǎn)A、C重合的動(dòng)點(diǎn)，M、N分別為點(diǎn)A在線段PC、PB上的投影,當(dāng)△AMN【思路點(diǎn)撥】由位置關(guān)系知道△AMN為直角三角形，且AM⊥MN【規(guī)范解析】因?yàn)锳N2+MN又因?yàn)锳N?MN≤AN2當(dāng)且僅當(dāng)AN=MN時(shí)，取得最大值，此時(shí)因?yàn)锳N⊥平面PBC，PC?平面PBC，所以ANAM∩AN=A，AM、AN?平面AMN，所以PC⊥平面AMN，MN?平面所以∠AMN即為二面角由△AMN為等腰直角三角形，可得二面角A-PC-B的平面角為π4題型三：題型三：與體積有關(guān)的最值問(wèn)題分析幾何體的形狀，找出底面積與高的關(guān)系，建立體積為某一變量的函數(shù)，再通過(guò)求函數(shù)最值的方法進(jìn)行求解。例3(2022·新高考1卷9)已知正四棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)為l，其各頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上，若該球的體積為36π，且3≤l≤33，則該正四A.[18,814] B.[27【思路點(diǎn)撥】根據(jù)正棱錐和球的性質(zhì)，建立四棱錐的體積為高h(yuǎn)的函數(shù)，進(jìn)而可求范圍.【規(guī)范解析】方法一：設(shè)正四棱錐P-ABCD的高為PO1=由已知易得球半徑為R=3，所以(2因?yàn)?≤故V=13a2h當(dāng)h=32時(shí),得a=3當(dāng)l=33時(shí),球心在正四棱錐高線上，此時(shí)h22a=3故該正四棱錐體積的取值范圍是274方法二:由方法(1)中知V=23(6求導(dǎo)V'=2(4-h)h，所以所以Vmax=V(4)=64故該正四棱錐體積的取值范圍是274練3(2022·全國(guó)乙卷理科)已知球O的半徑為1，四棱錐的頂點(diǎn)為O，底面的四個(gè)頂點(diǎn)均在球O的球面上，則當(dāng)該四棱錐的體積最大時(shí)，其高為(

)A.13 B.12 C.33【思路點(diǎn)撥】設(shè)法把四棱錐的體積轉(zhuǎn)化為底面正方形邊長(zhǎng)的函數(shù)關(guān)系，利用最值計(jì)算方法求解【規(guī)范解析】考慮與四棱錐的底面形狀無(wú)關(guān)，不失一般性，假設(shè)底面是邊長(zhǎng)為a的正方形，底面所在圓面的半徑為r，則r=2所以該四棱錐的高h(yuǎn)=1-a22，所以體積V=13t2-t3當(dāng)43<t<2，t2-t32<<<專題訓(xùn)練>>><<<專題訓(xùn)練>>>1.(2023·江蘇省宿遷市期末)已知四棱錐P-ABCD外接球表面積為S,體積為V,PA⊥平面ABCD,PA=4,∠ABC=2π3，且433≤VA.10π≤S B.20π≤S C.103π≤S 【解析】解：以四邊形ABCD的外接圓為底，PA為高，將四棱錐補(bǔ)形為一個(gè)已知球的內(nèi)接圓柱．設(shè)內(nèi)接圓柱的底面半徑為r，外接球的半徑為R，則R2V=13SSABCD所以AB?BC+AD?DC≥4，

在△ABC中運(yùn)用余弦定理與基本不等式得：AC2=A在△ADC中運(yùn)用余弦定理與基本不等式得：3AC上兩式相加得：4AC2≥3(AB?BC+AD?DC)≥12，故有：在△ABC中由正弦定理得：2r=ACsin?因此R2=2故選B．2.(2023·安徽省宿州市模擬)如圖，已知三棱柱ABC-A1B1C1的底面是等腰直角三角形，AA1⊥底面ABC，AC=BC=2，AA1=4，點(diǎn)DA.814π,24π B.9π,24π C.243【解析】解：如下圖所示：因?yàn)椤鰽BC為等腰直角三角形，AC=BC=2，所以△ABC的外接球的截面圓心為AB的中點(diǎn)O1，且A連接O1與A1B1的中點(diǎn)E，則O1設(shè)球心為O，由球的截面性質(zhì)可知，O在O1設(shè)OO1=x，DE=t因?yàn)镺A=OD=R，所以2+x2=所以t2=8x-14，又0≤t≤2因?yàn)镽2=2+x2，所以8116當(dāng)R2=6時(shí)，外接球表面積最大為所以三棱錐D-ABC的外接球表面積的范圍為814故選A．3.(2023·四川省成都市模擬)某四棱錐的底面為正方形，頂點(diǎn)在底面的射影為正方形中心，該四棱錐內(nèi)有一個(gè)半徑為1的球，則該四棱錐的表面積最小值是(

