“科學(xué)思維”專練（二）圓周運(yùn)動規(guī)律的應(yīng)用一、選擇題1．冰面對溜冰運(yùn)動員的最大摩擦力為運(yùn)動員重力的k倍，在水平冰面上沿半徑為R的圓周滑行的運(yùn)動員，其安全速度為()A．v＝keq\r(Rg)B．v≤eq\r(kRg)C．v≤eq\r(2kRg)D．v≤eq\r(\f(Rg,k))解析：選B水平冰面對運(yùn)動員的摩擦力提供他做圓周運(yùn)動的向心力，則運(yùn)動員的安全速度v滿足：kmg≥meq\f(v2,R)，解得v≤eq\r(kRg)，故B正確。2.如圖所示，在高速轉(zhuǎn)動的洗衣機(jī)脫水桶內(nèi)壁上，有一件濕衣服隨桶一起轉(zhuǎn)動，在保證衣服不滑動的情況下()A．桶轉(zhuǎn)速增大時(shí)，衣服對桶壁的壓力不變B．桶轉(zhuǎn)速增大時(shí)，衣服對桶壁的壓力減小C．桶轉(zhuǎn)速足夠大時(shí)，衣服上的水滴將做離心運(yùn)動D．桶轉(zhuǎn)速足夠大時(shí)，衣服上的水滴將做向心運(yùn)動解析：選C衣服隨桶一起轉(zhuǎn)動，所需向心力由桶壁的支持力提供，轉(zhuǎn)速越大，支持力越大，壓力也越大，故A、B錯(cuò)誤；當(dāng)水滴的附著力不足以提供向心力時(shí)，水滴做離心運(yùn)動，項(xiàng)C正確，D錯(cuò)誤。3.如圖所示，可視為質(zhì)點(diǎn)的木塊A、B疊放在一起，放在水平轉(zhuǎn)臺上隨轉(zhuǎn)臺一起繞固定轉(zhuǎn)軸OO′勻速轉(zhuǎn)動，木塊A、B與轉(zhuǎn)軸OO′的距離為1m，A的質(zhì)量為5kg，B的質(zhì)量為10kg。已知A與B間的動摩擦因數(shù)為0.2，B與轉(zhuǎn)臺間的動摩擦因數(shù)為0.3，若木塊A、B與轉(zhuǎn)臺始終保持相對靜止，則轉(zhuǎn)臺角速度ω的最大值為(最大靜摩擦力等于滑動摩擦力，g取10m/s2)()A．1rad/s B.eq\r(2)rad/sC.eq\r(3)rad/s D．3rad/s解析：選B對A有μ1mAg≥mAω2r，對A、B整體有(mA＋mB)ω2r≤μ2(mA＋mB)g，代入數(shù)據(jù)解得ω≤eq\r(2)rad/s，故B正確。4.(2022·江蘇鹽城檢測)飛機(jī)駕駛員最多可承受9倍的重力加速度帶來的影響，當(dāng)飛機(jī)在豎直平面上沿圓弧軌道俯沖時(shí)速度為v，則圓弧的最小半徑為()A.eq\f(v2,9g) B.eq\f(v2,8g)C.eq\f(v2,7g) D.eq\f(v2,g)解析：選B當(dāng)飛機(jī)飛到最低點(diǎn)時(shí)，由牛頓第二定律得F－mg＝meq\f(v2,R)；由題意得F≤9mg；解得R≥eq\f(v2,8g)，故B正確。5．一圓盤可以繞其豎直軸在水平面內(nèi)轉(zhuǎn)動，圓盤半徑為R，甲、乙兩物體質(zhì)量分別為M和m(M＞m)，它們與圓盤之間的最大靜摩擦力均為壓力的μ倍，兩物體用一根長為L(L＜R)的輕繩連在一起，如圖所示，若將甲物體放在轉(zhuǎn)軸的位置上，甲、乙之間的輕繩剛好沿半徑方向被拉直，要使兩物體與圓盤不發(fā)生相對滑動，則圓盤旋轉(zhuǎn)的角速度最大不得超過(兩物體均可看作質(zhì)點(diǎn)，重力加速度為g)()A.eq\r(\f(μMg－mg,mL)) B.eq\r(\f(μg,L))C.eq\r(\f(μMg＋mg,ML)) D.eq\r(\f(μMg＋mg,mL))解析：選D當(dāng)輕繩中的拉力FT＝μMg時(shí)，圓盤轉(zhuǎn)動的角速度達(dá)到最大。此時(shí)，對乙物體：FT＋μmg＝mω2L?？山獾茫害兀絜q\r(\f(μM＋mg,mL))，D正確。6．一質(zhì)量為2．