)A.16 B.8 C.32 D.24【解析】解：某四棱錐的底面為正方形，頂點(diǎn)在底面的射影為正方形中心，故該四棱錐為正四棱錐體；當(dāng)半徑為1的球與四棱錐體相內(nèi)切時(shí)，四棱錐的表面積最?。辉O(shè)正方形的邊長(zhǎng)為2a，四棱錐體的高為h，四棱錐體的表面積為S，所以利用等體積轉(zhuǎn)換法，V=1整理得a?(h-1)=a2+h所以四棱錐的體積V=13×4設(shè)t=h-2，可得h=t+2，所以S=當(dāng)且僅當(dāng)t=2，即h=4時(shí)，四棱錐的表面積的最小值為32．故選C．4.(2022·)如圖，在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中，AB=AD=4，AA1=3，點(diǎn)M滿足AA.點(diǎn)P所在區(qū)域面積為π4B.線段|PC1C.有且僅有一個(gè)點(diǎn)P使得MP⊥PD.四面體P-A1【解析】解：A選頂，當(dāng)MA=AP=1時(shí)，MP與底面ABCD的所成角θ=π4故點(diǎn)P所在區(qū)域?yàn)橐訟為圓心，1為半徑的圓在正方形ABCD內(nèi)部部分(包含邊界弧長(zhǎng))，即圓的14，面積為14π×1B選項(xiàng)，當(dāng)PC取最小值時(shí)，線段|PC當(dāng)A，P，C三點(diǎn)共線時(shí)，PC取得最小值，即|PC|min=42-1，則C選項(xiàng)，E、F分別在AD、AB上，且AF=AE=1，不妨取點(diǎn)P與點(diǎn)F重合，此時(shí)PC由余弦定理得：cos∠MF則∠MFC1=π2，同理可得：∠MEC1=如圖，當(dāng)點(diǎn)P位于AE上時(shí)，此時(shí)點(diǎn)P到平面A1CD此時(shí)四面體P-A1C當(dāng)P與點(diǎn)F重合時(shí)，此時(shí)點(diǎn)P到平面A1CD因?yàn)椤鰾FK∽△BAH，所以FK=34AH故四面體P-A1CD1故選AD．5.(2023·浙江省溫州市模擬·多選)傳說(shuō)古希臘數(shù)學(xué)家阿基米德的墓碑上刻著一個(gè)圓柱，圓柱內(nèi)有一個(gè)內(nèi)切球，這個(gè)球的直徑恰好與圓柱的高相等.“圓柱容球”是阿基米德最為得意的發(fā)現(xiàn);如圖是一個(gè)圓柱容球，O1,O2為圓柱上下底面的圓心，O為球心，EF為底面圓O1的一條直徑,若球的半徑r=2,A.球與圓柱的表面積之比為1:2B.平面DEF截得球的截面面積最小值為16C.四面體CDEF的體積的取值范圍為(0,D.若P為球面和圓柱側(cè)面的交線上一點(diǎn)，則PE+PF的取值范圍為[2+2【解析】解：對(duì)于A選項(xiàng),球的表面積為4πr2,圓柱的表面積為2πr2+2πr?2r=6πr對(duì)于B選項(xiàng)，當(dāng)O到平面DEF的距離最大時(shí)，平面DEF截得球的截面面積最小，注意到平面DEF繞著DO1旋轉(zhuǎn)，因此O到平面DEF的距離最大值即為O到直線作OH⊥DO1于H，在△DOO1中，DO=22，O則S=12D因此平面DEF截得球的截面圓半徑的最小值為r2則此時(shí)截面圓的面積為165π，故對(duì)于C選項(xiàng)，過(guò)C作CK//DO1交AB于K，則VC-DEF=對(duì)于D選項(xiàng)，依題意，P注意到PE,PF≥2，因此4≤PE2≤12即PE+PF∈[2+25,46.(2023·湖北省武漢市模擬)在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中，AB=1，AD=2(1)AP+D1P的最小值為

;

(2)直線AP與平面AA1【解析】解：做出長(zhǎng)方體如圖所示，∵AB=1，AD=2，AA1=3，點(diǎn)P是線段B(1)由長(zhǎng)方體的性質(zhì)可知，AB1=CD1將△AB1C與△D1CB易證四邊形AB所以當(dāng)APD1三點(diǎn)共線時(shí)，即根據(jù)平行四邊形對(duì)角線和四條邊的性質(zhì)即：AD代入數(shù)據(jù)得：AD12∴AP+D1P(2)由長(zhǎng)方體的性質(zhì)可知，B1A1⊥即對(duì)角面A1B1所以由點(diǎn)P向直線A1D作垂線PH，則PH⊥平面連接AH，則∠PAH即為直線PA與平面AA顯然PH=AB=1為定值．設(shè)Rt△A1AD斜邊上的高為h求得h=613，此時(shí)結(jié)合A1A=3，所以所以tan∠PAH=故答案為：17，[17.(2023·江西省新余市模擬)在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1=2，AB=3，平面α經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，且滿足直線AA1與平面α所成的角為30°【解析】解：因?yàn)锳1H⊥平面α，連接AH，AH?平面α，則A1H⊥AH，故H在以又AA1與平面α所成的角為所以∠HAA1=30°，過(guò)H作H則易得HA1=1，HA=所以H在如圖2所示：點(diǎn)H在圓錐AO1的底面圓周上，其軌跡是以O(shè)1在△ABH中，AB=HA=3，又易得60由余弦定理，得BH即BH∈[3故答案為：[38.(2023·浙江省臺(tái)州市模擬)已知正三棱錐的各頂點(diǎn)都在表面積為64π球面上，正三棱錐體積最大時(shí)該正三棱錐的高為

．【解析】解：因?yàn)镾球=4πR設(shè)D為△ABC的中心，則PD⊥平面當(dāng)PD的長(zhǎng)小于4時(shí)，VP-ABC=當(dāng)PD的長(zhǎng)大于或等于4時(shí)，正三棱錐如圖所示，設(shè)外接球圓心為O，設(shè)OD=a(0≤a<4)，所以O(shè)P=OA=4，AD=O又因?yàn)椤螦DB=2π3，所以S△ABC所以VP-ABC令f(a)=-af'(a)=-3a2-8a+16=-(3a-4)(a+4)=0解得a=-4所以f(a)在[0,43)故當(dāng)a=43時(shí)，正三棱錐的體積VP-ABC故正三棱錐體積最大時(shí)該正三棱錐的高為1639.(2022·四川省樹德中學(xué)模擬預(yù)測(cè)（理）)在三棱錐P-ABC中，∠PCB=∠AB