0×103kg的汽車在水平公路上行駛，路面對輪胎的徑向最大靜摩擦力為1.4×104N，當(dāng)汽車經(jīng)過半徑為80m的彎道時(shí)(如圖)，下列判斷正確的是()A．汽車轉(zhuǎn)彎時(shí)所受的力有重力、彈力、摩擦力和向心力B．汽車轉(zhuǎn)彎的速度為20m/s時(shí)，所需的向心力為1.4×104NC．汽車轉(zhuǎn)彎的速度為20m/s時(shí)，汽車會發(fā)生側(cè)滑D．汽車能安全轉(zhuǎn)彎的向心加速度不超過7.0m/s2解析：選D汽車轉(zhuǎn)彎時(shí)受到重力、彈力、摩擦力的作用，A錯(cuò)誤；汽車轉(zhuǎn)彎的速度為20m/s時(shí)所需的向心力為F＝meq\f(v2,r)＝1.0×104N＜1.4×104N，汽車不會側(cè)滑，B、C錯(cuò)誤；汽車能安全轉(zhuǎn)彎的最大向心加速度為a＝eq\f(Fm,m)＝eq\f(Ffm,m)＝7.0m/s2，D正確。7．如圖甲所示，輕桿一端固定在O點(diǎn)，另一端固定一小球，現(xiàn)讓小球在豎直平面內(nèi)做半徑為R的圓周運(yùn)動。小球運(yùn)動到最高點(diǎn)時(shí)，桿與小球間的彈力大小為FN，小球在最高點(diǎn)的速度大小為v，其FN－v2圖像如圖乙所示，則()A．小球的質(zhì)量為eq\f(aR,b)B．當(dāng)?shù)氐闹亓铀俣却笮閑q\f(R,b)C．v2＝c時(shí)，在最高點(diǎn)桿對小球的彈力方向向上D．v2＝2b時(shí)，在最高點(diǎn)桿對小球的彈力大小為2a解析：選A由題圖乙可知，當(dāng)小球運(yùn)動到最高點(diǎn)時(shí)，若v2＝b，則FN＝0，輕桿既不向上推小球也不向下拉小球，這時(shí)由小球受到的重力提供向心力，即mg＝eq\f(mv2,R)，得v2＝gR＝b，故g＝eq\f(b,R)，B錯(cuò)誤；當(dāng)v2>b時(shí)，輕桿向下拉小球，C錯(cuò)誤；當(dāng)v2＝0時(shí)，輕桿對小球的彈力大小等于小球的重力，即a＝mg，代入g＝eq\f(b,R)得小球的質(zhì)量m＝eq\f(aR,b)，A正確；當(dāng)v2＝2b時(shí)，由牛頓第二定律得F＋mg＝eq\f(mv2,R)，得桿的拉力大小F＝mg，即F＝a，D錯(cuò)誤。8．(多選)如圖所示，豎直平面內(nèi)固定一個(gè)圓環(huán)狀的細(xì)管，一光滑小球(直徑略小于管徑)在管內(nèi)做圓周運(yùn)動，則()A．小球以大小不同的速度通過最高點(diǎn)時(shí)，管壁對小球的作用力大小一定不等B．小球以大小不同的速度通過最高點(diǎn)時(shí)，管壁對小球的作用力大小可能相等C．小球以大小不同的速度通過最低點(diǎn)時(shí)，管壁對小球的作用力大小一定不等D．小球以大小不同的速度通過最低點(diǎn)時(shí)，管壁對小球的作用力大小可能相等解析：選BC在最高點(diǎn)，若小球?qū)?nèi)壁為壓力，則mg－FN＝eq\f(mv2,r)，解得FN＝mg－eq\f(mv2,r)；若小球?qū)ν獗跒閴毫?，則mg＋FN′＝eq\f(mv′2,r)，解得FN′＝eq\f(mv′2,r)－mg，小球的速度大小不同，壓力大小可能相同，故A錯(cuò)誤，B正確；在最低點(diǎn)，根據(jù)牛頓第二定律可知FN－mg＝eq\f(mv2,r)，解得FN＝eq\f(mv2,r)＋mg，小球的速度大小不同，對管壁的作用力大小一定不同，故C正確，D錯(cuò)誤。9.半徑為R的光滑半圓球固定在水平面上，如圖所示。頂部有一物體A，現(xiàn)給它一個(gè)水平初速度v0＝eq\r(gR)，則物體將()A．沿球面下滑至M點(diǎn)B．沿球面下滑至某一點(diǎn)N，便離開球面做斜下拋運(yùn)動C．按半徑大于R的新的圓弧軌道做圓周運(yùn)動D．立即離開半圓球做平拋運(yùn)動解析：選D設(shè)在頂部物體A受到半圓球?qū)λ淖饔昧镕，由牛頓第二定律得mg－F＝meq\f(v02,R)，把v0＝eq\r(gR)代入得F＝0。說明物體只受重力作用，又因物體有水平初速度v0，故物體做平拋運(yùn)動，D正確。10．如圖所示為內(nèi)壁光滑的倒立圓錐，兩個(gè)小球A、B在圓錐內(nèi)壁做勻速圓周運(yùn)動，距離地面高度分別為hA和hB。兩小球運(yùn)動的線速度分別為vA、vB，角速度分別為ωA、ωB，下列結(jié)論正確的是()A.eq\f(vA,vB)＝eq\r(\f(hA,hB)) B.eq\f(ωA,ωB)＝eq\r(\f(hA,hB))C.eq\f(ωA,ωB)＝eq\f(hB,hA) D.eq\f(vA,vB)＝eq\f(hB,hA)解析：選A設(shè)倒立圓錐面母線與水平方向間夾角為θ，小球做圓周運(yùn)動時(shí)支持力在水平方向的分力提供向心力，可得mgtanθ＝meq\f(v2,r)＝mω2r。又r＝eq\f(h,tanθ)，可解得v＝eq\r(gh)，ω＝eq\r(\f(gtan2θ,h))。由此可得eq\f(vA,vB)＝eq\r(\f(hA,hB))，eq\f(ωA,ωB)＝eq\r(\f(hB,hA))，故A正確。二、非選擇題11．如圖所示，用一根長為l＝1m的細(xì)線，一端系一質(zhì)量為m＝1kg的小球(可視為質(zhì)點(diǎn))，另一端固定在一光滑錐體頂端，錐面與豎直方向的夾角θ＝37°，當(dāng)小球在水平面內(nèi)繞錐體的軸做勻速圓周運(yùn)動的角速度為ω時(shí)，細(xì)線的張力為FT。(g取10m/s2，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，結(jié)果可用根式表示)(1)若要小球離開錐面，則小球的角速度ω0至少為多大？(2)若細(xì)線與豎直方向的夾角為60°，則小球的角速度ω′為多大？解析：(1)若要小球剛好離開錐面，則小球只受到重力和細(xì)線的拉力，受力分析如圖所示。小球做勻速圓周運(yùn)動的軌跡圓在水平面上，故向心力水平，在水平方向運(yùn)用牛頓第二定律及向心力公式得mgtanθ＝mω02lsinθ解得ω02＝eq\f(g,lcosθ)即ω0＝eq\r(\f(g,lcosθ))＝eq\f(5,2)eq\r(2)rad/s。(2)同理，當(dāng)細(xì)線與豎直方向成60°角時(shí)，由牛頓第二定律及向心力公式得mgtanα＝mω′2lsinα解得ω′2＝eq\f(g,lcosα)即ω′＝eq\r(\f(g,lcosα))＝2eq\r(5)rad/s。答案：(1)eq\f(5,2)eq\r(2)rad/s(2)2eq\r(5)rad/s12．(2022·濟(jì)南高一檢測)在用高級瀝青鋪設(shè)的高速公路上，對汽車的設(shè)計(jì)限速是30m/s。汽車在這種路面上行駛時(shí)，它的輪胎與地面的最大靜摩擦力等于車重的0.6倍。(g取10m/s2)(1)如果汽車在這種高速公路的水平彎道上轉(zhuǎn)彎，假設(shè)彎道的路面是水平的，其彎道的最小半徑是多少？(2)如果高速公路上設(shè)計(jì)了圓弧拱橋作立交橋，要使汽車能夠安全通過(不起飛)圓弧拱橋，這個(gè)圓弧拱橋的半徑至少是多少？(3)如果彎道的路面設(shè)計(jì)為傾斜(外高內(nèi)低)，彎道半徑為120m，要使汽車通過此彎道時(shí)不產(chǎn)生側(cè)向摩擦力，則彎道路面的傾斜角度是多少？解析：(1)汽車在水平路面上轉(zhuǎn)彎，可視為汽車做勻速圓周運(yùn)動，其最大向心力等于車與路面間的最大靜摩擦力，有0.6mg＝meq\f(v2,r)，由速度v＝30m/s，解得彎道的最小半徑r＝150m。(2)汽車過拱橋